Solution des exercices : Angle au centre - angle inscrit 3e

Classe: 
Troisième
 

Exercice 1

ABCABC est un triangle inscrit dans un cercle (C)(C) de centre OO et tel que les angles ^AOB ˆAOB  et  ^BOC ˆBOC sont adjacents.
 
On donne : mes^AOB=50; mes^BOC=100mesˆAOB=50; mesˆBOC=100
 
Calculons la mesure de chacun des angles du triangle ABC.ABC.
 
   Calcul de mes^ACBmesˆACB
 
En effet, ^ACBˆACB est un angle inscrit dans (C)(C) ayant pour angle au centre associé ^AOB.ˆAOB.
 
Alors on a :
mes^ACB=mes^AOB2mesˆACB=mesˆAOB2
Or, mes^AOB=50mesˆAOB=50
 
Donc, mes^ACB=502=25mesˆACB=502=25
 
D'où, mes^ACB=25mesˆACB=25
 
   Calcul de mes^BACmesˆBAC
 
On a : ^BACˆBAC est un angle inscrit dans (C)(C) ayant pour angle au centre associé ^BOC.ˆBOC.
 
Donc,
mes^BAC=mes^BOC2mesˆBAC=mesˆBOC2
Comme mes^BOC=100mesˆBOC=100 alors, mes^BAC=1002=50mesˆBAC=1002=50
 
Ainsi, mes^BAC=50mesˆBAC=50
 
   Calcul de mes^ABCmesˆABC
 
On sait que la somme des angles d'un triangle est égale à 180180
 
Donc, dans le triangle ABCABC on a :
mes^BAC+mes^ABC+mes^ACB=180mesˆBAC+mesˆABC+mesˆACB=180
Ainsi, mes^ABC=180mes^BACmes^ACBmesˆABC=180mesˆBACmesˆACB
 
Alors, en remplaçant mes^BAC mesˆBAC  et  mes^ACB mesˆACB par leur valeur, on trouve :
mes^ABC=1805025=105mesˆABC=1805025=105
D'où, mes^ABC=105mesˆABC=105
 
On peut également remarquer que ^ABCˆABC est un angle inscrit dans (C)(C) ayant pour angle au centre associé AˇOC.AˇOC.
 
Alors, mes^ABC=mesAˇOC2mesˆABC=mesAˇOC2
 
Or,
 
mesAˇOC=360(^AOB+^BOC)=360(50+100)=360150=210mesAˇOC=360(ˆAOB+ˆBOC)=360(50+100)=360150=210
 
Donc, mesAˇOC=210mesAˇOC=210
 
Par suite, mes^ABC=2102=105mesˆABC=2102=105
 
D'où, mes^ABC=105mesˆABC=105
 
 

Exercice 2

ABCABC est un triangle isocèle en A, C(O; R)A, C(O; R) son cercle circonscrit et DD un point diamétralement opposé à B.B.
 
 
1) Démontrons que ^ADB=^ABCˆADB=ˆABC
 
En effet, comme ABCABC est isocèle en AA alors, les angles ^ACB ˆACB  et  ^ABC ˆABC ont la même mesure.
 
Donc,
mes^ACB=mes^ABC(égalité 1)mesˆACB=mesˆABC(égalité 1)
Par ailleurs, ^ACB ˆACB  et  ^ADB ˆADB sont deux angles inscrits dans le cercle (C)(C) et interceptant le même arc de cercle AB.AB.
 
Par conséquent, ils ont la même mesure.
 
Donc,
mes^ACB=mes^ADB(égalité 2)mesˆACB=mesˆADB(égalité 2)
Ainsi, en comparant ces deux égalités, on a : mes^ADB=mes^ABCmesˆADB=mesˆABC
 
2) Démontrons que ^DCA ˆDCA  et  ^ADB ˆADB sont complémentaires.
 
Comme [BD][BD] est un diamètre alors, ABDABD est un triangle rectangle en AA
 
Or, les angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires.
 
Donc,
mes^ADB+mes^ABD=90(égalité 3)mesˆADB+mesˆABD=90(égalité 3)
Par ailleurs, ^ABD ˆABD  et  ^DCA ˆDCA sont deux angles inscrits dans (C)(C) interceptant le même arc de cercle AD.AD.
 
Alors, ils ont la même mesure.
 
Ce qui signifie : mes^ABD=mes^DCAmesˆABD=mesˆDCA
 
Ainsi, dans l'égalité 33, en remplaçant mes^ABDmesˆABD par mes^DCAmesˆDCA, on trouve :
mes^ADB+mes^DCA=90mesˆADB+mesˆDCA=90
Ce qui montre que les angles ^DCA ˆDCA  et  ^ADB ˆADB sont complémentaires.

Exercice 3

Traçons un cercle et un triangle ABCABC  dont les sommets appartiennent à ce cercle.
 
La bissectrice de l'angle ^BACˆBAC coupe l'arc BCBC en un point I.I.

 

 

Démontrons que triangle BICBIC est isocèle en I.I.
 
^IAC ˆIAC  et  ^IBC ˆIBC étant deux angles inscrits dans le cercle et interceptant le même arc ICIC alors, ils ont la même mesure.
 
Donc,
mes^IAC=mes^IBCmesˆIAC=mesˆIBC
Or, la droite (AI)(AI) est bissectrice de l'angle ^BAC.ˆBAC.
 
Ce qui entraine : mes^IAC=mes^IABmesˆIAC=mesˆIAB
 
Par suite,
mes^IBC=mes^IABmesˆIBC=mesˆIAB
De la même manière, ^ICB ˆICB  et  ^IAB ˆIAB sont deux angles inscrits dans le cercle et interceptant le même arc IBIB donc, ils ont la même mesure.
 
Ce qui peut alors s'écrire :
mes^ICB=mes^IABmesˆICB=mesˆIAB
Ainsi, on a : mes^IBC=mes^IAB mesˆIBC=mesˆIAB  et  mes^ICB=mes^IAB mesˆICB=mesˆIAB
 
Par conséquent,
mes^IBC=mes^ICBmesˆIBC=mesˆICB
D'où, le triangle BICBIC est isocèle en I.I.

