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Corrigé Bac Maths S1, S3 1er groupe 2007

Classe:

Terminale

Exercice 1

Soient

$\alpha\$ et

$\ \beta$ deux nombres complexes quelconques.

On pose :

$\mathrm{j}=\mathrm{e}^{\tfrac{2\mathrm{i}\pi}{3}}$ et pour tout complexe

$z$ :

$f(z)=z^{3}+\alpha z^{2}+\beta z$

1) Montrons que

$f(1)+f(\mathrm{j})+f(\mathrm{j}^{2})=3$ sachant que

$1+\mathrm{j}+\mathrm{j}^{2}=0\$ et

$\ \mathrm{j}^{3}=1$

Soit :

$\begin{array}{rcl} f(1)+f(\mathrm{j})+f(\mathrm{j}^{2})&=&1+\alpha+\beta+\mathrm{j}^{3}+\alpha\mathrm{j}^{2}+\beta\mathrm{j}+(\mathrm{j}^{2})^{3}+\alpha(\mathrm{j}^{2})^{2}+\beta\mathrm{j}^{2}\\ \\&=&1+\mathrm{j}^{3}+\alpha(1+\mathrm{j}^{2}+\underbrace{\mathrm{j}^{4}}_{=\mathrm{j}})+\beta\underbrace{(1+\mathrm{j}+\mathrm{j}^{2})}_{=0}+\underbrace{\mathrm{j}^{6}}_{=(\mathrm{j}^{3})^{2}} \\ \\&=&1+\mathrm{j}^{3}+\alpha\underbrace{(1+\mathrm{j}^{2}+\mathrm{j})}_{=0}+(\mathrm{j}^{3})^{2}\\ \\&=&1+\mathrm{j}^{3}+(\mathrm{j}^{3})^{2}\quad\text{or, }\ \mathrm{j}^{3}=1\\ \\&=&1+1+1\\ \\&=&3\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{f(1)+f(\mathrm{j})+f(\mathrm{j}^{2})=3}$

2) a) En déduisons que

$|f(1)|+|f(\mathrm{j})|+|f(\mathrm{j}^{2})| \geq 3$

En utilisant l'inégalité triangulaire, on obtient :

$|f(1)+f(\mathrm{j})+f(\mathrm{j}^{2})|\leq|f(1)|+|f(\mathrm{j})|+|f(\mathrm{j}^{2})|$

Or,

$|f(1)+f(\mathrm{j})+f(\mathrm{j}^{2})|=3$

Donc,

$\boxed{|f(1)|+|f(\mathrm{j})|+|f(\mathrm{j}^{2})|\geq 3}$

b) En utilisant a), montrons que l'un au moins des nombres réels

$|f(1)|\;;\ |f(\mathrm{j})|\$ et

$\ |f(\mathrm{j}^{2})|$ est supérieur ou égal à 1.

Supposons que les nombres réels

$|f(1)|\;;\ |f(\mathrm{j})|\$ et

$\ |f(\mathrm{j}^{2})|$ sont tous inférieurs à 1.

Alors,

$|f(1)|+|f(\mathrm{j})|+|f(\mathrm{j}^{2})|\leq 1+1+1=3$

Ce qui est contradictoire au résultat obtenu en a).

Par conséquent, l'hypothèse de départ, à savoir ; les nombres réels

$|f(1)|\;;\ |f(\mathrm{j})|\$ et

$\ |f(\mathrm{j}^{2})|$ sont tous inférieurs à 1, est fausse.

D'où : l'un au moins des nombres réels

$|f(1)|\;;\ |f(\mathrm{j})|\$ et

$\ |f(\mathrm{j}^{2})|$ est supérieur ou égal à 1.

3) Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

$ABC$ est un triangle équilatéral direct de centre de gravité

$O$ et tel que l'affixe de

$A$ soit un réel

$r$ strictement positif fixé.

$I\$ et

$\ J$ sont deux points quelconques du plan d'affixes respectives

$a\$ et

$\ b.$

Dans cette question on prend

$\alpha=-\dfrac{a+b}{r}\$ et

$\ \beta=\dfrac{ab}{r^{2}}$

a) Montrons que les affixes respectives de

$B\$ et

$\ C$ sont

$r\mathrm{j}\$ et

$\ r\mathrm{j}^{2}.$

Soit :

$z_{B}=|z_{B}|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_{B}}\$ avec,

$\theta_{B}=arg\;z_{B}\$ et

$\ |z_{B}|=OB$

Le point

$A$ étant sur l'axe réel

$(Z_{A}=r\in\mathbb{R}_{+}^{*})\$ et

$\ ABC$ équilatéral direct de centre de gravité

$O$ alors,

$OA=OB=r\quad\text{et}\quad\theta_{B}=\left(\overrightarrow{OA}\;,\ \overrightarrow{OB}\right)=\dfrac{2\pi}{3}$

Ainsi,

$\begin{array}{rcl} z_{B}&=&|z_{B}|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_{B}}\\ \\&=&OB.\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{2\pi}{3}}\\ \\&=&r.\mathrm{e}^{\tfrac{2\mathrm{i}\pi}{3}}\\ \\&=&r.\mathrm{j}\end{array}$

D'où,

$\boxed{z_{B}=r.\mathrm{j}}$

De même, on a :

$z_{C}=|z_{C}|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_{C}}\$ avec,

$\theta_{C}=arg\;z_{C}\$ et

$\ |z_{C}|=OC$

Donc,

$OA=OC=r\quad\text{et}\quad\theta_{C}=\left(\overrightarrow{OA}\;,\ \overrightarrow{OC}\right)=\dfrac{4\pi}{3}$

Par suite,

$\begin{array}{rcl} z_{C}&=&|z_{C}|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_{C}}\\ \\&=&OC.\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{4\pi}{3}}\\ \\&=&r.\mathrm{e}^{\tfrac{4\mathrm{i}\pi}{3}}\quad\text{or, }\ \mathrm{e}^{\tfrac{4\mathrm{i}\pi}{3}}=\left(\mathrm{e}^{\tfrac{2\mathrm{i}\pi}{3}}\right)^{2}\\ \\&=&r.\left(\mathrm{e}^{\tfrac{2\mathrm{i}\pi}{3}}\right)^{2}\\ \\&=&r.\mathrm{j}^{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{z_{C}=r.\mathrm{j}^{2}}$

b) Montrons que

$BO\cdot BI\cdot BJ=r^{3}|f(\mathrm{j})|.$

On a :

$\begin{array}{rcl} BO\cdot BI\cdot BJ&=&|z_{B}|.|z_{\overrightarrow{BI}}|.|z_{\overrightarrow{BJ}}|\\ \\&=&|z_{B}\times z_{\overrightarrow{BI}}\times z_{\overrightarrow{BJ}}|\\ \\&=&|r.\mathrm{j}(a-r.\mathrm{j})(b-r.\mathrm{j})|\\ \\&=&|r.\mathrm{j}(ab-r.\mathrm{j}.a-r.\mathrm{j}.b+(r.\mathrm{j})^{2})|\\ \\&=&|r.\mathrm{j}(ab-r.\mathrm{j}(a+b)+(r.\mathrm{j})^{2})|\quad\text{or, }\ (a+b)=-r.\alpha\ \text{ et }\ ab=r^{2}.\beta\\ \\&=&|r.\mathrm{j}(r^{2}.\beta+r^{2}.\mathrm{j}.\alpha+r^{2}.\mathrm{j}^{2})|\\ \\&=&|r^{3}(\mathrm{j}.\beta+\mathrm{j}^{2}.\alpha+\mathrm{j}^{3})|\\ \\&=&r^{3}|\mathrm{j}^{3}+\alpha\mathrm{j}^{2}+\beta\mathrm{j}|\\ \\&=&r^{3}|f(\mathrm{j})|\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{BO\cdot BI\cdot BJ=r^{3}|f(\mathrm{j})|}$

