Solution des exercices : Les angles - 5e
Classe:
Cinquième
Exercice 1
Soit AOB un angle aigu.
1) Construisons le point C symétrique de A par rapport au sommet O.
2) Construisons le point D symétrique de B par rapport au sommet O.
3) [OC) est le symétrique de [OA) par rapport à O. Par suite, [OA) et [OC) sont de même direction et de sens opposés.
De même, [OD) étant le symétrique de [OB) par rapport à O alors, [OB) et [OD) sont de même direction et de sens opposés.
4) L'angle COD étant l'image de l'angle AOB par la symétrie centrale de centre O alors, ^AOB et ^COD ont la même mesure.
Par ailleurs, les angles COB et AOD étant opposés par le sommet O donc, sont de même mesure.
Ainsi,
mes^AOB=mes^CODetmes^COB=mes^AOD
Exercice 2
On considère la figure ci-dessous tel que mes^x′Oy=60∘.
Déterminons :
mes^xOy′; mes^xOy et mes^x′Oy′
Les angles ^xOy′ et ^x′Oy étant opposés par le sommet O alors, ils sont égaux.
Donc, mes^xOy′=mes^x′Oy=60∘
D'où, mes^xOy′=60∘
On a : ^xOy et ^x′Oy sont deux angles adjacents supplémentaires donc, mes^xOy+mes^x′Oy=180∘
Par suite, mes^xOy=180∘−mes^x′Oy
Or, mes^x′Oy=60∘
Donc, mes^xOy=180∘−60∘=120∘
Ainsi, mes^xOy=120∘
Comme les angles ^x′Oy′ et ^xOy sont opposés par le sommet O alors, ils sont égaux.
Ce qui peut s'écrire, mes^x′Oy′=mes^xOy
Or, mes^xOy=120∘
Par conséquent, mes^x′Oy′=120∘
Exercice 3
On considère la figure ci-dessous : (DC) et (HF) sont parallèles. La droite (AG) coupe (DC) en B et (HF) en E tel que mes^ABC=50∘.
1) Citons deux angles : Alternes internes – Alternes externes - correspondants - opposés par le sommet - intérieurs - extérieurs.
On a :
^ABC et ^BEH sont deux angles alternes-internes.
^CBG et ^AEH sont deux angles alternes-externes.
^DBE et ^AEH sont deux angles correspondants.
^AEF et ^BEH sont deux angles opposés par le sommet E.
^DBE et ^BEH sont deux angles intérieurs à la bande délimitée par les deux droites parallèles (DC) et (HF).
^DBG et ^AEH sont deux angles extérieurs à la bande délimitée par les deux droites parallèles (DC) et (HF).
2) Déterminons : mes^BEH et mes^GEF.
On a : ^ABC et ^BEH sont deux angles alternes-internes.
Or, on sait que : deux droites parallèles coupées par une sécante déterminent deux angles alternes internes de même mesure.
Comme (DC) et (HF) sont deux droites parallèles coupées par la droite sécante (AG) alors, les angles ^ABC et ^BEH sont de même mesure.
Ce qui signifie que : mes^BEH=mes^ABC=50∘
D'où, mes^BEH=50∘
On a : les angles ^GEF et ^BEH sont adjacents supplémentaires.
Donc, mes^GEF+mes^BEH=180∘
Ce qui entraine alors : mes^GEF=180∘−mes^BEH
En remplaçant mes^BEH par sa valeur, on obtient :
mes^GEF=180∘−mes^BEH=180∘−50∘=130∘
Ainsi, mes^GEF=130∘
Exercice 4
On considère la figure ci-dessous.
1) Nommons les angles du sommet A.
On peut citer :
^xAz; ^xAz′; ^z′Ax′; ^zAx′; ^xAx′; ^zAz′
2) Sur la figure on peut compter 24 angles.
Au niveau de chaque sommet, on a 6 angles. Donc, pour les 4 sommets on obtient : 4×6=24 angles.
D'où, on peut compter 24 angles sur la figure.
3) Citons deux angles : Alternes internes - Alternes externes - correspondants - opposés par le sommet - intérieurs - extérieurs - adjacents supplémentaires.
On a :
^x′Bt′ et ^yCt sont deux angles alternes-internes.