Exercice 4

Soit la figure ci-dessous :

 
1) L'angle inscrit qui intercepte le même arc de cercle que ^AOBˆAOB est l'angle ^ACB.ˆACB.
 
2) Calculons la mesure de ^ACBˆACB 
 
D'après le résultat de la question 1)1), on a : ^ACBˆACB est un angle inscrit dans (C)(C) ayant pour angle au centre associé ^AOB.ˆAOB.
 
Alors, on a :
mes^ACB=mes^AOB2mesˆACB=mesˆAOB2
Or, mes^AOB=35mesˆAOB=35
 
Donc, mes^ACB=352=17.5mesˆACB=352=17.5
 
D'où, mes^ACB=17.5mesˆACB=17.5
 
Calculons la mesure de ^DAC.ˆDAC.
 
En effet, ^DACˆDAC est un angle inscrit dans (C)(C) ayant pour angle au centre associé ^DOC.ˆDOC.
 
Donc,
mes^DAC=mes^COD2mesˆDAC=mesˆCOD2
Comme mes^COD=110mesˆCOD=110 alors, mes^DAC=1102=55mesˆDAC=1102=55
 
Ainsi, mes^DAC=55mesˆDAC=55
 
En déduisons la mesure de ^AOCˆAOC
 
AOCAOC étant un triangle isocèle en OO alors, mes^OAC=mes^ACOmesˆOAC=mesˆACO
 
Or, mes^OAC=mes^DAC=55mesˆOAC=mesˆDAC=55
 
Donc,
mes^OAC=mes^ACO=55mesˆOAC=mesˆACO=55
Par ailleurs, on sait que la somme des angles d'un triangle est égale à 180.180.
 
Donc, dans le triangle AOCAOC, on a :
mes^OAC+mes^ACO+mes^AOC=180mesˆOAC+mesˆACO+mesˆAOC=180
Par suite, 
 
^AOC=180^OAC^ACO=1805555=180110=70ˆAOC=180ˆOACˆACO=1805555=180110=70
 
D'où, mes^AOC=70mesˆAOC=70
 
On peut aussi constater que les angles ^AOC ˆAOC  et  ^COD ˆCOD sont adjacents supplémentaires.
 
Donc,
mes^AOC+mes^COD=180mesˆAOC+mesˆCOD=180
Par suite, mes^AOC=180mes^CODmesˆAOC=180mesˆCOD
 
En remplaçant mes^CODmesˆCOD par sa valeur, on trouve :
mes^AOC=180110=70mesˆAOC=180110=70
D'où, mes^AOC=70mesˆAOC=70

Exercice 5

Soit sur la figure ci-dessous deux cercles (C)(C) et (C)(C) de centres respectifs OO et O.O.

 

 
Démontrons que les angles ^MBNˆMBN et ^MBNˆMBN ont même mesure.
 
On a : ^MBN=^MBN+^NBN ˆMBN=ˆMBN+ˆNBN  et  ^MBN=^MBM+^MBN ˆMBN=ˆMBM+ˆMBN
 
Donc, ^MBN ˆMBN  et  ^MBN ˆMBN ont même mesure si, et seulement si, ^NBN=^MBMˆNBN=ˆMBM
 
Ainsi, il suffit de montrer que ^NBN=^MBMˆNBN=ˆMBM pour répondre à la question.
 
En considérant le cercle (C)(C) on constate que ^MAMˆMAM et ^MBMˆMBM sont deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle MMMM donc sont égaux.
 
De même, en considérant le cercle (C)(C) on remarque que ^NANˆNAN et ^NBNˆNBN sont deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle NNNN donc sont égaux.
 
Alors on a : 
 
{^MAM=^MBM^NAN=^NBNet^NAN=^MAM⎪ ⎪⎪ ⎪ˆMAM=ˆMBMˆNAN=ˆNBNetˆNAN=ˆMAM
 
Donc, ^NBN=^MBMˆNBN=ˆMBM
 
D'où, mes^MBN=mes^MBNmesˆMBN=mesˆMBN

Exercice 6

1) Soit un cercle (C)(C) de centre OO et de rayon 4cm 4cm  et  [AD] [AD] un de ses diamètres.
 
a) D'un côté de la droite (AD)(AD), construisons le point GG tel que le triangle ADGADG soit un triangle équilatéral.
 
b) De l'autre côté de la droite (AD)(AD), plaçons le point BB du cercle (C)(C), tel que AB=4cm.AB=4cm.
 
 
2) Démontrons que le triangle OABOAB est équilatéral.
 
En effet, comme A A  et  B B appartiennent au cercle (C)(C) alors, les longueurs OA OA  et  OB OB sont égales au rayon de (C).(C).
 
Ce qui signifie que : OA=OB=4cmOA=OB=4cm
 
Or, on sait que : AB=4cmAB=4cm
 
Donc,
OA=OB=AB=4cmOA=OB=AB=4cm
Ainsi, le triangle OABOAB a ses côtés de même longueur par conséquent, c'est un triangle équilatéral.
 
3) Justifions que les angles ^OAB ˆOAB  et  ^ADG ˆADG sont égaux puis, en déduisons la position relative des droites (AB) (AB)  et  (DG). (DG).
 
En effet, d'après le résultat de la question 1)1), on a : ADGADG est un triangle équilatéral.
 
Cela signifie que ses angles ont la même mesure de 60.60.
 
Donc, mes^ADG=60mesˆADG=60
 
De la même manière, d'après le résultat de la question 2)2), le triangle OABOAB est équilatéral.
 
Par conséquent, ses angles ont la même mesure de 60.60.
 
Donc, mes^OAB=60mesˆOAB=60
 
On constate alors que ^OAB ˆOAB  et  ^ADG ˆADG sont de même mesure.
 
D'où, les angles ^OAB ˆOAB  et  ^ADG ˆADG sont égaux.
 
En déduisons la position relative des droites (AB) (AB)  et  (DG). (DG).
 
En effet, les droites (AB) (AB)  et  (DG) (DG) et la sécante (AD)(AD) déterminent deux angles alternes internes ^OAB ˆOAB  et  ^ADG. ˆADG.
 
Comme ces deux angles sont de même mesure alors, les droites (AB) (AB)  et  (DG) (DG) sont parallèles.
 
