Bac Maths D, Côte d'Ivoire 2015

On considère la fonction $P$ définie sur $\mathbb{C}$ par :
$$\forall z\in\mathbb{C}\;,\ P(z)=z^{3}-(3+2\mathbb{i})z^{2}+(1+5\mathbb{i})z+2–2\mathbb{i}.$$

1 a) Calculer $P(\mathrm{i}).$

b) Déterminer deux nombres complexes $a$ et $b$ tels que $P(z)=(z−\mathbb{i})(z^{2}+az+b).$

2. Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation : $z^{2}–(3+\mathbb{i})z+2+2\mathbb{i}=0.$

3. En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $(E)\ :\ P(z)=0.$

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{u};,\ \vec{v})$ d'unité $5\,cm.$

On pose : $z_{0}=2$ et $\forall n\in\mathbb{N}\;,\ z_{n+1}=\dfrac{1+\mathbb{i}}{2}z_{n}$

On note $A_{n}$ le point du plan d'affixe $z_{n}.$

1. a) Calculer $z_{1}$ et $z_{2}.$

b) Placer les points $A_{0}$, $A_{1}$ et $A_{2}$ dans le plan complexe.

2. On considère la suite U définie par : $\forall n\in\mathbb{N}\;,\ U_{n}=|z_{n+1}−z_{n}|$

a) Justifier que : $\forall n\in\mathbb{N}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}|z_{n}|$

b) Démontrer que $U$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et de premier terme $\sqrt{2}.$

c) Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n.$

3. On désigne par $A_{0}A_{1}+A_{1}A_{2}+\ldots+A_{n+1}A_{n}$ la longueur de la ligne brisée $A_{0}A_{1}A_{2}+\ldots+A_{n-1}A_{n}\ (n\in\mathbb{N}^{\ast})$

On pose $\forall n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ l_{n}=A_{0}A_{1}+A_{1}A_{2}+\ldots+A_{n-1}A_{n}$

a) Calculer $l_{n}$

b) En déduire la limite de $l_{n}.$

Mariam, une jeune diplômée sans emploi, a reçu un fonds et décide d'ouvrir un restaurant.

Après un mois d'activité, elle constate que :

$\bullet\ $Pour un jour donne, la probabilité qu'il ait une affluence de clients est $0.6$ ;

$\bullet\ $Lorsqu'il y a une affluence de clients, la probabilité qu'elle réalise un bénéfice est $0.7$

$\bullet\ $Lorsqu'il n'y a pas d'affluence de clients, la probabilité qu'elle réalise un bénéfice est $0.4$ ;

On désigne par $A$ l'évènement « il y a affluence de clients » et $B$ l'évènement « Mariam réalise un bénéfice ».

1. On choisit un jour au hasard.

a) Calculer la probabilité de l'évènement $E$ suivant : « il y a une affluence de clients et Mariam réalise un bénéfice ».

b) Démontrer que la probabilité $p(B)$ de l'évènement $B$ est $0.58.$

c) Mariam réalise un bénéfice.

Calculer la probabilité qu'il y ait eu une affluence de clients ce jour-là.

On donnera l'arrondi d'ordre $2$ du résultat.

2. Mariam veut faire des prévisions pour trois jours successifs donnés.

On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de jours où elle réalise un bénéfice sur les $3$ jours successifs.

a) Déterminer les valeurs prises par $X.$

b) Déterminer la loi de probabilité de $X.$

c) Calculer l'Esperance mathématique $E(X)$ de $X.$

3. Soit $n$ un nombre entier naturel supérieur ou égal à $2.$

On note $P_{n}$ la probabilité que Mariam réalise au moins une fois un bénéfice pendant $n$ jours successifs sur une période de n jours.

a) Justifier que pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à $2$ : $P_{n}=1–(0.42)^{n}$

b) Déterminer la valeur minimale de $n$ pour qu'on ait $P_{n}\geq 0.9999.$

Soit $r$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $r(x)=x\mathrm{e}^{−x}.$

On considère l'équation différentielle $(E)\ :\ y'+y=r.$

Soit $g$ la fonction dérivable et définie sur $\mathbb{R}$ par : $\forall x\in\mathbb{R}\;,\ g(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}\mathrm{e}^{−x}$

1. Démontrer que $g$ est solution de l'équation $(E).$

2. Soit l'équation différentielle $(F)\ :\ y'+y=0.$

a) Démontrer qu'une fonction $\varphi$ est solution de $(E)$ si et seulement si $\varphi−g$ est solution de $(F).$

b) Résoudre l'équation différentielle $(F).$

c) En déduire la solution $\varphi$ de $(E)$ qui vérifie $\varphi(0)=−\dfrac{3}{2}.$

On considère la fonction $f$ dérivable et définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=\dfrac{x^{2}−3}{2}\mathrm{e}^{−x}.$$

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal $(O\;,\ I\;,\ J)$, d'unités graphiques $OI=2\,cm$ et $OJ=4\,cm.$

1. a) Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)$

b) Démontrer que la courbe $(\mathcal{C})$ admet en $−\infty$ une branche parabolique de direction celle de $(OJ).$

2. Calculer la limite de $f$ en $+\infty$ et interpréter graphiquement ce résultat.

3. a) Soit $f'$ la fonction dérivée de $f.$

Démontre que : $\forall x\mathbb{R}\;,\ f'(x)=\dfrac{3+2x−x^{2}}{2}\mathrm{e}^{−x}$

b) Étude les variations de $f.$

c) Dresser le tableau de variations de $f.$

4. Démontrer qu'une équation de la tangente $(\mathcal{T})$ à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$ est : $y=\dfrac{3}{2}x−\dfrac{3}{2}$

5. Étudier les positions relatives de $(\mathcal{C})$ par rapport à l'axe des abscisses.

6. Représenter graphiquement $(\mathcal{T})$ et $(\mathcal{C}).$

1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $$\int^{1}_{0}x\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x.$$

a) Vérifie que $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ de la partie A.

b) En déduire que : $\forall x\in\mathbb{R}\;,\ f'(x)+x\mathrm{e}^{-x}$

c) En utilisant la question précédente, calculer en $cm^{2}$ l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite $(OI)$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1.$