Solution des exercices : Gravitation universelle - Ts

Classe: 
Terminale
 

Exercice 1

1) Calcul de la valeur de l'intensité g du champ de pesanteur à l'altitude h
 
g=g0R2(R+h)2=9.8×(6.4106)2(6.4106+3.6107)2g=0.22ms2
 
2) Bilan des forces appliquées au satellite
 
 
Le satellite est soumis à la force de gravitation :
 
F=kMmr2n
 
La vitesse du satellite
 
La deuxième loi de Newton s'écrit :
 
F=makMmr2n=maa=kMr2n
 
En projetant la relation dans le repère de Frenet (S, u, n)
 
kMmr2=man=mv2rv=kMrv=6.671011×5.9710246.4106+3.6107v=3.1103ms1
 
3) Détermination de la période du mouvement
 
T=2π(R+h)v=2π(6.4106+3.6107)3.1103T=86103s

Exercice 2

1.1.1 Expression de l'intensité F0 de la force exercée par la Terre sur un corps ponctuel de masse m=1Kg placé à surface
 
F0=GmMTR2T
 
1.1.2 a) Expression de la masse MT de la Terre en fonction de g0, RT et G
 
F0=GmMTR2T=mg0MT=g0R2TG
 
b) Calcul de la masse de la Terre
 
MT=g0R2TG=9.8×(6370103)26.671011MT=5.961024kg
 
1.2 Montrons qu'a l'altitude h au-dessus de la Terre, l'intensité du champ de gravitation est donnée par la relation :
 
g=g0R2T(RT+h)2
 
A la distance r :
 
g=GMTr2
 
A la surface de la Terre :
 
g0=GMTR2TGMT=g0R2T
 
A l'altitude h :
 
g=GMT(RT+h)2g=g0R2T(RT+h)2
 
2.1 Montrons que le mouvement du satellite est uniforme
 
  Système : le satellite
 
  Référentiel d'étude : terrestre
 
  Bilan des forces appliquées : la Force gravitationnelle F
 
La deuxième loi de Newton
 
F=maGMmr2u=ma
 
a=GMr2u
 
En projetant la relation dans le repère (S, ut, un)
 
 

a=anat=dvdt=0v=cte

 
Le mouvement du satellite est donc uniforme
 
2.2 Établissement en fonction g0, RT et h
 
2.2.1 de l'expression de la vitesse v du satellite ;
 
a=anGMr2=v2rv2=GMrv2=g0R2TRT+hv=g0R2TRT+h
 
2.2.2 de l'expression de la période T du satellite ;
 
T=2πrv=2π(RT+h)RT+hg0R2T=2π(RT+h)3g0R2T
 
2.3 Calcul de v et T
 
v=g0R2TRT+h=9.8×(6370103)26370103+300103v=7.7102ms1
 
T=2π(RT+h)v=2π(6370103+300103)7.7102T=54103s
 
2.4.1 Montrons que le rapport T2r3 est égal à un constante .
 
T=2π(RT+h)3g0R2T or,  r=RT+h donc,
 
T=2πr3g0R2TT2=4π2×r3g0R2TT2r3=4π2g0R2T = cte
 
2.4.2 Exprimer le rapport T2r3 en fonction de MT et G
 
T=2πr3g0R2T or GMT=g0R2T
 
T2r3=4π2GMT=cte
 
2.4.3 Calculer la masse MT de la Terre.
 
T2r3=4π2GMTMT=4π2r3GT2=4π2(RT+h)3GT2=4π2(6370103+300103)36.671011×(54103)2
 
Cette valeur n'est pas compatible avec celle de la question 1.1.2

Exercice 3

1.1 Expression de la vitesse V de (S) en fonction de l'intensité G0 du champ de gravitation du sol, de R et r
 
an=GMr2=v2rv=GMr or G0R2=GMv=G0R2r
 
1.2 Expression de la période T du mouvement.
 
vT=2πrT=2πrvT=2πrrG0R2T=2πr3G0R2
 
Calculer de T
 
T=2πr3G0R2=2π(8000103)39.8×(6400103)2T=7.1103s
 
2.1 Montrons que le travail de la force gravitation lors du déplacement du sol jusqu'à l'orbite de rayon r est donné par :
 