Calculons de la même manière

$CO\cdot CI\cdot CJ\$ et

$\ AO\cdot AI\cdot AJ$

Soit :

$\begin{array}{rcl} CO\cdot CI\cdot CJ&=&|z_{C}|.|z_{\overrightarrow{CI}}|.|z_{\overrightarrow{CJ}}|\\ \\&=&|z_{C}\times z_{\overrightarrow{CI}}\times z_{\overrightarrow{CJ}}|\\ \\&=&|r.\mathrm{j}^{2}(a-r.\mathrm{j}^{2})(b-r.\mathrm{j}^{2})|\\ \\&=&|r.\mathrm{j}^{2}(ab-r.\mathrm{j}^{2}.a-r.\mathrm{j}^{2}.b+(r.\mathrm{j}^{2})^{2})|\\ \\&=&|r.\mathrm{j}^{2}(ab-r.\mathrm{j}^{2}(a+b)+(r.\mathrm{j}^{2})^{2})|\quad\text{avec, }\ (a+b)=-r.\alpha\ \text{ et }\ ab=r^{2}.\beta\\ \\&=&|r.\mathrm{j}^{2}(r^{2}.\beta+r^{2}.\mathrm{j}^{2}.\alpha+r^{2}.\mathrm{j}^{4})|\\ \\&=&|r^{3}(\mathrm{j}^{2}.\beta+\mathrm{j}^{4}.\alpha+\mathrm{j}^{6})|\\ \\&=&r^{3}|(\mathrm{j}^{2})^{3}+\alpha(\mathrm{j}^{2})^{2}+\beta\mathrm{j}^{2}|\\ \\&=&r^{3}|f(\mathrm{j}^{2})|\end{array}$

Donc,

$\boxed{CO\cdot CI\cdot CJ=r^{3}|f(\mathrm{j}^{2})|}$

Aussi, on a :

$\begin{array}{rcl} AO\cdot AI\cdot AJ&=&|z_{A}|.|z_{\overrightarrow{AI}}|.|z_{\overrightarrow{AJ}}|\\ \\&=&|z_{A}\times z_{\overrightarrow{AI}}\times z_{\overrightarrow{AJ}}|\\ \\&=&|r(a-r)(b-r)|\\ \\&=&|r(ab-r.a-r.b+r^{2})|\\ \\&=&|r(ab-r(a+b)+r^{2})|\quad\text{avec, }\ (a+b)=-r.\alpha\ \text{ et }\ ab=r^{2}.\beta\\ \\&=&|r(r^{2}.\beta+r^{2}.\alpha+r^{2})|\\ \\&=&|r^{3}(\beta+\alpha+1)|\\ \\&=&r^{3}|(1+\alpha+\beta|\\ \\&=&r^{3}|f(1)|\end{array}$

Donc,

$\boxed{AO\cdot AI\cdot AJ=r^{3}|f(1)|}$

c) Montrons que le triangle

$ABC$ a au moins un sommet

$S$ vérifiant :

$SO\cdot SI\cdot SJ\geq r^{3}$

D'après la question 3)b), les sommets

$A\;,\ B\$ et

$\ C$ du triangle

$ABC$ vérifient :

$AO\cdot AI\cdot AJ=r^{3}|f(1)|\;,\ BO\cdot BI\cdot BJ=r^{3}|f(\mathrm{j})|\ \text{ et }\ CO\cdot CI\cdot CJ=r^{3}|f(\mathrm{j}^{2})|$

Donc, si tout sommet

$S$ vérifie :

$SO\cdot SI\cdot SJ< r^{3}$ , on aura :

$AO\cdot AI\cdot AJ+BO\cdot BI\cdot BJ+CO\cdot CI\cdot CJ<3r^{3}$

Or,

$\begin{array}{rcl} AO\cdot AI\cdot AJ+BO\cdot BI\cdot BJ+CO\cdot CI\cdot CJ&=&r^{3}|f(1)|+r^{3}|f(\mathrm{j})|+r^{3}|f(\mathrm{j}^{2})|\\ \\&=&r^{3}(|f(1)|+|f(\mathrm{j})|+|f(\mathrm{j}^{2})|)\end{array}$

Ainsi,

$r^{3}(|f(1)|+|f(\mathrm{j})|+|f(\mathrm{j}^{2})|)<3r^{3}\ \Rightarrow\ |f(1)|+|f(\mathrm{j})|+|f(\mathrm{j}^{2})|<3$

Ce qui est en contradiction avec le résultat obtenu au 2.a), à savoir ;

$|f(1)|+|f(\mathrm{j})|+|f(\mathrm{j}^{2})|\geq 3$

Par suite, l'hypothèse de départ est fausse et par conséquent, le triangle

$ABC$ a au moins un sommet

$S$ vérifiant :

$SO\cdot SI\cdot SJ\geq r^{3}$

Autre méthode

Tout sommet

$S$ vérifie :

$SO\cdot SI\cdot SJ=r^{3}\lambda$

où,

$\lambda$ représente

$|f(1)|\$ ou

$\ |f(\mathrm{j})|\$ ou

$\ |f(\mathrm{j}^{2})|$

Or, d'après 2.b), on sait que au moins l'un des nombres réels

$|f(1)|\;;\ |f(\mathrm{j})|\$ et

$\ |f(\mathrm{j}^{2})|$ est supérieur ou égal à 1. Donc, il existe au moins un

$\lambda$ vérifiant :

$\lambda\geq 1$

Par suite,

$\lambda\geq 1\ \Rightarrow\ \exists\;S\;;\ SO\cdot SI\cdot SJ\geq r^{3}$

Par conséquent, le triangle

$ABC$ a au moins un sommet

$S$ vérifiant :

$SO\cdot SI\cdot SJ\geq r^{3}$

Exercice 2

Le plan

$(P)$ étant orienté ; on considère un triangle rectangle isocèle

$ABC$ tel que

$\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BC}\right)$ ait pour mesure

$\dfrac{\pi}{2}$

On note

$O$ l'intersection des bissectrices intérieures de

$ABC$ .

Soit

$s_{1}$ la similitude plane directe de centre

$A$ qui transforme

$B$ en

$O$ et

$s_{2}$ la similitude plane directe de centre

$C$ qui transforme

$O$ en

$B.$

A tout point

$M$ du plan distinct de

$A$ et de

$B$ ; on associe le point

$N=s_{1}(M)$ et le point

$P=s_{2}^{-1}(M)$

1) a) Déterminons une mesure de l'angle

$\left(\overrightarrow{AM}\;;\ \overrightarrow{AN}\right)$

On a :

$s_{1}=s_{(A\;,\ k_{1}\;,\ \theta_{1})}$

Comme

$s_{1}$ transforme

$B$ en

$O$ alors, on a :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} AO&=&k_{1} AB \\ \\ \left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AO}\right)&=&\theta_{1}\;[2\pi]\end{array}\right.$

Or, le triangle

$ABC$ est isocèle en

$B$ et que

$(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BC})=\dfrac{\pi}{2}$ donc,

$(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC})=(\overrightarrow{CA}\;,\ \overrightarrow{CB})=\dfrac{\pi}{4}$

De plus,

$(OA)$ est bissectrice de l'angle

$\widehat{BAC}$ donc,

$\left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AO}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\pi}{8}$

