Les fractions - 5e

Classe:

Cinquième

I. Fractions irréductibles

I.1. Définition

Une fraction est dite irréductible lorsqu'il n'y a aucune possibilité de simplification de celle-ci donc, si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux. On a dans ce cas :

$$PGCD(\text{numérateur, dénominateur})=1$$

Exemple :

simplifions $\ \dfrac{1680}{420}\ $ et $\ \dfrac{285}{228}$

En décomposant 1680 et 420 en produits de facteurs premiers, on obtient :

$\begin{array}{r|l} 1680&2\\840&2\\420&2\\210&2\\105&3\\35&5\\7&7\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 420&2\\210&2\\105&3\\35&5\\7&7\\1&\end{array}$

Donc, $1680=2^{4}\times 3\times 5\times 7\times 1\ $ et $\ 840=2^{2}\times 3\times 5\times 7\times 1$

Ainsi,

$\begin{array}{rcl} PGCD(1680\;;\ 420)&=&2^{2}\times 3\times 5\times 7\times 1\\&=&420\end{array}$

Par suite,

$\begin{array}{rcl}\dfrac{1680}{420}&=&\dfrac{1680\div 420}{420\div 420}\\ \\&=&\dfrac{4}{1}\\ \\&=&4\end{array}$

D'où, $\ \boxed{\dfrac{1680}{420}=4}$

Décomposons 285 et 228 en produits de facteurs premiers, on a :

$\begin{array}{r|l} 285&3\\95&5\\19&19\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 228&2\\114&2\\57&3\\19&19\\1&\end{array}$

Alors, $285=3\times 5\times 19\times 1\ $ et $\ 228=2^{2}\times 3\times 19\times 1$

Donc,

$\begin{array}{rcl} PGCD(285\;;\ 228)&=&3\times 19\times 1\\&=&57\end{array}$

Par suite,

$\begin{array}{rcl}\dfrac{285}{228}&=&\dfrac{285\div 57}{228\div 57}\\ \\&=&\dfrac{5}{4}\end{array}$

Ainsi, $\ \boxed{\dfrac{285}{228}=\dfrac{5}{4}}$

I.2. Simplification

Simplifier une fraction, c'est la rendre irréductible. Ainsi, on doit trouver une fraction égale à la fraction donnée en divisant le numérateur et le dénominateur par leur $PGCD.$

Exemple :

simplifions $\ \dfrac{120}{24}\;;\ \dfrac{56}{63} $ et $\ \dfrac{31}{30}$

On a :

$\left.\begin{array}{rcl} 120&=&2^{3}\times 3\times 5\\24&=&2^{3}\times 3\end{array}\right\rbrace\ \text{ alors, }\ PGCD(120\;;\ 24)=2^{3}\times 3=24$

Donc,

$\begin{array}{rcl}\dfrac{120}{24}&=&\dfrac{120\div 24}{24\div 24}\\ \\&=&\dfrac{5}{1}\\ \\&=&5\end{array}$

D'où, $\ \boxed{\dfrac{120}{24}=5}$

$\left.\begin{array}{rcl} 56&=&2^{3}\times 7\\63&=&3^{2}\times 7\end{array}\right\rbrace\ \text{ donc, }\ PGCD(56\;;\ 63)=7$

Par suite,

$\begin{array}{rcl}\dfrac{56}{63}&=&\dfrac{56\div 7}{63\div 7}\\ \\&=&\dfrac{8}{9}\end{array}$

D'où, $\ \boxed{\dfrac{56}{63}=\dfrac{8}{9}}$

On sait que 31 et 30 sont premiers entre eux donc, $PGCD(31\;;\ 30)=1.$ Ainsi, $\dfrac{31}{30}$ est une fraction déjà simplifiée donc, irréductible.

II. Addition et soustraction des fractions

II.1. Fractions ayant le même dénominateur

Pour faire l'addition ou la soustraction de deux fractions avec le même dénominateur, on fait une addition ou une soustraction des numérateurs et on conserve le dénominateur.

