Inéquations et système d'inéquations à une inconnue - 4e
Classe:
Quatrième
I. Inéquation
I.1. Définition
On appelle une inéquation à une inconnue toute inégalité dans laquelle se trouve une inconnue.
Exemple
2x+3⏟1er membre >⏟ l'inégalité 4⏟ 2nd membre
Remarque
Dans une inéquation, on peut trouver :
⋅ inégalité stricte :>supérieur strictement<inférieur strictement⋅ inégalité large :≥supérieur ou égal≤inférieur ou égal
I.2. Résolution de l'inéquation
a) Inéquation du type ax+b∗0, a≠0 et ∗∈{>, <, ≥, ≤}
Exemple
Résoudre dans Q
1) 2x−16>0
2) 2x−16<0
3) 2x−16≥0
4) 2x−16≤0
Solution
1)
2x−16>0⇔2x>16⇔x>162⇔x>8
S=]8; +∞[
La solution est l'ensemble des rationnels x supérieurs strictement à 8.
2)
2x−16<0⇔2x<16⇔x<162⇔x<8
S=]−∞; 8[
La solution est l'ensemble des rationnels x inférieurs strictement à 8.
3)
2x−16≥0⇔2x≥16⇔x≥162⇔x≥8
S=[8; +∞[
La solution est l'ensemble des rationnels x supérieurs ou égaux à 8.
4)
2x−16≤0⇔2x≤16⇔x≤162⇔x≤8
S=]−∞; 8]
La solution est l'ensemble des rationnels x inférieurs ou égaux à 8.
Remarque
Si a est négatif alors, on résout l'inéquation en changeant le sens de l'inégalité.
Exemple
Résoudre dans Q
1) −3x≥15
2) −1>1−4x
Solution
1)
−3x≤15⇔x≥15−3⇔x≥−5
S=[−5; +∞[
La solution est l'ensemble des rationnels x supérieurs ou égaux à −5.
2)
−1>1−4x⇔1−4x<−1⇔−4x<−1−1⇔−4x<−2⇔x>−2−4⇔x>12
S=]12; +∞[
La solution est l'ensemble des rationnels x supérieurs strictement à 12.
b) Inéquation du type ax+b∗cx+d avec, ∗∈{>, <, ≥, ≤}; a≠c; a≠0 et c≠0
Si ax+b∗cx+d alors, on a :
ax−cx∗d−b(a−c)x∗d−bx∗d−ba−c
Attention ! si (a−c) est négatif, l'inégalité change de sens
Exemple
Résoudre dans Q : −2−7x>−5x−1
Solution
−2−7x>−5x−1⇔5x−7x>2−1⇔−2x>1⇔x<1−2
S=]−∞; 1−2[
La solution est donc, l'ensemble des rationnels x inférieurs strictement à 1−2.
Application 1
On donne les nombres : 23; −4; 35; 2 et 113
Indiquer ceux qui sont des solutions pour chacune des inéquations suivantes :
a) 3x−4≥11
b) 2x≤3x+4
c) −3x−5≥x+3
d) 4x−1≤3x
Solution
a)
3x−4≥11⇔3x≥11+4⇔3x≥15⇔x≥153⇔x≥5
S=[5; +∞[
On remarque que les valeurs 23; −4; 35; 2 et 113 n'appartiennent pas à l'intervalle [5; +∞[.
Par conséquent, aucune valeur donnée n'est solution de cette inéquation.
b)
2x≤3x+4⇔2x−3x≤4⇔−x≤4⇔x≥4−1⇔x≥−4
S=[−4; +∞[
Toutes les valeurs données sont supérieures ou égales à −4 donc, elles sont toutes solutions de l'inéquation 2x≤3x+4.
c)
−3x−5≥x+3⇔−3x−x≥5+3⇔−4x≥8⇔x≤8−4⇔x≤−2
S=]−∞; −2]
Parmi toutes les valeurs données seule −4 appartient à l'intervalle ]−∞; −2].
Par conséquent, −4 est la seule valeur solution de l'inéquation −3x−5≥x+3.
d)
4x−1≤3x⇔4x−3x≤1⇔x≤1
S=]−∞; 1]
On remarque que parmi les valeurs données, seules 23; −4 et 35 sont inférieures ou égales à 1.
D'où, 23; −4 et 35 sont les seules valeurs solutions de l'inéquation 4x−1≤3x.
Application 2
Résoudre chacune des inéquations suivantes.
