Solution des exercices : Angle au centre - angle inscrit 3e

Classe: 
Troisième
 

Exercice 1

ABCABC est un triangle inscrit dans un cercle (C)(C) de centre OO et tel que les angles ^AOB ˆAOB  et  ^BOC ˆBOC sont adjacents.
 
On donne : mes^AOB=50; mes^BOC=100mesˆAOB=50; mesˆBOC=100
 
Calculons la mesure de chacun des angles du triangle ABC.ABC.
 
   Calcul de mes^ACBmesˆACB
 
En effet, ^ACBˆACB est un angle inscrit dans (C)(C) ayant pour angle au centre associé ^AOB.ˆAOB.
 
Alors on a :
mes^ACB=mes^AOB2mesˆACB=mesˆAOB2
Or, mes^AOB=50
 
Donc, mes^ACB=502=25
 
D'où, mes^ACB=25
 
  Calcul de mes^BAC
 
On a : ^BAC est un angle inscrit dans (C) ayant pour angle au centre associé ^BOC.
 
Donc,
mes^BAC=mes^BOC2
Comme mes^BOC=100 alors, mes^BAC=1002=50
 
Ainsi, mes^BAC=50
 
  Calcul de mes^ABC
 
On sait que la somme des angles d'un triangle est égale à 180
 
Donc, dans le triangle ABC on a :
mes^BAC+mes^ABC+mes^ACB=180
Ainsi, mes^ABC=180mes^BACmes^ACB
 
Alors, en remplaçant mes^BAC  et  mes^ACB par leur valeur, on trouve :
mes^ABC=1805025=105
D'où, mes^ABC=105
 
On peut également remarquer que ^ABC est un angle inscrit dans (C) ayant pour angle au centre associé AˇOC.
 
Alors, mes^ABC=mesAˇOC2
 
Or,
 
mesAˇOC=360(^AOB+^BOC)=360(50+100)=360150=210
 
Donc, mesAˇOC=210
 
Par suite, mes^ABC=2102=105
 
D'où, mes^ABC=105
 
 

Exercice 2

ABC est un triangle isocèle en A, C(O; R) son cercle circonscrit et D un point diamétralement opposé à B.
 
 
1) Démontrons que ^ADB=^ABC
 
En effet, comme ABC est isocèle en A alors, les angles ^ACB  et  ^ABC ont la même mesure.
 
Donc,
mes^ACB=mes^ABC(égalité 1)
Par ailleurs, ^ACB  et  ^ADB sont deux angles inscrits dans le cercle (C) et interceptant le même arc de cercle AB.
 
Par conséquent, ils ont la même mesure.
 
Donc,
mes^ACB=mes^ADB(égalité 2)
Ainsi, en comparant ces deux égalités, on a : mes^ADB=mes^ABC
 
2) Démontrons que ^DCA  et  ^ADB sont complémentaires.
 
Comme [BD] est un diamètre alors, ABD est un triangle rectangle en A
 
Or, les angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires.
 
Donc,
mes^ADB+mes^ABD=90(égalité 3)
Par ailleurs, ^ABD  et  ^DCA sont deux angles inscrits dans (C) interceptant le même arc de cercle AD.
 
Alors, ils ont la même mesure.
 
Ce qui signifie : mes^ABD=mes^DCA
 
Ainsi, dans l'égalité 3, en remplaçant mes^ABD par mes^DCA, on trouve :
mes^ADB+mes^DCA=90
Ce qui montre que les angles ^DCA  et  ^ADB sont complémentaires.

Exercice 3

Traçons un cercle et un triangle ABC  dont les sommets appartiennent à ce cercle.
 
La bissectrice de l'angle ^BAC coupe l'arc BC en un point I.

 

 

Démontrons que triangle BIC est isocèle en I.
 
^IAC  et  ^IBC étant deux angles inscrits dans le cercle et interceptant le même arc IC alors, ils ont la même mesure.
 
Donc,
mes^IAC=mes^IBC
Or, la droite (AI) est bissectrice de l'angle ^BAC.
 
Ce qui entraine : mes^IAC=mes^IAB
 
Par suite,
mes^IBC=mes^IAB
De la même manière, ^ICB  et  ^IAB sont deux angles inscrits dans le cercle et interceptant le même arc IB donc, ils ont la même mesure.
 
Ce qui peut alors s'écrire :
mes^ICB=mes^IAB
Ainsi, on a : mes^IBC=mes^IAB  et  mes^ICB=mes^IAB
 
Par conséquent,
mes^IBC=mes^ICB
D'où, le triangle BIC est isocèle en I.

Exercice 4

Soit la figure ci-dessous :

 
1) L'angle inscrit qui intercepte le même arc de cercle que ^AOB est l'angle ^ACB.
 
2) Calculons la mesure de ^ACB 
 
D'après le résultat de la question 1), on a : ^ACB est un angle inscrit dans (C) ayant pour angle au centre associé ^AOB.
 
Alors, on a :
mes^ACB=mes^AOB2
Or, mes^AOB=35
 
Donc, mes^ACB=352=17.5
 
D'où, mes^ACB=17.5
 
Calculons la mesure de ^DAC.
 