Ainsi,

$\boxed{\theta_{1}=\dfrac{\pi}{8}\ \text{ et }\ k_{1}=\dfrac{AO}{AB}}$

Par ailleurs,

$s_{1}(M)=N$ alors,

$\left(\overrightarrow{AM}\;,\ \overrightarrow{AN}\right)=\theta_{1}\;[2\pi]$

D'où, une mesure de l'angle

$\left(\overrightarrow{AM}\;,\ \overrightarrow{AN}\right)$ est :

$\dfrac{\pi}{8}$

b) On désigne par

$s'$ la similitude plane directe de centre

$A$ qui transforme

$B$ en

$M.$

Montrons que

$s'\circ s_{1}=s_{1}\circ s'$

Soit

$s_{1}=s_{(A\;,\ k_{1}\;,\ \theta_{1})}\$ et

$\ s'=s_{(A\;,\ k'\;,\ \theta')}$ avec,

$k'=\dfrac{AM}{AB}\$ et

$\ \theta'=\left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AM}\right)$

alors, on a :

$s'\circ s_{1}=s_{(A\;,\ k'k_{1}\;,\ \theta'+\theta_{1})}\$ et

$\ s_{1}\circ s'=s_{(A\;,\ k_{1}k'\;,\ \theta_{1}+\theta')}$

$s'\circ s_{1}\$ et

$\ s_{1}\circ s'$ ayant les mêmes éléments caractéristiques donc,

$s'\circ s_{1}=s_{1}\circ s'$

En déduisons l'image de

$O$ par

$s'.$

On a :

$s'\circ s_{1}(B)=s'(O)\$ et

$\ s_{1}\circ s'(B)=s_{1}(M)=N$

Or,

$s'\circ s_{1}=s_{1}\circ s'$ donc,

$s'(O)=N$

Déterminons une mesure de l'angle

$\left(\overrightarrow{MA}\;,\ \overrightarrow{MN}\right)$

Les similitudes conservant les angles orientés alors :

$\left(\overrightarrow{MA}\;,\ \overrightarrow{MN}\right)=\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BO}\right)$

Or,

$\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BO}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{\pi}{4}$

Donc, une mesure de l'angle

$\left(\overrightarrow{MA}\;,\ \overrightarrow{MN}\right)$ est :

$\dfrac{\pi}{4}$

c) Proposons une construction géométrique de

$N$ , lorsque le point

$M$ est donné.

Pour construire le point

$N$ connaissant

$M$ , on trace deux demi-droite

$[Mx)\$ et

$\ [Ay)$ telles que :

$\left(\overrightarrow{MA}\;,\ [Mx)\right)=\dfrac{\pi}{4}\ \text{ et }\ \left(\overrightarrow{AM}\;,\ [Ay)\right)=\dfrac{\pi}{8}$

Le point de rencontre de ces deux demi-droite donne le point

$N.$

2) a) Donnons la nature de

$r=s_{1}\circ s_{2}$

On a :

$s_{1}=s_{(A\;,\ k_{1}\;,\ \theta_{1})}\$ et

$\ s_{2}=s_{(C\;,\ k_{2}\;,\ \theta_{2})}$

Comme

$s_{2}$ transforme

$O$ en

$B$ alors, on a :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} CB&=&k_{2} CO \\ \\ \left(\overrightarrow{CO}\;,\ \overrightarrow{CB}\right)&=&\theta_{2}\;[2\pi]\end{array}\right.$

Or,

$\left(\overrightarrow{CO}\;,\ \overrightarrow{CB}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{CA}\;,\ \overrightarrow{CB}\right)=\dfrac{\pi}{8}$

Donc,

$\boxed{\theta_{2}=\dfrac{\pi}{8}\ \text{ et }\ k_{2}=\dfrac{CB}{CO}}$

Ainsi,

$r=s_{1}\circ s_{2}$ est une similitude plane directe de rapport

$k=k_{1}.k_{2}\$ et d'angle

$\ \theta=\theta_{1}+\theta_{2}$

On a :

$\begin{array}{rcl} k&=&k_{1}.k_{2}\\ \\&=&\dfrac{AO}{AB}\times\dfrac{CB}{CO}\quad\text{or, }\ AB=CB\ \text{ et }\ CO=AO\\ \\&=&\dfrac{AO}{AB}\times\dfrac{AB}{AO}\\ \\&=&1\end{array}$

Donc,

$\boxed{k=1\ \text{ et }\ \theta=\dfrac{\pi}{4}}$

Par ailleurs,

$s_{1}\circ s_{2}(O)=s_{1}(B)=O$

Ce qui montre que le point

$O$ est invariant par

$r$ donc, il constitue le centre de cette similitude.

D'où,

$r=s_{1}\circ s_{2}$ est la rotation de centre

$O$ et d'angle

$\theta=\dfrac{\pi}{4}$

b) Déterminons

$r(P)$

Soit :

$\begin{array}{rcl} r(P)&=&s_{1}\circ s_{2}(P)\\ \\&=&s_{1}\circ s_{2}\circ s_{2}^{-1}(M)\\ \\&=&s_{1}(M)\\ \\&=&N\end{array}$

Donc,

$\boxed{r(P)=N}$

Ainsi, à partir de

$N$ , on fait une rotation d'angle

$\dfrac{\pi}{4}$ pour une construction géométrique de

$P$

Plus précisément, on trace un demi-cercle

$(C)$ de rayon

$ON$ , à partir de

$N$ puis on trace la demi-droite

$[Oz)$ telle que :

$\left([Oz)\;,\ \overrightarrow{ON}\right)=\dfrac{\pi}{4}$

Le point

$P$ est le point de rencontre de la demi-droite

$[Oz)$ et du demi-cercle

$(C).$

c) Lorsque

$M=O$ , montrons que le point

$N$ appartient à la demi-droite

$[AC)$ et le point

$P$ à la demi-droite

$[CA)$

D'après question 1.a), on a

$\left(\overrightarrow{AM}\;,\ \overrightarrow{AN}\right)=\dfrac{\pi}{8}$

Ainsi, pour

$M=O$ on aura :

$\left(\overrightarrow{AO}\;,\ \overrightarrow{AN}\right)=\dfrac{\pi}{8}$

Or,

$\left(\overrightarrow{AO}\;,\ [AC)\right)=\dfrac{\pi}{8}$

Donc,

$\left(\overrightarrow{AO}\;,\ \overrightarrow{AN}\right)=\left(\overrightarrow{AO}\;,\ [AC)\right)$

D'où,

$N\in[AC)$

Par ailleurs,

$P=s_{2}^{-1}(M)\ \Rightarrow\ s_{2}(P)=M$

Ainsi, pour

$M=O$ , on obtient :

$s_{2}(P)=O$

Ce qui donne

$\left(\overrightarrow{CP}\;,\ \overrightarrow{CO}\right)=\dfrac{\pi}{8}$

Or,

$\left([CA)\;,\ \overrightarrow{CO}\right)=\dfrac{\pi}{8}$

Donc,

$\left(\overrightarrow{CP}\;,\ \overrightarrow{CO}\right)=\left([CA)\;,\ \overrightarrow{CO}\right)$

