Solution des exercices : Gravitation universelle - Ts

Classe: 
Terminale
 

Exercice 1

1) Calcul de la valeur de l'intensité $g$ du champ de pesanteur à l'altitude $h$
 
$\begin{array}{rcl} g&=&g_{0}\dfrac{R^{2}}{(R+h)^{2}}\\\\&=&9.8\times\dfrac{(6.4\cdot 10^{6})^{2}}{(6.4\cdot 10^{6}+3.6\cdot 10^{7})^{2}}\\\\\Rightarrow\;g&=&0.22\,m\cdot s^{-2} \end{array}$
 
2) Bilan des forces appliquées au satellite
 
 
Le satellite est soumis à la force de gravitation :
 
$\overrightarrow{F}=k\dfrac{Mm}{r^{2}}\overrightarrow{n}$
 
La vitesse du satellite
 
La deuxième loi de Newton s'écrit :
 
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}&\Rightarrow&k\dfrac{Mm}{r^{2}}\overrightarrow{n}=m\overrightarrow{a}\\\\&\Rightarrow&\overrightarrow{a}=k\dfrac{M}{r^{2}}\overrightarrow{n} \end{array}$
 
En projetant la relation dans le repère de Frenet $\left(S\;,\ \overrightarrow{u}\;,\ \overrightarrow{n}\right)$
 
$\begin{array}{rcl} k\dfrac{Mm}{r^{2}}&=&m\,a_{n}\\\\&=&m\dfrac{v^{2}}{r}\\ \\\Rightarrow\;v&=&\sqrt{k\dfrac{M}{r}}\\\\\Rightarrow\;v&=&\sqrt{6.67\cdot 10^{-11}\times\dfrac{5.97\cdot 10^{24}}{6.4\cdot 10^{6}+3.6\cdot 10^{7}}}\\\\\Rightarrow\;v&=&3.1\cdot 10^{3}m\cdot s^{-1} \end{array}$
 
3) Détermination de la période du mouvement
 
$\begin{array}{lcl} T&=&\dfrac{2\pi(R+h)}{v}\\\\&=&\dfrac{2\pi(6.4\cdot 10^{6}+3.6\cdot 10^{7})}{3.1\cdot 10^{3}}\\ \\\Rightarrow\;T&=&86\cdot 10^{3}s \end{array}$

Exercice 2

1.1.1 Expression de l'intensité $F_{0}$ de la force exercée par la Terre sur un corps ponctuel de masse $m=1Kg$ placé à surface
 
$F_{0}=G\dfrac{mM_{T}}{R_{T}^{2}}$
 
1.1.2 a) Expression de la masse $M_{T}$ de la Terre en fonction de $g_{0}$, $R_{T}$ et $G$
 
$\begin{array}{rcl} F_{0}&=&G\dfrac{mM_{T}}{R_{T}^{2}}\\\\&=&m g_{0}\\\\\Rightarrow\;M_{T}&=&\dfrac{g_{0}R_{T}^{2}}{G} \end{array}$
 
b) Calcul de la masse de la Terre
 
$\begin{array}{rcl} M_{T}&=&\dfrac{g_{0}R_{T}^{2}}{G}\\\\&=&\dfrac{9.8\times(6370\cdot 10^{3})^{2}}{6.67\cdot 10^{-11}}\\\\\Rightarrow\;M_{T}&=&5.96\cdot 10^{24}kg \end{array}$
 
1.2 Montrons qu'a l'altitude $h$ au-dessus de la Terre, l'intensité du champ de gravitation est donnée par la relation :
 
$g=g_{0}\dfrac{R_{T}^{2}}{(R_{T}+h)^{2}}$
 
A la distance $r$ :
 
$g=G\dfrac{M_{T}}{r_{2}}$
 
A la surface de la Terre :
 
$g_{0}=G\dfrac{M_{T}}{R_{T}^{2}}\Rightarrow\;GM_{T}=g_{0}R_{T}^{2}$
 
A l'altitude $h$ :
 
$g=G\dfrac{M_{T}}{(R_{T}+h)^{2}}\Rightarrow\;g=\dfrac{g_{0}R_{T}^{2}}{(R_{T}+h)^{2}}$
 
2.1 Montrons que le mouvement du satellite est uniforme
 
$-\ $ Système : le satellite
 
$-\ $ Référentiel d'étude : terrestre
 
$-\ $ Bilan des forces appliquées : la Force gravitationnelle $\overrightarrow{F}$
 