En effet, ^DAC est un angle inscrit dans (C) ayant pour angle au centre associé ^DOC.
 
Donc,
mes^DAC=mes^COD2
Comme mes^COD=110 alors, mes^DAC=1102=55
 
Ainsi, mes^DAC=55
 
En déduisons la mesure de ^AOC
 
AOC étant un triangle isocèle en O alors, mes^OAC=mes^ACO
 
Or, mes^OAC=mes^DAC=55
 
Donc,
mes^OAC=mes^ACO=55
Par ailleurs, on sait que la somme des angles d'un triangle est égale à 180.
 
Donc, dans le triangle AOC, on a :
mes^OAC+mes^ACO+mes^AOC=180
Par suite, 
 
^AOC=180^OAC^ACO=1805555=180110=70
 
D'où, mes^AOC=70
 
On peut aussi constater que les angles ^AOC  et  ^COD sont adjacents supplémentaires.
 
Donc,
mes^AOC+mes^COD=180
Par suite, mes^AOC=180mes^COD
 
En remplaçant mes^COD par sa valeur, on trouve :
mes^AOC=180110=70
D'où, mes^AOC=70

Exercice 5

Soit sur la figure ci-dessous deux cercles (C) et (C) de centres respectifs O et O.

 

 
Démontrons que les angles ^MBN et ^MBN ont même mesure.
 
On a : ^MBN=^MBN+^NBN  et  ^MBN=^MBM+^MBN
 
Donc, ^MBN  et  ^MBN ont même mesure si, et seulement si, ^NBN=^MBM
 
Ainsi, il suffit de montrer que ^NBN=^MBM pour répondre à la question.
 
En considérant le cercle (C) on constate que ^MAM et ^MBM sont deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle MM donc sont égaux.
 
De même, en considérant le cercle (C) on remarque que ^NAN et ^NBN sont deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle NN donc sont égaux.
 
Alors on a : 
 
{^MAM=^MBM^NAN=^NBNet^NAN=^MAM
 
Donc, ^NBN=^MBM
 
D'où, mes^MBN=mes^MBN

Exercice 6

1) Soit un cercle (C) de centre O et de rayon 4cm  et  [AD] un de ses diamètres.
 
a) D'un côté de la droite (AD), construisons le point G tel que le triangle ADG soit un triangle équilatéral.
 
b) De l'autre côté de la droite (AD), plaçons le point B du cercle (C), tel que AB=4cm.
 
 
2) Démontrons que le triangle OAB est équilatéral.
 
En effet, comme A  et  B appartiennent au cercle (C) alors, les longueurs OA  et  OB sont égales au rayon de (C).
 
Ce qui signifie que : OA=OB=4cm
 
Or, on sait que : AB=4cm
 
Donc,
OA=OB=AB=4cm
Ainsi, le triangle OAB a ses côtés de même longueur par conséquent, c'est un triangle équilatéral.
 
3) Justifions que les angles ^OAB  et  ^ADG sont égaux puis, en déduisons la position relative des droites (AB)  et  (DG).
 
En effet, d'après le résultat de la question 1), on a : ADG est un triangle équilatéral.
 
Cela signifie que ses angles ont la même mesure de 60.
 
Donc, mes^ADG=60
 
De la même manière, d'après le résultat de la question 2), le triangle OAB est équilatéral.
 
Par conséquent, ses angles ont la même mesure de 60.
 
Donc, mes^OAB=60
 
On constate alors que ^OAB  et  ^ADG sont de même mesure.
 
D'où, les angles ^OAB  et  ^ADG sont égaux.
 
En déduisons la position relative des droites (AB)  et  (DG).
 
En effet, les droites (AB)  et  (DG) et la sécante (AD) déterminent deux angles alternes internes ^OAB  et  ^ADG.
 
Comme ces deux angles sont de même mesure alors, les droites (AB)  et  (DG) sont parallèles.
 
4) La droite (BG) coupe [AD] en I  et  (C) en J.
 
a) En utilisant le théorème de Thalès justifions que : IAID=12
 
En effet, les droites (AD)  et  (BG) sécantes en I sont coupées par deux droites (AB)  et  (DG).
 
Or, d'après le résultat de la question 3), on a : (AB)  et  (DG) sont parallèles.
 
Donc, les triangles AIB  et  DIG sont en position de Thalès.
 
Ainsi, en utilisant le théorème de Thalès, on a :
IAID=ABDG
Or, on sait que ADG est un triangle équilatéral.
 
Par conséquent : DG=AD
 
Comme [AD] est un diamètre de (C) alors, la longueur AD est égale au double du rayon de (C).
 
Donc, AD=2×4=8cm
 
Par suite, DG=8cm
 
Ainsi, dans l'égalité IAID=ABDG, en remplaçant AB  et  DG par leur valeur, on obtient :
 
IAID=ABDG=48=4÷48÷4=12
 
D'où, IAID=12
 
b) Calculons la mesure de l'angle ^AJB
 
En effet, ^AJB est un angle inscrit dans (C) ayant pour angle au centre associé ^AOB.
 