Par suite,

$P\in[CA)$

3) Faisons une figure comportant les points

$A\;,\ B\;,\ C\;,\ O\;,\ P\$ et

$\ N$ avec

$M=O.$

Exercice 3

On considère dans le plan muni d'un repère orthonormal

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ , les trois points

$A\;,\ B\$ et

$\ C$ de coordonnées respectives

$(1\;,\ 0)\;,\ (0\;,\ 1)\$ et

$\ (1\;,\ 1)$ , puis à tout réel

$t\in[0\;,\ 1]$ on associe le point

$M(t)$ barycentre du système

$\{(B\;,\ (1-t)^{2})\;,\ (A\;,\ 2t(1-t))\;,\ (C\;,\ t^{2})\}$

On note

$x(t)\$ et

$\ y(t)$ les coordonnées de

$M(t)\$ et

$\ (\Gamma)$ l'ensemble des points

$M(t)$ lorsque

$t$ décrit

$[0\;,\ 1].$

1) a) Exprimons en fonction de

$t$ les coordonnées

$x(t)\$ et

$\ y(t)$ de

$M(t)$

$M(t)\begin{pmatrix} x(t)\\y(t)\end{pmatrix}$ barycentre du système

$\{(B\;,\ (1-t)^{2})\;,\ (A\;,\ 2t(1-t))\;,\ (C\;,\ t^{2})\}$ alors, ses coordonnées

$x(t)\$ et

$\ y(t)$ s'écrivent :

$\left\lbrace\begin{array}{rcrcl} x(t)&=&\dfrac{2t(1-t)\times 1+(1-t)^{2}\times 0+t^{2}\times 1}{2t(1-t)+(1-t)^{2}+t^{2}}&=&-t^{2}+2t\\ \\y(t)&=&\dfrac{2t(1-t)\times 0+(1-t)^{2}\times 1+t^{2}\times 1}{2t(1-t)+(1-t)^{2}+t^{2}}&=&2t^{2}-2t+1\end{array}\right.$

D'où,

$\boxed{\left\lbrace\begin{array}{rcl} x(t)&=&-t^{2}+2t\\ \\ y(t)&=&2t^{2}-2t+1\end{array}\right.}$

b) Dressons le tableau de variations des fonctions

$x\$ et

$\ y$

Les fonctions dérivées sont données par :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x'(t)&=&-2t+2\\ \\ y'(t)&=&4t-2\end{array}\right.$

On a :

$\begin{array}{rcl} x'(t)\geq 0&\Leftrightarrow&-2t+2\geq 0\\&\Leftrightarrow&-2t\geq -2\\&\Leftrightarrow&t\leq 1\end{array}$

Donc, pour

$t\in[0\;;\ 1]\;,\ x'(t)\geq 0$

Par suite,

$x(t)$ croissante sur

$[0\;;\ 1]$

$\begin{array}{rcl} y'(t)\geq 0&\Leftrightarrow&4t-2\geq 0\\&\Leftrightarrow&4t\geq 2\\&\Leftrightarrow&t\geq\dfrac{1}{2}\end{array}$

Donc, si

$t\in\left[\dfrac{1}{2}\;;\ 1\right]$ alors,

$y'(t)\geq 0$

Par suite,

$y(t)$ croissante sur

$\left[\dfrac{1}{2}\;;\ 1\right]$ et décroissante sur

$\left[0\;;\ \dfrac{1}{2}\right]$

$\begin{array}{|c|lcccr|} \hline t&0&&1/2&&1\\ \hline x'(t)&&+&&+&\\ \hline&&&&&1\\&&&&\nearrow&\\ x(t)&&&3/4&&\\&&\nearrow&&&\\&0&&&&\\ \hline&1&&&&1\\&&&&&\\ y(t)&&\searrow&&\nearrow&\\&&&&&\\&&&1/2&&\\ \hline y'(t)&&-&0&+&\\ \hline\end{array}$

Traçons la courbe

$(\Gamma)$ ainsi que ses tangentes aux points

$B\;,\ C\$ et

$\ M\left(\dfrac{1}{2}\right)$

Déterminons alors les équations paramétriques de ces tangentes.

Soit

$T_{B}$ la tangente à la courbe au point

$B$

Comme

$B$ est le point de

$(\Gamma)$ repéré à la date

$t_{0}=0$ alors,

$\vec{u}_{0}\begin{pmatrix} x'(0)\\y'(0)\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de

$T_{B}.$ Soit alors :

$\vec{u}_{0}\begin{pmatrix} 2\\-2\end{pmatrix}$

$N\begin{pmatrix} x(t)\\y(t)\end{pmatrix}\in T_{B}$ alors, il existe un paramètre

$t$ tel que

$\overrightarrow{BN}\$ et

$\ \vec{u}_{0}$ soient colinéaires.

Ainsi,

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{BN}\ \text{ et }\ \vec{u}_{0}\ \text{ colinéaires}&\Leftrightarrow&\overrightarrow{BN}=t\vec{u}_{0}\\ \\&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} x(t)-0&=&2t\\ \\y(t)-1&=&-2t\end{array}\right.\\ \\&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} x(t)&=&2t\\ \\y(t)&=&-2t+1\end{array}\right.\end{array}$

Une équation paramétrique de

$T_{B}$ est donc donnée par :

$T_{B}\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x(t)&=&2t\\ \\y(t)&=&-2t+1\end{array}\right.$

Son équation cartésienne est alors :

$y=-x+1$

De la même manière, considérons

$T_{C}$ la tangente à la courbe au point

$C.$

$C$ étant le point de

$(\Gamma)$ repéré à la date

$t_{1}=1$ alors,

$\vec{u}_{1}\begin{pmatrix} x'(1)\\y'(1)\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de

$T_{C}.$

On obtient alors :

$\vec{u}_{1}\begin{pmatrix} 0\\2\end{pmatrix}$

$P\begin{pmatrix} x(t)\\y(t)\end{pmatrix}\in T_{C}$ alors, il existe un paramètre

$t$ tel que

$\overrightarrow{CP}\$ et

$\ \vec{u}_{1}$ soient colinéaires.

Ainsi,

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{CP}\ \text{ et }\ \vec{u}_{1}\ \text{ colinéaires}&\Leftrightarrow&\overrightarrow{CP}=t\vec{u}_{1}\\ \\&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} x(t)-1&=&0\\ \\y(t)-1&=&2t\end{array}\right.\\ \\&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} x(t)&=&1\\ \\y(t)&=&2t+1\end{array}\right.\end{array}$

Une équation paramétrique de

$T_{C}$ est alors donnée par :

$T_{C}\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x(t)&=&1\\ \\y(t)&=&2t+1\end{array}\right.$

Et son équation cartésienne sera donnée par :

$x=1$

Au point

$M\left(\dfrac{1}{2}\right)$ on obtient une tangente

$T_{M}$ de vecteur directeur

$\vec{u}_{1/2}\begin{pmatrix} x'(1/2)\\y'(1/2)\end{pmatrix}.$

Donc, si

$Q\begin{pmatrix} x(t)\\y(t)\end{pmatrix}\in T_{M}$ alors, il existe un paramètre

$t$ tel que

$\overrightarrow{MQ}\begin{pmatrix} x(t)-\dfrac{3}{4}\\ \\y(t)-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}\$ et

$\ \vec{u}_{1/2}\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}$ soient colinéaires.

