Les fractions - 5e
Classe:
Cinquième
I. Fractions irréductibles
I.1. Définition
Une fraction est dite irréductible lorsqu'il n'y a aucune possibilité de simplification de celle-ci donc, si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux. On a dans ce cas :
PGCD(numérateur, dénominateur)=1
Exemple :
simplifions 1680420 et 285228
En décomposant 1680 et 420 en produits de facteurs premiers, on obtient :
168028402420221021053355771420221021053355771
Donc, 1680=24×3×5×7×1 et 840=22×3×5×7×1
Ainsi,
PGCD(1680; 420)=22×3×5×7×1=420
Par suite,
1680420=1680÷420420÷420=41=4
D'où, 1680420=4
Décomposons 285 et 228 en produits de facteurs premiers, on a :
2853955191912282114257319191
Alors, 285=3×5×19×1 et 228=22×3×19×1
Donc,
PGCD(285; 228)=3×19×1=57
Par suite,
285228=285÷57228÷57=54
Ainsi, 285228=54
I.2. Simplification
Simplifier une fraction, c'est la rendre irréductible. Ainsi, on doit trouver une fraction égale à la fraction donnée en divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
Exemple :
simplifions 12024; 5663 et 3130
On a :
120=23×3×524=23×3} alors, PGCD(120; 24)=23×3=24
Donc,
12024=120÷2424÷24=51=5
D'où, 12024=5
56=23×763=32×7} donc, PGCD(56; 63)=7
Par suite,
5663=56÷763÷7=89
D'où, 5663=89
On sait que 31 et 30 sont premiers entre eux donc, PGCD(31; 30)=1. Ainsi, 3130 est une fraction déjà simplifiée donc, irréductible.
II. Addition et soustraction des fractions
II.1. Fractions ayant le même dénominateur
Pour faire l'addition ou la soustraction de deux fractions avec le même dénominateur, on fait une addition ou une soustraction des numérateurs et on conserve le dénominateur.
D'une manière générale, si (a, b, c, e, k, f)∈R, on a :
ac+bc=a+bcetef−kf=e−kf
Exemples :
a=2, b=6, c=5, e=9, k=−12, f=7
Application
ac+bc=25+65=2+65=85
Donc, 25+65=85
ef−kf=97−−127=9−(−12)7=9+127=217
Ainsi, 97−−127=217
II.2. Fractions n'ayant pas le même dénominateur
Pour faire l'addition ou la soustraction de fractions n'ayant pas le même dénominateur, on réduit au même dénominateur puis on calcule.
Pour réduire au même dénominateur on utilise le PPCM qui sera le dénominateur commun à ces fractions.
Exemples :
5635+2845;5−1260
On a : 35=5×7 et 45=32×5
Donc, PPCM(35; 45)=5×7×32=315
Alors, 315 sera le dénominateur commun.
Ainsi, 5635=56×935×9=504315 et 2845=28×745×7=193315
Par suite,
5635+2845=504315+193315=504+193315=697315
D'où, 5635+2845=697315
On sait que : 5−1260=51−1260
Or, 60=22×3×5 donc,
PPCM(1; 60)=22×3×5=60
Ainsi, 51=5×601×60=30060
Par suite,
5−1260=30060−1260=300−1260=28860
D'où, 5−1260=28860
Remarque
D'une manière générale, l'addition ou la soustraction des fractions donne :
ab+cd=ad+bcbd
Exemple :
5635+2845=56×45+28×3535×45=2520+9001575=34201575=3420÷51575÷5=684315
Ainsi, 5635+2845=684315
III. Multiplication de deux fractions
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
D'une manière générale, on a :
ab×cd=acbd
Remarque
Pour multiplier un nombre entier naturel par une fraction, on le multiplie par le numérateur.
D'une manière générale, on a :
ab×c=acb
IV. Division d'une fraction par un entier naturel
Pour diviser une fraction par un entier, on multiplie son dénominateur par l'entier en question.
D'une manière générale, on a :
abc=abc
Application
Calculer A=113×(5+49)−(37+53)×5
On a :
A=113×(5+49)−(37+53)×5=113×(5×91×9+49)−(3×37×3+5×73×7)×5=113×(45+49)−(9+3521)×5=113×499−4421×5=11×493×9−44×521=53927−22021=539×2127×21−220×2721×27=11319567−5940567=11319−5940567=5379567=5379÷3567÷3=1793189
Ainsi, A=1793189
V. Comparaison de fractions
V.1. Fractions avec même dénominateur
Pour deux fractions ayant le même dénominateur, la plus grande est celle avec le plus grand numérateur.