W=mG0R2(1r1R)
dw=fdr=GmMr2drW=rRGmMr2dr=[GmMr]rRW=mGM(1r1R)=mG0R2(1r1R)
 
avec G0R2=GM
 
2.2 Expression de l'énergie potentielle du système Terre-satellite en fonction de G0, m, r
 
ΔEp=WEp(r)Ep(R)=mG0R2(1r1R)Ep(r)=mG0R21r+cte
 
Ep(R)=mG0R21R+ctecte=mG0R21REp(r)=mG0R2(1r1R)
 
2.3 Expression de l'énergie cinétique de (S) en fonction de G0, m, r et R
 
EC=12mv2=12m(G0R2r)2=12mG0R2r
 
Expression de l'énergie mécanique E
 
Em=EC+Ep=12mG0R2rmG0R2(1r1R)Em=mG0R2(1R12r)
 
3.1 Expression de la variation dv de la vitesse et montrons que dv=πTdr
 
T=2πr3G0R2T24π2=r3G0R24π2T2=G0R2r3v2=G0R2rdv2dr=ddr(G0R2r)2vdvdr=G0R2r222πrTdvdr=G0R2r24πTdv=G0R2r3dr4πTdv=4π2T2drdv=πTdr
 
3.2 La variation de dr est en réalité due au travail dwf des forces de frottements exercées par les couches raréfiées de l'atmosphère pendant le déplacement. 
 
Du signe de dwf, déduire l'effet de ces forces sur l'altitude et la vitesse de (S).
 
dwf=fdrdr=dwff
 
dwf>0 dr<0 L'altitude diminue.
 
dv=πTdrdr=πTdvdwf=fπTdvdv=Tπdwff
 
dwf>0 dv>0 La vitesse augmente.

Exercice 4

1. Expression littérale du champ de gravitation G0S à la surface du Soleil.
 
G0S=GMSR2S
 
Calcul de la valeur numérique du champ de gravitation G0S.
 
G0S=GMSR2S=6.671011×2.01030(7.0108)2
 
G0S=2.72102ms2
 
2. Expression littérale du champ de gravitation GS en un point de l'orbite terrestre autour du Soleil.
 
GS=GMSr2
 
Calcul de la valeur du champ de gravitation G0S
 
GS=GMSr2=6.671011×2.01030(1.5108)2
 
GS=59.3102ms2
 
3. Comparons la valeur du champ de gravitation GS à celle G0T du champ de gravitation terrestre au niveau du sol.
 
GSG0S=59.31022.72102GSG0S22
 
GS22G0S

Conclusion :

L'intensité du champ de gravitation augmente lorsque l'altitude diminue
 
4. Calcul de la valeur du champ de gravitation lunaire G0L au niveau de son sol
GOL=GMLR2OL
 
G0L=GMLR0L2
 
G0T=GMTR20T
 
G0LG0T=GMLR0L2GMTR20T=MLMT×R20TR20L=181×(113)2RightarrowG0L=181×(113)2×9.8G0L=1.62NKg1
 
5) a calcul de la distance d du point M remarquable au centre de la terre.
 
 
GT=GMTd2 ;
 
GL=GML(Dd)2
 
GT=GLGMTd2=GML(Dd)2(Dd)2d2=MLMTDdd=MLMTdMLMT=Ddd(1+MLMT)=Dd=D(1+MLMT)=3800001+181d=342000km
 
b) Domaine ou l'action gravitationnelle d'un des deux astres est prépondérante x<d l'action gravitationnelle terrestre est prépondérante

Exercice 5

 
1) Lancement d'un satellite
 
1)a) Établissement de l'expression de la vitesse du point S de la surface de la surface terrestre en fonction de la vitesse angulaire ω de rotation de la terre, du rayon terrestre RT et de la latitude λ du lieu du lancement.
 
v=rλ=RTλcosλ
 
1)b) Le champ de tir le plus favorable pour le lancement du satellite.
 
Baikonour au Kazakhstan est le champ de tir le plus favorable car la vitesse de lancement du satellite est minimale.
 