Ainsi,

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{MQ}\ \text{ et }\ \vec{u}_{1/2}\ \text{ colinéaires}&\Leftrightarrow&\overrightarrow{MQ}=t\vec{u}_{1/2}\\ \\&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} x(t)-\dfrac{3}{4}&=&t\\ \\y(t)-\dfrac{1}{2}&=&0\end{array}\right.\\ \\&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} x(t)&=&t+\dfrac{3}{4}\\ \\y(t)&=&\dfrac{1}{2}\end{array}\right.\end{array}$

Ce qui montre que

$T_{M}$ a pour équation paramétrique :

$T_{M}\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x(t)&=&t+\dfrac{3}{4}\\ \\y(t)&=&\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$

Son équation cartésienne est alors donnée par :

$y=\dfrac{1}{2}$

2) Montrons que les tangentes à

$(\Gamma)$ en

$B\$ et

$\ C$ se coupent en

$A.$

Considérons les équations paramétriques de

$T_{B}\$ et

$\ T_{C}$ suivantes :

$T_{B}\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x(t)&=&2t\\ \\y(t)&=&-2t+1\end{array}\right.\qquad T_{C}\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x(t)&=&1\\ \\y(t)&=&2t+1\end{array}\right.$

On constate dans l'équation de

$T_{C}$ que

$x(t)=1$ donc, en remplaçant dans l'équation de

$T_{B}$ , on obtient :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 1&=&2t\\ \\y(t)&=&-2t+1\end{array}\right.\ \Leftrightarrow\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} t&=&\dfrac{1}{2}\\ \\y(t)&=&-2\times\dfrac{1}{2}+1=0\end{array}\right.$

D'où,

$A\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}=T_{B}\cap T_{C}$

Autre méthode

On peut aussi passer par les équations cartésiennes de droites de

$T_{B}\$ et

$\ T_{C}$ données respectivement par :

$y=-x+1\quad\text{et}\quad x=1$

On obtient alors le système d'équations suivant :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x&=&1\\ y&=&-x+1\end{array}\right.$

Ainsi, en remplaçant la valeur de

$x$ dans la deuxième équation, on obtient :

$y=-1+1=0$

Par suite, le couple de solution

$(1\;;\ 0)$ donne les coordonnées du point d'intersection des droites

$T_{B}\$ et

$\ T_{C}.$

D'où,

$A\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}=T_{B}\cap T_{C}$

3) Trouvons une relation entre

$x(t)\$ et

$\ y(t)$ indépendante de

$t.$ Soit

$y=f(x)$

Posons :

$x=-t^{2}+2t\ \Rightarrow\ t^{2}-2t+x=0$

Soit :

$\Delta=4-4x$ alors, les solutions de l'équation sont données par :

$t_{1}=\dfrac{2-\sqrt{4-4x}}{2}=1-\sqrt{1-x}\quad\text{et}\quad t_{2}=\dfrac{2+\sqrt{4-4x}}{2}=1+\sqrt{1-x}$

Comme

$t\in[0\;;\ 1]$ alors, on choisira

$t=t_{1}=1-\sqrt{1-x}$

Remplaçons cette expression de

$t$ dans l'équation :

$y=2t^{2}-2t+1.$ On obtient alors :

$\begin{array}{rcl} y&=&2t^{2}-2t+1\\ \\&=&2(1-\sqrt{1-x})^{2}-2(1-\sqrt{1-x})+1\\ \\&=&2(1+1-x-2\sqrt{1-x})-2(1-\sqrt{1-x})+1\\ \\&=&4-2x-4\sqrt{1-x}-2+2\sqrt{1-x}+1\\ \\&=&3-2x-2\sqrt{1-x}\end{array}$

D'où,

$\boxed{y=3-2x-2\sqrt{1-x}}$

Calculons

$\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}$

On a :

$\begin{array}{rcl}\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}&=&\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{3-2x-2\sqrt{1-x}-1}{x-1}\\ \\&=&\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{2-2x-2\sqrt{1-x}}{x-1}\\ \\&=&\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{2(1-x)}{x-1}-\dfrac{2\sqrt{1-x}}{x-1}\\ \\&=&\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}-2-\dfrac{2(1-x)}{x-1\sqrt{1-x}}\\ \\&=&\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}-2+\dfrac{2}{\sqrt{1-x}}\\ \\&=&-2+\dfrac{1}{0^{+}}\\ \\&=&+\infty\end{array}$

D'où,

$\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=+\infty}$

Par conséquent, la fonction

$f$ n'est pas dérivable à gauche au point 1.

Problème

Partie A

Soit

$f$ une fonction définie sur

$[1\;,\ +\infty[$ ayant une dérivée continue et croissante.

Pour tout

$p\in\mathbb{N}^{\ast}$ , on pose :

$u_{p}=\sum_{n=1}^{p}f'(n)$

1) Démontrons la relation suivante :

$(01)\qquad \forall\;n\in\mathbb{N}^{\ast}\ :\ f'(n)\leq f(n+1)-f(n)\leq f'(n+1)$

a) En appliquant le théorème des accroissements finis à

$f$ dans un intervalle bien choisi.

Soit

$I$ un intervalle de

$\mathbb{R}$ défini par :

$I=[n\;;\ n+1]\;,\ n\in\mathbb{N}^{\ast}$

$f$ est continue et dérivable sur

$I$ alors, d'après le théorème des accroissements finis, il existe

$c\in I$ tel que :

$f(n+1)-f(n)=((n+1)-n)f'(c)\ \Leftrightarrow\ f(n+1)-f(n)=f'(c)$

Or,

$f'$ est croissante sur

$I$ donc,

$\begin{array}{rcccccl}\forall\;n\in\mathbb{N}^{\ast}\ :\ n\leq c\leq n+1&\Rightarrow&f'(n)&\leq&f'(c)&\leq&f'(n+1)\\&\Rightarrow&f'(n)&\leq&f(n+1)-f(n)&\leq&f'(n+1)\end{array}$

D'où, la relation suivante :

$\boxed{\forall\;n\in\mathbb{N}^{\ast}\ :\ f'(n)\leq f(n+1)-f(n)\leq f'(n+1)}$

b) En utilisant la valeur moyenne de

$f'$ sur

$[n\;;\ n+1]$

Considérons

$I$ un intervalle de

$\mathbb{R}$ défini par :

$I=[n\;;\ n+1]\;,\ n\in\mathbb{N}^{\ast}$

$f'$ est continue sur

$I$ alors, d'après le théorème de la moyenne, il existe au moins un réel

$c\in I$ tel que :

$f'(c)=\dfrac{1}{(n+1)-n}\int_{n}^{n+1}f'(x)\mathrm{d}x=[f(x)]_{n}^{n+1}$

Or,

$f'$ est croissante sur

$I$ donc,

$\begin{array}{rcccccl}\forall\;n\in\mathbb{N}^{\ast}\ :\ n\leq c\leq n+1&\Rightarrow&f'(n)&\leq&f'(c)&\leq&f'(n+1)\\ \\&\Rightarrow&f'(n)&\leq&[f(x)]_{n}^{n+1}&\leq&f'(n+1)\\ \\&\Rightarrow&f'(n)&\leq&f(n+1)-f(n)&\leq&f'(n+1)\end{array}$

Ce qui montre que :

$\boxed{\forall\;n\in\mathbb{N}^{\ast}\ :\ f'(n)\leq f(n+1)-f(n)\leq f'(n+1)}$

2) En utilisant la relation (01), de la question 1) démontrons que

$(02)\qquad \forall\;p\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ u_{p}-f'(p)\leq f(p)-f(1)\leq u_{p}-f'(1)$

En appliquant la relation (01), on obtient :

$\begin{array}{rcccl} f'(1)&\leq&f(2)-f(1)&\leq&f'(2)\\ \\f'(2)&\leq&f(3)-f(2)&\leq&f'(3)\\ \\f'(3)&\leq&f(4)-f(3)&\leq&f'(4)\\ \\ &\vdots&\vdots&\vdots&\\ \\f'(p-1)&\leq&f(p)-f(p-1)&\leq&f'(p)\end{array}$

En sommant ces inégalités membre à membre, on obtient :

