Multiples et diviseurs - 5e
Classe:
Cinquième
I. Multiple d'un nombre
I.1. Exemple
$3\times 1=3\ $ donc, $3$ est un multiple de $3$
$3\times 2=6\ $ alors, $6$ est un multiple de $3$
$3\times 7=21\ $ par suite, $21$ est un multiple de $3$
$4\times 9=36\ $ donc, $36$ est un multiple de $4$
I.2. Définition
Soit $a\ $ et $\ b$ deux nombres non nuls, $a$ est dit multiple de $b$ si, et seulement si, il existe $q$ un nombre relatif non nul tel que :
$$a=b\times q$$
Exemple :
$17\times 2=34\ $ donc, $34$ est multiple de $17$
Remarque
Soit $a$ un nombre relatif non nul, $a\times 1=a$ donc, tout nombre relatif non nul est un multiple de lui même.
Soit $a\times 0=0\ $ donc, zéro $(0)$ est le multiple de tout nombre, c'est l'élément absorbant.
II. Diviseur d'un nombre relatif
II.1. Exemple
$15\div 5=3\ $ donc, $3$ est un diviseur de $15$
$24\div 6=4\ $ alors, $4$ est un diviseur de $24$
$10\div 2=5\ $ donc, $5$ est un diviseur de $10$
$15\div 3=5\ $ par suite, $5$ est un diviseur de $15$
II.2. Définition
Soit $a\ $ et $\ b$ deux nombres relatifs non nuls. On dit que $a$ est un diviseur de $b$ si, et seulement si, il existe $q$ un nombre relatif non nul tel que :
$$q=b\div a$$
Exemple :
$20\div 5=4\ $ donc, $4$ est un diviseur de $20\ $ car $20\div 4=5$
Remarque
Soit $a$ un nombre relatif non nul, $a\div a=1\ $ donc, tout nombre relatif non nul est diviseur de lui même.
Tout nombre est un diviseur à $0\ $ car $0\div a=0$
Attention :
zéro n'est diviseur d'aucun nombre. Autrement dit, on ne divise jamais par $0.$
II.3. Caractère de divisibilité
a) Par 2
Un nombre est divisible par $2\ $ si son dernier chiffre est pair.
b) Par 3
Un nombre est divisible par $3\ $ si la somme de ses chiffres est un multiple de $3.$
c) Par 5
Un nombre est divisible par $5\ $ si son dernier chiffre est $5\ $ ou $\ 0.$
III. Nombres premiers
III.1. Définition
Un nombre est dit premier si, et seulement si, il n'est divisible que par un $(1)$ et lui même.
Exemples : $\ 1\ -\ 2\ -\ 3\ -\ 5\ldots\ldots$
III.2. Nombres premiers inférieurs à $\ 100$
a) Crible d'Eratosthène
C'est une méthode de recherche de nombres premiers inférieurs à $100\ $ datant de l'antiquité.
Elle consiste à éliminer tous les multiples des nombres premiers connus.
$$\begin{array}{cccccccccc} \boxed{1}&2&3&\boxed{4}&5&\boxed{6}&7&\boxed{8}&\boxed{9}&\boxed{10}\\\\ 11&\boxed{12}&13&\boxed{14}&\boxed{15}&\boxed{16}&17&\boxed{18}&19&\boxed{20}\\\\ \boxed{21}&\boxed{22}&23&\boxed{24}&\boxed{25}&\boxed{26}&\boxed{27}&\boxed{28}&29&\boxed{30}\\ \\ 31&\boxed{32}&\boxed{33}&\boxed{34}&\boxed{35}&\boxed{36}&37&\boxed{38}&\boxed{39}&\boxed{40}\\\\ 41&\boxed{42}&43&\boxed{44}&\boxed{45}&\boxed{46}&47&\boxed{48}&\boxed{49}&\boxed{50}\\\\ \boxed{51}&\boxed{52}&53&\boxed{54}&\boxed{55}&\boxed{56}&\boxed{57}&\boxed{58}&59&\boxed{60}\\ \\ 61&\boxed{62}&\boxed{63}&\boxed{64}&\boxed{65}&\boxed{66}&67&\boxed{68}&\boxed{69}&\boxed{70}\\\\ 71&\boxed{72}&73&\boxed{74}&\boxed{75}&\boxed{76}&\boxed{77}&\boxed{78}&79&\boxed{80}\\\\ \boxed{81}&\boxed{82}&83&\boxed{84}&\boxed{85}&\boxed{86}&\boxed{87}&\boxed{88}&89&\boxed{90}\\ \\ \boxed{91}&\boxed{92}&\boxed{93}&\boxed{94}&\boxed{95}&\boxed{96}&97&\boxed{98}&\boxed{99}&\boxed{100} \end{array}$$
b) Principe
$1\ $ n'est pas premier : on l'élimine
$2\ $ est un nombre premier : on élimine tous ses multiples
$3\ $ est un nombre premier : on élimine tous ses multiples...
III.3. Méthode par division successive
Pour savoir si un nombre est premier ou non, on le divise dans l'ordre croissant par les nombres premiers successifs qui lui sont inférieurs :
$-\ \ $ Si on trouve un reste nul, il n'est donc pas premier.
$-\ \ $ Si on trouve un reste non nul alors, il est premier.
Exemples :
$573\ $ n'est pas un nombre premier car il est multiple de $3$
$295\ $ n'est pas un nombre premier car il est multiple de $5$
IV. Décomposition d'un nombre en produits de facteurs premiers
$-\ \ $ Si un nombre $a$ est premier alors,
$$a=a\times 1$$
Exemple :
$\ 29\times 1=29$
$-\ \ $ Si un nombre $a$ est non premier alors, on cherche tous ses diviseurs par la méthode de division successive.