^xAz et ^z′Dy′ sont deux angles alternes-externes.
^zAx′ et ^zDy′ sont deux angles correspondants.
^tCy′ et ^yCt′ sont deux angles opposés par le sommet C.
^ABC et ^ADC sont deux angles intérieurs au quadrilatère ABCD.
^xAz et ^yDz′ sont deux angles extérieurs au quadrilatère ABCD.
^xAz et ^zAx′ sont deux angles adjacents supplémentaires.
Exercice 5
1) Traçons deux droites (L) et (L′) coupées par une droite sécante (d1) qui détermine deux angles alternes internes de 65∘ et 67∘.
2) Les droites (L) et (L′) ne sont pas parallèles
Justifions :
En effet, on sait que : si deux angles alternes internes déterminés par deux droites et une sécante ne sont pas de même mesure alors, les deux droites ne sont pas parallèles.
Or, on constate que les angles alternes internes ^ABC et ^BCD ne sont pas de même mesure.
Donc, d'après la propriété, les droites (L) et (L′) ne sont pas parallèles.
Exercice 6
1) Traçons deux droites (L) et (L′) coupées par une droite sécante (d1) qui détermine deux angles correspondants de 80∘ et 80∘.
2) Les droites (L) et (L′) sont parallèles
Justifions :
En effet, on sait que : si deux angles correspondants déterminés par deux droites et une sécante sont de même mesure alors, les deux droites sont parallèles.
Or, on remarque que les angles correspondants ^ABC et ^DCE ont la même mesure de 80∘.
Par conséquent, les droites (L) et (L′) qui les déterminent sont parallèles.
Exercice 7
Sur la figure ci-dessous, on donne ^ABD=50∘.
Sachant que (RQ); (SA) et (DB) sont parallèles entre elles, donnons les autres angles de la figure qui mesurent 50∘.
Les autres angles de la figure qui mesurent 50∘ sont :
^QAS; ^xQR; ^tBw; ^mAB; ^vQA
Justifie ta réponse.
On sait que : deux droites parallèles coupées par une droite sécante déterminent deux angles correspondants de même mesure.
Comme les droites (SA) et (DB) sont parallèles et sont coupées par la droite sécante (BQ) alors, les angles correspondants ^ABD et ^QAS sont de même mesure.
Ce qui signifie que : ^QAS=^ABD
D'où, ^QAS=50∘
On a aussi : les droites (RQ) et (DB) sont parallèles et sont coupées par la droite sécante (BQ) donc, les angles correspondants ^ABD et ^xQR sont de même mesure.
Ce qui signifie alors : ^xQR=^ABD
Ainsi, ^xQR=50∘
Par ailleurs, on remarque que ^ABD et ^tBw sont deux angles opposés par le sommet B.
Donc, ils sont de même mesure.
Ce qui signifie que : ^tBw=^ABD
D'où, ^tBw=50∘
De même, on constate que ^QAS et ^mAB sont deux angles opposés par le sommet A.
Ils ont alors la même mesure.
Donc, ^mAB=^QAS
Ainsi, ^mAB=50∘
On a aussi : ^xQR et ^vQA sont deux angles opposés par le sommet Q.
Donc, ils ont la même mesure.
Ce qui signifie que : ^vQA=^xQR
D'où, ^vQA=50∘
Exercice 8
La figure suivante a été réalisée à main levée.
1) La mesure de ^vAt est de 47∘
Justifions notre réponse.
On a : ^vAt et l'angle de 47∘ sont opposés par le sommet A.
Or, on sait que deux angles opposés par le sommet sont de même mesure.
Par conséquent, ^vAt=47∘
2) Donnons, en la justifiant, la mesure de ^vCy.
On a : ^vCy et l'angle de 133∘ sont adjacents supplémentaires.
Ce qui signifie que : ^vCy+133∘=180∘
Ce qui entraine alors : ^vCy=180∘−133∘=47∘
D'où, mes^vCy=47∘
3) La mesure de ^tAx est égale à 133∘
Justifions notre réponse.
On a : les angles ^vAt et ^tAx sont adjacents supplémentaires.
Donc, mes^tAx+mes^vAt=180∘
Ce qui entraine alors : mes^tAx=180∘−mes^vAt
En remplaçant mes^vAt par sa valeur, on obtient :
mes^tAx=180∘−mes^vAt=180∘−47∘=133∘
D'où, mes^tAx=133∘
4) Les droites (D) et (D′) sont bien parallèles.