$f'(1)+f'(2)+\ldots+f'(p-1)\leq f(p)-f(1)\leq f'(2)+f'(3)+\ldots+f'(p)$

Il faut juste remarquer que :

$\begin{array}{rcl} f'(1)+f'(2)+\ldots+f'(p-1)&=&\underbrace{f'(1)+f'(2)+\ldots+f'(p-1)+f'(p)}_{=\sum_{n=1}^{p}f'(n)}-f'(p)\\ \\&=&\sum_{n=1}^{p}f'(n)-f'(p)\\ \\&=&u_{p}-f'(p)\end{array}$

Aussi,

$\begin{array}{rcl} f'(2)+f'(3)+\ldots+f'(p)&=&-f'(1)+\underbrace{f'(1)+f'(2)+\ldots+f'(p-1)+f'(p)}_{\sum_{n=1}^{p}f'(n)}\\ \\&=&\sum_{n=1}^{p}f'(n)-f'(1)\\ \\&=&u_{p}-f'(1)\end{array}$

Par suite,

$\boxed{\forall\;p\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ u_{p}-f'(p)\leq f(p)-f(1)\leq u_{p}-f'(1)}$

3) Dans cette question on prend

$f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}$

a) Vérifions que la suite

$(u_{p})$ est monotone.

Soit :

$\begin{array}{rcl} u_{p+1}-u_{p}&=&\sum_{n=1}^{p+1}f'(n)-\sum_{n=1}^{p}f'(n)\\ \\&=&(f'(1)+f'(2)+\ldots+f'(p)+f'(p+1))-(f'(1)+f'(2)+\ldots+f'(p))\\ \\&=&f'(p+1)\end{array}$

Or,

$f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}$ donc,

$f'(x)=-\dfrac{2}{x^{3}}$

Ainsi,

$f'(p+1)=-\dfrac{2}{(p+1)^{3}}<0$

Par suite,

$u_{p+1}-u_{p}<0$ d'où, la suite

$(u_{p})$ est décroissante. Elle est donc monotone.

b) En utilisant la relation (02), de la question 2) montrons que la suite

$(u_{p})$ est bornée.

On constate d'abord que

$f''(x)=\dfrac{6}{x^{4}}>0$ donc,

$f'$ est croissante.

On peut alors appliquer la relation (02). On obtient d'une part :

$\begin{array}{rcl} u_{p}-f'(p)\leq f(p)-f(1)&\Rightarrow&u_{p}\leq f'(p)+f(p)-f(1)\\ \\&\Rightarrow&u_{p}\leq -\dfrac{2}{p^{3}}+\dfrac{1}{p^{2}}-1\end{array}$

D'autre part :

$\begin{array}{rcl} f(p)-f(1)\leq u_{p}-f'(1)&\Rightarrow&f(p)-f(1)+f'(1)\leq u_{p}\\ \\&\Rightarrow&\dfrac{1}{p^{2}}-1-2\leq u_{p}\\ \\&\Rightarrow&\dfrac{1}{p^{2}}-3\leq u_{p}\end{array}$

On obtient l'encadrement suivant :

$\dfrac{1}{p^{2}}-3\leq u_{p}\leq -\dfrac{2}{p^{3}}+\dfrac{1}{p^{2}}-1$

Posons

$w_{p}=\dfrac{1}{p^{2}}-3\$ et

$\ w_(p)'=-\dfrac{2}{p^{3}}+\dfrac{1}{p^{2}}-1$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl}\ell&=&\lim\limits_{p\rightarrow +\infty}w_{p}\\ \\&=&\lim\limits_{p\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{p^{2}}-3\\ \\&=&-3\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\ell'&=&\lim\limits_{p\rightarrow +\infty}w_{p}'\\ \\&=&\lim\limits_{p\rightarrow +\infty}-\dfrac{2}{p^{3}}+\dfrac{1}{p^{2}}-1\\ \\&=&-1\end{array}$

Par conséquent :

$\boxed{-3\leq u_{p}\leq -1}$

Ce qui montre que la suite

$(u_{p})$ est bornée.

c) En déduisons que la suite

$(v_{p})$ de terme général

$v_{p}=\sum_{n=1}^{p}\dfrac{1}{n^{3}}$ est convergente

On sait que

$u_{p}=\sum_{n=1}^{p}f'(n)$ avec,

$f'(x)=-\dfrac{2}{x^{3}}$

Donc,

$\begin{array}{rcl} u_{p}&=&\sum_{n=1}^{p}-\dfrac{2}{n^{3}}\\ \\&=&-2\sum_{n=1}^{p}\dfrac{1}{n^{3}}\\ \\&=&-2v_{p}\end{array}$

Par suite,

$v_{p}=-\dfrac{1}{2}u_{p}$

Or, la suite

$(u_{p})$ est monotone et bornée donc elle est convergente.

Par conséquent, la suite

$(v_{p})$ de terme général

$v_{p}=\sum_{n=1}^{p}\dfrac{1}{n^{3}}$ est convergente.

Montrons que sa limite

$\ell''$ appartient à l'intervalle

$\left[\dfrac{1}{2}\;,\ \dfrac{3}{2}\right]$

On a :

$-3\leq u_{p}\leq -1\$ or,

$u_{p}=-2v_{p}$

Donc,

$\begin{array}{rcl} -3\leq -2v_{p}\leq -1&\Rightarrow&1\leq 2v_{p}\leq 3\\ \\&\Rightarrow&\dfrac{1}{2}\leq v_{p}\leq \dfrac{3}{2}\\ \\&\Rightarrow&\dfrac{1}{2}\leq \lim\limits_{p\rightarrow +\infty}v_{p}\leq \dfrac{3}{2}\\ \\&\Rightarrow&\dfrac{1}{2}\leq\ell''\leq \dfrac{3}{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{\ell''\in\left[\dfrac{1}{2}\;,\ \dfrac{3}{2}\right]}$

4) Dans cette question on prend

$f(x)=-\ln x$

a) En utilisant la relation (02), montrons que

$u_{p}\leq-\dfrac{1}{p}-\ln p$

On constate d'abord que

$f'(x)=-\dfrac{1}{x}\$ et

$\ f''(x)=\dfrac{1}{x^{2}}>0$

Donc,

$f'$ est croissante.

Ainsi, en utilisant la relation (02), on obtient :

$\begin{array}{rcl} u_{p}-f'(p)\leq f(p)-f(1)&\Rightarrow&u_{p}\leq f'(p)+f(p)-f(1)\\ \\&\Rightarrow&u_{p}\leq-\dfrac{1}{p}-\ln p-0\end{array}$

D'où,

$\boxed{u_{p}\leq-\dfrac{1}{p}-\ln p}$

b) Montrons que

$\lim_{p\rightarrow +\infty}\sum_{n=1}^{p}\dfrac{1}{n}=+\infty$

Comme

$u_{p}=\sum_{n=1}^{p}f'(n)$ avec

$f'(n)=-\dfrac{1}{n}\$ et

$\ u_{p}\leq-\dfrac{1}{p}-\ln p$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl} \sum_{n=1}^{p}-\dfrac{1}{n}\leq -\dfrac{1}{p}-\ln p&\Rightarrow&-\sum_{n=1}^{p}\dfrac{1}{n}\leq -\dfrac{1}{p}-\ln p\\ \\&\Rightarrow&\sum_{n=1}^{p}\dfrac{1}{n}\geq \dfrac{1}{p}+\ln p\end{array}$

Posons

$S_{p}=\dfrac{1}{p}+\ln p$ alors, on a :

