Solution des exercices : Le cercle 6e

1) Un cercle a un périmètre de $15\;cm.$

 

Calculons le rayon $r$ et le diamètre $D$ de ce cercle si $\pi=3.$

 

$-\ $ Calcul du rayon $r$ de ce cercle

 

On sait que le périmètre $\mathcal{P}$ d'un cercle de rayon $r$ est donné par :

$$\mathcal{P}=2\times\pi\times r$$

Ce qui donne alors : $r=\dfrac{\mathcal{P}}{2\times\pi}$

 

En remplaçant $\mathcal{P}\ $ et $\ \pi$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} r&=&\dfrac{\mathcal{P}}{2\times\pi}\\\\&=&\dfrac{15}{2\times 3}\\\\&=&\dfrac{15}{6}\\\\&=&2.5\end{array}$

 

D'où, $\boxed{r=2.5\;cm}$

 

$-\ $ Calcul du diamètre $D$ de ce cercle

 

Le diamètre $D$ de ce cercle est égal au double du rayon.

 

Donc, on a :

$$D=2\times r$$

En remplaçant $r$ par sa valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} D&=&2\times r\\\\&=&2\times 2.5\\\\&=&5\end{array}$

 

D'où, $\boxed{D=5\;cm}$

 

2) Un disque a une aire de $75\;cm^{2}.$ 

 

Calculons le rayon $r$ et le diamètre $D$  correspondant à ce disque si $\pi=3.$

 

$-\ $ Calcul du rayon $r$ de ce disque

 

On sait que l'aire $\mathcal{A}$ d'un disque de rayon $r$ est donnée par :

$$\mathcal{A}=r\times r\times\pi=r^{2}\times\pi$$

Ce qui donne alors : $r^{2}=\dfrac{\mathcal{A}}{\pi}$

 

En remplaçant $\mathcal{A}\ $ et $\ \pi$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} r^{2}&=&\dfrac{\mathcal{A}}{\pi}\\\\&=&\dfrac{75}{3}\\\\&=&25\end{array}$

 

Donc, on trouve $r^{2}=25$

 

Comme $25=5^{2}$ alors, on a : $r^{2}=5^{2}$

 

D'où, $\boxed{\mathcal{r}=5\;cm}$

 

$-\ $ Calcul du diamètre $D$ de ce disque

 

Le diamètre $D$ de ce disque est égal au double du rayon.

 

Donc, on a :

$$D=2\times r$$

En remplaçant $r$ par sa valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} D&=&2\times r\\\\&=&2\times 5\\\\&=&10\end{array}$

 

D'où, $\boxed{D=10\;cm}$

1) Traçons $[AB]$ tel que : $AB=3\;cm.$

 

2) a) Traçons le cercle $(\zeta)$ dont $[AB]$ est un diamètre.

 

Pour cela, on trace le cercle de centre $O$ milieu de $[AB].$

 

b) Traçons le cercle $(\zeta')$ dont $[AB]$ est un rayon.

 

Pour cela, on trace le cercle de centre $A$ et passant par le point $B.$

 

c) Les cercles $(\zeta)\ $ et $\ (\zeta')$ sont tangents intérieurement.

 

En observant la figure, on remarque que $(\zeta)\ $ et $\ (\zeta')$ ont un seul point en commun ; le point $B$ et que $(\zeta)$ est situé à l'intérieur de $(\zeta').$

 

Donc, les cercles $(\zeta)\ $ et $\ (\zeta')$ sont tangents intérieurement.