Écrire sous forme de phrase la solution de chacune d'elle.
Donner deux nombres qui sont solutions et deux qui ne sont pas.
a) 3−4x<−9
b) x+3<−3x+5
c) 3−2x>5−6x
Solution
a)
3−4x<−9⇔−4x<−3−9⇔−4x<−12⇔x>−12−4⇔x>3
S=]3; +∞[
Ainsi, la solution est l'ensemble des rationnels x supérieurs strictement à 3.
4 et 5 sont alors deux valeurs solutions de l'inéquation.
Par contre, 1 et 2 sont deux valeurs qui ne sont pas solutions de l'inéquation.
b)
x+3<−3x+5⇔x+3x<−3+5⇔4x<2⇔x<24⇔x<12
S=]−∞; 12[
La solution est l'ensemble des rationnels x inférieurs strictement à 12.
−6 et −7 sont deux valeurs solutions de l'inéquation.
0.6 et 2 sont deux valeurs non solutions de l'inéquation.
c)
3−2x>5−6x⇔−2x+6x>−3+5⇔4x>2⇔x>24⇔x>12
S=]12; +∞[
La solution est l'ensemble des rationnels x supérieurs strictement à 12.
0.6 et 10 sont deux valeurs solutions de l'inéquation.
0.4 et −21 sont deux valeurs non solutions de l'inéquation.
II. Système de deux inéquations à une inconnue
Pour résoudre un système de deux inéquations à une inconnue :
− On résout d'abord les deux inéquations indépendamment.
− La solution du système est l'intersection des deux solutions des inéquations.
Exemple 1
Résoudre le système suivant :
{x−5>−2(1)−2x+5≤−5(2)
Solution
En résolvant les deux inéquations indépendamment, on obtient :
(1)x−5>−2⇔x>+5−2⇔x>3
Donc, S1=]3; +∞[
(2)−2x+5≤−5⇔−2x≤−5−5⇔−2x≤−10⇔x≥−10−2⇔x≥5
D'où, S2=[5; +∞[
Finalement :
S=S1∩S2=[5; +∞[
La solution est l'ensemble des rationnels x supérieurs ou égaux à 5.
Exemple 2
Résoudre les systèmes d'inéquations suivants :
1) {x+3>4−2x−4≥6
2) {−4x−8>87x<−7
3) {2x+3≥−22x+3≤2
Solution
1) {x+3>4(1)−2x−4≥6(2)
On résout d'abord les deux inéquations indépendamment. On a :
(1)x+3>4⇔x>−3+4⇔x>1
Donc, S1=]1; +∞[
(2)−2x−4≥6⇔−2x≥4+6⇔−2x≥10⇔x≤10−2⇔x≤−5
Ainsi, S2=]−∞; −5[
Par conséquent :
S=S1∩S2=∅
La solution est l'ensemble vide. Il n'existe donc pas de rationnels x vérifiant simultanément les deux inéquations du système.
2) {−4x−8>8(1)7x<−7(2)
En résolvant les deux inéquations indépendamment, on obtient :
(1)−4x−8>8⇔−4x>8+8⇔−4x>16⇔x<16−4⇔x<−4
Donc, S1=]−∞; −4[
(2)7x<−7⇔x<−77⇔x<−1
D'où, S2=]−∞; −1[
Finalement :
S=S1∩S2=]−∞; −4[
La solution est l'ensemble des rationnels x inférieurs strictement à −4.
3) {2x+3≥−2(1)2x+3≤2(2)
On résout d'abord les deux inéquations indépendamment. On obtient alors :
(1)2x+3≥−2⇔2x≥−3−2⇔2x≥−5⇔x≥−52
D'où, S1=[−52; +∞[
(2)2x+3≤2⇔2x≤−3+2⇔2x≤−1⇔x≤−12
Ainsi, S2=]−∞; −12]
Par conséquent :
S=S1∩S2=[−52; −12]
La solution est l'ensemble des rationnels x compris entre −52 et −12
Auteur:
Mamadou Siradji Dia
Commentaires
NOUANI SHIBRAKI (non vérifié)
jeu, 05/27/2021 - 22:29
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Sunudaara est un site qui
Momo (non vérifié)
mer, 10/27/2021 - 09:12
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Très bon travail
Adja Tacko Mbodji (non vérifié)
lun, 02/13/2023 - 21:08
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Équation and inéquation
Jean Marc (non vérifié)
mar, 03/11/2025 - 22:18
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Je suis vraiment satisfait,
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