Solution des exercices : Gravitation universelle - Ts
Classe:
Terminale
Exercice 1
1) Calcul de la valeur de l'intensité g du champ de pesanteur à l'altitude h
g=g0R2(R+h)2=9.8×(6.4⋅106)2(6.4⋅106+3.6⋅107)2⇒g=0.22m⋅s−2
2) Bilan des forces appliquées au satellite
Le satellite est soumis à la force de gravitation :
→F=kMmr2→n
La vitesse du satellite
La deuxième loi de Newton s'écrit :
→F=m→a⇒kMmr2→n=m→a⇒→a=kMr2→n
En projetant la relation dans le repère de Frenet (S, →u, →n)
kMmr2=man=mv2r⇒v=√kMr⇒v=√6.67⋅10−11×5.97⋅10246.4⋅106+3.6⋅107⇒v=3.1⋅103m⋅s−1
3) Détermination de la période du mouvement
T=2π(R+h)v=2π(6.4⋅106+3.6⋅107)3.1⋅103⇒T=86⋅103s
Exercice 2
1.1.1 Expression de l'intensité F0 de la force exercée par la Terre sur un corps ponctuel de masse m=1Kg placé à surface
F0=GmMTR2T
1.1.2 a) Expression de la masse MT de la Terre en fonction de g0, RT et G
F0=GmMTR2T=mg0⇒MT=g0R2TG
b) Calcul de la masse de la Terre
MT=g0R2TG=9.8×(6370⋅103)26.67⋅10−11⇒MT=5.96⋅1024kg
1.2 Montrons qu'a l'altitude h au-dessus de la Terre, l'intensité du champ de gravitation est donnée par la relation :
g=g0R2T(RT+h)2
A la distance r :
g=GMTr2
A la surface de la Terre :
g0=GMTR2T⇒GMT=g0R2T
A l'altitude h :
g=GMT(RT+h)2⇒g=g0R2T(RT+h)2
2.1 Montrons que le mouvement du satellite est uniforme
− Système : le satellite
− Référentiel d'étude : terrestre
− Bilan des forces appliquées : la Force gravitationnelle →F
La deuxième loi de Newton
→F=m→a⇒−GMmr2→u=m→a
⇒→a=−GMr2→u
En projetant la relation dans le repère (S, →ut, →un)
a=an⇒at=dvdt=0⇒v=cte
Le mouvement du satellite est donc uniforme
2.2 Établissement en fonction g0, RT et h
2.2.1 de l'expression de la vitesse v du satellite ;
a=an⇒GMr2=v2r⇒v2=GMr⇒v2=g0R2TRT+h⇒v=√g0R2TRT+h
2.2.2 de l'expression de la période T du satellite ;