En effet, on sait que : si deux droites coupées par une sécante déterminent deux angles correspondants de même mesure alors, ces deux droites sont parallèles.
Or, on remarque que les droites (D) et (D′) coupées par la droite sécante (AC) déterminent deux angles correspondants ^vAt et ^vCy qui ont la même mesure de 47∘.
Par conséquent, les droites (D) et (D′) sont parallèles.
Exercice 9
On considère la figure ci-dessous
Alors, les données de la figure ne permettent pas de connaitre la position relative des droites (AC) et (ED).
En effet, les données de la figure ne permettent pas de faire la comparaison des angles alternes-internes, alternes-externes ou correspondants déterminés par les droites (AC) et (ED).
Par conséquent, on ne peut rien dire sur la position relative de ces deux droites.
Par contre, les données de la figure permettent de connaitre la position relative des droites (AF) et (BD).
En calculant la mesure de l'angle ^CBD et en comparant les angles correspondants ^CBD et ^BAF, on peut connaitre la position relative des droites (AF) et (BD).
Calculons alors la mesure de l'angle ^CBD
Comme la somme des angles d'un triangle est égale à 180∘ alors, pour le triangle BCD on a :
^CBD+^BDC+^BCD=180∘
Ce qui entraine alors : ^CBD=180∘−(^BDC+^BCD)
En remplaçant ^BDC et ^BCD par leur valeur, on obtient :
^CBD=180∘−(^BDC+^BCD)=180∘−(59∘+72∘)=180∘−131∘=49∘
Donc, ^CBD=49∘
On remarque alors que ^CBD et ^BAF ont la même mesure de 49∘.
Ainsi, les droites (AF) et (BD) coupées par la sécante (AC), déterminent deux angles correspondants, ^CBD et ^BAF, de même mesure 49∘.
Par conséquent, les droites (AF) et (BD) sont parallèles.
Exercice 10
En utilisant la figure ci-dessous :
1) Démontrer que (GJ) est parallèle à (FH).
Pour cela, on va montrer que les angles alternes-internes ^GJI et ^JIF ont la même mesure.
Calculons alors la mesure de l'angle ^JIF.
On sait que ^JIF et ^HIE sont deux angles opposés par le sommet I donc, ils sont de même mesure.
C'est-à-dire ; mes^JIF=mes^HIE
Or, la mesure de l'angle ^HIE est obtenue la propriété sur la somme des angles d'un triangle.
Considérons alors le triangle HIE.
Comme la somme des angles d'un triangle est égale à 180∘ alors, on a :
^HIE+^HEI+^IHE=180∘
Ce qui entraine : ^HIE=180∘−(^HEI+^IHE)
En remplaçant ^HEI et ^IHE par leur valeur, on obtient :
^HIE=180∘−(^HEI+^IHE)=180∘−(50∘+90∘)=180∘−140∘=40∘
Donc, mes^HIE=40∘
Par suite, mes^JIF=40∘
On remarque alors que les angles ^GJI et ^JIF ont la même mesure de 40∘.
Ainsi, les droites (GJ) et (FH) coupées par la sécante (EJ), déterminent deux angles alternes-internes, ^GJI et ^JIF, de même mesure 40∘.
Par conséquent, les droites (GJ) et (FH) sont parallèles.
2) Calculons la mesure en degrés de chacun des angles du triangle IJF.
On constate que les angles ^IJF et ^EJK sont adjacents supplémentaires.
Pour cela, on calcule d'abord la mesure de l'angle ^EJK ensuite, on tire la mesure de l'angle ^IJF car ces deux angles sont adjacents supplémentaires.
En considérant le triangle EJK, on a :
^EJK+^EKJ+^JEK=180∘
Ce qui entraine alors : ^EJK=180∘−(^EKJ+^JEK)
En remplaçant ^EKJ et ^JEK par leur valeur, on obtient :
^EJK=180∘−(^EKJ+^JEK)=180∘−(55∘+50∘)=180∘−105∘=75∘
Donc, mes^EJK=75∘
Comme les angles ^IJF et ^EJK sont adjacents supplémentaires alors, cela signifie que : ^IJF+^EJK=180∘
Ce qui entraine alors : ^IJF=180∘−^EJK
En remplaçant ^EJK par sa valeur, on obtient :
^IJF=180∘−^EJK=180∘−75∘=105∘
Ainsi, mes^IJF=105∘
Par ailleurs, on sait que la somme des angles d'un triangle est égale à 180∘.
