Devoir n° 25 1e S1

 

Soient $a\text{ et }b$ deux entiers naturels tels que $b=a+1.$

 

1) Démontrer que pour tout entier naturel $n\geq 1\;,\ a^{2}+b^{2n}-1$ est divisible par $ab.$

 

2) En déduire un diviseur de $121+12^{2004}-1.$

 

3) Démontrer que si $n$ est impair, $X^{n}+1$ est factorisable par $X+1.$

 

4) Soit $P(X)\ $ et $\ Q(X)$ deux polynômes tels que :
$$Q(X)=P(X)+1$$

Démontrer que $[P(X)]^{2n}+[Q(X)]^{n-1}$ est factorisable par $P(X)\cdot Q(X).$

$Les\ deux\ questions\ sont\ indépendantes.$

 

1) Soit $f$ une fonction et $k$ un réel strictement négatif tels que, pour tout réel $x$, on ait :

$$f(x-2k)=-f(x+k)$$

Montrer que $f$ est périodique et préciser la période.

 

2) Soit $f$ la fonction définie par :
$$f(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}-4}}{1-\sqrt{x^{2}-4}}$$

a) Déterminer son ensemble de définition.

 

b) Discuter, suivant les valeurs du paramètre réel $y$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=y$ , où $x$ est l'inconnue réelle.

 

c) L'application $f\ :\ \mathcal{D}\Longrightarrow\mathbb{R}$ est-elle injective ? surjective ?

 

d) Déterminer deux parties $E\text{ et }F\text{ de }\mathbb{R}$ , les plus grandes possibles, pour l'application

\begin{eqnarray} g\ :\ E &\longrightarrow & F\nonumber\\ x &\longmapsto & f(x)\nonumber \end{eqnarray}

soit bijective. Définir alors $g^{-1}.$

Soient $A\text{ et }B$ deux points d'une droite $(\Delta)$ , $a\text{ et }b$ deux nombres réels tels que : $0<a<b.$

 

1) Démontrer qu'il existe deux points $C\text{ et }D$ tels que $C$ soit le barycentre des points $(A\;,\ a)\ $ et $\ (B\;,\ b)\ $, et $\ D$ soit le barycentre des points $(A\;,\ a)\ $ et $\ (B\;,\ -b).$

 

Préciser la position de ces points par rapport aux points $A\ $ et $\ B.$

 

2) La droite $(\Delta)$ est munie du repère $(A\;,\ B).$

 

Calculer, en fonction de $a\text{ et }b$, les abscisses des points $C\text{ et }D$ et vérifier que :

$$\dfrac{\overline{CA}}{\overline{CB}}=-\dfrac{\overline{DA}}{\overline{DB}}$$

3) Démontrer que :

 

a) $A$ est le barycentre des points $(C\;,\ a+b)\ $ et $\ (D\;,\ a-b)$ ;

 

b) $B$ est le barycentre des points $(C\ ,\ a+b)\ $ et $\ (D\;,\ b-a).$

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

 

1) On donne un triangle $ABC$ et sa hauteur $AH.$

 

a) Prouver que : $\dfrac{HB}{\tan C}=\dfrac{HC}{\tan B}$ 

 

b) En déduire des nombres $p\;,\ q\ $ et $\ r$ tels que l'orthocentre du triangle soit le barycentre des points $A\;,\ B\ $ et $\ C$ affectés de ces coefficients.

 

c) Soit $G$ le centre de gravité du triangle et $P$ son orthocentre.

 

Prouver que si les droites $(GP)\ $ et $\ (BC)$ sont parallèles, alors $\tan B\tan C=3.$

 

d) Soit $[BD]$ une hauteur du triangle $ABC.$

 

Exprimer le vecteur $\overrightarrow{BD}$ sous la forme $\alpha\overrightarrow{AB}\beta\overrightarrow{AC}.$

 

2) On donne des points $A\;,\ B\;,\ C$ alignés sur un axe. On note respectivement $a\;,\ b\;,\ c$ leurs abscisses. 

 

Prouver que la somme $f(M)=(c-b)MA^{2}+(a-c) MB^{2}+(b-a)MC^{2}$ est indépendante  de $M.$

                                                                                 $$\text{Durée 4h}$$