4) La droite (BG)(BG) coupe [AD][AD] en I I  et  (C) (C) en J.J.
 
a) En utilisant le théorème de Thalès justifions que : IAID=12IAID=12
 
En effet, les droites (AD) (AD)  et  (BG) (BG) sécantes en II sont coupées par deux droites (AB) (AB)  et  (DG). (DG).
 
Or, d'après le résultat de la question 3)3), on a : (AB) (AB)  et  (DG) (DG) sont parallèles.
 
Donc, les triangles AIB AIB  et  DIG DIG sont en position de Thalès.
 
Ainsi, en utilisant le théorème de Thalès, on a :
IAID=ABDGIAID=ABDG
Or, on sait que ADGADG est un triangle équilatéral.
 
Par conséquent : DG=ADDG=AD
 
Comme [AD][AD] est un diamètre de (C)(C) alors, la longueur ADAD est égale au double du rayon de (C).(C).
 
Donc, AD=2×4=8cmAD=2×4=8cm
 
Par suite, DG=8cmDG=8cm
 
Ainsi, dans l'égalité IAID=ABDGIAID=ABDG, en remplaçant AB AB  et  DG DG par leur valeur, on obtient :
 
IAID=ABDG=48=4÷48÷4=12IAID=ABDG=48=4÷48÷4=12
 
D'où, IAID=12IAID=12
 
b) Calculons la mesure de l'angle ^AJBˆAJB
 
En effet, ^AJBˆAJB est un angle inscrit dans (C)(C) ayant pour angle au centre associé ^AOB.ˆAOB.
 
Donc,
mes^AJB=mes^AOB2mesˆAJB=mesˆAOB2
Or, d'après le résultat de la question 2)2), le triangle OABOAB est équilatéral.
 
Cela signifie que ses angles ont la même mesure de 60.60.
 
Donc, mes^AOB=60mesˆAOB=60
 
Ainsi, mes^AJB=602=30mesˆAJB=602=30
 
D'où, mes^AJB=30mesˆAJB=30

Exercice 7

Plaçons trois points A, B A, B  et  C C dans cet ordre sur un cercle (C)(C) de centre OO et de rayon 3cm3cm, de telle façon que les angles au centre ^AOB ˆAOB  et  ^BOC ˆBOC mesurent respectivement 40 40  et  70. 70.
 
1) Calculons la mesure de tous les angles du triangle ABC.ABC.
 
En effet, en observant la figure, nous constatons que :
 
^ACBˆACB est un angle inscrit dans (C)(C) ayant pour angle au centre associé ^AOB.ˆAOB.
 
Donc,
mes^ACB=mes^AOB2mesˆACB=mesˆAOB2
Or, mes^AOB=40mesˆAOB=40
 
Ainsi, mes^ACB=402=20mesˆACB=402=20
 
D'où, mes^ACB=20mesˆACB=20
 
^CABˆCAB est un angle inscrit dans (C)(C) ayant pour angle au centre associé ^BOC.ˆBOC.
 
Donc,
mes^CAB=mes^BOC2mesˆCAB=mesˆBOC2
Comme mes^BOC=70mesˆBOC=70 alors, mes^CAB=702=35mesˆCAB=702=35
 
D'où, mes^CAB=35mesˆCAB=35
 
Par ailleurs, on sait que la somme des angles d'un triangle est égale à 180.180.
 
Donc,
^ABC+^ACB+^CAB=180ˆABC+ˆACB+ˆCAB=180
Par suite, 
 
^ABC=180^ACB^CAB=1802035=125ˆABC=180ˆACBˆCAB=1802035=125
 
D'où, mes^ABC=125mesˆABC=125
 
2) Calculons la longueur des arcs AB AB  et  AC. AC. (on donne π3).π3).
 
Soit : ABAB la longueurs de l'arc de cercle intercepté par l'angle ^AOB.ˆAOB.
 
Alors, on a :
AB=π×rayon de (C)×mes^AOB180AB=π×rayon de (C)×mesˆAOB180
En remplaçant ππ, rayon de (C) (C)  et  mes^AOB mesˆAOB par leur valeur, on trouve :
 
AB=π×rayon de (C)×mes^AOB180=3×3×40180=360180=2AB=π×rayon de (C)×mesˆAOB180=3×3×40180=360180=2
 
D'où, AB=2cmAB=2cm
 
Soit : ACAC la longueurs de l'arc de cercle intercepté par l'angle ^AOC.ˆAOC.
 
On a alors :
AC=π×rayon de (C)×mes^AOC180AC=π×rayon de (C)×mesˆAOC180
Or, on sait que :
 
mes^AOC=mes^AOB+mes^BOC=40+70=110mesˆAOC=mesˆAOB+mesˆBOC=40+70=110
 
Donc, mes^AOC=110mesˆAOC=110
 
Ainsi, en remplaçant ππ, rayon de (C) (C)  et  mes^AOC mesˆAOC par leur valeur, on trouve :
 
AC=π×rayon de (C)×mes^AOC180=3×3×110180=990180=5.5AC=π×rayon de (C)×mesˆAOC180=3×3×110180=990180=5.5
 
D'où, AC=5.5cmAC=5.5cm
 
3) Soit MM un point diamétralement opposés à B.B. Calculons : mes^BMC; mes^AMC mesˆBMC; mesˆAMC  et  mes^AMB. mesˆAMB.
 
   Calcul de mes^BMCmesˆBMC
 
Dans le cercle (C)(C), nous constatons que ^BMC ˆBMC  et  ^CAB ˆCAB sont deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle BC.BC.
 
Donc, ces deux angles sont égaux.
 
Par suite, mes^BMC=mes^CABmesˆBMC=mesˆCAB
 
Or, d'après le résultat de la question 1), mes^CAB=351), mesˆCAB=35
 
Par conséquent, mes^BMC=35mesˆBMC=35
 
   Calcul de mes^AMCmesˆAMC
 
En observant la figure, nous constatons que ^AMCˆAMC est un angle inscrit dans (C)(C) ayant pour angle au centre associé ^AOC.ˆAOC.
 