Donc, en considérant le triangle IJF, on obtient :
^IFJ+^IJF+^JIF=180∘
Ce qui entraine : ^IFJ=180∘−(^IJF+^JIF)
En remplaçant ^IJF et ^JIF par leur valeur, on obtient :
^IFJ=180∘−(^IJF+^JIF)=180∘−(105∘+40∘)=180∘−145∘=35∘
D'où, mes^IFJ=35∘
Exercice 11
1) Construisons un triangle équilatéral WAS.
2) La mesure de chacun de ses angles est égale à 60∘.
En effet, WAS est un triangle équilatéral.
Or, un triangle équilatéral a trois angles internes qui ont la même mesure de 60∘.
Donc, chaque angle de WAS mesure 60∘
3) Plaçons un point E sur [WA], puis traçons la parallèle à (AS) passant par E qui coupe [WS] en B.
4) Déterminons la mesure des angles du triangle WEB, puis précisons sa sa nature.
On a : les deux droites parallèles (BE) et (AS) coupées par la droite sécante (WS), déterminent deux angles correspondants ^WBE et ^WSA de même mesure.
Ce qui signifie que : ^WBE^WSA
Or, ^WSA=60∘
Donc, mes^WBE=60∘
De la même manière, les deux droites parallèles (BE) et (AS) coupées par la droite sécante (WA), déterminent deux angles correspondants ^WEB et ^WAS de même mesure.
Ce qui donne alors : ^WEB=^WAS
Or, ^WAS=60∘
Donc, mes^WEB=60∘
On remarque que les trois angles du triangle WEB ont la même mesure de 60∘.
Par conséquent, WEB est un triangle équilatéral.
Exercice 12
1) Construisons un triangle ABC isocèle en A tel que ^BAC=80∘.
2) La bissectrice de ^ABC coupe [AC] en I, celle de ^BIA coupe [AB] en J et la bissectrice de ^IJA coupe [AC] en K.
Plaçons I, J, K.
3) Calculons tous les angles de la figure.
− Calcul de ^ABC et ^ACB
En effet, comme le triangle ABC est isocèle en A alors, les angles ^ABC et ^ACB sont de même mesure.
Donc, en considérant le triangle ABC, on a :
^ABC+^ACB+^BAC=180∘
Ce qui entraine : ^ABC+^ACB=180∘−^BAC
En remplaçant ^BAC par sa valeur, on obtient :
^ABC+^ACB=180∘−^BAC=180∘−80∘=100∘
Or, on sait que : ^ABC=^ACB
Par suite, ^ABC=^ACB=100∘2=50∘
D'où, ^ABC=^ACB=50∘
− Calcul de ^ABI et ^IBC
Comme la bissectrice d'un angle partage l'angle en deux angles de même mesure alors, les angles adjacents ^ABI et ^IBC ont la même mesure.
Ce qui signifie que : ^ABI=^IBC=50∘2=25∘
Ainsi, ^ABI=^IBC=25∘
− Calcul de ^BIC
En considérant le triangle BIC, on a :
^BIC+^IBC+^ACB=180∘
Ce qui entraine : ^BIC=180∘−(^IBC+^ACB)
En remplaçant ^IBC et ^ACB par leur valeur, on obtient :
^BIC=180∘−(^IBC+^ACB)=180∘−(25∘+50∘)=180∘−75∘=105∘
D'où, ^BIC=105∘
− Calcul de ^BIA
On a : ^BIA et ^BIC sont adjacents supplémentaires.
Ce qui signifie que : ^BIA+^BIC=180∘
Ce qui entraine alors : ^BIA=180∘−^BIC
En remplaçant ^BIC par sa valeur, on obtient :
^BIA=180∘−^BIC=180∘−105∘=75∘
D'où, ^BIA=75∘
− Calcul de ^BIJ et ^AIJ
Comme (IJ) est la bissectrice de l'angle ^BIA alors, les angles adjacents ^BIJ et ^AIJ sont de même mesure.