T=2πrv=2π(RT+h)√RT+hg0R2T=2π√(RT+h)3g0R2T
2.3 Calcul de v et T
v=√g0R2TRT+h=√9.8×(6370⋅103)26370⋅103+300⋅103⇒v=7.7⋅102m⋅s−1
T=2π(RT+h)v=2π(6370⋅103+300⋅103)7.7⋅102⇒T=54⋅103s
2.4.1 Montrons que le rapport T2r3 est égal à un constante .
T=2π√(RT+h)3g0R2T or, r=RT+h donc,
T=2π√r3g0R2T⇒T2=4π2×r3g0R2T⇒T2r3=4π2g0R2T = cte
2.4.2 Exprimer le rapport T2r3 en fonction de MT et G
T=2π√r3g0R2T or GMT=g0R2T
⇒T2r3=4π2GMT=cte
2.4.3 Calculer la masse MT de la Terre.
T2r3=4π2GMT⇒MT=4π2r3GT2=4π2(RT+h)3GT2=4π2(6370⋅103+300⋅103)36.67⋅10−11×(54⋅103)2
Cette valeur n'est pas compatible avec celle de la question 1.1.2
Exercice 3
1.1 Expression de la vitesse V de (S) en fonction de l'intensité G0 du champ de gravitation du sol, de R et r
an=GMr2=v2r⇒v=√GMr or G0R2=GM⇒v=√G0R2r
1.2 Expression de la période T du mouvement.
vT=2πr⇒T=2πrv⇒T=2πr√rG0R2⇒T=2π√r3G0R2
Calculer de T
T=2π√r3G0R2=2π√(8000⋅103)39.8×(6400⋅103)2⇒T=7.1⋅103s
2.1 Montrons que le travail de la force gravitation lors du déplacement du sol jusqu'à l'orbite de rayon r est donné par :
W=mG0R2(1r−1R)
dw=−fdr=−GmMr2dr⇒W=−∫rRGmMr2dr=[GmMr]rR⇒W=mGM(1r−1R)=mG0R2(1r−1R)
avec G0R2=GM
2.2 Expression de l'énergie potentielle du système Terre-satellite en fonction de G0, m, r
ΔEp=−W⇒Ep(r)−Ep(R)=−mG0R2(1r−1R)⇒Ep(r)=−mG0R21r+cte
Ep(R)=−mG0R21R+cte⇒cte=mG0R21R⇒Ep(r)=−mG0R2(1r−1R)
2.3 Expression de l'énergie cinétique de (S) en fonction de G0, m, r et R
EC=12mv2=12m(√G0R2r)2=12mG0R2r
Expression de l'énergie mécanique E
Em=EC+Ep=12mG0R2r−mG0R2(1r−1R)⇒Em=mG0R2(1R−12r)
3.1 Expression de la variation dv de la vitesse et montrons que dv=−πTdr
T=2π√r3G0R2⇒T24π2=r3G0R2⇒4π2T2=G0R2r3⇒v2=G0R2r⇒dv2dr=ddr(G0R2r)⇒2vdvdr=−G0R2r2⇒22πrTdvdr=−G0R2r2⇒4πTdv=−G0R2r3dr⇒4πTdv=−4π2T2dr⇒dv=−πTdr
3.2 La variation de dr est en réalité due au travail dwf des forces de frottements exercées par les couches raréfiées de l'atmosphère pendant le déplacement.
Du signe de dwf, déduire l'effet de ces forces sur l'altitude et la vitesse de (S).
dwf=−fdr⇒dr=−dwff
dwf>0 ⇒dr<0 L'altitude diminue.
dv=−πTdr⇒dr=−πTdv⇒dwf=fπTdv⇒dv=Tπdwff
dwf>0 ⇒dv>0 La vitesse augmente.
Exercice 4
1. Expression littérale du champ de gravitation G0S à la surface du Soleil.
G0S=GMSR2S
Calcul de la valeur numérique du champ de gravitation G0S.
G0S=GMSR2S=6.67⋅10−11×2.0⋅1030(7.0⋅108)2
⇒G0S=2.72⋅102m⋅s−2
2. Expression littérale du champ de gravitation GS en un point de l'orbite terrestre autour du Soleil.
GS=GMSr2
Calcul de la valeur du champ de gravitation G0S
GS=GMSr2=6.67⋅10−11×2.0⋅1030(1.5⋅108)2
⇒GS=59.3⋅102m⋅s−2
3. Comparons la valeur du champ de gravitation GS à celle G0T du champ de gravitation terrestre au niveau du sol.
GSG0S=59.3⋅1022.72⋅102⇒GSG0S≈22
⇒GS≈22G0S
Conclusion :
L'intensité du champ de gravitation augmente lorsque l'altitude diminue
4. Calcul de la valeur du champ de gravitation lunaire G0L au niveau de son sol
GOL=GMLR2OL
G0L=GMLR0L2 ;
G0T=GMTR20T
G0LG0T=GMLR0L2GMTR20T=MLMT×R20TR20L=181×(113)2RightarrowG0L=181×(113)2×9.8⇒G0L=1.62NKg−1
5) a calcul de la distance d du point M remarquable au centre de la terre.
GT=GMTd2 ;
GL=GML(D−d)2
GT=GL⇒GMTd2=GML(D−d)2⇒(D−d)2d2=MLMT⇒D−dd=√MLMT⇒d√MLMT=D−dd(1+√MLMT)=D⇒d=D(1+√MLMT)=3800001+√181⇒d=342000km
b) Domaine ou l'action gravitationnelle d'un des deux astres est prépondérante x<d l'action gravitationnelle terrestre est prépondérante
Exercice 5
1) Lancement d'un satellite
1)a) Établissement de l'expression de la vitesse du point S de la surface de la surface terrestre en fonction de la vitesse angulaire ω de rotation de la terre, du rayon terrestre RT et de la latitude λ du lieu du lancement.
v=rλ=RTλcosλ
1)b) Le champ de tir le plus favorable pour le lancement du satellite.
Baikonour au Kazakhstan est le champ de tir le plus favorable car la vitesse de lancement du satellite est minimale.