Alors,
mes^AMC=mes^AOC2mesˆAMC=mesˆAOC2
Or, mes^AOC=110mesˆAOC=110
 
Donc, mes^AMC=1102=55mesˆAMC=1102=55
 
D'où, mes^AMC=55mesˆAMC=55
 
   Calcul de mes^AMBmesˆAMB
 
Dans le cercle (C)(C), nous remarquons que ^AMB ˆAMB  et  ^ACB ˆACB sont deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle AB.AB.
 
Donc, ces deux angles sont égaux.
 
Ainsi, mes^AMB=mes^ACBmesˆAMB=mesˆACB
 
Or, d'après le résultat de la question 1), mes^ACB=201), mesˆACB=20
 
D'où, mes^AMB=20mesˆAMB=20
 
 

Exercice 8  BFEM 2e groupe

Répondons par vrai ou faux en justifiant la réponse.
 
1) Si a a  et  b b sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle alors, mesa=2mesb(Faux)mesa=2mesb(Faux)
 
En effet, on sait que dans un cercle, deux angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle ont la même mesure.
 
D'où, mesa=mesbmesa=mesb
 
2) Si x x  et  y y représentent deux angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle alors, la mesure de xx est égale à la moitié de celle de y.(Faux)y.(Faux)
 
Comme deux angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle ont la même mesure alors, mesx=mesymesx=mesy
 
3) Si (C)(C) est un cercle de centre O O  et  A, B  A, B  et  M M sont trois points de ce cercle tels que : mes^AMB=80mesˆAMB=80 alors, l'angle ^AOB=160.(Vrai)ˆAOB=160.(Vrai)
 
 
En effet, ^AMBˆAMB est un angle inscrit dans (C)(C) ayant pour angle au centre associé ^AOB.ˆAOB.
 
Donc,
mes^AOB=2×mes^AMBmesˆAOB=2×mesˆAMB
Par suite, mes^AOB=2×80=160mesˆAOB=2×80=160
 
D'où, mes^AOB=160mesˆAOB=160

Exercice 9 BFEM 2006 2e groupe

1) Traçons un cercle (C)(C) de centre II et de diamètre [AB][AB] tel que : AB=8cmAB=8cm, marquons le point EE sur (C)(C) tel que : AE=4cm.AE=4cm.
 
2) Déterminons la nature de chacun des triangles ABE ABE  et  AEI AEI
 
ABEABE est un triangle rectangle en E.E.
 
Justifions la réponse.
 
En effet, ABEABE est un triangle inscrit dans le cercle (C)(C) et dont le côté [AB][AB] est un diamètre de ce cercle.
 
Par conséquent, le triangle ABEABE est rectangle en E.E.
 
AEIAEI est un triangle équilatéral.
 
Justifions la réponse.
 
En effet, comme A A  et  E E appartiennent au cercle (C)(C) alors, les longueurs IA IA  et  IE IE sont égales au rayon de (C).(C).
 
Le rayon rr du cercle (C)(C) est égal à :
r=AB2=82=4cmr=AB2=82=4cm
Donc, IA=IE=4cmIA=IE=4cm
 
Or, on sait que : AE=4cmAE=4cm
 
Par suite,
IA=IE=AE=4cmIA=IE=AE=4cm
Ainsi, le triangle AEIAEI a ses côtés de même longueur.
 
Par conséquent, c'est un triangle équilatéral.
 
3) Déterminons la mesure de chacun des angles ^EAB ˆEAB  et  ^BIE. ˆBIE.
 
En effet, d'après le résultat de la question 2)2), on a : AEIAEI est un triangle équilatéral.
 
Par conséquent, ses angles ont tous la même mesure de 60.60.
 
D'où, mes^EAB=60mesˆEAB=60
 
Par ailleurs, ^EABˆEAB est un angle inscrit dans (C)(C) ayant pour angle au centre associé ^BIE.ˆBIE.
 
Donc,
mes^BIE=2×mes^EABmesˆBIE=2×mesˆEAB
Par suite, mes^BIE=2×60=120mesˆBIE=2×60=120
 
D'où, mes^BIE=120mesˆBIE=120
 
4) Soit (d)(d) la médiatrice du segment [AB][AB] ; la droite (AE)(AE) coupe (d)(d) en K.K.
 
En posant : cos^BAE=cos^KAIcosˆBAE=cosˆKAI, calculons les distances AK AK  et  KI. KI.
 
En effet, AKIAKI est un triangle rectangle en I.I.
 
Par suite, cos^KAI=IAAKcosˆKAI=IAAK
 
Or, cos^KAI=cos^BAE cosˆKAI=cosˆBAE  et  cos^BAE=cos60=12 cosˆBAE=cos60=12
 
Donc, en remplaçant cos^KAIcosˆKAI par 1212, on trouve :
12=IAAK12=IAAK
Ce qui entraine : AK=2×IAAK=2×IA
 
Par suite, AK=2×4=8cmAK=2×4=8cm
 
D'où, AK=8cmAK=8cm
 
Le triangle AKIAKI étant rectangle en II alors, en appliquant le théorème de Pythagore, on a :
KA2=IA2+KI2KA2=IA2+KI2
Ce qui entraine : KI2=KA2IA2KI2=KA2IA2
 
Par suite,
 
KI=KA2IA2=8242=6416=48=16×3=43KI=KA2IA2=8242=6416=48=16×3=43
 
D'où, KI=43cmKI=43cm
 
 

Exercice 10

Sur un demi-cercle de diamètre [AA][AA] et de rayon 4cm4cm, plaçons le point BB tel que : ^AOB=30ˆAOB=30 et appelons HH, le projeté orthogonal de BB sur la droite (AA).(AA).
 
1) Faisons une figure complète.
 
 
2) Calculons les longueurs : OH OH  et  HB. HB. 
 
En effet, comme HH est le projeté orthogonal de BB sur la droite (AA)(AA) alors, le triangle OBHOBH est rectangle en H.H.
 