Alors, ^BIJ=^AIJ=75∘2=37.5∘
Ainsi, ^BIJ=^AIJ=37.5∘
− Calcul de ^BJI
En considérant le triangle BIJ, on a :
^BJI+^BIJ+^JBI=180∘
Ce qui entraine : ^BJI=180∘−(^BIJ+^JBI)
En remplaçant ^BIJ et ^JBI par leur valeur, on obtient :
^BJI=180∘−(^BIJ+^JBI)=180∘−(37.5∘+25∘)=180∘−62.5∘=117.5∘
D'où, ^BJI=117.5∘
− Calcul de ^IJA
On a : ^IJA et ^BJI sont adjacents supplémentaires.
Ce qui signifie que : ^IJA+^BJI=180∘
Ce qui entraine alors : ^IJA=180∘−^BJI
En remplaçant ^BJI par sa valeur, on obtient :
^IJA=180∘−^BJI=180∘−117.5∘=62.5∘
D'où, ^IJA=62.5∘
− Calcul de ^IJK et ^AJK
Comme (JK) est la bissectrice de l'angle ^IJA alors, les angles adjacents ^IJK et ^AJK ont la même mesure.
Donc, ^IJK=^AJK=62.5∘2=31.25∘
D'où, ^IJK=^AJK=31.25∘
− Calcul de ^JKI
En considérant le triangle IJK, on a :
^JKI+^IJK+^KIA=180∘
Ce qui entraine : ^JKI=180∘−(^IJK+^KIJ)
En remplaçant ^IJK et ^KIJ par leur valeur, on obtient :
^JKI=180∘−(^IJK+^KIJ)=180∘−(31.25∘+37.5∘)=180∘−68.75∘=111.25∘
D'où, ^JKI=111.25∘
− Calcul de ^AKJ
On a : ^AKJ et ^JKI sont adjacents supplémentaires.
Ce qui signifie que : ^AKJ+^JKI=180∘
Ce qui entraine alors : ^AKJ=180∘−^JKI
En remplaçant ^JKI par sa valeur, on obtient :
^AKJ=180∘−^JKI=180∘−111.25∘=68.75∘
D'où, ^AKJ=68.75∘
4) Les droites (JK) et (BI) ne sont pas parallèles.
Justifions notre réponse.
En effet, les droites (JK) et (BI) coupées par la droite sécante (IJ), déterminent deux angles alternes-internes ^BIJ et ^IJK.
Or, on a : ^BIJ=37.5∘ et ^IJK=31.25∘.
On constate alors que ces deux angles n'ont pas la même mesure.
Par conséquent, les droites (JK) et (BI) ne sont pas parallèles.
Exercice 13
1) Traçons un rectangle ABCD de centre O et construisons :
[Ax) symétrique de (AC) par rapport à (AB)
[Cy) symétrique de (AC) par rapport à (CD).
2) Les demi-droites [Ax) et [Cy) sont parallèles
Justifions notre réponse.
En effet, les demi-droites [Ax) et [Cy) coupées par la droite sécante (AC), déterminent deux angles alternes-internes ^xAO et ^OCy.
En mesurant, on constate que ces deux angles alternes-internes ont la même mesure de 53.13∘.
Par conséquent, [Ax) et [Cy) sont parallèles.
Exercice 14
Considérons les figures ci-dessous :
a) Les angles ^rTs et ^sTu sont adjacents.
Ces deux angles ont un sommet commun T, un côté commun [TS) et sont situés de part et d'autre de ce côté commun.
Par conséquent, ils sont adjacents
b) Les angles ^AEB et ^BDC ne sont pas adjacents.
En effet, on constate que ces deux angles n'ont pas de sommet commun.
Par conséquent, ils ne sont pas adjacents.
c) Les angles ^xGu et ^tGx sont adjacents.
^xGu et ^tGx ont un sommet commun G, un côté commun [Gx) et sont situés de part et d'autre de ce côté commun.
Alors, ils sont adjacents.
De plus, ils sont supplémentaires
Considérons les figures suivantes :
d) Les angles ^vUx et ^wUv ne sont pas adjacents.
En effet, on remarque que ces deux angles sont situés du même côté du bord commun [Uv).
