Devoir n° 35 1eS

Classe:

Première

Exercice 1

Soit un triangle

$ABC$ , on note

$O$ le centre de son cercle circonscrit

$\mathcal{C}$ et

$H$ le point défini par

$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$

1) Calculer les produits scalaires

$\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}\quad\text{et}\quad\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}$

En déduire que

$H$ est l'orthocentre du triangle

$ABC.$

2) On note

$A''$ le symétrique de

$H$ par rapport au milieu

$A'$ de

$[BC].$

Démontrer que

$O$ est le milieu de

$[AA''].$ En déduire que

$A''\in\mathcal{C}.$

3) On note

$H_{1}$ le symétrique de

$H$ par rapport à

$(BC).$

Montrer que

$\overrightarrow{H_{1}A''}\cdot\overrightarrow{AH}=0.$

En déduire que

$H_{1}\in\mathcal{c}.$

Exercice 2

Dans l'espace

$E$ , rapporté à un repère

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$ , on considère les points

$A(6\;,\ 0\;,\ 0)\text{ et }B(0\;,\ 6\;,\ 0).$

Faire une figure.

1) Déterminer le barycentre

$G$ des points massifs

$(O\;,\ 1)\;,\ (A\;,\ 2)$ et

$(B\;,\ 3).$

Placer

$G$ sur la figure.

2) Soit

$C(0\;,\ 0\;,\ 4).$ Déterminer l'ensemble

$\mathcal{S}$ des points

$M$ de

$\mathcal{E}$ qui vérifient :

$(\overrightarrow{MO}+2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB})\cdot\overrightarrow{MC}=0$

Donner une équation cartésienne de l'ensemble

$\mathcal{S}.$

3) Déterminer l'intersection de

$\mathcal{S}$ et du plan

$\Pi$ d'équation

$x=0.$

Dessiner cette intersection sur la figure.

4) Soit

$\mathcal{P}$ l'ensemble des points

$M$ tels que :

$MO^{2}+2MA^{2}-3MB^{2}=24$

Montrer que

$G\in\mathcal{P}.$

Déterminer

$\mathcal{P}.$

Exercice 3

On donne les fonctions

$f$ et

$g$ définies par :

$f(x)=-1+\sqrt{1+x^{2}}\quad\text{et}\quad g(x)=\dfrac{x^{2}}{1+|x|}$

1) Montrer que

$f\text{ et }g$ sont paires, continues et dérivables sur

$\mathbb{R}.$

2) Étudier les limites de

$f$ et

$g$ quand

$x$ tend vers

$+\infty.$

Montrer que les courbes

$\mathcal{C_{f}}$ et

$\mathcal{c_{g}}$ de

$f$ et

$g$ admettent pour asymptotes deux droites ayant respectivement pour équation

$y=x-1\quad\text{et}\quad y=-x-1$

3) Démontrer que, pour tout

$x\in\mathbb{R}\;,$

$1+|x|\leq 1+\sqrt{1+x^{2}}\quad\text{et}\quad f(x)\leq g(x)$

En déduire la position relative de

$\mathcal{C_{f}}\text{ et }\mathcal{C_{g}}.$

4) Étudier les variations de

$f$ et

$g.$

Placer les points de

$\mathcal{C_{f}}\text{ et }\mathcal{C_{g}}$ d'abscisses 1, 2, 3, 4.

Esquisser les courbes

$\mathcal{C_{f}}\text{ et }\mathcal{C_{g}}$ dans le même repère.

Exercice 4

On donne dans un repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ le cercle

$\mathcal{C}$ de centre

$A(1\;,\ 1)$ et de rayon 1.

$P$ est un point variable de l'axe

$(O\;,\ \vec{i})$ et

$Q$ un point variable de l'axe

$(O\;,\ \vec{j}).$

On pose

$\overline{OP}=u$ et

$\overline{OQ}=v.\$ (

$u$ et

$v$ sont des réels non nuls).

1) Écrire une équation de la droite

$(PQ)$ et Calculer la distance du point

$A$ à la droite

$(PQ)$ en fonction de

$u$ et

$v.$

Démontrer qu'une condition nécessaire et suffisante pour que

$(PQ)$ soit tangente à

$\mathcal{C}$ est

$uv-2(u+v)+2=0\quad(1)$

2) On suppose dans toute la suite que (1) est vérifiée.

On désigne par

$M$ le milieu de

$[PQ]$ et par

$F$ le symétrique de

$O$ par rapport à

$A.$

a) Calculer les distances

$OM$ et

$FM$ en fonction de

$u$ seulement.

On montrera que ces distances peuvent s'exprimer comme des fractions rationnelles de

$u.$

Calculer

$MO-FM.$

b) Calculer le périmètre du triangle

$OPQ$ en fonction de

$u.$

3) On considère la fonction

$f\ :\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\;,\ x\mapsto f(x)\;;$ avec

$f(x)=|x|+2\left|\dfrac{x-1}{x-2}\right|+\left|\dfrac{x^{2}-2x+2}{x-2}\right|.$

a) Étudier la continuité et la dérivabilité de

$f$ sur son ensemble de définition

$\mathcal{D}.$

Étudier les limites de

$f$ aux bornes de

$\mathcal{D}.$

Étudier les branches infinies de la courbe

$\mathcal{C_{f}}$ de

$f.$

b) Calculer la fonction dérivée première de

$f$ , et étudier le signe de

$f'(x).$ Dresser le tableau de variation de

$f.$

c) Esquisser la courbe représentative de

$f$ dans un repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Je crois que y a erreur au niveau de l'exercice 3

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Anonyme (non vérifié)

dim, 08/07/2022 - 11:56

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Je crois que y a erreur au

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