Multiples et diviseurs - 5e

$3\times 1=3\ $ donc, $3$ est un multiple de $3$

 

$3\times 2=6\ $ alors, $6$ est un multiple de $3$

 

$3\times 7=21\ $ par suite, $21$ est un multiple de $3$

 

$4\times 9=36\ $ donc, $36$ est un multiple de $4$

Soit $a\ $ et $\ b$ deux nombres non nuls, $a$ est dit multiple de $b$ si, et seulement si, il existe $q$ un nombre relatif non nul tel que :

$$a=b\times q$$

$17\times 2=34\ $ donc, $34$ est multiple de $17$

Soit $a$ un nombre relatif non nul, $a\times 1=a$ donc, tout nombre relatif non nul est un multiple de lui même.

 

Soit $a\times 0=0\ $ donc, zéro $(0)$ est le multiple de tout nombre, c'est l'élément absorbant.

$15\div 5=3\ $ donc, $3$ est un diviseur de $15$

 

$24\div 6=4\ $ alors, $4$ est un diviseur de $24$

 

$10\div 2=5\ $ donc, $5$ est un diviseur de $10$

 

$15\div 3=5\ $ par suite, $5$ est un diviseur de $15$

Soit $a\ $ et $\ b$ deux nombres relatifs non nuls. On dit que $a$ est un diviseur de $b$ si, et seulement si, il existe $q$ un nombre relatif non nul tel que :

$$q=b\div a$$

$20\div 5=4\ $ donc, $4$ est un diviseur de $20\ $ car $20\div 4=5$

Soit $a$ un nombre relatif non nul, $a\div a=1\ $ donc, tout nombre relatif non nul est diviseur de lui même.

 

Tout nombre est un diviseur à $0\ $ car $0\div a=0$

zéro n'est diviseur d'aucun nombre. Autrement dit, on ne divise jamais par $0.$

Un nombre est divisible par $2\ $ si son dernier chiffre est pair.

Un nombre est divisible par $3\ $ si la somme de ses chiffres est un multiple de $3.$

Un nombre est divisible par $5\ $ si son dernier chiffre est $5\ $ ou $\ 0.$

Un nombre est dit premier si, et seulement si, il n'est divisible que par un $(1)$ et lui même.

 

Exemples : $\ 1\ -\ 2\ -\ 3\ -\ 5\ldots\ldots$

C'est une méthode de recherche de nombres premiers inférieurs à $100\ $ datant de l'antiquité.

 

Elle consiste à éliminer tous les multiples des nombres premiers connus.

$$\begin{array}{cccccccccc} \boxed{1}&2&3&\boxed{4}&5&\boxed{6}&7&\boxed{8}&\boxed{9}&\boxed{10}\\\\  11&\boxed{12}&13&\boxed{14}&\boxed{15}&\boxed{16}&17&\boxed{18}&19&\boxed{20}\\\\  \boxed{21}&\boxed{22}&23&\boxed{24}&\boxed{25}&\boxed{26}&\boxed{27}&\boxed{28}&29&\boxed{30}\\ \\ 31&\boxed{32}&\boxed{33}&\boxed{34}&\boxed{35}&\boxed{36}&37&\boxed{38}&\boxed{39}&\boxed{40}\\\\  41&\boxed{42}&43&\boxed{44}&\boxed{45}&\boxed{46}&47&\boxed{48}&\boxed{49}&\boxed{50}\\\\  \boxed{51}&\boxed{52}&53&\boxed{54}&\boxed{55}&\boxed{56}&\boxed{57}&\boxed{58}&59&\boxed{60}\\ \\ 61&\boxed{62}&\boxed{63}&\boxed{64}&\boxed{65}&\boxed{66}&67&\boxed{68}&\boxed{69}&\boxed{70}\\\\  71&\boxed{72}&73&\boxed{74}&\boxed{75}&\boxed{76}&\boxed{77}&\boxed{78}&79&\boxed{80}\\\\  \boxed{81}&\boxed{82}&83&\boxed{84}&\boxed{85}&\boxed{86}&\boxed{87}&\boxed{88}&89&\boxed{90}\\ \\ \boxed{91}&\boxed{92}&\boxed{93}&\boxed{94}&\boxed{95}&\boxed{96}&97&\boxed{98}&\boxed{99}&\boxed{100} \end{array}$$

$1\ $ n'est pas premier : on l'élimine

 

$2\ $ est un nombre premier : on élimine tous ses multiples

 

$3\ $ est un nombre premier : on élimine tous ses multiples...

Pour savoir si un nombre est premier ou non, on le divise dans l'ordre croissant par les nombres premiers successifs qui lui sont inférieurs :

 

$-\ \ $ Si on trouve un reste nul, il n'est donc pas premier.

 

$-\ \ $ Si on trouve un reste non nul alors, il est premier.