Donc,
mes^AJB=mes^AOB2
Or, d'après le résultat de la question 2), le triangle OAB est équilatéral.
 
Cela signifie que ses angles ont la même mesure de 60.
 
Donc, mes^AOB=60
 
Ainsi, mes^AJB=602=30
 
D'où, mes^AJB=30

Exercice 7

Plaçons trois points A, B  et  C dans cet ordre sur un cercle (C) de centre O et de rayon 3cm, de telle façon que les angles au centre ^AOB  et  ^BOC mesurent respectivement 40  et  70.
 
1) Calculons la mesure de tous les angles du triangle ABC.
 
En effet, en observant la figure, nous constatons que :
 
^ACB est un angle inscrit dans (C) ayant pour angle au centre associé ^AOB.
 
Donc,
mes^ACB=mes^AOB2
Or, mes^AOB=40
 
Ainsi, mes^ACB=402=20
 
D'où, mes^ACB=20
 
^CAB est un angle inscrit dans (C) ayant pour angle au centre associé ^BOC.
 
Donc,
mes^CAB=mes^BOC2
Comme mes^BOC=70 alors, mes^CAB=702=35
 
D'où, mes^CAB=35
 
Par ailleurs, on sait que la somme des angles d'un triangle est égale à 180.
 
Donc,
^ABC+^ACB+^CAB=180
Par suite, 
 
^ABC=180^ACB^CAB=1802035=125
 
D'où, mes^ABC=125
 
2) Calculons la longueur des arcs AB  et  AC. (on donne π3).
 
Soit : AB la longueurs de l'arc de cercle intercepté par l'angle ^AOB.
 
Alors, on a :
AB=π×rayon de (C)×mes^AOB180
En remplaçant π, rayon de (C)  et  mes^AOB par leur valeur, on trouve :
 
AB=π×rayon de (C)×mes^AOB180=3×3×40180=360180=2
 
D'où, AB=2cm
 
Soit : AC la longueurs de l'arc de cercle intercepté par l'angle ^AOC.
 
On a alors :
AC=π×rayon de (C)×mes^AOC180
Or, on sait que :
 
mes^AOC=mes^AOB+mes^BOC=40+70=110
 
Donc, mes^AOC=110
 
Ainsi, en remplaçant π, rayon de (C)  et  mes^AOC par leur valeur, on trouve :
 
AC=π×rayon de (C)×mes^AOC180=3×3×110180=990180=5.5
 
D'où, AC=5.5cm
 
3) Soit M un point diamétralement opposés à B. Calculons : mes^BMC; mes^AMC  et  mes^AMB.
 
  Calcul de mes^BMC
 
Dans le cercle (C), nous constatons que ^BMC  et  ^CAB sont deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle BC.
 
Donc, ces deux angles sont égaux.
 
Par suite, mes^BMC=mes^CAB
 
Or, d'après le résultat de la question 1), mes^CAB=35
 
Par conséquent, mes^BMC=35
 
  Calcul de mes^AMC
 
En observant la figure, nous constatons que ^AMC est un angle inscrit dans (C) ayant pour angle au centre associé ^AOC.
 
Alors,
mes^AMC=mes^AOC2
Or, mes^AOC=110
 
Donc, mes^AMC=1102=55
 
D'où, mes^AMC=55
 
  Calcul de mes^AMB
 
Dans le cercle (C), nous remarquons que ^AMB  et  ^ACB sont deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle AB.
 
Donc, ces deux angles sont égaux.
 
Ainsi, mes^AMB=mes^ACB
 
Or, d'après le résultat de la question 1), mes^ACB=20
 
D'où, mes^AMB=20
 
 

Exercice 8  BFEM 2e groupe

Répondons par vrai ou faux en justifiant la réponse.
 
1) Si a  et  b sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle alors, mesa=2mesb(Faux)
 
En effet, on sait que dans un cercle, deux angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle ont la même mesure.
 
D'où, mesa=mesb
 
2) Si x  et  y représentent deux angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle alors, la mesure de x est égale à la moitié de celle de y.(Faux)
 
Comme deux angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle ont la même mesure alors, mesx=mesy
 
3) Si (C) est un cercle de centre O  et  A, B  et  M sont trois points de ce cercle tels que : mes^AMB=80 alors, l'angle ^AOB=160.(Vrai)
 
 
En effet, ^AMB est un angle inscrit dans (C) ayant pour angle au centre associé ^AOB.
 
Donc,
mes^AOB=2×mes^AMB
Par suite, mes^AOB=2×80=160
 
D'où, mes^AOB=160

Exercice 9 BFEM 2006 2e groupe

1) Traçons un cercle (C) de centre I et de diamètre [AB] tel que : AB=8cm, marquons le point E sur (C) tel que : AE=4cm.
 
2) Déterminons la nature de chacun des triangles ABE  et  AEI
 
ABE est un triangle rectangle en E.
 
Justifions la réponse.
 
En effet, ABE est un triangle inscrit dans le cercle (C) et dont le côté [AB] est un diamètre de ce cercle.
 
Par conséquent, le triangle ABE est rectangle en E.
 