Ainsi, cos^HOB=OHOBcosˆHOB=OHOB
 
Ce qui entraine : OH=OB×cos^HOBOH=OB×cosˆHOB
 
Or, cos^HOB=cos30=32cosˆHOB=cos30=32
 
Donc, en remplaçant OB OB  et  cos^HOB cosˆHOB par leur valeur, on trouve :
OH=4×32OH=4×32
D'où, OH=23cmOH=23cm
 
Aussi, on a : sin^HOB=HBOBsinˆHOB=HBOB
 
Ce qui donne : HB=OB×sin^HOBHB=OB×sinˆHOB
 
Or, sin^HOB=sin30=12sinˆHOB=sin30=12
 
Donc, en remplaçant OB OB  et  sin^HOB sinˆHOB par leur valeur, on trouve :
HB=4×12HB=4×12
Ainsi, HB=2cmHB=2cm
 
3) Trouvons la mesure de l'angle ^AAB.ˆAAB.
 
En effet, ^AABˆAAB est un angle inscrit dans ce demi-cercle et ayant pour angle au centre associé ^AOB.ˆAOB.
 
Donc,
mes^AAB=mes^AOB2mesˆAAB=mesˆAOB2
Par suite, mes^AAB=302=15mesˆAAB=302=15
 
D'où, mes^AAB=15mesˆAAB=15

Exercice 11

Soit ABCDABCD un quadrilatère inscriptible dans un cercle de centre OO et de rayon 3.5cm3.5cm tel que : mes^ADC=65 mesˆADC=65  et  mes^DCB=120. mesˆDCB=120.
 
Calculons mes^DAB mesˆDAB  et  mes^ABC. mesˆABC. (On demande de faire la figure à main levée)
 
En effet, ABCDABCD est un quadrilatère inscriptible dans un cercle.
 
Or, on sait que si un quadrilatère convexe est inscriptible dans un cercle, alors les angles opposés sont supplémentaires.
 
Donc, les angles ^DAB ˆDAB  et  ^DCB ˆDCB sont supplémentaires.
 
Ce qui signifie :
mes^DAB+mes^DCB=180mesˆDAB+mesˆDCB=180
Ce qui entraine : mes^DAB=180mes^DCBmesˆDAB=180mesˆDCB
 
Alors, en remplaçant mes^DCBmesˆDCB par sa valeur, on trouve :
 
mes^DAB=180mes^DCB=180120=60mesˆDAB=180mesˆDCB=180120=60
 
D'où, mes^DAB=60mesˆDAB=60
 
De la même manière, les angles ^ABC ˆABC  et  ^ADC ˆADC sont supplémentaires.
 
Ainsi,
mes^ABC+mes^ADC=180mesˆABC+mesˆADC=180
Ce qui donne : mes^ABC=180mes^ADCmesˆABC=180mesˆADC
 
En remplaçant mes^ADCmesˆADC par sa valeur, on trouve :
 
mes^ABC=180mes^ADC=18065=115mesˆABC=180mesˆADC=18065=115
 
D'où, mes^ABC=115mesˆABC=115
 
 

Exercice 12

(C)(C) est un cercle de centre OO et de rayon r=3cm A, B, C r=3cm A, B, C  et  D D sont quatre points de (C)(C) tels que : [AC][AC] est un diamètre de (C); AB=r, D(C); AB=r, D appartient au petit arc BC BC  et  mes^DCA=50. mesˆDCA=50.
 
Calculons la mesure de chacun des angles du quadrilatère ABDC.ABDC.
 
   Calcul de mes^BACmesˆBAC
 
En effet, on a : A A  et  B B appartiennent au cercle (C).(C).
 
Ce qui signifie que : OA=OB=rOA=OB=r
 
Or, AB=rAB=r
 
Donc, on a :
AB=OA=OBAB=OA=OB
Ainsi, le triangle AOBAOB a ses côtés de même longueur.
 
Ce qui signifie que c'est un triangle équilatéral.
 
Par conséquent, ses angles ont la même mesure de 60.60.
 
D'où, mes^BAC=60mesˆBAC=60
 
   Calcul de mes^ABDmesˆABD
 
En effet, on remarque que ABDCABDC est un quadrilatère convexe inscriptible dans le cercle (C).(C).
 
Or, on sait que si un quadrilatère convexe est inscriptible dans un cercle, alors les angles opposés sont supplémentaires.
 
Donc, les angles ^ABD ˆABD  et  ^DCA ˆDCA sont supplémentaires.
 
Ce qui signifie :
mes^ABD+mes^DCA=180mesˆABD+mesˆDCA=180
Ce qui entraine : mes^ABD=180mes^DCAmesˆABD=180mesˆDCA
 
Alors, en remplaçant mes^DCAmesˆDCA par sa valeur, on trouve :
 
mes^ABD=180mes^DCA=18050=130mesˆABD=180mesˆDCA=18050=130
 
D'où, mes^ABD=130mesˆABD=130
 
   Calcul de mes^BDCmesˆBDC
 
De la même manière, les angles ^BDC ˆBDC  et  ^BAC ˆBAC sont supplémentaires.
 
Ce qui signifie :
mes^BDC+mes^BAC=180mesˆBDC+mesˆBAC=180
Ce qui entraine : mes^BDC=180mes^BACmesˆBDC=180mesˆBAC
 
Alors, en remplaçant mes^BACmesˆBAC par sa valeur, on trouve :
 
mes^BDC=180mes^BAC=18060=120mesˆBDC=180mesˆBAC=18060=120
 
D'où, mes^BDC=120mesˆBDC=120
 
 

Exercice 13

Soit ABCABC un triangle.
 
(C)(C) est un cercle de centre OO passant par BB et par CC et recoupant le segment [AB][AB] en DD et le segment [AC][AC] en E.E.
 
1) Faisons une figure.
 
 
2) Montrons que : mes^BDC=mes^CEBmesˆBDC=mesˆCEB et que : mes^EBA=mes^DCA.mesˆEBA=mesˆDCA.
 
En effet, nous constatons que ^BDC ˆBDC  et  ^CEB ˆCEB sont deux angles inscrits dans (C)(C) et interceptant le même arc de cercle BC.BC.
 
Or, dans un cercle, deux angles inscrits interceptant le même arc ont la même mesure.
 
Donc, les angles ^BDC ˆBDC  et  ^CEB ˆCEB ont la même mesure.
 