$\sum_{n=1}^{p}\dfrac{1}{n}\geq S_{p}$

Or,

$\lim\limits_{p\rightarrow +\infty}S_{p}=\lim\limits_{p\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{p}+\ln p=+\infty$ donc, en appliquant le théorème de comparaison, on obtient :

$\boxed{\lim\limits_{p\rightarrow +\infty}\sum_{n=1}^{p}\dfrac{1}{n}=+\infty}$

Partie B

1) Calculons pour tout

$n\in\mathbb{N}^{\ast}$

$\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}|\sin t|\mathrm{d}t$

a) En effectuant le changement de variable

$u=t-n\pi$ et en remarquant que la fonction

$u\mapsto|\sin u|$ est périodique de période

$\pi$

Posons

$u=t-n\pi$ donc,

$\mathrm{d}t=\mathrm{d}u$

Ainsi :

$\begin{eqnarray} \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}|\sin t|\mathrm{d}t&=&\int_{n\pi-n\pi}^{(n+1)\pi-n\pi}|\sin u+n\pi|\mathrm{d}u\nonumber\\ \nonumber\\&=&\int_{0}^{\pi}|\sin u+n\pi|\mathrm{d}u\quad\text{or, }\ |\sin u+n\pi|=|\sin u|\nonumber\\ \nonumber\\&=&\int_{0}^{\pi}|\sin u|\mathrm{d}u\quad\text{or, pour }u\in[0\;;\ \pi]\;,\ |\sin u|=\sin u\nonumber\\ \nonumber\\&=&\int_{0}^{\pi}\sin u\mathrm{d}u\nonumber\\ \nonumber\\&=&[-\cos u]_{0}^{\pi}\nonumber\\ \nonumber\\&=&-\cos\pi+\cos 0\nonumber\\ \nonumber\\&=&2\nonumber \end{eqnarray}$

Donc,

$\boxed{\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}|\sin t|\mathrm{d}t=2}$

b) En utilisant le résultat admis suivant :

$\forall\;n\in\mathbb{N}\;,\ \forall\;t\in\;[n\pi\;,\ (n+1)\pi]\;,\ |\sin t|=(-1)^{n}\sin t$

On obtient alors :

$\begin{eqnarray} \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}|\sin t|\mathrm{d}t&=&\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}(-1)^{n}\sin t\mathrm{d}t\nonumber\\ \nonumber\\&=&(-1)^{n}\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\sin t\mathrm{d}t\nonumber\\ \nonumber\\&=&(-1)^{n}[-\cos t]_{n\pi}^{(n+1)\pi}\nonumber\\ \nonumber\\&=&(-1)^{n}(-\cos(n+1)\pi+\cos n\pi)\nonumber\\ \nonumber\\&=&(-1)^{n}(-(-1)^{n+1}+(-1)^{n})\quad\text{or, }\ -(-1)^{n+1}=(-1)^{n+2}\nonumber\\ \nonumber\\&=&(-1)^{n}((-1)^{n+2}+(-1)^{n})\nonumber\\ \nonumber\\&=&(-1)^{2n+2}+(-1)^{2n}\nonumber\\ \nonumber\\&=&(-1)^{2(n+1)}+(-1)^{2n}\nonumber\\ \nonumber\\&=&1+1\nonumber\\ \nonumber\\&=&2\nonumber \end{eqnarray}$

Ainsi,

$\boxed{\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}|\sin t|\mathrm{d}t=2}$

2) Pour tout réel

$a>0$ , on considère la fonction

$h_{a}$ définie sur

$I=[0\;;\ +\infty[$ par :

$h_{a}(t)=\left|\dfrac{\sin at}{t}\right|\;,\ \text{si }\;t\in\;]0\;;\ +\infty[\;,\text{ et }\;h_{a}(0)=a$

a) Montrons que les fonctions

$h_{a}$ sont continues sur

$I.$

$\begin{array}{rcl}\lim_{t\rightarrow 0}h_{a}(t)&=&\lim_{t\rightarrow 0}\left|\dfrac{\sin at}{t}\right|\quad\text{posons }at=x\\ \\&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left|\dfrac{\sin x}{\dfrac{x}{a}}\right|\\ \\&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left|a\dfrac{\sin x}{x}\right|\\ \\&=&a\underbrace{\lim_{x\rightarrow 0}\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|}_{=1}\\ \\&=&a\end{array}$

Ainsi,

$\lim_{t\rightarrow 0}h_{a}(t)=h_{a}(0)=a$

D'où, les fonctions

$h_{a}$ sont continues en 0.

Par conséquent, elles sont continues sur

$I.$

b) Montrons que :

$\forall\;n\in\mathbb{N}^{\ast}\ :\ \dfrac{1}{(n+1)\pi}\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}|\sin t|\mathrm{d}t\leq\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t\leq\dfrac{1}{n\pi}\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}|\sin t|\mathrm{d}t$

$\text{et}\qquad \dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}|\sin t|\mathrm{d}t\leq\int_{0}^{\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$

Soit :

$h_{1}(t)=\left|\dfrac{\sin t}{t}\right|$ alors, pour

$t\in[n\pi\;,\ (n+1)\pi]$ , on a :

$\begin{array}{rcrcccl} \forall\;n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ n\pi\leq|t|\leq(n+1)\pi&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{(n+1)\pi}&\leq&\dfrac{1}{t}&\leq&\dfrac{1}{n\pi}\\ \\&\Leftrightarrow&\dfrac{|\sin t|}{(n+1)\pi}&\leq&\dfrac{|\sin t|}{|t|} &\leq&\dfrac{|\sin t|}{n\pi}\\ \\&\Leftrightarrow&\dfrac{|\sin t|}{(n+1)\pi}&\leq&h_{1}(t)&\leq&\dfrac{|\sin t|}{n\pi}\end{array}$

Le passage à l'intégration donne :

$\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\dfrac{|\sin t|}{(n+1)\pi}\mathrm{d}t\leq\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t\leq\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\dfrac{|\sin t|}{n\pi}\mathrm{d}t$

Par suite,

$\boxed{\forall\;n\in\mathbb{N}^{\ast}\ :\ \dfrac{1}{(n+1)\pi}\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}|\sin t|\mathrm{d}t\leq\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t\leq\dfrac{1}{n\pi}\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}|\sin t|\mathrm{d}t}$

De plus, sur

$[0\;,\ \pi]$ on a :

$\begin{array}{rcccl} |t|\leq\pi&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{\pi}&\leq&\dfrac{1}{|t|}\\ \\&\Leftrightarrow&\dfrac{|\sin t|}{\pi}&\leq&\dfrac{|\sin t|}{|t|}\\ \\&\Leftrightarrow&\dfrac{|\sin t|}{\pi}&\leq&h_{1}(t)\end{array}$

En intégrant, on obtient :

$\int_{0}^{\pi}\dfrac{|\sin t|}{\pi}\mathrm{d}t\leq\int_{0}^{\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$

D'où,

$\boxed{\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}|\sin t|\mathrm{d}t\leq\int_{0}^{\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t}$

c) En déduisons que :

$\forall\;n\in\mathbb{N}^{\ast}\ :\ \dfrac{2}{(n+1)\pi}\leq\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t\leq\dfrac{2}{n\pi}$

(03)

$\text{et}\qquad\dfrac{2}{\pi}\leq\int_{0}^{\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$

On sait que :

Or, d'après question 1), on a :

$\forall\;n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}|\sin t|\mathrm{d}t=2$

Ce qui permet finalement d'écrire :

$\boxed{\forall\;n\in\mathbb{N}^{\ast}\ :\ \dfrac{2}{(n+1)\pi}\leq\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t\leq\dfrac{2}{n\pi}}$