Par conséquent, ils ne sont pas adjacents.
e) Les ^tUv et ^wUx ne sont pas adjacents.
On constate que ces deux angles n'ont pas de côté commun.
Par conséquent, ils ne sont pas adjacents.
f) Les angles ^TRS et ^RSU ne sont pas adjacents.
En effet, on remarque que ^TRS et ^RSU n'ont pas de sommet commun.
Donc, ils ne sont pas adjacents.
Exercice 15
On donne la figure ci-dessous.
a) ^yGw et ^HGs ne sont pas opposés par le sommet
b) ^rHx et ^tHw sont opposés par le sommet H
c) ^rHt et ^xHG sont opposés par le sommet H
Exercice 16
On donne la figure ci-dessous.
Reproduisons puis complétons le tableau ci-dessous
Angles^xFr^yFt^sFr^sFwAngles opposés par le sommet^wFt^xFs^yFw^yFr
Exercice 17
On considère les figures a, b, c, d, e, f ci-dessous :
Reproduisons et remplissons le tableau ci-dessous en mettant une croix dans la ou les cases qui correspondent à des angles adjacents, complémentaires, supplémentaires.
Angles∖Figuresa.b.c.d.e.f.Angles adjacents××××Angles complémentaires×××Angles suplémentaires××
Exercice 18
Reproduisons et remplissons le tableau ci-dessous en mettant une croix dans la case qui convient.
ˆaˆbComplémentairesSuplémentairesni l'un, ni l'autre35∘55∘×11565∘×47∘134∘×22∘67∘×30∘150∘×
Exercice 19
1) Soient ˆa et ˆb deux angles complémentaires.
Calculons la mesure de l'angle ˆb dans chacun des cas suivants :
ˆa=57∘; ˆa=24∘; ˆa=2ˆb
Comme ˆa et ˆb deux angles complémentaires alors, cela signifie :
ˆa+ˆb=90∘
Ce qui entraine :
ˆb=90∘−ˆa
Donc, dans chaque cas, on remplace ˆa par sa valeur pour obtenir la mesure de ˆb.
− pour ˆa=57∘, on a :
ˆb=90∘−ˆa=90∘−57∘=33∘
Ainsi, ˆb=33∘
− pour ˆa=24∘, on a :
ˆb=90∘−ˆa=90∘−24∘=66∘
Donc, ˆb=66∘
− pour ˆa=2ˆb, on a :
ˆa+ˆb=90∘ si, et seulement si, 2ˆb+ˆb=90∘
Ainsi, 3ˆb=90∘
Ce qui donne alors : ˆb=90∘3=30∘
D'où, ˆb=30∘
2) Soient ˆa et ˆb deux angles supplémentaires.
Calculons la mesure de l'angle ˆb dans chacun des cas suivants :
ˆa=127∘; ˆa=86∘; ˆa=3ˆb
Comme ˆa et ˆb deux angles complémentaires alors, on a :
ˆa+ˆb=180∘
Ce qui entraine :
ˆb=180∘−ˆa
Donc, dans chaque cas, on remplace ˆa par sa valeur pour obtenir la mesure de ˆb.
− pour ˆa=127∘, on a :
ˆb=180∘−ˆa=180∘−127∘=53∘
Donc, ˆb=53∘
− pour ˆa=86∘, on a :
ˆb=180∘−ˆa=180∘−86∘=94∘
Ainsi, ˆb=66∘
− pour ˆa=3ˆb, on a :
ˆa+ˆb=180∘ si, et seulement si, 3ˆb+ˆb=180∘
Ce qui signifie que : 4ˆb=180∘
Ce qui donne alors : ˆb=180∘4=45∘
D'où, ˆb=45∘
Exercice 20
Reproduisons la figure ci-dessous puis colorions différemment les paires d'angles correspondants.
Exercice 21
Reproduisons la figure ci-dessous puis colorions différemment les paires d'angles alternes-internes.
Exercice 22
Recopions puis complétons les phrases ci-dessous en nous aidant de la figure ci-dessous :
a) ^zAr et ^zBs sont correspondants
b) ^rAt et ^yBz sont alternes-internes
c) ^zAr et ^zBs sont correspondants
d) ^zBs et ^yBt sont opposés par le sommet.
e) ^rAt et ^sBt sont correspondants.
f) ^ABs et ^wAB sont alternes-internes.