D'où, mes^BDC=mes^CEBmesˆBDC=mesˆCEB
 
De la même manière, nous remarquons que ^EBA ˆEBA  et  ^DCA ˆDCA sont deux angles inscrits dans (C)(C) et interceptant le même arc de cercle DE.DE.
 
Par conséquent, ils ont la même mesure.
 
D'où, mes^EBA=mes^DCA

Exercice 14

Définissons les expressions suivantes :
 
  Angle inscrit : on appelle angle inscrit dans un cercle, un angle dont le sommet est un point du cercle et ses côtés recoupent le cercle
 
  Angle au centre : on appelle angle au centre, un angle dont le sommet est le centre d'un cercle.
 
  Angles associés : deux angles sont dits associés s'ils sont liés par une relation particulière.
 
Exemple :
 
l'angle inscrit et l'angle au centre interceptant le même arc sont associés.
 
deux angles complémentaires sont associés
 
deux angles supplémentaires sont associés

Exercice 15

Les angles cités dans le tableau sont des angles inscrits dans le cercle C(O; r) sauf l'angle ^DAF.
 
Déterminons l'arc intercepté et nommons l'angle au centre associé.
 
Recopions et complétons le tableau.
 
 
AnglesInscrit (oui/non)Arc interceptéAngle au centre associé^EDFouiFE^EOF^ADEouiCE^COE^DAFnon^BFAouiBE^BOE^DEFouiDF^DOF

Exercice 16

Construisons un cercle C(O; r) et marquons sur (C) les points A, B  et  E tels que A  et  E soient diamétralement opposés et ^AEB=30.
 
 
1) Calculons l'angle ^AOB.
 
En effet, ^AEB est un angle inscrit dans (C) et ayant pour angle au centre associé ^AOB.
 
Donc,
mes^AOB=2×mes^AEB
Par suite, mes^AOB=2×30=60
 
D'où, mes^AOB=60
 
2) Montrons que le triangle AOB est équilatéral.
 
En effet, on a : A  et  B appartiennent au cercle C(O; r).
 
Ce qui signifie que : OA=OB=r
 
D'où, le triangle AOB est isocèle en O.
 
De plus, d'après le résultat de la question 1), on a : mes^AOB=60.
 
Ainsi, le triangle isocèle AOB a un angle de 60.
 
Or, on sait que si un triangle isocèle a un angle de 60 alors, c'est un triangle équilatéral.
 
Par conséquent, d'après cette propriété, AOB est un triangle équilatéral.

Exercice 17

Construisons un triangle ABC puis traçons le cercle (C) circonscrit à ce triangle.
 
Soit O le centre de ce cercle et M le symétrique de B par rapport à O.
 
 
En effet, O est le point de rencontre des trois médiatrices respectives des côtés du triangle ABC.
 
De plus, les points M; O  et  B sont alignés et [BM] est un diamètre de (C).
 
1) a) Donnons la relation entre les mesures des angles suivants :
 
 ^MOC  et  ^MBC.
 
On a : ^MBC étant un angle inscrit dans (C) ayant pour angle au centre associé ^MOC alors,mes^MOC=2×mes^MBC
 ^MOA  et  ^MBA.
 
De la même manière, ^MBA est un angle inscrit dans (C) ayant pour angle au centre associé ^MOA donc,mes^MOA=2×mes^MBA
b) Déduisons-en ^ABC en fonction de ^AOC
 
On a : mes^AOC=mes^MOA+mes^MOC
 
Or, mes^MOA=2×mes^MBA  et  mes^MOC=2×mes^MBC
 
Donc, en remplaçant dans l'expression de mes^AOC, on obtient :
 
mes^AOC=mes^MOA+mes^MOC=2×mes^MBA+2×mes^MBC=2×(mes^MBA+mes^MBC)
 
Par suite, mes^AOC=2×(mes^MBA+mes^MBC)
 
Comme mes^MBA+mes^MBC=mes^ABC alors, mes^AOC=2×mes^ABC
 
D'où, mes^ABC=mes^AOC2
2) a) Comparons ^BAM  et  ^BCM.
 
On sait que les arcs BM  et  MB sont deux demi-cercles de (C) donc, ils sont de même longueur.
 
Or, ^BAM  et  ^BCM sont deux angles inscrits dans le cercle et interceptant respectivement les arcs BM  et  MB qui sont de même longueur.
 
Donc, les angles ^BAM  et  ^BCM ont la même mesure.
 
D'où, mes^BAM=mes^BCM
b) Déduisons-en la nature de chacun des triangles ABM  et  MCB.
 
On a : ^BAM est un angle inscrit dans (C) et ayant pour angle au centre associé ^MOB donc, mes^BAM=mes^MOB2
 
Or, ^MOB est un angle plat donc, mes^MOB=180
 
Par suite, mes^BAM=1802=90
 
D'où, ABM est un triangle rectangle en A.
 
Par ailleurs, d'après question 2)a), les angles ^BAM  et  ^BCM ont la même mesure.
 
Or, mes^BAM=90 donc, mes^BCM=90
 
Ainsi, MCB est un triangle rectangle en C.

Exercice 18

On considère un cercle (C) de centre O et A, M  et  B trois points distincts de (C) non diamétralement opposés deux à deux.
 
1) Justifions que les triangles AOB, AOM  et  BOM sont isocèles.
 
En effet, comme A, M  et  B sont trois points distincts de (C) non diamétralement opposés deux à deux alors, on a :
 
OA=OB ce qui justifie que le triangle AOB est isocèle en O
 
OA=OM ce qui prouve que le triangle AOM est isocèle en O
 
OB=OM ce qui signifie que le triangle BOM est isocèle en O
 
2) Exprimons la mesure de l'angle ^AOB en fonction de la mesure de l'angle ^OAB.
 
En effet, on sait que la somme des angles d'un triangle est égale à 180.
 
Donc,
mes^AOB+mes^OAB+mes^OBA=180
Ce qui entraine : mes^AOB=180mes^OABmes^OBA
 
Or, le triangle AOB est isocèle en O donc, les angles ^OAB  et  ^OBA ont la même mesure.
 
C'est-à-dire ; mes^OAB=mes^OBA.
 