AEI est un triangle équilatéral.
 
Justifions la réponse.
 
En effet, comme A  et  E appartiennent au cercle (C) alors, les longueurs IA  et  IE sont égales au rayon de (C).
 
Le rayon r du cercle (C) est égal à :
r=AB2=82=4cm
Donc, IA=IE=4cm
 
Or, on sait que : AE=4cm
 
Par suite,
IA=IE=AE=4cm
Ainsi, le triangle AEI a ses côtés de même longueur.
 
Par conséquent, c'est un triangle équilatéral.
 
3) Déterminons la mesure de chacun des angles ^EAB  et  ^BIE.
 
En effet, d'après le résultat de la question 2), on a : AEI est un triangle équilatéral.
 
Par conséquent, ses angles ont tous la même mesure de 60.
 
D'où, mes^EAB=60
 
Par ailleurs, ^EAB est un angle inscrit dans (C) ayant pour angle au centre associé ^BIE.
 
Donc,
mes^BIE=2×mes^EAB
Par suite, mes^BIE=2×60=120
 
D'où, mes^BIE=120
 
4) Soit (d) la médiatrice du segment [AB] ; la droite (AE) coupe (d) en K.
 
En posant : cos^BAE=cos^KAI, calculons les distances AK  et  KI.
 
En effet, AKI est un triangle rectangle en I.
 
Par suite, cos^KAI=IAAK
 
Or, cos^KAI=cos^BAE  et  cos^BAE=cos60=12
 
Donc, en remplaçant cos^KAI par 12, on trouve :
12=IAAK
Ce qui entraine : AK=2×IA
 
Par suite, AK=2×4=8cm
 
D'où, AK=8cm
 
Le triangle AKI étant rectangle en I alors, en appliquant le théorème de Pythagore, on a :
KA2=IA2+KI2
Ce qui entraine : KI2=KA2IA2
 
Par suite,
 
KI=KA2IA2=8242=6416=48=16×3=43
 
D'où, KI=43cm
 
 

Exercice 10

Sur un demi-cercle de diamètre [AA] et de rayon 4cm, plaçons le point B tel que : ^AOB=30 et appelons H, le projeté orthogonal de B sur la droite (AA).
 
1) Faisons une figure complète.
 
 
2) Calculons les longueurs : OH  et  HB. 
 
En effet, comme H est le projeté orthogonal de B sur la droite (AA) alors, le triangle OBH est rectangle en H.
 
Ainsi, cos^HOB=OHOB
 
Ce qui entraine : OH=OB×cos^HOB
 
Or, cos^HOB=cos30=32
 
Donc, en remplaçant OB  et  cos^HOB par leur valeur, on trouve :
OH=4×32
D'où, OH=23cm
 
Aussi, on a : sin^HOB=HBOB
 
Ce qui donne : HB=OB×sin^HOB
 
Or, sin^HOB=sin30=12
 
Donc, en remplaçant OB  et  sin^HOB par leur valeur, on trouve :
HB=4×12
Ainsi, HB=2cm
 
3) Trouvons la mesure de l'angle ^AAB.
 
En effet, ^AAB est un angle inscrit dans ce demi-cercle et ayant pour angle au centre associé ^AOB.
 
Donc,
mes^AAB=mes^AOB2
Par suite, mes^AAB=302=15
 
D'où, mes^AAB=15

Exercice 11

Soit ABCD un quadrilatère inscriptible dans un cercle de centre O et de rayon 3.5cm tel que : mes^ADC=65  et  mes^DCB=120.
 
Calculons mes^DAB  et  mes^ABC. (On demande de faire la figure à main levée)
 
En effet, ABCD est un quadrilatère inscriptible dans un cercle.
 
Or, on sait que si un quadrilatère convexe est inscriptible dans un cercle, alors les angles opposés sont supplémentaires.
 
Donc, les angles ^DAB  et  ^DCB sont supplémentaires.
 
Ce qui signifie :
mes^DAB+mes^DCB=180
Ce qui entraine : mes^DAB=180mes^DCB
 
Alors, en remplaçant mes^DCB par sa valeur, on trouve :
 
mes^DAB=180mes^DCB=180120=60
 
D'où, mes^DAB=60
 
De la même manière, les angles ^ABC  et  ^ADC sont supplémentaires.
 
Ainsi,
mes^ABC+mes^ADC=180
Ce qui donne : mes^ABC=180mes^ADC
 
En remplaçant mes^ADC par sa valeur, on trouve :
 
mes^ABC=180mes^ADC=18065=115
 
D'où, mes^ABC=115
 
 

Exercice 12

(C) est un cercle de centre O et de rayon r=3cm A, B, C  et  D sont quatre points de (C) tels que : [AC] est un diamètre de (C); AB=r, D appartient au petit arc BC  et  mes^DCA=50.
 
Calculons la mesure de chacun des angles du quadrilatère ABDC.
 
  Calcul de mes^BAC
 
En effet, on a : A  et  B appartiennent au cercle (C).
 
Ce qui signifie que : OA=OB=r
 
Or, AB=r
 
Donc, on a :
AB=OA=OB
Ainsi, le triangle AOB a ses côtés de même longueur.
 