Exercice 23
Reproduisons la figure en plaçant les points D, E, F, G et H sachant que :
⋅ les angles ^BAC et ^ABD sont alternes-internes;
⋅ les angles ^CAB et ^BAE sont supplémentaires;
⋅ les angles ^CAB et ^EAF sont des angles opposés par le sommet;
⋅ les angles ^ABC et ^FAG sont correspondants;
⋅ les angles ^ACB et ^CBH sont alternes-internes.
Exercice 24
On considère la figure ci-dessous.
1) Citons deux paires d'angles correspondants déterminés par les droites (EG), (AD) et la sécante (KC)
^CDJ et ^KFI;^EFC et ^BDH
2) Citons deux paires d'angles alternes-internes déterminés par les droites (EG), (AD) et la sécante (BR)
^ABC et ^CIG;^CBD et ^CIF
3) Citons deux paires d'angles alternes-externes déterminés par les droites (EG), (AD) et la sécante (BR)
^ABR et ^GIL;^DBR et ^FIL
4) Citons deux paires d'angles opposés par le sommet
^EFK et ^CFI;^BCF et ^DCI
Exercice 25
1) Reproduisons la figure ci-dessous puis colorions avec la même couleur les angles de même mesure sachant que les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles.
2) Reproduisons la figure ci-dessous puis colorions avec la même couleur les angles de même mesure sachant que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Exercice 26
Dans la figure ci-dessous, les droites (d) et (d′) sont parallèles.
Donnons la mesure de chacun des angles
ˆA1; ˆA2; ˆA3; ˆB1; ˆB2; ˆB3 et ˆB4
On a :
ˆA2 et l'angle de 132∘ sont opposés par le sommet A donc, ils ont la même mesure.
Ainsi, ˆA2=132∘
ˆA1 et l'angle de 132∘ sont adjacents supplémentaires.
Ce qui signifie que : ˆA1+132∘=180∘
Ce qui entraine alors : ˆA1=180∘−132∘=48∘
D'où, ˆA1=48∘
ˆA1 et ˆA3 sont opposés par le sommet A donc, ils sont de même mesure.
Par conséquent, ˆA3=48∘
Comme les droites (d) et (d′) sont parallèles alors, ˆA1 et ˆB3 sont deux angles alternes-externes de même mesure.
D'où, ˆB3=48∘
ˆB1 et ˆB3 sont opposés par le sommet B donc, ils sont de même mesure.
Par conséquent, ˆB1=48∘
ˆB4 et l'angle de 132∘ sont deux angles correspondants de même mesure.
Donc, ˆB4=132∘
ˆB2 et ˆB4 sont opposés par le sommet B donc, ils ont la même mesure.
D'où, ˆB2=132∘
Exercice 27
Dans la figure ci-dessous, les droites (d′) et (d″ sont parallèles.
Démontrons que les angles \widehat{XAB}\ et \ \widehat{NBA} ont la même mesure.
En effet, les angles \widehat{XAB}\ et \ \widehat{NBA} sont alternes-internes.
Or, on sait que : deux droites parallèles coupées par une sécante, déterminent deux angles alternes-internes de même mesure.
Comme les droites (d')\ et \ (d'') sont parallèles alors, les les angles \widehat{XAB}\ et \ \widehat{NBA} ont la même mesure.
D'où, les angles \boxed{mes\;\widehat{XAB}=mes\;\widehat{NBA}}
Exercice 28
Sachant que dans cette figure les droites (AB)\ et \ (CD) sont parallèles, donnons la mesure de chacun des angles ci-dessous sans mesurer :
\widehat{a}\;;\ \widehat{b}\;;\ \widehat{c}\;;\ \widehat{d}\;;\ \widehat{e}\;;\ \widehat{f}\ \text{ et }\ \widehat{g}
En effet, comme les droites (AB)\ et \ (CD) sont parallèles alors, les angles alternes-internes ou alternes-externes ou encore correspondants ont la même mesure.
On a : \widehat{f} et l'angle de 34^{\circ} sont alternes-internes.
Donc, ils ont la même mesure.