D'une manière générale, si $\ (a\;,\ b\;,\ c\;,\ e\;,\ k\;,\ f)\in\mathbb{R}$, on a :

$$\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}\quad\text{et}\quad\dfrac{e}{f}-\dfrac{k}{f}=\dfrac{e-k}{f}$$

Exemples :

$\ a=2\;,\ b=6\;,\ c=5\;,\ e=9\;,\ k=-12\;,\ f=7$

Application

$\begin{array}{rcl}\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}&=&\dfrac{2}{5}+\dfrac{6}{5}\\ \\&=&\dfrac{2+6}{5}\\ \\&=&\dfrac{8}{5}\end{array}$

Donc, $\ \boxed{\dfrac{2}{5}+\dfrac{6}{5}=\dfrac{8}{5}}$

$\begin{array}{rcl}\dfrac{e}{f}-\dfrac{k}{f}&=&\dfrac{9}{7}-\dfrac{-12}{7}\\ \\&=&\dfrac{9-(-12)}{7}\\ \\&=&\dfrac{9+12}{7}\\ \\&=&\dfrac{21}{7}\end{array}$

Ainsi, $\ \boxed{\dfrac{9}{7}-\dfrac{-12}{7}=\dfrac{21}{7}}$

II.2. Fractions n'ayant pas le même dénominateur

Pour faire l'addition ou la soustraction de fractions n'ayant pas le même dénominateur, on réduit au même dénominateur puis on calcule.

Pour réduire au même dénominateur on utilise le $PPCM$ qui sera le dénominateur commun à ces fractions.

Exemples :

$\ \dfrac{56}{35}+\dfrac{28}{45}\;;\quad 5-\dfrac{12}{60}$

On a : $35=5\times 7\ $ et $\ 45=3^{2}\times 5$

Donc, $PPCM(35\;;\ 45)=5\times 7\times 3^{2}=315$

Alors, 315 sera le dénominateur commun.

Ainsi, $\dfrac{56}{35}=\dfrac{56\times 9}{35\times 9}=\dfrac{504}{315}\ $ et $\ \dfrac{28}{45}=\dfrac{28\times 7}{45\times 7}=\dfrac{193}{315}$

Par suite,

$\begin{array}{rcl}\dfrac{56}{35}+\dfrac{28}{45}&=&\dfrac{504}{315}+\dfrac{193}{315}\\ \\&=&\dfrac{504+193}{315}\\ \\&=&\dfrac{697}{315}\end{array}$

D'où, $\ \boxed{\dfrac{56}{35}+\dfrac{28}{45}=\dfrac{697}{315}}$

On sait que : $5-\dfrac{12}{60}=\dfrac{5}{1}-\dfrac{12}{60}$

Or, $60=2^{2}\times 3\times 5$ donc,

$PPCM(1\;;\ 60)=2^{2}\times 3\times 5=60$

Ainsi, $\dfrac{5}{1}=\dfrac{5\times 60}{1\times 60}=\dfrac{300}{60}$

Par suite,

$\begin{array}{rcl} 5-\dfrac{12}{60}&=&\dfrac{300}{60}-\dfrac{12}{60}\\ \\&=&\dfrac{300-12}{60}\\ \\&=&\dfrac{288}{60}\end{array}$

D'où, $\ \boxed{5-\dfrac{12}{60}=\dfrac{288}{60}}$

Remarque

D'une manière générale, l'addition ou la soustraction des fractions donne :

$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}$$

Exemple :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{56}{35}+\dfrac{28}{45}&=&\dfrac{56\times 45+28\times 35}{35\times 45}\\ \\&=&\dfrac{2520+900}{1575}\\ \\&=&\dfrac{3420}{1575}\\ \\&=&\dfrac{3420\div 5}{1575\div 5}\\ \\&=&\dfrac{684}{315}\end{array}$

Ainsi, $\ \boxed{\dfrac{56}{35}+\dfrac{28}{45}=\dfrac{684}{315}}$

III. Multiplication de deux fractions

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

D'une manière générale, on a :

$$\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}$$

Remarque

Pour multiplier un nombre entier naturel par une fraction, on le multiplie par le numérateur.

D'une manière générale, on a :

$$\dfrac{a}{b}\times c=\dfrac{ac}{b}$$

IV. Division d'une fraction par un entier naturel

Pour diviser une fraction par un entier, on multiplie son dénominateur par l'entier en question.

D'une manière générale, on a :

$$\dfrac{\dfrac{a}{b}}{c}=\dfrac{a}{bc}$$

Application

Calculer $\ A=\dfrac{11}{3}\times\left(5+\dfrac{4}{9}\right)-\left(\dfrac{3}{7}+\dfrac{5}{3}\right)\times 5$

On a :