1)c) Expression de l'énergie potentielle de gravitation d'un satellite en fonction de son altitudez
EP(r)=−GmMTr+cte
Ep(r=∞)=−GmMT∞+cte=0⇒cte=0⇒Ep(r)=−GmMTr
A l'altitude z
\begin{eqnarray} r&=&R_{T}+Z\nonumber\\\\\Rightarrow\,E_{P_{{Z}}&=&\dfrac{GmM_{T}}{R_{T}+Z} \end{eqnarray}
Expression de l'énergie mécanique du satellite sur sa base de lancement dans le référentiel géocentrique
Em=Ec+Ep=11mV2−GmMTr=12m(RTΩcosλ)2−GmMTRTcosλ
1)d) Expression de la vitesse de libération V1
Elle correspond à la vitesse minimale pour le satellite quitte l'attraction terrestre avec une énergie mécanique nulle dans le cas limite
Em=12mV2L−GmMTRTcosλ⇒VL=√2GMTRTcosλ
Calcul de la vitesse de libération v1
VL=√2GMTRTcosλ=√2×6.67⋅10−11×5.97⋅10246.38⋅106×cos5.23∘⇒VL=11.2⋅103m⋅s−1
2) Satellite artificiel en orbite
2) a) Montrons que le mouvement du satellite est uniforme
Système : le satellite
Référentiel d'étude : terrestre
Bilan des forces appliquées : la Force gravitationnelle →F
La deuxième loi de Newton s'écrit :
→F=m→a⇒−GMmr2→u=m→a⇒→a=−GMr2→u
En projetant la relation dans le repère (S, →ut, →un).
a=an⇒at=dvdt=0⇒v=cte
Le mouvement du satellite est donc uniforme.
Établissement de l'expression de la vitesse du satellite en fonction de son altitude.
an=GMr2=v2r⇒v=√GMror à l'altitude z r=RT+z⇒v=√GMRT+z
La troisième loi de Kepler liant la période de rotation T du satellite au rayon r de sa trajectoire
T=2πrv=2πr√rGMT⇒T2=4π2r3GMT⇒T2r3=4π2GMT
2) b) Calcul du rayon de l'orbite d'un satellite géostationnaire
T2r3=4π2GMT⇒r=3√GMTT24π2=3√6.67⋅10−11×5.97⋅1024×(24×3600)24π2⇒r=4.2⋅107m
2) c) Expression du rayon r et de la vitesse v du satellite en fonction du temps
Em=EC+EP=12mv2−GmMTr=12m(√GMTr)2−GmMTr=12GmMTr−GmMTr=−GmMT2r⇒Em=−GmMT2r=Em0(1+bt)⇒r=−GmMTEm0(1+bt)
EC=−Em=−Em0(1+bt)⇒12mv2=−Em0(1+bt)⇒v=√−2Em0(1+bt)m
Le rayon r diminue lorsque le temps s'écoule ; par contre la vitesse augmente avec le temps
EC=−Em=−Em0(1+bt)
EP=2Em=2Em0(1+bt)
L'énergie cinétique augmente ; tandis que l'énergie potentielle diminue.
L'énergie perdue se trouve sous forme d'énergie thermique.
Exercice 6
1) L'accélération de la fusée
F=ma⇒a=Fm=7.5⋅10540⋅103⇒a=18.75m⋅s−2
2) Expression la vitesse v et la période T du mouvement du satellite en fonction de K, r et M.
an=KMr2=v2r⇒v=√KMr
T=2πrv=2πr√rKM⇒T=2π√r3KM
Déduisons que T2R3= constante
T=2π√r3KM⇒T2=4π2r3KM⇒T2r3=4π2KM
3) La valeur de la masse de la Terre.
Le graphe représentant T2=f(r3) est une droite linéaire de pente :
a=ΔT2Δr3=4π2KM⇒M=4π2Δr3KΔT2=4π25.5⋅1022−06.67⋅10−11(55⋅108−0)
M=5.92⋅1024kg
4) a) Expression des énergies potentielles EP, EC et totale ET du satellite en fonction de la masse M de la Terre, de la masse m du satellite et de r.
Commentaires
Thioune (non vérifié)
mer, 02/03/2021 - 14:21
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Élève
Diatta (non vérifié)
sam, 02/27/2021 - 23:32
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Merci beaucoup
Anonyme (non vérifié)
lun, 03/22/2021 - 14:55
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Comment telecharger la
Anonyme (non vérifié)
mer, 03/24/2021 - 23:24
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Vraiment j'aime votre page ..
seynabou (non vérifié)
jeu, 03/25/2021 - 09:14
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Télécharger la correction
Diaw// (non vérifié)
ven, 01/14/2022 - 23:56
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Question
Diambodji Camara (non vérifié)
jeu, 02/22/2024 - 10:16
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Diambodji Camara (non vérifié)
jeu, 02/22/2024 - 10:16
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