De plus,

$\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}|\sin t|\mathrm{d}t\leq\int_{0}^{\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$

Or,

$\begin{eqnarray} \int_{0}^{\pi}|\sin u|\mathrm{d}u&=&\int_{0}^{\pi}\sin u\mathrm{d}u\quad\text{car, sur }[0\;;\ \pi]\;,\ |\sin u|=\sin u\nonumber\\ \nonumber\\&=&[-\cos u]_{0}^{\pi}\nonumber\\ \nonumber\\&=&-\cos\pi+\cos 0\nonumber\\ \nonumber\\&=&2\nonumber \end{eqnarray}$

D'où,

$\boxed{\dfrac{2}{\pi}\leq\int_{0}^{\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t}$

3) On veut utiliser les résultats précédents pour calculer

$\lim_{a\rightarrow +\infty}\int_{0}^{\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$

a) Comparons

$\dfrac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{p}\dfrac{1}{n}\quad\text{et}\quad\int_{0}^{p\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$

La relation (03) permet d'écrire :

$\forall\;n\in\mathbb{N}^{\ast}\ :\ \dfrac{2}{(n+1)\pi}\leq\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t\qquad\text{et}\qquad\dfrac{2}{\pi}\leq\int_{0}^{\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$

Ainsi,

$\begin{eqnarray} \dfrac{2}{\pi}&\leq&\int_{0}^{\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t\nonumber\\ \nonumber\\\dfrac{2}{2\pi}&\leq&\int_{\pi}^{2\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t\nonumber\\ \nonumber\\\dfrac{2}{3\pi}&\leq&\int_{2\pi}^{3\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t\nonumber\\ \nonumber\\&\vdots&\nonumber\\ \nonumber\\ \dfrac{2}{p\pi}&\leq&\int_{(p-1)\pi}^{p\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t\nonumber \end{eqnarray}$

En sommant membre à membre, on obtient :

$\underbrace{\dfrac{2}{\pi}+\dfrac{2}{2\pi}+\dfrac{2}{3\pi}+\ldots+\dfrac{2}{p\pi}}_{\sum_{n=1}^{p}\frac{2}{n\pi}}\leq\int_{0}^{\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t+\int_{\pi}^{2\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t+\int_{2\pi}^{3\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t+\ldots+\int_{(p-1)\pi}^{p\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$

En appliquant la relation de Chasles, on obtient :

$\int_{0}^{\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t+\int_{\pi}^{2\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t+\int_{2\pi}^{3\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t+\ldots+\int_{(p-1)\pi}^{p\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t=\int_{0}^{p\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$

D'où,

$\sum_{n=1}^{p}\dfrac{2}{n\pi}\leq\int_{0}^{p\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$

Ce qui peut encore s'écrire

$\boxed{\dfrac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{p}\dfrac{1}{n}\leq\int_{0}^{p\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t}$

b) Déduisons

$\lim_{p\rightarrow +\infty}\int_{0}^{p\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$

D'après la question 4)b) partie A, on a :

$\lim_{p\rightarrow +\infty}\sum_{n=1}^{p}\dfrac{1}{n}=+\infty$

Donc, en appliquant le théorème de comparaison, on obtient :

$\boxed{\lim_{p\rightarrow +\infty}\int_{0}^{p\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t=+\infty}$

c) Calculons

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{0}^{x}h_{1}(t)\mathrm{d}t$

Soit :

$\int_{0}^{p\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$

Posons

$p=E\left(\dfrac{x}{\pi}\right)$ ; où

$E$ désigne la fonction partie entière alors, on a :

$\int_{0}^{p\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t=\int_{0}^{E\left(\tfrac{x}{\pi}\right)\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$

Ainsi,

$\lim_{p\rightarrow +\infty}\int_{0}^{p\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t=\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{0}^{E\left(\tfrac{x}{\pi}\right)\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$

Or,

$E\left(\dfrac{x}{\pi}\right)\leq\dfrac{x}{\pi}\ \Rightarrow\ E\left(\dfrac{x}{\pi}\right)\pi\leq\dfrac{x}{\pi}\pi=x$

Donc, par conservation de l'ordre de l'intégration, on obtient :

$\int_{0}^{E\left(\tfrac{x}{\pi}\right)\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t\leq\int_{0}^{\tfrac{x}{\pi}\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$

Par suite,

$\int_{0}^{E\left(\tfrac{x}{\pi}\right)\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t\leq\int_{0}^{x}h_{1}(t)\mathrm{d}t$

D'où,

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{0}^{x}h_{1}(t)\mathrm{d}t\geq\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{0}^{E\left(\tfrac{x}{\pi}\right)\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t=+\infty$

Par conséquent,

$\boxed{\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{0}^{x}h_{1}(t)\mathrm{d}t=+\infty}$

4) Montrons que

$\forall\;a\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}\ :\ \int_{0}^{\pi}h_{a}(t)\mathrm{d}t=\int_{0}^{a\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$

Soit

$a>0$ alors,

$\int_{0}^{\pi}h_{a}(t)\mathrm{d}t=\int_{0}^{\pi}\left|\dfrac{\sin at}{t}\right|\mathrm{d}t$

Effectuons un changement de variable Soit :

$u=at$ alors,

$\mathrm{d}u=a\mathrm{d}t$

Ainsi,

$\begin{eqnarray}\int_{0}^{\pi}\left|\dfrac{\sin at}{t}\right|\mathrm{d}t&=&\int_{0}^{a\pi}\left|\dfrac{\sin u}{\dfrac{u}{a}}\right|\dfrac{\mathrm{d}u}{a}\nonumber\\ \nonumber\\&=&\int_{0}^{a\pi}a\left|\dfrac{\sin u}{u}\right|\dfrac{\mathrm{d}u}{a}\nonumber\\ \nonumber\\&=&\int_{0}^{a\pi}\left|\dfrac{\sin u}{u}\right|\mathrm{d}u \nonumber \end{eqnarray}$

Par suite,

$\int_{0}^{\pi}\left|\dfrac{\sin at}{t}\right|\mathrm{d}t=\int_{0}^{a\pi}\left|\dfrac{\sin t}{t}\right|\mathrm{d}t=\int_{0}^{a\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$

$a$ étant quelconque dans

$\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ donc,

$\boxed{\forall\;a\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}\ :\ \int_{0}^{\pi}h_{a}(t)\mathrm{d}t=\int_{0}^{a\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t}$

En déduisons

$\lim_{a\rightarrow +\infty}\int_{0}^{\pi}h_{a}(t)\mathrm{d}t$

Comme

$\int_{0}^{\pi}h_{a}(t)\mathrm{d}t=\int_{0}^{a\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$ alors,

$\lim_{a\rightarrow +\infty}\int_{0}^{\pi}h_{a}(t)\mathrm{d}t=\lim_{a\rightarrow +\infty}\int_{0}^{a\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t$

Or, en posant

$x=a\pi$ , on obtient :

$\lim_{a\rightarrow +\infty}\int_{0}^{a\pi}h_{1}(t)\mathrm{d}t=\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{0}^{x}h_{1}(t)\mathrm{d}t$

Et d'après la question 3)c)

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{0}^{x}h_{1}(t)\mathrm{d}t=+\infty$

Par conséquent,

$\boxed{\lim_{a\rightarrow +\infty}\int_{0}^{\pi}h_{a}(t)\mathrm{d}t=+\infty}$

Auteur:

Diny Faye

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Anonyme (non vérifié)

sam, 04/24/2021 - 05:40

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azer (non vérifié)

sam, 01/08/2022 - 01:16

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