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{11}{3}\times\left(5+\dfrac{4}{9}\right)-\left(\dfrac{3}{7}+\dfrac{5}{3}\right)\times 5\\ \\&=&\dfrac{11}{3}\times\left(\dfrac{5\times 9}{1\times 9}+\dfrac{4}{9}\right)-\left(\dfrac{3\times 3}{7\times 3}+\dfrac{5\times 7}{3\times 7}\right)\times 5\\ \\&=&\dfrac{11}{3}\times\left(\dfrac{45+4}{9}\right)-\left(\dfrac{9+35}{21}\right)\times 5\\ \\&=&\dfrac{11}{3}\times\dfrac{49}{9}-\dfrac{44}{21}\times 5\\ \\&=&\dfrac{11\times 49}{3\times 9}-\dfrac{44\times 5}{21}\\ \\&=&\dfrac{539}{27}-\dfrac{220}{21}\\ \\&=&\dfrac{539\times 21}{27\times 21}-\dfrac{220\times 27}{21\times 27}\\ \\&=&\dfrac{11319}{567}-\dfrac{5940}{567}\\ \\&=&\dfrac{11319-5940}{567}\\ \\&=&\dfrac{5379}{567}\\ \\&=&\dfrac{5379\div 3}{567\div 3}\\ \\&=&\dfrac{1793}{189}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{A=\dfrac{1793}{189}}$

V. Comparaison de fractions

V.1. Fractions avec même dénominateur

Pour deux fractions ayant le même dénominateur, la plus grande est celle avec le plus grand numérateur.

Exemple :

$\ \dfrac{12500}{22}<\dfrac{20300}{22}\ $ car 12500 est inférieur à 20300.

V.2. Fractions avec même numérateur

Pour deux fractions ayant le même numérateur, la plus grande est celle avec le plus petit dénominateur.

Exemple :

$\ \dfrac{36}{10}>\dfrac{36}{27}\ $ car $\ 10<27$

$\dfrac{5000}{2}>\dfrac{5000}{5}\ $ car 2 est inférieur à 5

V.3. Fractions totalement différentes

Pour comparer deux fractions n'ayant pas le même numérateur ni le même dénominateur, on réduit au même dénominateur et on compare.

Application

Je compare $\ \dfrac{14}{7}\ $ et $\ \dfrac{30}{17}$

En réduisant au même dénominateur, on obtient :

$\dfrac{14}{7}=\dfrac{14\times 17}{7\times 17}=\dfrac{238}{119}$

$\dfrac{30}{17}=\dfrac{30\times 7}{17\times 7}=\dfrac{210}{119}$

Or, $\ \dfrac{238}{119}>\dfrac{210}{119}\ $ donc, $\dfrac{14}{7}>\dfrac{30}{17}$

VI. Comparaison d'une fraction à $1$

Pour une fraction donnée :

$-\ \ $ si le numérateur est plus petit que le dénominateur alors, la fraction est plus petite que 1

$-\ \ $ si le numérateur est égal au dénominateur alors, la fraction est égale à 1

$-\ \ $ si le numérateur est supérieur au dénominateur alors, la fraction est plus grande que 1

VII. Encadrement

La fraction $\dfrac{22}{7}$ est approximativement égale à :

$$3,142857142857142857.....$$

Ainsi, $3\;;\quad 3,1\;;\quad 3,14\;;\quad 3,142...$ sont respectivement les valeurs par défaut de $\dfrac{22}{7}$ à l'unité, au dixième près, au centième près, de même que $4\;;\quad 3,2\;;\quad 3,15\;;\quad 3,23\;;\quad 3,145$ sont respectivement les valeurs par excès de $\dfrac{22}{7}.$ On a finalement,

$$3<\pi<4$$

Tous ces cas sont des encadrements de $\pi$ à l'unité précisée.

Application

On donne : $A=\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{7}{6}$

1) Calculer $A$ en le donnant sous la forme irréductible

2) Encadrer ce résultat à l'unité près, au dixième et au millième

Solution

1) Soit $A=\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{7}{6}$, on a :

$\begin{array}{rcl} A=\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{7}{6}&=&\dfrac{2+4}{3}+\dfrac{7}{6}\\ \\&=&\dfrac{6}{3}+\dfrac{7}{6}\\ \\&=&\dfrac{6\times 6}{3\times 6}+\dfrac{7\times 3}{6\times 3}\\ \\&=&\dfrac{36}{18}+\dfrac{21}{18}\\ \\&=&\dfrac{57}{18}\end{array}$

Comme $57=3\times 19\ $ et $\ 18=2\times 3^{2}$ alors, $PGCD(57\;;\ 18)=3$

Donc, $\dfrac{57}{18}=\dfrac{57\div 3}{18\div 3}=\dfrac{19}{6}$

D'où, $\boxed{A=\dfrac{19}{6}}$

2) La fraction $\dfrac{19}{6}$ est approximativement égale à $3,1666666666666....$

Ainsi,

$3<A<4$ est un encadrement de $A$ à l'unité près

$3,1<A<3,2$ est un encadrement de $A$ au dixième près

$3,166<A<3,167$ est un encadrement de $A$ au millième près