Inéquations et système d'inéquations à une inconnue - 4e

Classe: 
Quatrième
 

I. Inéquation

I.1. Définition

On appelle une inéquation à une inconnue toute inégalité dans laquelle se trouve une inconnue.

Exemple

2x+3⏟1er membre >⏟ l'inégalité 4⏟ 2nd membre
Remarque
 
Dans une inéquation, on peut trouver :
 
$⋅ inégalité stricte :>supérieur strictement<inférieur strictement⋅ inégalité large :≥supérieur ou égal≤inférieur ou égal$

I.2. Résolution de l'inéquation

a) Inéquation du type $ax+b\;\ast\; 0\;,\ a\neq 0\ $ et $\ \ast\in\{>\;,\ <\;,\ \geq\;,\ \leq\}$

Exemple

Résoudre dans $\mathbb{Q}$
 
1) $2x-16>0$
 
2) $2x-16<0$
 
3) $2x-16\geq 0$
 
4) $2x-16\leq 0$

Solution

1)
 
$2x−16>0⇔2x>16⇔x>162⇔x>8$

 
 
$S=]8\;;\ +\infty[$
 
La solution est l'ensemble des rationnels $x$ supérieurs strictement à $8.$
 
2)
 
$2x−16<0⇔2x<16⇔x<162⇔x<8$

 
 
$S=]-\infty\;;\ 8[$
 
La solution est l'ensemble des rationnels $x$ inférieurs strictement à $8.$
 
3)
 
$2x−16≥0⇔2x≥16⇔x≥162⇔x≥8$

 

 
$S=[8\;;\ +\infty[$
 
La solution est l'ensemble des rationnels $x$ supérieurs ou égaux à $8.$
 
4)
 
$2x−16≤0⇔2x≤16⇔x≤162⇔x≤8$

 
 
$S=]-\infty\;;\ 8]$
 
La solution est l'ensemble des rationnels $x$ inférieurs ou égaux à $8.$
 
Remarque
 
Si $a$ est négatif alors, on résout l'inéquation en changeant le sens de l'inégalité.

Exemple

Résoudre dans $\mathbb{Q}$
 
1) $-3x\geq 15$
 
2) $-1>1-4x$

Solution

1)
 
$−3x≤15⇔x≥15−3⇔x≥−5$

 
 
$S=[-5\;;\ +\infty[$
 
La solution est l'ensemble des rationnels $x$ supérieurs ou égaux à $-5.$
 
2)
 
$−1>1−4x⇔1−4x<−1⇔−4x<−1−1⇔−4x<−2⇔x>−2−4⇔x>12$

 
 
$S=\left]\dfrac{1}{2}\;;\ +\infty\right[$
 
La solution est l'ensemble des rationnels $x$ supérieurs strictement à $\dfrac{1}{2}.$

b) Inéquation du type $ax+b\;\ast\; cx+d\ $ avec, $\ast\in\{>\;,\ <\;,\ \geq\;,\ \leq\}\;;\ a\neq c\;;\ a\neq 0\ $ et $\ c\neq 0$

Si $ax+b\;\ast\; cx+d$ alors, on a :
 
$ax−cx∗d−b(a−c)x∗d−bx∗d−ba−c$
 
Attention ! si $(a-c)$ est négatif, l'inégalité change de sens

Exemple

Résoudre dans $\mathbb{Q}\ :\ -2-7x>-5x-1$

Solution

$−2−7x>−5x−1⇔5x−7x>2−1⇔−2x>1⇔x<1−2$

 
 
$S=\left]-\infty\;;\ \dfrac{1}{-2}\right[$
 
La solution est donc, l'ensemble des rationnels $x$ inférieurs strictement à $\dfrac{1}{-2}.$

Application 1

On donne les nombres : $\dfrac{2}{3}\;;\ -4\;;\ \dfrac{3}{5}\;;\ 2\ $ et $\ \dfrac{11}{3}$
 