La deuxième loi de Newton
 
$\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}\Rightarrow-G\dfrac{Mm}{r^{2}}\overrightarrow{u}=m\overrightarrow{a}$
 
$\Rightarrow\overrightarrow{a}=-G\dfrac{M}{r^{2}}\overrightarrow{u}$
 
En projetant la relation dans le repère $\left(S\;,\ \overrightarrow{u_{t}}\;,\ \overrightarrow{u_{n}}\right)$
 
 

$a=a_{n}\Rightarrow\;a_{t}=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=0\Rightarrow\;v=cte$

 
Le mouvement du satellite est donc uniforme
 
2.2 Établissement en fonction $g_{0}$, $R_{T}$ et $h$
 
2.2.1 de l'expression de la vitesse $v$ du satellite ;
 
$\begin{array}{rcl} a=a_{n}&\Rightarrow&G\dfrac{M}{r^{2}}=\dfrac{v^{2}}{r}\\\\&\Rightarrow&v^{2}=\dfrac{GM}{r}\\\\&\Rightarrow&v^{2}=\dfrac{g_{0}R_{T}^{2}}{R_{T}+h}\\ \\&\Rightarrow&v=\sqrt{\dfrac{g_{0}R_{T}^{2}}{R_{T}+h}} \end{array}$
 
2.2.2 de l'expression de la période $T$ du satellite ;
 
$\begin{array}{rcl} T&=&\dfrac{2\pi r}{v}\\\\&=&2\pi(R_{T}+h)\sqrt{\dfrac{R_{T}+h}{g_{0}R_{T}^{2}}}\\\\&=&2\pi\sqrt{\dfrac{(R_{T}+h)^{3}}{g_{0}R_{T}^{2}}} \end{array}$
 
2.3 Calcul de $v$ et $T$
 
$\begin{array}{rcl} v&=&\sqrt{\dfrac{g_{0}R_{T}^{2}}{R_{T}+h}}\\\\&=&\sqrt{\dfrac{9.8\times (6370\cdot 10^{3})^{2}}{6370\cdot 10^{3}+300\cdot 10^{3}}}\\\\\Rightarrow\;v&=&7.7\cdot 10^{2}m\cdot s^{-1} \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} T&=&\dfrac{2\pi(R_{T}+h)}{v}\\\\&=&\dfrac{2\pi(6370\cdot 10^{3}+300\cdot 10^{3})}{7.7\cdot 10^{2}}\\\\\Rightarrow\;T&=&54\cdot 10^{3}s \end{array}$
 
2.4.1 Montrons que le rapport $\dfrac{T^{2}}{r^{3}}$ est égal à un constante .
 
$T=2\pi\sqrt{\dfrac{(R_{T}+h)^{3}}{g_{0}R_{T}^{2}}}$ or, $\ r=R_{T}+h$ donc,
 
$\begin{array}{rcl} T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^{3}}{g_{0}R_{T}^{2}}}&\Rightarrow&T^{2}=4\pi^{2}\times\dfrac{r^{3}}{g_{0}R_{T}^{2}}\\\\&\Rightarrow&\dfrac{T^{2}}{r^{3}}=\dfrac{4\pi^{2}}{g_{0}R_{T}^{2}}\ =\ cte \end{array}$
 
2.4.2 Exprimer le rapport $\dfrac{T^{2}}{r^{3}}$ en fonction de $M_{T}$ et $G$
 
$T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^{3}}{g_{0}R_{T}^{2}}}$ or $GM_{T}=g_{0}R_{T}^{2}$
 
$\Rightarrow\dfrac{T^{2}}{r^{3}}=\dfrac{4\pi^{2}}{GM_{T}}=cte$
 
2.4.3 Calculer la masse $M_{T}$ de la Terre.
 
$\begin{array}{rcl} \dfrac{T^{2}}{r^{3}}&=&\dfrac{4\pi^{2}}{GM_{T}}\\\\\Rightarrow\;M_{T}&=&\dfrac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}}\\\\&=&\dfrac{4\pi^{2}(R_{T}+h)^{3}}{GT^{2}}\\\\&=&\dfrac{4\pi^{2}(6370\cdot 10^{3}+300\cdot 10^{3})^{3}}{6.67\cdot 10^{-11}\times(54\cdot 10^{3})^{2}} \end{array}$
 
Cette valeur n'est pas compatible avec celle de la question 1.1.2

Exercice 3

1.1 Expression de la vitesse $V$ de $(S)$ en fonction de l'intensité $G_{0}$ du champ de gravitation du sol, de $R$ et $r$
 