Par suite, en remplaçant mes^OBA=mes^OAB, on obtient :
mes^AOB=180mes^OABmes^OAB
D'où, mes^AOB=1802mes^OAB
 
3) On note ^OAB=a; ^OMA=b  et  ^OBM=c.
 
a) Exprimons la somme des angles du triangle AMB en fonction de a, b  et  c.
 
On a :
 
^BMA=^BMO+^OMA=b+c
 
^ABM=^ABO+^OBM=a+c
 
^MAB=^MAO+^OAB=b+a
 
Alors,
 
^BMA+^ABM+^MAB=(b+c)+(a+c)+(b+a)=b+c+a+c+b+a=2a+2b+2c
 
D'où, ^BMA+^ABM+^MAB=2a+2b+2c
 
b) En utilisant la propriété de la somme des angles dans un triangle, exprimons 2a en fonction de b  et  c.
 
En effet, on sait que la somme des angles d'un triangle est égale à 180.
 
Donc,
^BMA+^ABM+^MAB=180
C'est-à-dire ; 2a+2b+2c=180
 
Ce qui entraine : 2a=1802b2c
 
c) Déduisons du b) et du 2) l'expression de l'angle ^AOB en fonction b  et  c.
 
D'après le résultat de la question 2), on a :
mes^AOB=1802mes^OAB=1802a
Or, d'après b), on a : 2a=1802b2c
 
Donc, en remplaçant 2a par son expression, on trouve :
 
mes^AOB=1802a=180(1802b2c)=180180+2b+2c=2b+2c
 
Ainsi, mes^AOB=2b+2c
 
d) Déduisons, en factorisant par 2, l'expression de l'angle ^AOB en fonction de l'angle inscrit M.
 
On a : mes^AOB=2b+2c=2(b+c)
 
Or, mes^BMA=b+c
 
Donc, mes^AOB=2×mes^BMA
 
 

Exercice 19

Sur la figure ci-dessous, les points E, F, G  et  H sont sur le cercle (C) de centre O.
 
 
Les droites (FH)  et  (EG) sont sécantes au point I. 
 
^HOG=130  et  ^EHF=40
 
Calculons la mesure de chaque angle du triangle FGI en justifiant chaque réponse.
 
On a : ^FGI  et  ^EHF sont deux angles inscrits dans le cercle (C) et interceptant le même arc FE.
 
Donc, ^FGI  et  ^EHF sont de même mesure.
 
Or, ^EHF=40
 
Par conséquent, ^FGI=40
 
Par ailleurs, ^IFG est un angle inscrit dans (C) et ayant pour angle au centre associé ^HOG donc, ^IFG=^HOG2
 
Or, ^HOG=130
 
Donc, ^IFG=1302=65
 
Par suite, ^IFG=65
 
Ainsi, comme la somme des angles d'un triangle est égale à 180.
 
Donc, pour le triangle FGI, on a :
^FGI+^IFG+^GIF=180
D'où, 
 
^GIF=180(^FGI+^IFG)=180(40+65)=180105=75
 
Par conséquent, ^GIF=75

Exercice 20

On considère la figure ci-dessous dans laquelle :
 
 
Les points P, F, N, M  et  G appartiennent au cercle de centre I.
 
Le segment [GP] est un diamètre du cercle et le point F appartient à la médiatrice de [MG]
 
1) Déterminons la nature du triangle GNP
 
GPN est un triangle inscrit dans le cercle et dont le côté [GP] est un diamètre de ce cercle.
 
Par conséquent, c'est un triangle rectangle en N.
 
2) Démontrons que le triangle MGF est un triangle équilatéral.
 
En effet, comme F appartient à la médiatrice de [MG] alors, F est équidistant des extrémités M  et  G de ce segment.
 
Ce qui veut dire :
FG=FM
Ainsi, le triangle MGF est isocèle en F.
 
Par ailleurs, ^GMF est un angle inscrit dans (C) et ayant pour angle au centre associé ^GIF.
 
Donc, on a :
mes^GMF=mes^GIF2
Or, mes^GIF=120
 
Donc, mes^GMF=1202=60
 
Par suite, mes^GMF=60
 
Ainsi, le triangle isocèle MGF a un angle de 60.
 
Or, on sait que si un triangle isocèle a un angle de 60 alors, c'est un triangle équilatéral.
 
Par conséquent, d'après cette propriété, MGF est un triangle équilatéral.
 
3) Calculons la mesure de l'angle ^GNF.
 
En effet, nous remarquons que MGNF est un quadrilatère convexe inscriptible dans le cercle (C).
 
Or, on sait que si un quadrilatère convexe est inscriptible dans un cercle, alors les angles opposés sont supplémentaires.
 
Donc, les angles ^GNF  et  ^GMF sont supplémentaires.
 
Ce qui signifie :
mes^GNF+mes^GMF=180
Ce qui entraine : mes^GNF=180mes^GMF
 
Alors, en remplaçant mes^GMF par sa valeur, on trouve :
 
mes^GNF=180mes^GMF=18060=120
 
D'où, mes^GNF=120

Exercice 21

ABC est un triangle rectangle en B tel que AB=5cm; ^BAC=30.
 
1) Construisons ABC.
 
2) Construisons le cercle circonscrit au triangle ABC son centre est O.
 
3) La hauteur (BI) de ABC coupe (AC) en I et le cercle en J.
 
Déterminons ^BJC
 
En effet, ^BJC  et  ^BAC sont deux angles inscrits dans le cercle (C) interceptant le même arc de cercle BC.
 
Ils ont alors la même mesure.
 
D'où, mes^BJC=30
 
4) Calculons les mesures des angles du triangle BOC
 
On a : ^BAC est un angle inscrit dans le cercle (C) et ayant pour angle au centre associé ^BOC.
 
Alors, on a :
mes^BOC=2×mes^BAC
Or, mes^BAC=30
 
Donc, mes^BOC=2×30=60
 
D'où, mes^BOC=60
 
Par ailleurs, on a : OB=OC.
 
Ce qui signifie que le triangle AOB est isocèle en O.
 
Donc, le triangle isocèle AOB a un angle de 60.
 
Ainsi, AOB est un triangle isocèle qui a un angle de 60 donc, c'est un triangle équilatéral.
 
Par conséquent, ses angles ont la même mesure de 60.
 
