Devoir n° 35 1eS

Classe: 
Première
 

Exercice 1

Soit un triangle ABC, on note O le centre de son cercle circonscrit C et H le point défini par
OH=OA+OB+OC
 
1) Calculer les produits scalaires AHBCetBHAC
 
En déduire que H est l'orthocentre du triangle ABC.
 
2) On note A le symétrique de H par rapport au milieu A' de [BC]. 
 
Démontrer que O est le milieu de [AA'']. En déduire que A''\in\mathcal{C}.
 
3) On note H_{1} le symétrique de H par rapport à (BC). 
 
Montrer que \overrightarrow{H_{1}A''}\cdot\overrightarrow{AH}=0.
 
En déduire que H_{1}\in\mathcal{c}.

Exercice 2

Dans l'espace E, rapporté à un repère (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k}), on considère les points A(6\;,\ 0\;,\ 0)\text{ et }B(0\;,\ 6\;,\ 0). 
 
Faire une figure.
 
1) Déterminer le barycentre G des points massifs (O\;,\ 1)\;,\ (A\;,\ 2) et (B\;,\ 3). 
 
Placer G sur la figure.
 
2) Soit C(0\;,\ 0\;,\ 4). Déterminer l'ensemble \mathcal{S} des points M de \mathcal{E} qui vérifient :
(\overrightarrow{MO}+2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB})\cdot\overrightarrow{MC}=0
 
Donner une équation cartésienne de l'ensemble \mathcal{S}.
 
3) Déterminer l'intersection de \mathcal{S} et du plan \Pi d'équation x=0.
 
Dessiner cette intersection sur la figure.
 
4) Soit \mathcal{P} l'ensemble des points M tels que :
MO^{2}+2MA^{2}-3MB^{2}=24
 
Montrer que G\in\mathcal{P}. 
 
Déterminer \mathcal{P}.

Exercice 3

On donne les fonctions f et g définies par : f(x)=-1+\sqrt{1+x^{2}}\quad\text{et}\quad g(x)=\dfrac{x^{2}}{1+|x|}
 
1) Montrer que f\text{ et }g sont paires, continues et dérivables sur \mathbb{R}.
 
2) Étudier les limites de f et g quand x tend vers +\infty. 
 
Montrer que les courbes \mathcal{C_{f}} et \mathcal{c_{g}} de f et g admettent pour asymptotes deux droites ayant respectivement pour équation
y=x-1\quad\text{et}\quad y=-x-1
 
3) Démontrer que, pour tout x\in\mathbb{R}\;,
1+|x|\leq 1+\sqrt{1+x^{2}}\quad\text{et}\quad f(x)\leq g(x)
 
En déduire la position relative de \mathcal{C_{f}}\text{ et }\mathcal{C_{g}}.
 
4) Étudier les variations de f et g. 
 
Placer les points de \mathcal{C_{f}}\text{ et }\mathcal{C_{g}} d'abscisses 1, 2, 3, 4.
 
Esquisser les courbes \mathcal{C_{f}}\text{ et }\mathcal{C_{g}} dans le même repère.

Exercice 4

On donne dans un repère orthonormé (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}) le cercle \mathcal{C} de centre A(1\;,\ 1) et de rayon 1.
 
P est un point variable de l'axe (O\;,\ \vec{i}) et Q un point variable de l'axe (O\;,\ \vec{j}).
 
On pose \overline{OP}=u et \overline{OQ}=v.\ (u et v sont des réels non nuls).
 
1) Écrire une équation de la droite (PQ) et Calculer la distance du point A à la droite (PQ) en fonction de u et v. 
 
Démontrer qu'une condition nécessaire et suffisante pour que (PQ) soit tangente à \mathcal{C} est uv-2(u+v)+2=0\quad(1)
 
2) On suppose dans toute la suite que (1) est vérifiée. 
 
On désigne par M le milieu de [PQ] et par F le symétrique de O par rapport à A.
 
a) Calculer les distances OM et FM en fonction de u seulement.
 
On montrera que ces distances peuvent s'exprimer comme des fractions rationnelles de u.
 
Calculer MO-FM.
 
b) Calculer le périmètre du triangle OPQ en fonction de u.
 
3) On considère la fonction f\ :\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\;,\ x\mapsto f(x)\;; avec f(x)=|x|+2\left|\dfrac{x-1}{x-2}\right|+\left|\dfrac{x^{2}-2x+2}{x-2}\right|.
 
a) Étudier la continuité et la dérivabilité de f sur son ensemble de définition \mathcal{D}. 
 
Étudier les limites de f aux bornes de \mathcal{D}. 
 
Étudier les branches infinies de la courbe \mathcal{C_{f}} de f.
 
b) Calculer la fonction dérivée première de f, et étudier le signe de f'(x). Dresser le tableau de variation de f.
 
c) Esquisser la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).
 

Commentaires

I'm paul

Je crois que y a erreur au niveau de l'exercice 3

Bon devoir

Ajouter un commentaire