1)c) Expression de l'énergie potentielle de gravitation d'un satellite en fonction de son altitudez
 
EP(r)=GmMTr+cte
 
Ep(r=)=GmMT+cte=0cte=0Ep(r)=GmMTr
 
A l'altitude z
 
\begin{eqnarray} r&=&R_{T}+Z\nonumber\\\\\Rightarrow\,E_{P_{{Z}}&=&\dfrac{GmM_{T}}{R_{T}+Z} \end{eqnarray}
 
Expression de l'énergie mécanique du satellite sur sa base de lancement dans le référentiel géocentrique
 
Em=Ec+Ep=11mV2GmMTr=12m(RTΩcosλ)2GmMTRTcosλ
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          
1)d) Expression de la vitesse de libération V1
 
Elle correspond à la vitesse minimale pour le satellite quitte l'attraction terrestre avec une énergie mécanique nulle dans le cas limite
 
Em=12mV2LGmMTRTcosλVL=2GMTRTcosλ
 
Calcul de la vitesse de libération v1
 
VL=2GMTRTcosλ=2×6.671011×5.9710246.38106×cos5.23VL=11.2103ms1
 
2) Satellite artificiel en orbite
 
2) a) Montrons que le mouvement du satellite est uniforme
 
Système : le satellite
 
Référentiel d'étude : terrestre
 
Bilan des forces appliquées : la Force gravitationnelle F
 
La deuxième loi de Newton s'écrit :
 
F=maGMmr2u=maa=GMr2u
 
En projetant la relation dans le repère (S, ut, un).
 
a=anat=dvdt=0v=cte
 
Le mouvement du satellite est donc uniforme.
 
Établissement de l'expression de la vitesse du satellite en fonction de son altitude.
 
an=GMr2=v2rv=GMror à l'altitude z r=RT+zv=GMRT+z
 
La troisième loi de Kepler liant la période de rotation T du satellite au rayon r de sa trajectoire
 
T=2πrv=2πrrGMTT2=4π2r3GMTT2r3=4π2GMT
 
2) b) Calcul du  rayon de l'orbite d'un satellite géostationnaire
 
T2r3=4π2GMTr=3GMTT24π2=36.671011×5.971024×(24×3600)24π2r=4.2107m
 
2) c) Expression du rayon r et de la vitesse v du satellite en fonction du temps
 
Em=EC+EP=12mv2GmMTr=12m(GMTr)2GmMTr=12GmMTrGmMTr=GmMT2rEm=GmMT2r=Em0(1+bt)r=GmMTEm0(1+bt)
 
EC=Em=Em0(1+bt)12mv2=Em0(1+bt)v=2Em0(1+bt)m
 
Le rayon r diminue lorsque le temps s'écoule ; par contre la vitesse augmente avec le temps 
 
EC=Em=Em0(1+bt)
 
EP=2Em=2Em0(1+bt)
 
L'énergie cinétique augmente ; tandis que l'énergie potentielle diminue.
 
L'énergie perdue se trouve sous forme d'énergie thermique.

Exercice 6

1) L'accélération de la fusée 
 
F=maa=Fm=7.510540103a=18.75ms2
 
2) Expression la vitesse v et la période T du mouvement du satellite en fonction de K, r et M.
 
an=KMr2=v2rv=KMr
 
T=2πrv=2πrrKMT=2πr3KM
 
Déduisons que T2R3= constante
 
T=2πr3KMT2=4π2r3KMT2r3=4π2KM
 
3) La valeur de la masse de la Terre.
 
 
Le graphe représentant T2=f(r3) est une droite linéaire de pente :
 
a=ΔT2Δr3=4π2KMM=4π2Δr3KΔT2=4π25.5102206.671011(551080)
 
M=5.921024kg
 
4) a) Expression des énergies potentielles EP, EC et totale ET du satellite en fonction de la masse M de la Terre, de la masse m du satellite et de r. 

 

Commentaires

C’est bien

Merci beaucoup

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Vraiment j'aime votre page ....

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Bonsoir Au niveau de la correction de l’exercice 3 partie 3b (Du signe de dw , déduire l'effet de ces forces sur l'altitude et la vitesse de ) est-ce que dw est vraiment positif alors qu’il s’agit de la variation des forces de frottement alors qu’il augmente ? Je pense que wf(infini)>wf(a l’instant t) donc dw<0 d’ou dr >0 donc l’altitude augmente et avec la même Démarche dv diminue sinon le satellite ne pourra pas sortir de l’atmosphère terrestre Merci

Vous avez de très bonnes exercices

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