Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$. On donne : $A(-2\;;\ -2)\;;\ B(-4\;;\ 4)\;;\ C(2\;;\ 6)\ $ et $\ D(4\;;\ 0).$

 

1) Les vecteurs $\overrightarrow{AB}\ $ et $\ \overrightarrow{AD}$ sont-ils orthogonaux ? 

 

2) Calculer les distances $AB\ $ et $\ AD$.

 

3) Quelle est la nature du triangle $ABD\ ?$

 

4) Démontrer que le quadrilatère $ABCD$ est un carré

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$. On considère les points $A(6\;,\ 5)\;;\ B(2\;,\ -3)\ $ et $\ C(-4\;,\ 0).$

 

1) Faire la figure en utilisant le centimètre comme unité.

 

2) Calculer les distances $AB\;,\  AC\ $ et $\ BC$. Donner les résultats sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un nombre entier positif.

 

3) En déduire la nature du triangle $ABC.$

 

4) Calculer l'aire du triangle $ABC$

 

5) Calculer le périmètre du triangle $ABC$, donner le résultat sous la forme $a\sqrt{5}$, puis la valeur arrondie au dixième de ce résultat.

 

6) On considère le cercle circonscrit au triangle $ABC$
 

a) Préciser la position du centre $E$ en justifiant la réponse. Calculer les coordonnées de ce point.

 

b) Déterminer la valeur exacte du rayon de ce cercle.

 

7) Calculer la valeur de $\tan\widehat{ACB}$ puis une valeur approchée de l'angle $\widehat{ACB}$

 

8) Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{CA}$. En déduire les coordonnées du point $D$ pour que $ACBD$ soit un parallélogramme.

L'unité est le centimètre.

Dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ on donne les points :

$A(-2\;;\ 1)\;;\ B(4\;;\ 3)\;;\ C(-1\;;\ y)\quad   (y\in\mathbb{R})$

 

1) Calculer $y$ pour que les vecteurs $\overrightarrow{AB}\ $ et $\ \overrightarrow{AC}$ soient orthogonaux.

 

2) a) Soit $I$ le milieu de $[BC]$ ; calculer les cordonnées de $I.$

         

b) Soit $D$ le symétrique de $A$ par rapport à $I$. Calculer les coordonnées de $D.$

            

3) Soit $\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\7\end{pmatrix}$. Calculer les coordonnées du point $E$, image de $A$ par la translation de vecteur $\vec{u}$

 

4) Démontrer que $ABDC$ est un rectangle puis, montrer que les points $A\;,\ B\;,\ C\ $ et $\ D$ appartiennent à un même cercle.

               

5) Démontrer que  $AEI$ est un triangle rectangle.

 

6)  Établir une équation réduite de la droite $(AE).$  

Un plan $P$ est rapporté à un repère orthonormé $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

 

1) placer les points $A,\ B$ et $C$ donnés par les coordonnées : $A(-1.5\;;\ 2)\;;\ B(1.5\;;\ -2)\;;\ C(6.5\;;\ 8)$ et montrer que $O$ est le milieu de  $[AB]$

 

2) Calculer les distances $AB\;;\  AC\ $ et $\ BC$ et montrer que le triangle $ABC$ est rectangle.

 

3) Soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(BC).$ Calculer  $BH,\ CH\ $ et $\ AH$ (On utilisera les relations métriques dans le triangle rectangle)

 

4) Soit $B'$ et $C'$ respectivement les projetés orthogonaux des points $B\ $ et $\ C$ sur l'axe $(Oy)$

 

a) Calculer $\dfrac{BH}{BC}\ $ et $\ \dfrac{B'O}{B'C'}$

 

1) Trouve l'équation réduite de la droite $(D)$ passant par $A(1\;;\ 1)$ et de coefficient directeur 2.

 

2) Soit $(D')\ :\  2y+x-3=0$.  Justifie que $(D)\ $ et $\ (D')$ sont perpendiculaires.

Soient $(D)\ :\ -2x+y-1=0\ $ et $\ (D')\ :\ y=-\dfrac{1}{2}x+b$

 

1) Justifie que $(D)\ $ et  $\ (D')$   sont perpendiculaires.

 

2) Calcule le réel  $b$ pour que la droite $(D')$   passe  par le point $A(2\;;\ 3).$

Soient les vecteurs $\vec{u}(a\;;\ b)\ $ et $\ \vec{v}(a'\;;\ b')$ dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O;\ \vec{i},\ \vec{j}).$

 

1) Indique une relation entre $a\;;\ b\;;\ a'\ $ et $\ b'$ traduisant la colinéarité des vecteurs $\vec{u}\ $ et $\ \vec{v}.$

 

2) On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} x-1\\-3\end{pmatrix}\ $ et $\ \vec{v}\begin{pmatrix} -3\\2\end{pmatrix}$ détermine $x$ pour que $\vec{u}\ $ et $\ \vec{v}$ soient colinéaires.

Dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ , on considère les droites $(D_{1})\ :\ y=-x+1\ $ et $\ (D_{2})\ :\ x-y+3=0.$

 

1) Démontre que les droites $(D_{1})\ $ et $\ (D_{2})$ sont perpendiculaires.