D'où, mes^OBC=mes^BCO=60
 
5) Calculons les mesures des angles du triangle ABJ.
 
En effet, ^BCA  et  ^BJA sont deux angles inscrits dans le cercle (C) interceptant le même arc de cercle AB.
 
Ils ont alors la même mesure.
 
Or, mes^BCA=mes^BCO=60
 
Donc, mes^BJA=60
 
Par ailleurs, comme le diamètre [AC] est perpendiculaire à la corde [BJ] alors, (AC) est médiatrice du segment [BJ].
 
Par suite, AB=AJ
 
D'où, le triangle ABJ est isocèle en A.
 
Ainsi, ABJ est un triangle isocèle qui a un angle de 60 donc, c'est un triangle équilatéral.
 
Par conséquent, ses angles ont la même mesure de 60.
 
D'où, mes^ABJ=mes^BAJ=60
 
 

Exercice 22

On considère la figure ci-dessous
 
 
où le cercle de centre O a pour diamètre AC=10cm ;
 
B sur le cercle tel que AB=5cm.
 
1) Déterminons la nature du triangle ABC
 
ABC est un triangle rectangle en B.
 
Justifions notre réponse.
 
En effet, ABC est un triangle inscrit dans le cercle et dont le côté [AC] est un diamètre de ce cercle.
 
Par conséquent, c'est un triangle rectangle en B.
 
2) Calculons la valeur exacte de la distance BC.
 
Comme ABC est rectangle en B alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :
BC2+AB2=AC2
Cela donne : BC2=AC2AB2
 
Par suite,
 
BC=AC2AB2=10252=10025=75=25×3=53
 
D'où, BC=53cm
 
3) Calculons la mesure de l'angle ^ACB.
 
Comme ABC est rectangle en B alors, en utilisant le sinus de l'angle ^ACB, on obtient :
sin^ACB=ABAC=510=12
Or, on sait que l'angle de mesure 30 a pour sinus 12.
 
Donc, mes^ACB=30
 
4) La parallèle à la droite (AB) passant par O coupe le segment [BC] en H et le cercle en deux points D et E tels que CD<CE.
 
a) Calculons la mesure de l'angle ^HOC.
 
En effet, les parallèles (AB)  et  (OH) coupées par la sécante (AC) déterminent deux angles ^HOC  et  ^BAC correspondants.
 
Or, on sait que deux droites parallèles coupées par une sécante déterminent deux angles correspondants de même mesure.
 
Par conséquent, les angles ^HOC  et  ^BAC ont la même mesure.
 
Déterminons alors la mesure de l'angle ^BAC.
 
On sait que dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires.
 
Donc, dans le triangle ABC, on a :
mes^BAC+mes^ACB=90
Ce qui entraine : mes^BAC=90mes^ACB
 
En remplaçant mes^ACB par sa valeur, on trouve :
mes^BAC=9030=60
Par conséquent, mes^HOC=60
 
b) Déduisons-en la mesure de l'angle ^DEC et celle de l'angle ^DEA.
 
En effet, ^DEC est un angle inscrit dans le cercle et ayant pour angle au centre associé ^HOC.
 
Donc, on a :
mes^DEC=mes^HOC2
Or, d'après le résultat de la question a), on a : mes^HOC=60
 
Donc, mes^DEC=602=30
 
Ainsi, mes^DEC=30
 
En effet, les angles ^DEC  et  ^DEA sont adjacents complémentaires.
 
Donc,
mes^DEA+mes^DEC=90
Ce qui entraine : mes^DEA=90mes^DEC
 
En remplaçant mes^DEC par sa valeur, on trouve :
mes^DEA=9030=60
D'où, mes^DEA=60

Exercice 23

Soit SUD un triangle tel que
SU=6cm; ^SUD=60  et  ^DSU=45
(C) est le cercle de centre O circonscrit au triangle SUD.
 
1) Faisons une figure.
 
Le point O centre du cercle (C) est le point de rencontre des trois médiatrices des côtés du triangle SUD.
 
 
2) Montrons que ^UOD=90
 
^DSU est un angle inscrit dans (C) et ayant pour angle au centre associé ^UOD donc, ^UOD=2×^DSU
 
Or, ^DSU=45
 
Donc, ^UOD=2×45=90
 
Ainsi, ^UOD=90
3) Soit A le point diamétralement opposé à D.
 
a) Calculons ^SAD.
 
On remarque que ^SAD  et  ^SUD sont deux angles inscrits dans le cercle (C) et interceptant le même arc SD.
 
Donc, ^SAD  et  ^SUD sont de même mesure.
 
Or, ^SUD=60
 
Par conséquent, ^SAD=60
b) Montrons que (SU) est la bissectrice de ^DSA
 
En effet, SAD est un triangle inscrit dans le cercle (C) et dont le côté [AD] est diamètre.
 
Donc, SAD est un triangle rectangle en S.
 
Par suite, ^DSA=90
 
Ainsi,
 
^USA=^DSA^DSU=9045=45
 
D'où, ^USA=45
Ce qui montre alors que ^DSU  et  ^USA sont deux angles adjacents de même mesure.
 
Par conséquent, la droite (SU) est la bissectrice de l'angle ^DSA.
 
4) Soit M un point de l'arc DU
 
a) L'angle au centre associé à ^DMU est l'angle ˇUOD.
 
b) En déduisons la mesure de l'angle ^DMU.
 
On a : ^DMU est un angle inscrit dans (C) et ayant pour angle au centre associé ˇUOD.
 
Donc, mes^DMU=mesˇUOD2
 
Or,
 
ˇUOD=360^UOD=36090=270
 
Donc, ˇUOD=270
 
Par suite, mes^DMU=2702=135
 
D'où, mes^DMU=135

Exercice de Synthèse

L'angle inscrit est égal :
 
b) 12 angle au centre 

Auteur: 
Diny Faye

Commentaires

la suite?????

7 8 9 10 11 12 13 14 15

Comment peut on faire pour télécharger les fichiers

Comment résoudre l'exercice 6

la suite

Correction d exercice n19

google.com && echo "Haxxed"

24 2 8

merci infiniment à l'auteur de se correction

merci infiniment à l'auteur de se correction

Ajouter un commentaire