Devoir n° 25 1e S1
Classe:
Première
Exercice 1
Soient a et b deux entiers naturels tels que b=a+1.
1) Démontrer que pour tout entier naturel n≥1, a2+b2n−1 est divisible par ab.
2) En déduire un diviseur de 121+122004−1.
3) Démontrer que si n est impair, Xn+1 est factorisable par X+1.
4) Soit P(X) et Q(X) deux polynômes tels que :
Q(X)=P(X)+1
Q(X)=P(X)+1
Démontrer que [P(X)]2n+[Q(X)]n−1 est factorisable par P(X)⋅Q(X).
Exercice 2
Les deux questions sont indépendantes.
1) Soit f une fonction et k un réel strictement négatif tels que, pour tout réel x, on ait :
f(x−2k)=−f(x+k)
Montrer que f est périodique et préciser la période.
2) Soit f la fonction définie par :
f(x)=√x2−41−√x2−4
f(x)=√x2−41−√x2−4
a) Déterminer son ensemble de définition.
b) Discuter, suivant les valeurs du paramètre réel y, le nombre de solutions de l'équation f(x)=y , où x est l'inconnue réelle.
c) L'application f : D⟹R est-elle injective ? surjective ?
d) Déterminer deux parties E et F de R , les plus grandes possibles, pour l'application
g : E⟶Fx⟼f(x)
soit bijective. Définir alors g−1.
Exercice 3
Soient A et B deux points d'une droite (Δ) , a et b deux nombres réels tels que : 0<a<b.
1) Démontrer qu'il existe deux points C et D tels que C soit le barycentre des points (A, a) et (B, b) , et D soit le barycentre des points (A, a) et (B, −b).
Préciser la position de ces points par rapport aux points A et B.
2) La droite (Δ) est munie du repère (A, B).
Calculer, en fonction de a et b, les abscisses des points C et D et vérifier que :
¯CA¯CB=−¯DA¯DB
3) Démontrer que :
a) A est le barycentre des points (C, a+b) et (D, a−b) ;
b) B est le barycentre des points (C , a+b) et (D, b−a).
Exercice 4
Les parties 1 et 2 sont indépendantes.
1) On donne un triangle ABC et sa hauteur AH.
a) Prouver que : HBtanC=HCtanB
b) En déduire des nombres p, q et r tels que l'orthocentre du triangle soit le barycentre des points A, B et C affectés de ces coefficients.
c) Soit G le centre de gravité du triangle et P son orthocentre.
Prouver que si les droites (GP) et (BC) sont parallèles, alors tanBtanC=3.
d) Soit [BD] une hauteur du triangle ABC.
Exprimer le vecteur →BD sous la forme α→ABβ→AC.
2) On donne des points A, B, C alignés sur un axe. On note respectivement a, b, c leurs abscisses.
Prouver que la somme f(M)=(c−b)MA2+(a−c)MB2+(b−a)MC2 est indépendante de M.
Durée 4h
Commentaires
IBA (non vérifié)
mar, 02/02/2021 - 05:54
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ok
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