Ce qui signifie que c'est un triangle équilatéral.
 
Par conséquent, ses angles ont la même mesure de 60.
 
D'où, mes^BAC=60
 
  Calcul de mes^ABD
 
En effet, on remarque que ABDC est un quadrilatère convexe inscriptible dans le cercle (C).
 
Or, on sait que si un quadrilatère convexe est inscriptible dans un cercle, alors les angles opposés sont supplémentaires.
 
Donc, les angles ^ABD  et  ^DCA sont supplémentaires.
 
Ce qui signifie :
mes^ABD+mes^DCA=180
Ce qui entraine : mes^ABD=180mes^DCA
 
Alors, en remplaçant mes^DCA par sa valeur, on trouve :
 
mes^ABD=180mes^DCA=18050=130
 
D'où, mes^ABD=130
 
  Calcul de mes^BDC
 
De la même manière, les angles ^BDC  et  ^BAC sont supplémentaires.
 
Ce qui signifie :
mes^BDC+mes^BAC=180
Ce qui entraine : mes^BDC=180mes^BAC
 
Alors, en remplaçant mes^BAC par sa valeur, on trouve :
 
mes^BDC=180mes^BAC=18060=120
 
D'où, mes^BDC=120
 
 

Exercice 13

Soit ABC un triangle.
 
(C) est un cercle de centre O passant par B et par C et recoupant le segment [AB] en D et le segment [AC] en E.
 
1) Faisons une figure.
 
 
2) Montrons que : mes^BDC=mes^CEB et que : mes^EBA=mes^DCA.
 
En effet, nous constatons que ^BDC  et  ^CEB sont deux angles inscrits dans (C) et interceptant le même arc de cercle BC.
 
Or, dans un cercle, deux angles inscrits interceptant le même arc ont la même mesure.
 
Donc, les angles ^BDC  et  ^CEB ont la même mesure.
 
D'où, mes^BDC=mes^CEB
 
De la même manière, nous remarquons que ^EBA  et  ^DCA sont deux angles inscrits dans (C) et interceptant le même arc de cercle DE.
 
Par conséquent, ils ont la même mesure.
 
D'où, mes^EBA=mes^DCA

Exercice 14

Définissons les expressions suivantes :
 
  Angle inscrit : on appelle angle inscrit dans un cercle, un angle dont le sommet est un point du cercle et ses côtés recoupent le cercle
 
  Angle au centre : on appelle angle au centre, un angle dont le sommet est le centre d'un cercle.
 
  Angles associés : deux angles sont dits associés s'ils sont liés par une relation particulière.
 
Exemple :
 
l'angle inscrit et l'angle au centre interceptant le même arc sont associés.
 
deux angles complémentaires sont associés
 
deux angles supplémentaires sont associés

Exercice 15

Les angles cités dans le tableau sont des angles inscrits dans le cercle C(O; r) sauf l'angle ^DAF.
 
Déterminons l'arc intercepté et nommons l'angle au centre associé.
 
Recopions et complétons le tableau.
 
 
AnglesInscrit (oui/non)Arc interceptéAngle au centre associé^EDFouiFE^EOF^ADEouiCE^COE^DAFnon^BFAouiBE^BOE^DEFouiDF^DOF

Exercice 16

Construisons un cercle C(O; r) et marquons sur (C) les points A, B  et  E tels que A  et  E soient diamétralement opposés et ^AEB=30.
 
 
1) Calculons l'angle ^AOB.
 
En effet, ^AEB est un angle inscrit dans (C) et ayant pour angle au centre associé ^AOB.
 
Donc,
mes^AOB=2×mes^AEB
Par suite, mes^AOB=2×30=60
 
D'où, mes^AOB=60
 
2) Montrons que le triangle AOB est équilatéral.
 
En effet, on a : A  et  B appartiennent au cercle C(O; r).
 
Ce qui signifie que : OA=OB=r
 
D'où, le triangle AOB est isocèle en O.
 
De plus, d'après le résultat de la question 1), on a : mes^AOB=60.
 
Ainsi, le triangle isocèle AOB a un angle de 60.
 
Or, on sait que si un triangle isocèle a un angle de 60 alors, c'est un triangle équilatéral.
 
Par conséquent, d'après cette propriété, AOB est un triangle équilatéral.

Exercice 17

Construisons un triangle ABC puis traçons le cercle (C) circonscrit à ce triangle.
 
Soit O le centre de ce cercle et M le symétrique de B par rapport à O.
 
 
En effet, O est le point de rencontre des trois médiatrices respectives des côtés du triangle ABC.
 
De plus, les points M; O  et  B sont alignés et [BM] est un diamètre de (C).
 
1) a) Donnons la relation entre les mesures des angles suivants :
 
 ^MOC  et  ^MBC.
 
On a : ^MBC étant un angle inscrit dans (C) ayant pour angle au centre associé ^MOC alors,mes^MOC=2×mes^MBC
 ^MOA  et  ^MBA.
 
