Bac Maths D, Côte d'Ivoire 2015

Exercice 1

Partie I

On considère la fonction P définie sur C par :
\forall z\in\mathbb{C}\;,\ P(z)=z^{3}-(3+2\mathbb{i})z^{2}+(1+5\mathbb{i})z+2–2\mathbb{i}.

1 a) Calculer P(\mathrm{i}).

b) Déterminer deux nombres complexes a et b tels que P(z)=(z−\mathbb{i})(z^{2}+az+b).

2. Résoudre dans \mathbb{C}, l'équation : z^{2}–(3+\mathbb{i})z+2+2\mathbb{i}=0.

3. En déduire les solutions dans \mathbb{C} de l'équation (E)\ :\ P(z)=0.

Partie IIkh

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O\;,\ \vec{u};,\ \vec{v}) d'unité 5\,cm.

On pose : z_{0}=2 et \forall n\in\mathbb{N}\;,\ z_{n+1}=\dfrac{1+\mathbb{i}}{2}z_{n}

On note A_{n} le point du plan d'affixe z_{n}.

1. a) Calculer z_{1} et z_{2}.

b) Placer les points A_{0}, A_{1} et A_{2} dans le plan complexe.

2. On considère la suite U définie par : \forall n\in\mathbb{N}\;,\ U_{n}=|z_{n+1}−z_{n}|

a) Justifier que : \forall n\in\mathbb{N}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}|z_{n}|

b) Démontrer que U est une suite géométrique de raison \dfrac{\sqrt{2}}{2} et de premier terme \sqrt{2}.

c) Exprimer U_{n} en fonction de n.

3. On désigne par A_{0}A_{1}+A_{1}A_{2}+\ldots+A_{n+1}A_{n} la longueur de la ligne brisée A_{0}A_{1}A_{2}+\ldots+A_{n-1}A_{n}\ (n\in\mathbb{N}^{\ast})

On pose \forall n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ l_{n}=A_{0}A_{1}+A_{1}A_{2}+\ldots+A_{n-1}A_{n}

a) Calculer l_{n}

b) En déduire la limite de l_{n}.

Exercice 2

Mariam, une jeune diplômée sans emploi, a reçu un fonds et décide d'ouvrir un restaurant.

Après un mois d'activité, elle constate que :

\bullet\ Pour un jour donne, la probabilité qu'il ait une affluence de clients est 0.6 ;

\bullet\ Lorsqu'il y a une affluence de clients, la probabilité qu'elle réalise un bénéfice est 0.7

\bullet\ Lorsqu'il n'y a pas d'affluence de clients, la probabilité qu'elle réalise un bénéfice est 0.4 ;

On désigne par A l'évènement « il y a affluence de clients » et B l'évènement « Mariam réalise un bénéfice ».

1. On choisit un jour au hasard.

a) Calculer la probabilité de l'évènement E suivant : « il y a une affluence de clients et Mariam réalise un bénéfice ».

b) Démontrer que la probabilité p(B) de l'évènement B est 0.58.

c) Mariam réalise un bénéfice.

Calculer la probabilité qu'il y ait eu une affluence de clients ce jour-là.

On donnera l'arrondi d'ordre 2 du résultat.

2. Mariam veut faire des prévisions pour trois jours successifs donnés.

On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jours où elle réalise un bénéfice sur les 3 jours successifs.

a) Déterminer les valeurs prises par X.

b) Déterminer la loi de probabilité de X.

c) Calculer l'Esperance mathématique E(X) de X.

3. Soit n un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2.

On note P_{n} la probabilité que Mariam réalise au moins une fois un bénéfice pendant n jours successifs sur une période de n jours.

a) Justifier que pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à 2 : P_{n}=1–(0.42)^{n}

b) Déterminer la valeur minimale de n pour qu'on ait P_{n}\geq 0.9999.

Problème

Partie A

Soit r la fonction définie sur \mathbb{R} par : r(x)=x\mathrm{e}^{−x}.

On considère l'équation différentielle (E)\ :\ y'+y=r.

Soit g la fonction dérivable et définie sur \mathbb{R} par : \forall x\in\mathbb{R}\;,\ g(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}\mathrm{e}^{−x}

1. Démontrer que g est solution de l'équation (E).

2. Soit l'équation différentielle (F)\ :\ y'+y=0.

a) Démontrer qu'une fonction \varphi est solution de (E) si et seulement si \varphi−g est solution de (F).

b) Résoudre l'équation différentielle (F).

c) En déduire la solution \varphi de (E) qui vérifie \varphi(0)=−\dfrac{3}{2}.

Partie B

On considère la fonction f dérivable et définie sur \mathbb{R} par :f(x)=\dfrac{x^{2}−3}{2}\mathrm{e}^{−x}.

On note (\mathcal{C}) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthogonal (O\;,\ I\;,\ J), d'unités graphiques OI=2\,cm et OJ=4\,cm.

1. a) Calcule \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)

b) Démontrer que la courbe (\mathcal{C}) admet en −\infty une branche parabolique de direction celle de (OJ).

2. Calculer la limite de f en +\infty et interpréter graphiquement ce résultat.

3. a) Soit f' la fonction dérivée de f.

Démontre que : \forall x\mathbb{R}\;,\ f'(x)=\dfrac{3+2x−x^{2}}{2}\mathrm{e}^{−x}

b) Étude les variations de f.

c) Dresser le tableau de variations de f.

4. Démontrer qu'une équation de la tangente (\mathcal{T}) à la courbe (\mathcal{C}) au point d'abscisse 0 est : y=\dfrac{3}{2}x−\dfrac{3}{2}

5. Étudier les positions relatives de (\mathcal{C}) par rapport à l'axe des abscisses.

6. Représenter graphiquement (\mathcal{T}) et (\mathcal{C}).

Partie C

1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer \int^{1}_{0}x\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x.

a) Vérifie que f est solution de l'équation différentielle (E) de la partie A.

b) En déduire que : \forall x\in\mathbb{R}\;,\ f'(x)+x\mathrm{e}^{-x}

c) En utilisant la question précédente, calculer en cm^{2} l'aire \mathcal{A} de la partie du plan limitée par la courbe (\mathcal{C}), la droite (OI) et les droites d'équations x=0 et x=1.

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