 

3) a) Calculons le périmètre de $(\zeta)\;\ (\pi=3.2)$

 

On sait que le périmètre $\mathcal{P}$ d'un cercle de diamètre $D$ est donné par :

$$\mathcal{P}=D\times\pi$$

En remplaçant $D\ $ et $\ \pi$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\mathcal{P}&=&D\times\pi\\\\&=&3\times 3.2\\\\&=&9.6\end{array}$

 

D'où, $\boxed{\mathcal{P}=9.6\;cm}$

 

b) Calculons le périmètre de $\zeta'\;\ (\pi=3.1).$

 

On sait que le périmètre $\mathcal{P}$ d'un cercle de rayon $r$ est donné par :

$$\mathcal{P}=2\times\pi\times r$$

En remplaçant $r\ $ et $\ \pi$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\mathcal{P}&=&2\times\pi\times r\\\\&=&2\times 3.1\times 3\\\\&=&18.6\end{array}$

 

D'où, $\boxed{\mathcal{P}=18.6\;cm}$

 

4) Colorions en bleu puis, déterminons l'aire formée par le disque intérieur de $(\zeta')$ et extérieur de $(\zeta)\;\ (\pi=3).$

 

On calcule d'abord l'aire $\mathcal{A}_{1}$ de la partie intérieure du cercle $(\zeta)$ puis, l'aire $\mathcal{A}_{2}$ de la partie intérieure du cercle $(\zeta').$  

 

Ensuite, l'aire de la couronne formée par le disque intérieur de $(\zeta')$ et extérieur de $(\zeta)$ est donnée par :

$$\text{Aire de la couronne}=\text{Aire de }\zeta'-\text{Aire de }\zeta=\mathcal{A}_{2}-\mathcal{A}_{1}$$

$-\ $ Calcul de l'aire $\mathcal{A}_{1}$

 

On sait que l'aire $\mathcal{A}_{1}$ de la partie intérieure du cercle $(\zeta)$ de rayon $r$ est donnée par :

$$\mathcal{A}_{1}=r\times r\times\pi$$

Or, le rayon $r$ du cercle $\zeta$ est donné par :

 

$r=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{3}{2}=1.5\;cm$ 

 

Donc, en remplaçant $r\ $ et $\ \pi$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\mathcal{A}_{1}&=&r\times r\times\pi\\\\&=&1.5\times 1.5\times 3\\\\&=&6.75\end{array}$

 

D'où, $\boxed{\mathcal{A}_{1}=6.75\;cm^{2}}$

 

$-\ $ Calcul de l'aire $\mathcal{A}_{2}$

 

On sait que l'aire $\mathcal{A}_{1}$ de la partie intérieure du cercle $\zeta'$ de rayon $r$ est donnée par :

$$\mathcal{A}_{2}=r\times r\times\pi$$

Or, le rayon $r$ du cercle $\zeta'$ est égal à $AB=3\;cm$

 

Donc, en remplaçant $r\ $ et $\ \pi$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\mathcal{A}_{2}&=&r\times r\times\pi\\\\&=&3\times 3\times 3\\\\&=&27\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{\mathcal{A}_{2}=27\;cm^{2}}$

 

$-\ $ Calcul de l'aire de la couronne

 

L'aire de la couronne formée par le disque intérieur de $(\zeta')$ et extérieur de $(\zeta)$ est alors donnée par :

 

$\begin{array}{rcl}\text{Aire de la couronne}&=&\mathcal{A}_{2}-\mathcal{A}_{1}\\\\&=&27-6.75\\\\&=&20.25\end{array}$

 

D'où, $\boxed{\text{Aire de la couronne}=20.25\;cm^{2}}$

La figure ci-dessous est une couronne délimitée par deux cercles concentriques.

 

Calculons l'aire de la partie hachurée.

En observant la figure, on remarque que l'aire de la partie hachurée en faisant la différence entre l'aire délimitée par le grand cercle et l'aire délimitée par le petit cercle.

 

Soit $\mathcal{A}_{1}$ l'aire délimitée par le grand cercle de centre $D$ et de rayon $4.5\;cm\ $ et $\ \mathcal{A}_{1}$ l'aire délimitée par le petit cercle de centre $D$ et de rayon $2.5\;cm$

 

Alors, on a :

$$\text{Aire de la partie hachurée}=\mathcal{A}_{1}-\mathcal{A}_{2}$$

$-\ $ Calculons l'aire $\mathcal{A}_{1}$

 