Indiquer ceux qui sont des solutions pour chacune des inéquations suivantes :
 
a) $3x-4\geq 11$
 
b) $2x\leq 3x+4$
 
c) $-3x-5\geq x+3$
 
d) $4x-1\leq 3x$

Solution

a)
 
$3x−4≥11⇔3x≥11+4⇔3x≥15⇔x≥153⇔x≥5$

 
 
$S=[5\;;\ +\infty[$
 
On remarque que les valeurs $\dfrac{2}{3}\;;\ -4\;;\ \dfrac{3}{5}\;;\ 2\ $ et $\ \dfrac{11}{3}$ n'appartiennent pas à l'intervalle $[5\;;\ +\infty[.$
 
Par conséquent, aucune valeur donnée n'est solution de cette inéquation.
 
b)
 
$2x≤3x+4⇔2x−3x≤4⇔−x≤4⇔x≥4−1⇔x≥−4$

 
 
$S=[-4\;;\ +\infty[$
 
Toutes les valeurs données sont supérieures ou égales à $-4$ donc, elles sont toutes solutions de l'inéquation $2x\leq 3x+4.$
 
c)
 
$−3x−5≥x+3⇔−3x−x≥5+3⇔−4x≥8⇔x≤8−4⇔x≤−2$

 
 
$S=]-\infty\;;\ -2]$
 
Parmi toutes les valeurs données seule $-4$ appartient à l'intervalle $]-\infty\;;\ -2].$
 
Par conséquent, $-4$ est la seule valeur solution de l'inéquation $-3x-5\geq x+3.$
 
d)
 
$4x−1≤3x⇔4x−3x≤1⇔x≤1$

 
 
$S=]-\infty\;;\ 1]$
 
On remarque que parmi les valeurs données, seules $\dfrac{2}{3}\;;\ -4\ $ et $\ \dfrac{3}{5}$ sont inférieures ou égales à $1.$
 
D'où, $\dfrac{2}{3}\;;\ -4\ $ et $\ \dfrac{3}{5}$ sont les seules valeurs solutions de l'inéquation $4x-1\leq 3x.$

Application 2

Résoudre chacune des inéquations suivantes.
 
Écrire sous forme de phrase la solution de chacune d'elle.
 
Donner deux nombres qui sont solutions et deux qui ne sont pas.
 
a) $3-4x<-9$
 
b) $x+3<-3x+5$
 
c) $3-2x>5-6x$

Solution

a)
 
$3−4x<−9⇔−4x<−3−9⇔−4x<−12⇔x>−12−4⇔x>3$

 
 
$S=]3\;;\ +\infty[$
 
Ainsi, la solution est l'ensemble des rationnels $x$ supérieurs strictement à $3.$
 
$4\ $ et $\ 5$ sont alors deux valeurs solutions de l'inéquation.
 
Par contre, $1\ $ et $\ 2$ sont deux valeurs qui ne sont pas solutions de l'inéquation.
 
b)
 
$x+3<−3x+5⇔x+3x<−3+5⇔4x<2⇔x<24⇔x<12$

 
 
$S=\left]-\infty\;;\ \dfrac{1}{2}\right[$
 
La solution est l'ensemble des rationnels $x$ inférieurs strictement à $\dfrac{1}{2}.$
 
$-6\ $ et $\ -7$ sont deux valeurs solutions de l'inéquation.
 
$0.6\ $ et $\ 2$ sont deux valeurs non solutions de l'inéquation.
 
c)
 
$3−2x>5−6x⇔−2x+6x>−3+5⇔4x>2⇔x>24⇔x>12$

 
 
$S=\left]\dfrac{1}{2}\;;\ +\infty\right[$
 
La solution est l'ensemble des rationnels $x$ supérieurs strictement à $\dfrac{1}{2}.$
 
$0.6\ $ et $\ 10$ sont deux valeurs solutions de l'inéquation.
 
$0.4\ $ et $\ -21$ sont deux valeurs non solutions de l'inéquation.