$\begin{array}{rcl} a_{n}&=&\dfrac{GM}{r^{2}}\\\\&=&\dfrac{v^{2}}{r}\\\\\Rightarrow\;v&=&\sqrt{\dfrac{GM}{r}}\text{ or }\;G_{0}R^{2}&=&GM\\\\\Rightarrow\;v&=&\sqrt{\dfrac{G_{0}R^{2}}{r}} \end{array}$
 
1.2 Expression de la période $T$ du mouvement.
 
$\begin{array}{lcl} vT=2\pi r&\Rightarrow&T=\dfrac{2\pi r}{v}\\\\&\Rightarrow&T=2\pi r\sqrt{\dfrac{r}{G_{0}R^{2}}}\\\\&\Rightarrow&T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^{3}}{G_{0}R^{2}}} \end{array}$
 
Calculer de $T$
 
$\begin{array}{rcl} T&=&2\pi\sqrt{\dfrac{r^{3}}{G_{0}R^{2}}}\\\\&=&2\pi\sqrt{\dfrac{(8\,000\cdot 10^{3})^{3}}{9.8\times(6\,400\cdot 10^{3})^{2}}}\\\\\Rightarrow\;T&=&7.1\cdot 10^{3}s \end{array}$
 
2.1 Montrons que le travail de la force gravitation lors du déplacement du sol jusqu'à l'orbite de rayon $r$ est donné par :
 
$W=mG_{0}R^{2}\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{R}\right)$
$\begin{array}{rcl} \mathrm{d}w&=&-f\mathrm{d}r\\\\&=&-\dfrac{GmM}{r^{2}}\mathrm{d}r\\\\\Rightarrow\;W&=&-\int_{R}^{r}\dfrac{GmM}{r^{2}}\mathrm{d}r\\\\&=&\left[\dfrac{GmM}{r}\right]_{R}^{r}\\\\\Rightarrow\;W&=&mGM\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{R}\right)\\\\&=&mG_{0}R^{2}\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{R}\right) \end{array}$
 
avec $G_{0}R^{2}=GM$
 
2.2 Expression de l'énergie potentielle du système Terre-satellite en fonction de $G_{0}$, $m$, $r$
 
$\begin{array}{rcl} \Delta E_{p}=-W&\Rightarrow&E_{p}(r)-E_{p}(R)=-mG_{0}R^{2}\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{R}\right)\\\\&\Rightarrow&E_{p}(r)=-mG_{0}R^{2}\dfrac{1}{r}+cte \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} E_{p}(R)=-mG_{0}R^{2}\dfrac{1}{R}+cte&\Rightarrow&cte=mG_{0}R^{2}\dfrac{1}{R}\\\\&\Rightarrow&E_{p}(r)=-mG_{0}R^{2}\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{R}\right) \end{array}$
 
2.3 Expression de l'énergie cinétique de $(S)$ en fonction de $G_{0}$, $m$, $r$ et $R$
 
$\begin{array}{rcl} E_{C}&=&\dfrac{1}{2}mv^{2}\\\\&=&\dfrac{1}{2}m\left(\sqrt{\dfrac{G_{0}R^{2}}{r}}\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{mG_{0}R^{2}}{r} \end{array}$
 
Expression de l'énergie mécanique $E$
 
$\begin{array}{rcl} E_{m}&=&E_{C}+E_{p}\\\\&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{mG_{0}R^{2}}{r}-mG_{0}R^{2}\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{R}\right)\\\\\Rightarrow\;E_{m}&=&mG_{0}R^{2}\left(\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{2r}\right) \end{array}$
 
3.1 Expression de la variation $\mathrm{d}v$ de la vitesse et montrons que $\mathrm{d}v=-\dfrac{\pi}{T}\mathrm{d}r$
 
$\begin{array}{rcl} T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^{3}}{G_{0}R^{2}}}&\Rightarrow&\dfrac{T^{2}}{4\pi^{2}}=\dfrac{r^{3}}{G_{0}R^{2}}\\\\&\Rightarrow&\dfrac{4\pi^{2}}{T^{2}}=\dfrac{G_{0}R^{2}}{r^{3}}\\\\&\Rightarrow&v^{2}=\dfrac{G_{0}R^{2}}{r}\\\\&\Rightarrow&\dfrac{\mathrm{d}v^{2}}{\mathrm{d}r}=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(\dfrac{G_{0}R^{2}}{r}\right)\\\\&\Rightarrow&2v\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}=-\dfrac{G_{0}R^{2}}{r^{2}}\\\\&\Rightarrow&2\dfrac{2\pi r}{T}\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}=-\dfrac{G_{0}R^{2}}{r^{2}}\\\\&\Rightarrow&\dfrac{4\pi}{T}\mathrm{d}v=-\dfrac{G_{0}R^{2}}{r^{3}}\mathrm{d}r\\\\&\Rightarrow&\dfrac{4\pi}{T}\mathrm{d}v=-\dfrac{4\pi^{2}}{T^{2}}\mathrm{d}r\\\\&\Rightarrow&\mathrm{d}v=-\dfrac{\pi}{T}\mathrm{d}r \end{array}$
 
