Devoir n° 35 1eS
Classe:
Première
Exercice 1
Soit un triangle $ABC$, on note $O$ le centre de son cercle circonscrit $\mathcal{C}$ et $H$ le point défini par
$$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$$
1) Calculer les produits scalaires $$\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}\quad\text{et}\quad\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}$$
En déduire que $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC.$
2) On note $A''$ le symétrique de $H$ par rapport au milieu $A'$ de $[BC].$
Démontrer que $O$ est le milieu de $[AA''].$ En déduire que $A''\in\mathcal{C}.$
3) On note $H_{1}$ le symétrique de $H$ par rapport à $(BC).$
Montrer que $\overrightarrow{H_{1}A''}\cdot\overrightarrow{AH}=0.$
En déduire que $H_{1}\in\mathcal{c}.$
Exercice 2
Dans l'espace $E$, rapporté à un repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$, on considère les points $A(6\;,\ 0\;,\ 0)\text{ et }B(0\;,\ 6\;,\ 0).$
Faire une figure.
1) Déterminer le barycentre $G$ des points massifs $(O\;,\ 1)\;,\ (A\;,\ 2)$ et $(B\;,\ 3).$
Placer $G$ sur la figure.
2) Soit $C(0\;,\ 0\;,\ 4).$ Déterminer l'ensemble $\mathcal{S}$ des points $M$ de $\mathcal{E}$ qui vérifient :
$$(\overrightarrow{MO}+2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB})\cdot\overrightarrow{MC}=0$$
Donner une équation cartésienne de l'ensemble $\mathcal{S}.$
3) Déterminer l'intersection de $\mathcal{S}$ et du plan $\Pi$ d'équation $x=0.$
Dessiner cette intersection sur la figure.
4) Soit $\mathcal{P}$ l'ensemble des points $M$ tels que :
$$MO^{2}+2MA^{2}-3MB^{2}=24$$
Montrer que $G\in\mathcal{P}.$
Déterminer $\mathcal{P}.$
Exercice 3
On donne les fonctions $f$ et $g$ définies par : $$f(x)=-1+\sqrt{1+x^{2}}\quad\text{et}\quad g(x)=\dfrac{x^{2}}{1+|x|}$$
1) Montrer que $f\text{ et }g$ sont paires, continues et dérivables sur $\mathbb{R}.$
2) Étudier les limites de $f$ et $g$ quand $x$ tend vers $+\infty.$
Montrer que les courbes $\mathcal{C_{f}}$ et $\mathcal{c_{g}}$ de $f$ et $g$ admettent pour asymptotes deux droites ayant respectivement pour équation
$$y=x-1\quad\text{et}\quad y=-x-1$$
3) Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}\;,$
$$1+|x|\leq 1+\sqrt{1+x^{2}}\quad\text{et}\quad f(x)\leq g(x)$$
En déduire la position relative de $\mathcal{C_{f}}\text{ et }\mathcal{C_{g}}.$
4) Étudier les variations de $f$ et $g.$
Placer les points de $\mathcal{C_{f}}\text{ et }\mathcal{C_{g}}$ d'abscisses 1, 2, 3, 4.
Esquisser les courbes $\mathcal{C_{f}}\text{ et }\mathcal{C_{g}}$ dans le même repère.
Exercice 4
On donne dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ le cercle $\mathcal{C}$ de centre $A(1\;,\ 1)$ et de rayon 1.
$P$ est un point variable de l'axe $(O\;,\ \vec{i})$ et $Q$ un point variable de l'axe $(O\;,\ \vec{j}).$
On pose $\overline{OP}=u$ et $\overline{OQ}=v.\ $ ($u$ et $v$ sont des réels non nuls).
1) Écrire une équation de la droite $(PQ)$ et Calculer la distance du point $A$ à la droite $(PQ)$ en fonction de $u$ et $v.$
Démontrer qu'une condition nécessaire et suffisante pour que $(PQ)$ soit tangente à $\mathcal{C}$ est $$uv-2(u+v)+2=0\quad(1)$$
2) On suppose dans toute la suite que (1) est vérifiée.
On désigne par $M$ le milieu de $[PQ]$ et par $F$ le symétrique de $O$ par rapport à $A.$
a) Calculer les distances $OM$ et $FM$ en fonction de $u$ seulement.
On montrera que ces distances peuvent s'exprimer comme des fractions rationnelles de $u.$
Calculer $MO-FM.$
b) Calculer le périmètre du triangle $OPQ$ en fonction de $u.$
3) On considère la fonction $f\ :\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\;,\ x\mapsto f(x)\;;$ avec $$f(x)=|x|+2\left|\dfrac{x-1}{x-2}\right|+\left|\dfrac{x^{2}-2x+2}{x-2}\right|.$$
a) Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ sur son ensemble de définition $\mathcal{D}.$
Étudier les limites de $f$ aux bornes de $\mathcal{D}.$
Étudier les branches infinies de la courbe $\mathcal{C_{f}}$ de $f.$
b) Calculer la fonction dérivée première de $f$, et étudier le signe de $f'(x).$ Dresser le tableau de variation de $f.$
c) Esquisser la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
sam, 01/30/2021 - 23:54
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ok
Anonyme (non vérifié)
sam, 01/30/2021 - 23:55
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ok
Anonyme (non vérifié)
dim, 04/11/2021 - 00:11
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I'm paul
Anonyme (non vérifié)
dim, 04/11/2021 - 00:11
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Ok
Anonyme (non vérifié)
dim, 04/11/2021 - 00:12
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Ok
Anonyme (non vérifié)
dim, 03/20/2022 - 15:40
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Je crois que y a erreur au
Anonyme (non vérifié)
dim, 08/07/2022 - 11:56
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Bon devoir
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