$573\ $ n'est pas un nombre premier car il est multiple de $3$

 

$295\ $ n'est pas un nombre premier car il est multiple de $5$

$-\ \ $ Si un nombre $a$ est premier alors,

$$a=a\times 1$$

$\ 29\times 1=29$

 

$-\ \ $ Si un nombre $a$ est non premier alors, on cherche tous ses diviseurs par la méthode de division successive.

Décomposer $\ 6\ -\ 12\ -\ 50\ -\ 144$

$$\begin{array}{r|l} 6&2\\3&3\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 144&2\\72&2\\36&2\\18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}$$

Le $PPCM$ ou le plus petit commun multiple de deux nombres ou plus est le plus petit parmi tous les multiples communs à ces nombres.

On détermine le $PPCM$ de deux nombres ou plus comme suit :

 

$-\ \ $ On décompose chacun des nombres en produits de facteurs premiers.

 

$-\ \ $ Le $PPCM$ de ces nombres est alors le produit de tous les facteurs communs ou non, où chaque facteur est affecté à la plus grande puissance.

Déterminer le $PPCM$ de :

 

$(12\;;\ 45)\;;\quad(45\;;\ 72)\;;\quad(6\;;\ 72)\;;\quad(12\;;\ 45\;;\ 72)$

 

On a :

 

$12=2^{2}\times 3\ $ et $\ 45=5\times 3^{2}$ donc, 

 

$\begin{array}{rcl} PPCM(12\;;\ 45)&=&2^{2}\times 5\times 3^{2}\\&=&180\end{array}$

 

D'où, $\boxed{PPCM(12\;;\ 45)=180}$

 

$45=5\times 3^{2}\ $ et $\ 72=2^{3}\times 3^{2}$ donc, 

 

$\begin{array}{rcl} PPCM(45\;;\ 72)&=&5\times 3^{2}\times 2^{3}\\&=&360\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{PPCM(45\;;\ 72)=360}$

 

$6=3\times 2\ $ et $\ 72=2^{3}\times 3^{2}$ donc, 

 

$\begin{array}{rcl} PPCM(6\;;\ 72)&=&3^{2}\times 2^{3}\\&=&72\end{array}$

 

D'où, $\boxed{PPCM(6\;;\ 72)=72}$

 

$12=2^{2}\times 3\;;\quad 45=5\times 3^{2}\ $ et $\ 72=2^{3}\times 3^{2}$ donc, 

 

$\begin{array}{rcl} PPCM(12\;;\ 45\;;\ 72)&=&2^{3}\times 3^{2}\times 5\\&=&360\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{PPCM(12\;;\ 45\;;\ 72)=360}$

Le $PGCD$ ou le plus grand commun diviseur de deux nombres ou plus est le plus grand parmi tous les diviseurs communs à ces nombres.

On détermine le $PGCD$ de deux nombres ou plus comme suit :

 

$-\ \ $ On décompose chacun des nombres en produits de facteurs premiers.

 

$-\ \ $ Le $PGCD$ est alors le produit de tous les facteurs communs seulement, où chaque facteur commun est affecté à la plus petite puissance.

Déterminer le $PGCD$ de :

 

$(12\;;\ 6)\;;\quad (12\;;\ 45)\;;\quad(72\;;\ 12)\;;\quad (45\;;\ 72\;;\ 12)\;;\quad(90\;;\ 120)$

 

On a :

 

$12=2^{2}\times 3\ $ et $\ 6=2\times 3$ donc, 

 

$\begin{array}{rcl} PGCD(12\;;\ 6)&=&2\times 3\\&=&6\end{array}$

 

D'où, $\boxed{PGCD(12\;;\ 6)=6}$

 

$12=2^{2}\times 3\ $ et $\ 45=5\times 3^{2}$ donc, 

 

$\begin{array}{rcl} PGCD(12\;;\ 45)&=&3\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{PGCD(12\;;\ 45)=3}$

 

$72=2^{3}\times 3^{2}\ $ et $\ 12=2^{2}\times 3$ donc, 

 

$\begin{array}{rcl} PGCD(72\;;\ 12)&=&2^{2}\times 3\\&=&12\end{array}$

 

D'où, $\boxed{PGCD(72\;;\ 12)=12}$

 

$45=5\times 3^{2}\;;\ 72=2^{3}\times 3^{2}\ $ et $\ 12=2^{2}\times 3$ donc, 

 

$\begin{array}{rcl} PGCD(45\;;\ 72\;;\ 12)&=&3\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{PGCD(45\;;\ 72\;;\ 12)=3}$

 

$90=3^{2}\times 5\times 2\ $ et $\ 120=2^{3}\times 3\times 5$ donc, 

 

$\begin{array}{rcl} PGCD(90\;;\ 120)&=&5\times 3\times 2\\&=&30\end{array}$

 

D'où, $\boxed{PGCD(90\;;\ 120)=30}$