3.2 La variation de $\mathrm{d}r$ est en réalité due au travail $\mathrm{d}w_{f}$ des forces de frottements exercées par les couches raréfiées de l'atmosphère pendant le déplacement. 
 
Du signe de $\mathrm{d}w_{f}$, déduire l'effet de ces forces sur l'altitude et la vitesse de $(S).$
 
$\begin{array}{rcl} \mathrm{d}w_{f}=-f\mathrm{d}r&\Rightarrow&\mathrm{d}r=-\dfrac{\mathrm{d}w_{f}}{f} \end{array}$
 
$\mathrm{d}w_{f}>0$ $\Rightarrow\mathrm{d}r<0$ L'altitude diminue.
 
$\begin{array}{rcl} \mathrm{d}v=-\dfrac{\pi}{T}\mathrm{d}r&\Rightarrow&\mathrm{d}r=-\dfrac{\pi}{T}\mathrm{d}v\\\\&\Rightarrow&\mathrm{d}w_{f}=f\dfrac{\pi}{T}\mathrm{d}v\\\\&\Rightarrow&\mathrm{d}v=\dfrac{T}{\pi}\dfrac{\mathrm{d}w_{f}}{f} \end{array}$
 
$\mathrm{d}w_{f}>0$ $\Rightarrow\mathrm{d}v>0$ La vitesse augmente.

Exercice 4

1. Expression littérale du champ de gravitation $G_{0}S$ à la surface du Soleil.
 
$G_{0S}=\dfrac{GM_{S}}{R_{S}^{2}}$
 
Calcul de la valeur numérique du champ de gravitation $G_{0S}.$
 
$G_{0S}=\dfrac{GM_{S}}{R_{S}^{2}}=\dfrac{6.67\cdot 10^{-11}\times 2.0\cdot 10^{30}}{(7.0\cdot 10^{8})^{2}}$
 
$\Rightarrow\;G_{0S}=2.72\cdot 10^{2}m\cdot s^{-2}$
 
2. Expression littérale du champ de gravitation $G_{S}$ en un point de l'orbite terrestre autour du Soleil.
 
$G_{S}=\dfrac{GM_{S}}{r^{2}}$
 
Calcul de la valeur du champ de gravitation $G_{0S}$
 
$G_{S}=\dfrac{GM_{S}}{r^{2}}=\dfrac{6.67\cdot 10^{-11}\times 2.0\cdot 10^{30}}{(1.5\cdot 10^{8})^{2}}$
 
$\Rightarrow\;G_{S}=59.3\cdot 10^{2}m\cdot s^{-2}$
 
3. Comparons la valeur du champ de gravitation $G_{S}$ à celle $G_{0T}$ du champ de gravitation terrestre au niveau du sol.
 
$\dfrac{G_{S}}{G_{0S}}=\dfrac{59.3\cdot 10^{2}}{2.72\cdot 10^{2}}\Rightarrow\dfrac{G_{S}}{G_{0S}}\approx 22$
 
$\Rightarrow\;G_{S}\approx 22G_{0S}$

Conclusion :

L'intensité du champ de gravitation augmente lorsque l'altitude diminue
 
4. Calcul de la valeur du champ de gravitation lunaire $G_{0L}$ au niveau de son sol

 

Commentaires

C’est bien

Merci beaucoup

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Vraiment j'aime votre page ....

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Bonsoir Au niveau de la correction de l’exercice 3 partie 3b (Du signe de dw , déduire l'effet de ces forces sur l'altitude et la vitesse de ) est-ce que dw est vraiment positif alors qu’il s’agit de la variation des forces de frottement alors qu’il augmente ? Je pense que wf(infini)>wf(a l’instant t) donc dw<0 d’ou dr >0 donc l’altitude augmente et avec la même Démarche dv diminue sinon le satellite ne pourra pas sortir de l’atmosphère terrestre Merci

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