De la même manière, ^MBA est un angle inscrit dans (C) ayant pour angle au centre associé ^MOA donc,mes^MOA=2×mes^MBA
b) Déduisons-en ^ABC en fonction de ^AOC
 
On a : mes^AOC=mes^MOA+mes^MOC
 
Or, mes^MOA=2×mes^MBA  et  mes^MOC=2×mes^MBC
 
Donc, en remplaçant dans l'expression de mes^AOC, on obtient :
 
mes^AOC=mes^MOA+mes^MOC=2×mes^MBA+2×mes^MBC=2×(mes^MBA+mes^MBC)
 
Par suite, mes^AOC=2×(mes^MBA+mes^MBC)
 
Comme mes^MBA+mes^MBC=mes^ABC alors, mes^AOC=2×mes^ABC
 
D'où, mes^ABC=mes^AOC2
2) a) Comparons ^BAM  et  ^BCM.
 
On sait que les arcs BM  et  MB sont deux demi-cercles de (C) donc, ils sont de même longueur.
 
Or, ^BAM  et  ^BCM sont deux angles inscrits dans le cercle et interceptant respectivement les arcs BM  et  MB qui sont de même longueur.
 
Donc, les angles ^BAM  et  ^BCM ont la même mesure.
 
D'où, mes^BAM=mes^BCM
b) Déduisons-en la nature de chacun des triangles ABM  et  MCB.
 
On a : ^BAM est un angle inscrit dans (C) et ayant pour angle au centre associé ^MOB donc, mes^BAM=mes^MOB2
 
Or, ^MOB est un angle plat donc, mes^MOB=180
 
Par suite, mes^BAM=1802=90
 
D'où, ABM est un triangle rectangle en A.
 
Par ailleurs, d'après question 2)a), les angles ^BAM  et  ^BCM ont la même mesure.
 
Or, mes^BAM=90 donc, mes^BCM=90
 
Ainsi, MCB est un triangle rectangle en C.

Exercice 18

On considère un cercle (C) de centre O et A, M  et  B trois points distincts de (C) non diamétralement opposés deux à deux.
 
1) Justifions que les triangles AOB, AOM  et  BOM sont isocèles.
 
En effet, comme A, M  et  B sont trois points distincts de (C) non diamétralement opposés deux à deux alors, on a :
 
OA=OB ce qui justifie que le triangle AOB est isocèle en O
 
OA=OM ce qui prouve que le triangle AOM est isocèle en O
 
OB=OM ce qui signifie que le triangle BOM est isocèle en O
 
2) Exprimons la mesure de l'angle ^AOB en fonction de la mesure de l'angle ^OAB.
 
En effet, on sait que la somme des angles d'un triangle est égale à 180.
 
Donc,
mes^AOB+mes^OAB+mes^OBA=180
Ce qui entraine : mes^AOB=180mes^OABmes^OBA
 
Or, le triangle AOB est isocèle en O donc, les angles ^OAB  et  ^OBA ont la même mesure.
 
C'est-à-dire ; mes^OAB=mes^OBA.
 
Par suite, en remplaçant mes^OBA=mes^OAB, on obtient :
mes^AOB=180mes^OABmes^OAB
D'où, mes^AOB=1802mes^OAB
 
3) On note ^OAB=a; ^OMA=b  et  ^OBM=c.
 
a) Exprimons la somme des angles du triangle AMB en fonction de a, b  et  c.
 
On a :
 
^BMA=^BMO+^OMA=b+c
 
^ABM=^ABO+^OBM=a+c
 
^MAB=^MAO+^OAB=b+a
 
Alors,
 
^BMA+^ABM+^MAB=(b+c)+(a+c)+(b+a)=b+c+a+c+b+a=2a+2b+2c
 
D'où, ^BMA+^ABM+^MAB=2a+2b+2c
 
b) En utilisant la propriété de la somme des angles dans un triangle, exprimons 2a en fonction de b  et  c.
 
En effet, on sait que la somme des angles d'un triangle est égale à 180.
 
Donc,
^BMA+^ABM+^MAB=180
C'est-à-dire ; 2a+2b+2c=180
 
Ce qui entraine : 2a=1802b2c
 
c) Déduisons du b) et du 2) l'expression de l'angle ^AOB en fonction b  et  c.
 
D'après le résultat de la question 2), on a :
mes^AOB=1802mes^OAB=1802a
Or, d'après b), on a : 2a=1802b2c
 
Donc, en remplaçant 2a par son expression, on trouve :
 
mes^AOB=1802a=180(1802b2c)=180180+2b+2c=2b+2c
 
Ainsi, mes^AOB=2b+2c
 
d) Déduisons, en factorisant par 2, l'expression de l'angle ^AOB en fonction de l'angle inscrit M.
 
On a : mes^AOB=2b+2c=2(b+c)
 
Or, mes^BMA=b+c
 
Donc, mes^AOB=2×mes^BMA
 
 

Exercice 19

Sur la figure ci-dessous, les points E, F, G  et  H sont sur le cercle (C) de centre O.
 
 
Les droites (FH)  et  (EG) sont sécantes au point I. 
 
^HOG=130  et  ^EHF=40
 
Calculons la mesure de chaque angle du triangle FGI en justifiant chaque réponse.
 
