Division des nombres décimaux arithmétiques 6e

Classe: 
Sixième

I. Division d'un nombre décimal par un autre

I.1 Division avec reste nul

Activité :

Trois frères se partagent une somme de $375\;F.$
 
Quelle est la part de chacun.

Solution :

Soit : $375\div 3$ alors, on a :
$$\begin{array}{r} 375\\-3\ \ \;\\\hline 75\\-6\ \;\\\hline 15\\\hline 0\\ \\\end{array}\begin{array}{|l} 3\\\hline 125\\ \\\\\\\\\\\end{array}$$
Donc, la part de chacun est de $125\;F$
 
L'opération effectuée est une division.
 
Le signe de la division est $\div$
 
$375$ est le dividende.
 
$3$ est le diviseur.
 
$125$ est le quotient.
 
$0$ est le reste ; la division de $375$ par $3$ donne un reste nul (égale à zéro).
 
$$\text{DIVIDENDE=DIVISEUR}\times\text{QUOTIENT}$$

I.2 Division avec reste non nul

Activité :

Un frère dispose de $69$ billes. Il les partage entre ses $5$ petites frères.
 
Quelle devra être le nombre de billes de chaque frère ?
 
Combien de billes lui reste-t-il ?

Solution

En effectuant la division de $69$ par $5$, on obtient :
 
$$\begin{array}{r} 69\\-5\ \;\\\hline 19\\-15\\\hline 4\\ \\\end{array}\begin{array}{|l} 5\\\hline 13\\ \\\\\\\\\end{array}$$
Ainsi, Chaque frère doit recevoir $13$ billets.
 
Par suite, il lui reste $4$ billets.
$$\text{DIVIDENDE=DIVISEUR}\times\text{QUOTIENT+RESTE}$$

Remarque :

Un diviseur est toujours différent de zéro.
 
Dans une division ; le reste est toujours inférieur au diviseur.

II. Quotient exact et quotient approché

II.1 Quotient exact

Activité :

Quatre enfants se partagent $125.4\;Kg$ d'arachide.
 
Quelle sera la part de chacun ?

Solution

On a : $125.4\div 4=31.35$
 
Donc, la part de chacun sera égale à : $31.35\;Kg$
 
Le quotient est exact lorsque le reste est nul.

II.2 Quotient approché

Activité :

Un jardinier dispose de $125\;Kg$ d'engrais qu'il doit partager entre des plants d'arbres.Il faut à chaque plant $7\;Kg.$
 
Combien de plants peut-il servir ?
 
Donner une valeur approchée par défaut puis par excès du quotient.

Solution

Soit : $125\div 7=17.857142$
 
Donc, le jardinier peut servir $17$ plants.

Quotient approché

$17.8$ est le quotient approché au dixième près (d'ordre 1)
 
$17.85$ est le quotient approché au centième près (d'ordre 2)
 
$17.857$ est le quotient approché au millième près (d'ordre 3)

Quotient approché par défaut

$17.7$ est le quotient approché par défaut au dixième près
 
$17.84$ est le quotient approché par défaut au centième près 
 
$17.856$ est le quotient approché par défaut au millième près

Quotient approché par excès

$17.9$ est le quotient approché par excès au dixième près
 
$17.858$ est le quotient approché par excès au millième près

III. Propriétés

$\centerdot\ \ $ Dans une division, lorsqu'on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre non nul ; le quotient ne change pas.

Exemples :

$\dfrac{150}{3}=\dfrac{150\times 10}{3\times 10}=\dfrac{1500}{30}=50$
 
$\centerdot\ \ $ Dans une division, lorsqu'on divise le dividende et le diviseur par un même nombre non nul ; le quotient ne change pas.

Exemples :

$\dfrac{240}{12}=\dfrac{240\div 6}{12\div 6}=\dfrac{40}{2}=20$

Exercices d'application :

Compléter le tableau suivant
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x&y&\text{Avec calculatrice}&\text{Arondi}&\text{Arondi}&\text{Arondi} \\&&xy/3&\text{au dixième}&\text{au centième}&\text{au millième} \\ \hline 2&5&&&&\\ \hline 8&7&&&&\\ \hline 1&1.258&&&&\\ \hline\end{array}$$

Solution

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x&y&\text{Avec calculatrice}&\text{Arondi}&\text{Arondi}&\text{Arondi}\\&&xy/3&\text{au dixième}&\text{au centième}&\text{au millième}\\ \hline 2&5&3.33333&3.3&3.33&3.333\\ \hline 8&7&18.66666&18.6&18.66&18.666\\ \hline 1&1.258&0.41933&0.4&0.41&0.419\\ \hline\end{array}$$

IV. Écriture décimal et écriture fractionnaire

IV.1 Écriture décimal

Soient $a\ $ et $\ b$ deux nombres décimaux quelconques et $b$ non nul; si le résultat de la division $\dfrac{a}{b}$ est exact et est égal à $q$, on dit que $q$ est l'écriture décimale du quotient $\dfrac{a}{b}$

Exemples : 

$3\div 4=0.75$
 
$0.75$ est l'écriture décimale ou la valeur décimale de $3\div 4$

IV.2 Écriture fractionnaire

Soient $a\ $ et $\ b$ deux nombres décimaux quelconques et $b$ non nul; si le résultat de la division $a\div b$ est exact et est égal à $q$, on dit que $\dfrac{a}{b}$ est l'écriture fractionnaire du nombre $q.$

Exemples :

$ 0.25=\dfrac{1}{4}$
 
$0.25$ est l'écriture décimale ou la valeur décimale de $\dfrac{1}{4}$

V. Fractions

Le quotient d'un nombre entier naturel $a$ par un nombre entier naturel non nul $b$ est  le nombre $q$ tel que $a=bq$
 
Ce nombre se note $\dfrac{a}{b}$
 
$\dfrac{a}{b}$ est une fraction ; le nombre entier naturel $a$ est son numérateur, le nombre entier naturel $b$ non nul est  son dénominateur.
 
Le numérateur et le dénominateur sont les termes de la fraction.

Exemples : 

$\dfrac{36}{45}\;;\quad\dfrac{6474}{546}\;;\quad\dfrac{76845}{8457}$ sont des fractions.

VI. Multiplication d'un nombre par une fraction

Pour multiplier un nombre par une fraction, on multiplie ce nombre par le numérateur et on conserve le dénominateur.

Cas général :

Soient $a\;;\ b\;;\ c$ trois nombres décimaux quelconques et $b$ non nul, alors on a :
$$\dfrac{a}{b}\times c=c\times\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\times c}{b}=\dfrac{ac}{b}$$

Exemples :

$\dfrac{4}{7}\times 5=\dfrac{4\times 5}{7}=\dfrac{20}{7}$
 
$12\times\dfrac{4}{56}=\dfrac{12\times 4}{56}=\dfrac{48}{5}$

 

 

Commentaires

Anonyme (non vérifié)

jeu, 11/19/2020 - 13:55

Merci

Sarr (non vérifié)

sam, 02/13/2021 - 19:56

Très intéressant

Une élève de 6e (non vérifié)

mar, 02/23/2021 - 21:11

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Un élève de sixième (non vérifié)

mer, 05/26/2021 - 22:42

Je suis parfaitement partant avec toi camarade

Anonyme (non vérifié)

dim, 03/28/2021 - 16:23

Oui

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