Exemple :
Décomposer $\ 6\ -\ 12\ -\ 50\ -\ 144$
$$\begin{array}{r|l} 6&2\\3&3\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 144&2\\72&2\\36&2\\18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}$$
V. Le $PPCM$
V.1. Définition
Le $PPCM$ ou le plus petit commun multiple de deux nombres ou plus est le plus petit parmi tous les multiples communs à ces nombres.
V.2. Principe de détermination du $PPCM$
On détermine le $PPCM$ de deux nombres ou plus comme suit :
$-\ \ $ On décompose chacun des nombres en produits de facteurs premiers.
$-\ \ $ Le $PPCM$ de ces nombres est alors le produit de tous les facteurs communs ou non, où chaque facteur est affecté à la plus grande puissance.
Exemple :
Déterminer le $PPCM$ de :
$(12\;;\ 45)\;;\quad(45\;;\ 72)\;;\quad(6\;;\ 72)\;;\quad(12\;;\ 45\;;\ 72)$
On a :
$12=2^{2}\times 3\ $ et $\ 45=5\times 3^{2}$ donc,
$\begin{array}{rcl} PPCM(12\;;\ 45)&=&2^{2}\times 5\times 3^{2}\\&=&180\end{array}$
D'où, $\boxed{PPCM(12\;;\ 45)=180}$
$45=5\times 3^{2}\ $ et $\ 72=2^{3}\times 3^{2}$ donc,
$\begin{array}{rcl} PPCM(45\;;\ 72)&=&5\times 3^{2}\times 2^{3}\\&=&360\end{array}$
Ainsi, $\boxed{PPCM(45\;;\ 72)=360}$
$6=3\times 2\ $ et $\ 72=2^{3}\times 3^{2}$ donc,
$\begin{array}{rcl} PPCM(6\;;\ 72)&=&3^{2}\times 2^{3}\\&=&72\end{array}$
D'où, $\boxed{PPCM(6\;;\ 72)=72}$
$12=2^{2}\times 3\;;\quad 45=5\times 3^{2}\ $ et $\ 72=2^{3}\times 3^{2}$ donc,
$\begin{array}{rcl} PPCM(12\;;\ 45\;;\ 72)&=&2^{3}\times 3^{2}\times 5\\&=&360\end{array}$
Ainsi, $\boxed{PPCM(12\;;\ 45\;;\ 72)=360}$
VI. Le $PGCD$
VI.1. Définition
Le $PGCD$ ou le plus grand commun diviseur de deux nombres ou plus est le plus grand parmi tous les diviseurs communs à ces nombres.
VI.2. Principe de détermination du $PGCD$
On détermine le $PGCD$ de deux nombres ou plus comme suit :
$-\ \ $ On décompose chacun des nombres en produits de facteurs premiers.
$-\ \ $ Le $PGCD$ est alors le produit de tous les facteurs communs seulement, où chaque facteur commun est affecté à la plus petite puissance.
Exemple :
Déterminer le $PGCD$ de :
$(12\;;\ 6)\;;\quad (12\;;\ 45)\;;\quad(72\;;\ 12)\;;\quad (45\;;\ 72\;;\ 12)\;;\quad(90\;;\ 120)$
On a :
$12=2^{2}\times 3\ $ et $\ 6=2\times 3$ donc,
$\begin{array}{rcl} PGCD(12\;;\ 6)&=&2\times 3\\&=&6\end{array}$
D'où, $\boxed{PGCD(12\;;\ 6)=6}$
$12=2^{2}\times 3\ $ et $\ 45=5\times 3^{2}$ donc,
$\begin{array}{rcl} PGCD(12\;;\ 45)&=&3\end{array}$
Ainsi, $\boxed{PGCD(12\;;\ 45)=3}$
$72=2^{3}\times 3^{2}\ $ et $\ 12=2^{2}\times 3$ donc,
$\begin{array}{rcl} PGCD(72\;;\ 12)&=&2^{2}\times 3\\&=&12\end{array}$
D'où, $\boxed{PGCD(72\;;\ 12)=12}$
$45=5\times 3^{2}\;;\ 72=2^{3}\times 3^{2}\ $ et $\ 12=2^{2}\times 3$ donc,
$\begin{array}{rcl} PGCD(45\;;\ 72\;;\ 12)&=&3\end{array}$
Ainsi, $\boxed{PGCD(45\;;\ 72\;;\ 12)=3}$
$90=3^{2}\times 5\times 2\ $ et $\ 120=2^{3}\times 3\times 5$ donc,
$\begin{array}{rcl} PGCD(90\;;\ 120)&=&5\times 3\times 2\\&=&30\end{array}$
D'où, $\boxed{PGCD(90\;;\ 120)=30}$
Auteur:
Mamadou Siradji Dia
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
dim, 02/16/2020 - 08:58
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Classe
Ndeye fatou toure (non vérifié)
ven, 01/22/2021 - 22:29
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cinquieme
Ndeye fatou toure (non vérifié)
ven, 01/22/2021 - 22:28
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merci
Anonyme (non vérifié)
lun, 03/22/2021 - 23:32
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Merci beaucoups
Mouhamadoul mam... (non vérifié)
mar, 05/25/2021 - 21:31
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Merci beaucoup. y'a tout
Anonyme (non vérifié)
dim, 11/27/2022 - 17:35
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C'est intéressant vous êtes
Alima traoré (non vérifié)
mar, 11/21/2023 - 21:35
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Merci pour les cours
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