Multiples et diviseurs - 5e

Classe: 
Cinquième

I. Multiple d'un nombre

I.1. Exemple

3×1=3  donc, 3 est un multiple de 3
 
3×2=6  alors, 6 est un multiple de 3
 
3×7=21  par suite, 21 est un multiple de 3
 
4×9=36  donc, 36 est un multiple de 4

I.2. Définition

Soit a  et  b deux nombres non nuls, a est dit multiple de b si, et seulement si, il existe q un nombre relatif non nul tel que :
a=b×q

Exemple :

17×2=34  donc, 34 est multiple de 17

Remarque

Soit a un nombre relatif non nul, a×1=a donc, tout nombre relatif non nul est un multiple de lui même.
 
Soit a×0=0  donc, zéro (0) est le multiple de tout nombre, c'est l'élément absorbant.

II. Diviseur d'un nombre relatif

II.1. Exemple

15÷5=3  donc, 3 est un diviseur de 15
 
24÷6=4  alors, 4 est un diviseur de 24
 
10÷2=5  donc, 5 est un diviseur de 10
 
15÷3=5  par suite, 5 est un diviseur de 15

II.2. Définition

Soit a  et  b deux nombres relatifs non nuls. On dit que a est un diviseur de b si, et seulement si, il existe q un nombre relatif non nul tel que :
q=b÷a

Exemple :

20÷5=4  donc, 4 est un diviseur de 20  car 20÷4=5

Remarque

Soit a un nombre relatif non nul, a÷a=1  donc, tout nombre relatif non nul est diviseur de lui même.
 
Tout nombre est un diviseur à 0  car 0÷a=0

Attention :

zéro n'est diviseur d'aucun nombre. Autrement dit, on ne divise jamais par 0.

II.3. Caractère de divisibilité

a) Par 2

Un nombre est divisible par 2  si son dernier chiffre est pair.

b) Par 3

Un nombre est divisible par 3  si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.

c) Par 5

Un nombre est divisible par 5  si son dernier chiffre est 5  ou  0.

III. Nombres premiers

III.1. Définition

Un nombre est dit premier si, et seulement si, il n'est divisible que par un (1) et lui même.
 
Exemples :  1  2  3  5

III.2. Nombres premiers inférieurs à  100

a) Crible d'Eratosthène

C'est une méthode de recherche de nombres premiers inférieurs à 100  datant de l'antiquité.
 
Elle consiste à éliminer tous les multiples des nombres premiers connus.
123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

b) Principe

1  n'est pas premier : on l'élimine
 
2  est un nombre premier : on élimine tous ses multiples
 
3  est un nombre premier : on élimine tous ses multiples...

III.3. Méthode par division successive

Pour savoir si un nombre est premier ou non, on le divise dans l'ordre croissant par les nombres premiers successifs qui lui sont inférieurs :
 
   Si on trouve un reste nul, il n'est donc pas premier.
 
   Si on trouve un reste non nul alors, il est premier.

Exemples :

573  n'est pas un nombre premier car il est multiple de 3
 
295  n'est pas un nombre premier car il est multiple de 5

IV. Décomposition d'un nombre en produits de facteurs premiers

   Si un nombre a est premier alors,
a=a×1

Exemple :

 29×1=29
 
   Si un nombre a est non premier alors, on cherche tous ses diviseurs par la méthode de division successive.

Exemple :

Décomposer  6  12  50  144
6233112262331502255551144272236218293331

V. Le PPCM

V.1. Définition

Le PPCM ou le plus petit commun multiple de deux nombres ou plus est le plus petit parmi tous les multiples communs à ces nombres.

V.2. Principe de détermination du PPCM

On détermine le PPCM de deux nombres ou plus comme suit :
 
   On décompose chacun des nombres en produits de facteurs premiers.
 
   Le PPCM de ces nombres est alors le produit de tous les facteurs communs ou non, où chaque facteur est affecté à la plus grande puissance.

Exemple :

Déterminer le PPCM de :
 
(12; 45);(45; 72);(6; 72);(12; 45; 72)
 
On a :
 
12=22×3  et  45=5×32 donc, 
 
PPCM(12; 45)=22×5×32=180
 
D'où, PPCM(12; 45)=180
 
45=5×32  et  72=23×32 donc, 
 
PPCM(45; 72)=5×32×23=360
 
Ainsi, PPCM(45; 72)=360
 
6=3×2  et  72=23×32 donc, 
 
PPCM(6; 72)=32×23=72
 
D'où, PPCM(6; 72)=72
 
12=22×3;45=5×32  et  72=23×32 donc, 
 
PPCM(12; 45; 72)=23×32×5=360
 
Ainsi, PPCM(12; 45; 72)=360

VI. Le PGCD

VI.1. Définition

Le PGCD ou le plus grand commun diviseur de deux nombres ou plus est le plus grand parmi tous les diviseurs communs à ces nombres.

VI.2. Principe de détermination du PGCD

On détermine le PGCD de deux nombres ou plus comme suit :
 
   On décompose chacun des nombres en produits de facteurs premiers.
 
   Le PGCD est alors le produit de tous les facteurs communs seulement, où chaque facteur commun est affecté à la plus petite puissance.

Exemple :

Déterminer le PGCD de :
 
(12; 6);(12; 45);(72; 12);(45; 72; 12);(90; 120)
 
On a :
 
12=22×3  et  6=2×3 donc, 
 
PGCD(12; 6)=2×3=6
 
D'où, PGCD(12; 6)=6
 
12=22×3  et  45=5×32 donc, 
 
PGCD(12; 45)=3
 
Ainsi, PGCD(12; 45)=3
 
72=23×32  et  12=22×3 donc, 
 
PGCD(72; 12)=22×3=12
 
D'où, PGCD(72; 12)=12
 
45=5×32; 72=23×32  et  12=22×3 donc, 
 
PGCD(45; 72; 12)=3
 
Ainsi, PGCD(45; 72; 12)=3
 
90=32×5×2  et  120=23×3×5 donc, 
 
PGCD(90; 120)=5×3×2=30
 
D'où, PGCD(90; 120)=30
 

Auteur: 
Mamadou Siradji Dia

Commentaires

Classe

cinquieme

Merci beaucoups

Merci beaucoup. y'a tout dedans!

C'est intéressant vous êtes les meilleurs

Merci pour les cours

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