Exemple :
1250022<2030022 car 12500 est inférieur à 20300.
V.2. Fractions avec même numérateur
Pour deux fractions ayant le même numérateur, la plus grande est celle avec le plus petit dénominateur.
Exemple :
3610>3627 car 10<27
50002>50005 car 2 est inférieur à 5
V.3. Fractions totalement différentes
Pour comparer deux fractions n'ayant pas le même numérateur ni le même dénominateur, on réduit au même dénominateur et on compare.
Application
Je compare 147 et 3017
En réduisant au même dénominateur, on obtient :
147=14×177×17=238119
3017=30×717×7=210119
Or, 238119>210119 donc, 147>3017
VI. Comparaison d'une fraction à 1
Pour une fraction donnée :
− si le numérateur est plus petit que le dénominateur alors, la fraction est plus petite que 1
− si le numérateur est égal au dénominateur alors, la fraction est égale à 1
− si le numérateur est supérieur au dénominateur alors, la fraction est plus grande que 1
VII. Encadrement
La fraction 227 est approximativement égale à :
3,142857142857142857.....
Ainsi, 3;3,1;3,14;3,142... sont respectivement les valeurs par défaut de 227 à l'unité, au dixième près, au centième près, de même que 4;3,2;3,15;3,23;3,145 sont respectivement les valeurs par excès de 227. On a finalement,
3<π<4
Tous ces cas sont des encadrements de π à l'unité précisée.
Application
On donne : A=23+43+76
1) Calculer A en le donnant sous la forme irréductible
2) Encadrer ce résultat à l'unité près, au dixième et au millième
Solution
1) Soit A=23+43+76, on a :
A=23+43+76=2+43+76=63+76=6×63×6+7×36×3=3618+2118=5718
Comme 57=3×19 et 18=2×32 alors, PGCD(57; 18)=3
Donc, 5718=57÷318÷3=196
D'où, A=196
2) La fraction 196 est approximativement égale à 3,1666666666666....
Ainsi,
3<A<4 est un encadrement de A à l'unité près
3,1<A<3,2 est un encadrement de A au dixième près
3,166<A<3,167 est un encadrement de A au millième près
Remarque
− Le dénominateur commun des fractions est le PPCM des dénominateurs
− Pour rendre irréductible une fraction on divise son numérateur et son dénominateur par le PGCD du numérateur et du dénominateur.
Exemple :
PGCD(90 120)=30
Donc, 90120=90÷30120÷30=34
Auteur:
Mamadou Siradji Dia
Commentaires
Khadim (non vérifié)
ven, 04/03/2020 - 18:37
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Confinement oblige
Fatou Mbengue (non vérifié)
ven, 03/05/2021 - 16:28
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Tu as raison
Anonyme
lun, 01/16/2023 - 19:53
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ouiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
Anonyme (non vérifié)
jeu, 02/18/2021 - 10:46
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Bon cours
Fatou Mbengue (non vérifié)
ven, 03/05/2021 - 16:30
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Ne dit pas bon cour mais c
Anonyme (non vérifié)
lun, 04/26/2021 - 01:16
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Wei
Fatou Mbengue (non vérifié)
ven, 03/05/2021 - 16:27
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Apprendre
Fatou Mbengue (non vérifié)
ven, 03/05/2021 - 16:40
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C'EST le méilleure cour
Fatou Mbengue (non vérifié)
ven, 03/05/2021 - 16:44
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C'EST le méilleure cour
Souhilta (non vérifié)
mar, 05/25/2021 - 21:29
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J'adore cette applis
hfgg215695 (non vérifié)
mer, 02/16/2022 - 21:47
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cet applis cest la meilleure
Anonyme (non vérifié)
jeu, 01/04/2024 - 21:38
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Meilleur cite que j’ai connu
wali (non vérifié)
mar, 01/16/2024 - 22:04
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meri
Anonyme (non vérifié)
jeu, 02/01/2024 - 19:42
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c est cool MERCI BEAUCOUP
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