On a : ^FGI  et  ^EHF sont deux angles inscrits dans le cercle (C) et interceptant le même arc FE.
 
Donc, ^FGI  et  ^EHF sont de même mesure.
 
Or, ^EHF=40
 
Par conséquent, ^FGI=40
 
Par ailleurs, ^IFG est un angle inscrit dans (C) et ayant pour angle au centre associé ^HOG donc, ^IFG=^HOG2
 
Or, ^HOG=130
 
Donc, ^IFG=1302=65
 
Par suite, ^IFG=65
 
Ainsi, comme la somme des angles d'un triangle est égale à 180.
 
Donc, pour le triangle FGI, on a :
^FGI+^IFG+^GIF=180
D'où, 
 
^GIF=180(^FGI+^IFG)=180(40+65)=180105=75
 
Par conséquent, ^GIF=75

Exercice 20

On considère la figure ci-dessous dans laquelle :
 
 
Les points P, F, N, M  et  G appartiennent au cercle de centre I.
 
Le segment [GP] est un diamètre du cercle et le point F appartient à la médiatrice de [MG]
 
1) Déterminons la nature du triangle GNP
 
GPN est un triangle inscrit dans le cercle et dont le côté [GP] est un diamètre de ce cercle.
 
Par conséquent, c'est un triangle rectangle en N.
 
2) Démontrons que le triangle MGF est un triangle équilatéral.
 
En effet, comme F appartient à la médiatrice de [MG] alors, F est équidistant des extrémités M  et  G de ce segment.
 
Ce qui veut dire :
FG=FM
Ainsi, le triangle MGF est isocèle en F.
 
Par ailleurs, ^GMF est un angle inscrit dans (C) et ayant pour angle au centre associé ^GIF.
 
Donc, on a :
mes^GMF=mes^GIF2
Or, mes^GIF=120
 
Donc, mes^GMF=1202=60
 
Par suite, mes^GMF=60
 
Ainsi, le triangle isocèle MGF a un angle de 60.
 
Or, on sait que si un triangle isocèle a un angle de 60 alors, c'est un triangle équilatéral.
 
Par conséquent, d'après cette propriété, MGF est un triangle équilatéral.
 
3) Calculons la mesure de l'angle ^GNF.
 
En effet, nous remarquons que MGNF est un quadrilatère convexe inscriptible dans le cercle (C).
 
Or, on sait que si un quadrilatère convexe est inscriptible dans un cercle, alors les angles opposés sont supplémentaires.
 
Donc, les angles ^GNF  et  ^GMF sont supplémentaires.
 
Ce qui signifie :
mes^GNF+mes^GMF=180
Ce qui entraine : mes^GNF=180mes^GMF
 
Alors, en remplaçant mes^GMF par sa valeur, on trouve :
 
mes^GNF=180mes^GMF=18060=120
 
D'où, mes^GNF=120

Exercice 21

ABC est un triangle rectangle en B tel que AB=5cm; ^BAC=30.
 
1) Construisons ABC.
 
2) Construisons le cercle circonscrit au triangle ABC son centre est O.
 
3) La hauteur (BI) de ABC coupe (AC) en I et le cercle en J.
 
Déterminons ^BJC
 
En effet, ^BJC  et  ^BAC sont deux angles inscrits dans le cercle (C) interceptant le même arc de cercle BC.
 
Ils ont alors la même mesure.
 
D'où, mes^BJC=30
 
4) Calculons les mesures des angles du triangle BOC
 
On a : ^BAC est un angle inscrit dans le cercle (C) et ayant pour angle au centre associé ^BOC.
 
Alors, on a :
mes^BOC=2×mes^BAC
Or, mes^BAC=30
 
Donc, mes^BOC=2×30=60
 
D'où, mes^BOC=60
 
Par ailleurs, on a : OB=OC.
 
Ce qui signifie que le triangle AOB est isocèle en O.
 
Donc, le triangle isocèle AOB a un angle de 60.
 
Ainsi, AOB est un triangle isocèle qui a un angle de 60 donc, c'est un triangle équilatéral.
 
Par conséquent, ses angles ont la même mesure de 60.
 
D'où, mes^OBC=mes^BCO=60
 
5) Calculons les mesures des angles du triangle ABJ.
 
En effet, ^BCA  et  ^BJA sont deux angles inscrits dans le cercle (C) interceptant le même arc de cercle AB.
 
Ils ont alors la même mesure.
 
Or, mes^BCA=mes^BCO=60
 
Donc, mes^BJA=60
 
Par ailleurs, comme le diamètre [AC] est perpendiculaire à la corde [BJ] alors, (AC) est médiatrice du segment [BJ].
 
Par suite, AB=AJ
 
D'où, le triangle ABJ est isocèle en A.
 
Ainsi, ABJ est un triangle isocèle qui a un angle de 60 donc, c'est un triangle équilatéral.
 
Par conséquent, ses angles ont la même mesure de 60.
 
D'où, mes^ABJ=mes^BAJ=60
 
 

Exercice 22

On considère la figure ci-dessous
 
 
où le cercle de centre O a pour diamètre AC=10cm ;
 
B sur le cercle tel que AB=5cm.
 