L'aire $\mathcal{A}_{1}$ délimitée par le grand cercle de rayon $r$ est donnée par :

$$\mathcal{A}_{1}=r\times r\times\pi$$

En remplaçant $r$ par $4.5$ et en choisissant $\pi=3.14$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\mathcal{A}_{1}&=&r\times r\times\pi\\\\&=&4.5\times 4.5\times 3.14\\\\&=&63.585\end{array}$

 

D'où, $\boxed{\mathcal{A}_{1}=63.585\;cm^{2}}$

 

$-\ $ Calculons l'aire $\mathcal{A}_{2}$

 

L'aire $\mathcal{A}_{2}$ délimitée par le petit cercle de rayon $r$ est donnée par :

$$\mathcal{A}_{2}=r\times r\times\pi$$

En remplaçant $r$ par $2.5$ et en choisissant $\pi=3.14$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\mathcal{A}_{2}&=&r\times r\times\pi\\\\&=&2.5\times 2.5\times 3.14\\\\&=&19.625\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{\mathcal{A}_{2}=19.625\;cm^{2}}$

 

$-\ $ Calculons l'aire de la partie hachurée

 

L'aire de la partie hachurée est donnée par :

 

$\begin{array}{rcl}\text{Aire de la partie hachurée}&=&\mathcal{A}_{1}-\mathcal{A}_{2}\\\\&=&63.585-19.625\\\\&=&43.96\end{array}$

 

D'où, $\boxed{\text{Aire de la partie hachurée}=43.96\;cm^{2}}$

A l'aide d'une poulie de $15\;cm$ de diamètre, Astou doit puiser de l'eau dans un puits de $9.42\;m$ de profondeur. 

 

Déterminons le nombre de tours que doit faire la poulie pour sortir le seau du puits.

 

La poulie a une forme circulaire de diamètre $d=15\;cm.$

 

Donc, un tour est égal au périmètre de ce cercle.

 

On a alors :

 

$\begin{array}{rcl}\text{un tour}&=&d\times\pi\\\\&=&15\times 3.14\\\\&=&47.1\end{array}$

 

Ainsi, chaque tour de la poulie correspond à $47.1\;cm$

 

La profondeur du puits est égale à $9.42\;m$

 

Donc, en convertissant en $cm$, on obtient : $9.42\;m=942\;cm.$

 

Alors, le nombre de tours que doit faire la poulie pour sortir le seau du puits est donné par :

 

$\begin{array}{rcl}\text{Nombre de tour}&=&\dfrac{\text{Profondeur du puits}}{\text{Périmètre de la poulie}}\\\\&=&\dfrac{942}{47.1}\\\\&=&20\end{array}$

 

Par conséquent, la poulie doit faire $20$ tours pour sortir le seau du puits.

Un berger a un enclos circulaire de $12\;m$ de diamètre qu'il veut entourer d'un grillage qui coûte $450\;F$ le mètre et doit y laisser une porte de $3.5\;m.$

 

Calculons le prix du grillage.

 

Calculons d'abord la longueur du grillage.

 

On a :

$$\text{Longueur du grillage}=\text{Périmètre enclos}-\text{Longueur de la porte}$$

Comme l'enclos est circulaire de diamètre $d=12\;m$ alors, son périmètre est donné par :

 

$\begin{array}{rcl}\text{Périmètre enclos}&=&d\times\pi\\\\&=&12\times 3.14\\\\&=&37.68\end{array}$

 

Donc, $\boxed{\text{Périmètre enclos}=37.68\;m}$

 

Ainsi,

 

$\begin{array}{rcl}\text{Longueur du grillage}&=&\text{Périmètre enclos}-\text{Dimension porte}\\\\&=&37.68-3.5\\\\&=&34.18\end{array}$

 

D'où, $\boxed{\text{Longueur du grillage}=34.18\;m}$

 

Calculons ensuite le prix du grillage

 

Comme le grillage coûte coûte $450\;F$ le mètre alors, le prix total est donné par :

 

$\begin{array}{rcl}\text{Prix du grillage}&=&450\times\text{Longueur du grillage}\\\\&=&450\times 34.18\\\\&=&15\,381\end{array}$

 

Ainsi, le prix du grillage est égal à $15\,381\;F$