D'où, \boxed{\widehat{f}=34^{\circ}}
On a : \widehat{c}\ et l'angle de 34^{\circ} sont opposés par le sommet P donc, ils sont de même mesure.
Par conséquent, \boxed{\widehat{c}=34^{\circ}}
On a : \widehat{a} et l'angle de 34^{\circ} sont adjacents complémentaires.
Ce qui signifie que : \widehat{a}+34^{\circ}=90^{\circ}
Ce qui entraine alors : \widehat{a}=90^{\circ}-34^{\circ}=56^{\circ}
D'où, \boxed{\widehat{a}=56^{\circ}}
On a : \widehat{b}\ et \ \widehat{a} sont opposés par le sommet P donc, ils ont la même mesure.
Par conséquent, \boxed{\widehat{b}=56^{\circ}}
On a : \widehat{d}\ et \ \widehat{b} sont alternes-internes donc, ils ont la même mesure.
Ainsi, \boxed{\widehat{d}=56^{\circ}}
On a : \widehat{e}\ et \ \widehat{d} sont adjacents supplémentaires.
Ce qui signifie que : \widehat{e}+\widehat{d}=180^{\circ}
Ce qui entraine alors : \widehat{e}=180^{\circ}-\widehat{d}
En remplaçant \widehat{d} par sa valeur, on obtient :
\begin{array}{rcl}\widehat{e}&=&180^{\circ}-\widehat{d}\\\\&=&180^{\circ}-56^{\circ}\\\\&=&124^{\circ}\end{array}
D'où, \boxed{\widehat{e}=124^{\circ}}
On a : \widehat{g}\ et \ \widehat{f} sont adjacents supplémentaires.
Ce qui signifie que : \widehat{g}+\widehat{f}=180^{\circ}
Ce qui entraine alors : \widehat{g}=180^{\circ}-\widehat{f}
En remplaçant \widehat{f} par sa valeur, on obtient :
\begin{array}{rcl}\widehat{g}&=&180^{\circ}-\widehat{f}\\\\&=&180^{\circ}-34^{\circ}\\\\&=&146^{\circ}\end{array}
Ainsi, \boxed{\widehat{g}=146^{\circ}}
Exercice 29
Dans la figure ci-dessous, les droites (d')\ et \ (d'') sont bien parallèles.
Justifions notre réponse.
En effet, les droites (d')\ et \ (d'') coupées par la droite sécante (d), déterminent deux angles correspondants de même mesure de 52^{\circ}.
Par conséquent, les droites (d')\ et \ (d'') sont parallèles.
Exercice 30
Dans la figure ci-dessous, \widehat{DAB}=103^{\circ}\ et \ \widehat{CBA}=102^{\circ}.
Les droites (d')\ et \ (d'') ne sont pas parallèles.
Justifions notre réponse.
En effet, les droites (d')\ et \ (d'') coupées par la droite sécante (AB), déterminent deux angles alternes-internes \widehat{DAB}\ et \ \widehat{CBA}.
Or, on constate que ces deux angles alternes-internes n'ont pas la même mesure.
Par conséquent, les droites (d')\ et \ (d'') ne sont pas parallèles.
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
ordinateur fort (non vérifié)
lun, 03/15/2021 - 20:20
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merci
Gueye (non vérifié)
dim, 05/09/2021 - 15:23
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Correction exercice 3
Gueye (non vérifié)
dim, 05/09/2021 - 15:24
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Correction exercice 3
ordinateur fort (non vérifié)
lun, 03/15/2021 - 20:21
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merci
Gueye (non vérifié)
dim, 05/09/2021 - 15:12
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Bien
Anonyme (non vérifié)
dim, 03/13/2022 - 20:56
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Les angles orthocentre
Anonyme (non vérifié)
lun, 03/14/2022 - 07:30
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Je veux la correction de l
Elhadji (non vérifié)
dim, 04/10/2022 - 13:54
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Auc
Anonyme (non vérifié)
lun, 03/14/2022 - 07:30
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Je veux la correction de l
Ly (non vérifié)
mer, 04/13/2022 - 00:21
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Pourquoi y'a des exercices
Anonyme (non vérifié)
mar, 01/17/2023 - 19:54
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Je me débrouille bien avec
Anonyme (non vérifié)
lun, 12/11/2023 - 17:06
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Je veux exercices 1vrai ou
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