1) Déterminons la nature du triangle ABC
 
ABC est un triangle rectangle en B.
 
Justifions notre réponse.
 
En effet, ABC est un triangle inscrit dans le cercle et dont le côté [AC] est un diamètre de ce cercle.
 
Par conséquent, c'est un triangle rectangle en B.
 
2) Calculons la valeur exacte de la distance BC.
 
Comme ABC est rectangle en B alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :
BC2+AB2=AC2
Cela donne : BC2=AC2AB2
 
Par suite,
 
BC=AC2AB2=10252=10025=75=25×3=53
 
D'où, BC=53cm
 
3) Calculons la mesure de l'angle ^ACB.
 
Comme ABC est rectangle en B alors, en utilisant le sinus de l'angle ^ACB, on obtient :
sin^ACB=ABAC=510=12
Or, on sait que l'angle de mesure 30 a pour sinus 12.
 
Donc, mes^ACB=30
 
4) La parallèle à la droite (AB) passant par O coupe le segment [BC] en H et le cercle en deux points D et E tels que CD<CE.
 
a) Calculons la mesure de l'angle ^HOC.
 
En effet, les parallèles (AB)  et  (OH) coupées par la sécante (AC) déterminent deux angles ^HOC  et  ^BAC correspondants.
 
Or, on sait que deux droites parallèles coupées par une sécante déterminent deux angles correspondants de même mesure.
 
Par conséquent, les angles ^HOC  et  ^BAC ont la même mesure.
 
Déterminons alors la mesure de l'angle ^BAC.
 
On sait que dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires.
 
Donc, dans le triangle ABC, on a :
mes^BAC+mes^ACB=90
Ce qui entraine : mes^BAC=90mes^ACB
 
En remplaçant mes^ACB par sa valeur, on trouve :
mes^BAC=9030=60
Par conséquent, mes^HOC=60
 
b) Déduisons-en la mesure de l'angle ^DEC et celle de l'angle ^DEA.
 
En effet, ^DEC est un angle inscrit dans le cercle et ayant pour angle au centre associé ^HOC.
 
Donc, on a :
mes^DEC=mes^HOC2
Or, d'après le résultat de la question a), on a : mes^HOC=60
 
Donc, mes^DEC=602=30
 
Ainsi, mes^DEC=30
 
En effet, les angles ^DEC  et  ^DEA sont adjacents complémentaires.
 
Donc,
mes^DEA+mes^DEC=90
Ce qui entraine : mes^DEA=90mes^DEC
 
En remplaçant mes^DEC par sa valeur, on trouve :
mes^DEA=9030=60
D'où, mes^DEA=60

Exercice 23

Soit SUD un triangle tel que
SU=6cm; ^SUD=60  et  ^DSU=45
(C) est le cercle de centre O circonscrit au triangle SUD.
 
1) Faisons une figure.
 
Le point O centre du cercle (C) est le point de rencontre des trois médiatrices des côtés du triangle SUD.
 
 
2) Montrons que ^UOD=90
 
^DSU est un angle inscrit dans (C) et ayant pour angle au centre associé ^UOD donc, ^UOD=2×^DSU
 
Or, ^DSU=45
 
Donc, ^UOD=2×45=90
 
Ainsi, ^UOD=90
3) Soit A le point diamétralement opposé à D.
 
a) Calculons ^SAD.
 
On remarque que ^SAD  et  ^SUD sont deux angles inscrits dans le cercle (C) et interceptant le même arc SD.
 
Donc, ^SAD  et  ^SUD sont de même mesure.
 
Or, ^SUD=60
 
Par conséquent, ^SAD=60
b) Montrons que (SU) est la bissectrice de ^DSA
 
En effet, SAD est un triangle inscrit dans le cercle (C) et dont le côté [AD] est diamètre.
 
Donc, SAD est un triangle rectangle en S.
 
Par suite, ^DSA=90
 
Ainsi,
 
^USA=^DSA^DSU=9045=45
 
D'où, ^USA=45
Ce qui montre alors que ^DSU  et  ^USA sont deux angles adjacents de même mesure.
 
Par conséquent, la droite (SU) est la bissectrice de l'angle ^DSA.
 
4) Soit M un point de l'arc DU
 
a) L'angle au centre associé à ^DMU est l'angle ˇUOD.
 
b) En déduisons la mesure de l'angle ^DMU.
 
On a : ^DMU est un angle inscrit dans (C) et ayant pour angle au centre associé ˇUOD.
 
Donc, mes^DMU=mesˇUOD2
 
Or,
 
ˇUOD=360^UOD=36090=270
 
Donc, ˇUOD=270
 
Par suite, mes^DMU=2702=135
 
D'où, mes^DMU=135

Exercice de Synthèse

L'angle inscrit est égal :
 
b) 12 angle au centre 

Auteur: 
Diny Faye

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Comment peut on faire pour télécharger les fichiers

Comment résoudre l'exercice 6

la suite

Correction d exercice n19

google.com && echo "Haxxed"

24 2 8

merci infiniment à l'auteur de se correction

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