II. Système de deux inéquations à une inconnue

Pour résoudre un système de deux inéquations à une inconnue :
 
$-\ $ On résout d'abord les deux inéquations indépendamment.
 
$-\ $ La solution du système est l'intersection des deux solutions des inéquations.

Exemple 1

Résoudre le système suivant :
{x−5>−2(1)−2x+5≤−5(2)

Solution

En résolvant les deux inéquations indépendamment, on obtient :
 
$(1)x−5>−2⇔x>+5−2⇔x>3$
 
Donc, $S_{1}=]3\;;\ +\infty[$
 
$(2)−2x+5≤−5⇔−2x≤−5−5⇔−2x≤−10⇔x≥−10−2⇔x≥5$
 
D'où, $S_{2}=[5\;;\ +\infty[$

 

 
Finalement :
S=S1∩S2=[5; +∞[
La solution est l'ensemble des rationnels $x$ supérieurs ou égaux à $5.$

Exemple 2

Résoudre les systèmes d'inéquations suivants :
 
$1)\ \left\lbracex+3>4−2x−4≥6\right.$
 
$2)\ \left\lbrace−4x−8>87x<−7\right.$
 
$3)\ \left\lbrace2x+3≥−22x+3≤2\right.$

Solution

$1)\ \left\lbracex+3>4(1)−2x−4≥6(2)\right.$
 
On résout d'abord les deux inéquations indépendamment. On a :
 
$(1)x+3>4⇔x>−3+4⇔x>1$
 
Donc, $S_{1}=]1\;;\ +\infty[$
 
$(2)−2x−4≥6⇔−2x≥4+6⇔−2x≥10⇔x≤10−2⇔x≤−5$
 
Ainsi, $S_{2}=]-\infty\;;\ -5[$

 

 
Par conséquent :
S=S1∩S2=∅
La solution est l'ensemble vide. Il n'existe donc pas de rationnels $x$ vérifiant simultanément les deux inéquations du système.
 
$2)\ \left\lbrace−4x−8>8(1)7x<−7(2)\right.$
 
En résolvant les deux inéquations indépendamment, on obtient :
 
$(1)−4x−8>8⇔−4x>8+8⇔−4x>16⇔x<16−4⇔x<−4$
 
Donc, $S_{1}=]-\infty\;;\ -4[$
 
$(2)7x<−7⇔x<−77⇔x<−1$
 
D'où, $S_{2}=]-\infty\;;\ -1[$

 

 
Finalement :
S=S1∩S2=]−∞; −4[
La solution est l'ensemble des rationnels $x$ inférieurs strictement à $-4.$
 
$3)\ \left\lbrace2x+3≥−2(1)2x+3≤2(2)\right.$
 
On résout d'abord les deux inéquations indépendamment. On obtient alors :
 
$(1)2x+3≥−2⇔2x≥−3−2⇔2x≥−5⇔x≥−52$
 
D'où, $S_{1}=\left[\dfrac{-5}{2}\;;\ +\infty\right[$
 
$(2)2x+3≤2⇔2x≤−3+2⇔2x≤−1⇔x≤−12$
 
Ainsi, $S_{2}=\left]-\infty\;;\ \dfrac{-1}{2}\right]$

 

 
Par conséquent :
S=S1∩S2=[−52; −12]
La solution est l'ensemble des rationnels $x$ compris entre $\dfrac{-5}{2}\ $ et $\ \dfrac{-1}{2}$

 
Auteur: 
Mamadou Siradji Dia

Commentaires

NOUANI SHIBRAKI (non vérifié)

jeu, 05/27/2021 - 22:29

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Momo (non vérifié)

mer, 10/27/2021 - 09:12

Très bon travail

Adja Tacko Mbodji (non vérifié)

lun, 02/13/2023 - 21:08

Équation and inéquation

Jean Marc (non vérifié)

mar, 03/11/2025 - 22:18

Je suis vraiment satisfait, infiniment merci a vous

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