 

2) a) Construis les droites $(D_{1})\ $ et $\ (D_{2}).$

 

b) Justifie par le calcul que le point $J$ appartient à la droite $(D_{1}).$

 

c) On appelle $E$ le point d'intersection de $(D_{1})\ $ et $\ (D_{2})$. Justifie par le calcul que $E$ a pour couple de coordonnées $(-1\;;\ 2 ).$

 

d) Calcule la distance $EJ$.

 

e) Détermine une équation de la droite $(D_{3})$ passant par $J$ et parallèle à $(D_{2}).$

 

f) Quelle est la position relative de $(D_{3})\ $ et $\ (D_{1})$ ? Justifie ta réponse.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

On donne la droite $(d)$ d'équation $y=2x-1$ ; le point $A$ de coordonnées $(2\;;\ 3)$ et le point $B$ de coordonnées $(0\;;\ 5).$

 

1) Placer les points $A\ $ et $\ B$.

 

2) Montrer que le point $A$ est sur la droite $(d).$

 

3) Construire la droite $(d)$.

 

4) Calculer :

 

a) les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ ;

 

b) les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ;

 

c) la distance $AB.$

 

5) $(\Delta)$ est une droite perpendiculaire à $(d)$. Quel est son coefficient directeur ?

 

6) $(\Delta)$ est la droite perpendiculaire à $(d)$ qui passe par le point $B$. Tracer la droite $(\Delta)$ et, sans calcul, donner une équation de $(\Delta).$

Dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, on donne : $\overrightarrow{AO}(2\;;\ -7 )\;,\ \overrightarrow{OB}(-5\;;\ -2)\;,\ C(7\;;\ -2)\ $  et $\ \overrightarrow{DC}(6\;;\ -6 ).$

 

1) Détermine les coordonnées des points $A\;,\ B\ $ et $\ D.$

 

2) Place les points $A\;,\ B\;,\ C\ $ et $\ D.$

 

3) Montre que :

 

a) les points $A\;,\ D\ $ et $\ C$ sont alignés.

 

b) le triangle $ABD$ est rectangle en $D.$

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ ; on désigne par $(d)$ la droite passant par $A\left(\dfrac{13}{2}\;;\ 4\right)\ $ et $\ B\left(-\dfrac{5}{2}\;;\ -2\right)\ $ et $\ (d')\  :\ y=-\dfrac{3}{2}x+4$

 

1) Déterminer une équation de $(d)$ puis montrer que $(d)\ $ et $\ (d')$ sont perpendiculaires et calculer les coordonnées de leur point d'intersection $E.$

 

2) Soit $M(-1\;;\ 3)$ un point du plan

 

a) On appelle $M'$ image de $M$ par la symétrie d'axe $(d)$ suivie de la symétrie d'axe $(d')$ ; montrer que $E$ est le milieu de $[MM']$ puis déterminer les coordonnées de $M'.$

 

b) On appelle $N$ image de $M$ dans la symétrie de centre $O$ suivie de la symétrie de centre $E.$

Démontrer que $\overrightarrow{MN}=2\times\overrightarrow{OE}$ puis  déterminer les coordonnées de $N.$

Dans un repère orthonormal on considère les droites $(D)\ :\ 2x-y-3=0$ et $(D')\ :\ -2x+y+1=0$

 

1) Représente $(D)\ $ et $\ (D')$ dans le repère  puis montrer que $(D)\parallel(D')$

 

2) soit $A(3\;;\ -3)$ ; construire la droite $(L)$ qui est perpendiculaire à $(D)$ et passant par le point $A$  puis déterminer l'équation de la droite $(L)$  et trouver les coordonnées des points $E\ $ et $\ F$ intersections respectives de $(D)\ $ et $\ (D')$ avec $(L).$

 

3) Construire l'image $A'$  de $A$ par la symétrie orthogonale d'axe $(D)$ suivie de la symétrie orthogonale d'axe $(D')$ ; calculer les coordonnées de $A'.$

Exercice 24

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

 

L'unité est le centimètre.

 

1) Place les points : $A\left(3\;;\ \dfrac{5}{2}\right)\;,\ B(0\;;\ -1)\ $ et $\ C\left(-1\;;\ \dfrac{7}{2}\right)$

 

2) Calcule les distances $AB\ $ et $\ BC.$ 

 

On gardera les valeurs exactes.

 

3) Déduis-en la nature du triangle $ABC.$

 

4) Place le point $M$ défini par : 

 

$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}.$

 

Calcule les coordonnées de $M.$

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

 

On donne : $A(4\;;\ 4)\;,\ B(7\;;\ 5)\ $ et $\ C(8\;;\ 2).$

 

1) Montre que le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle.

 

2) Détermine les coordonnées de $E$ tel que $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AE}.$

 

3) Donne en le justifiant, la nature exacte de $ABCE.$

Dans un repère orthonormal dont l'unité est le centimètre, on donne les points $R(-3\;;\ 5)\;;\ S(5\;;\ -1)\ $ et $\ T(1\;;\ -3).$

 

1) Montre que $RS=10.$

 

2) Calcule les longueurs $RT\ $ et $\ ST.$

 

Donne les résultats sous la forme $a\sqrt{5}.$

 

3) Montre que $RTS$ est un triangle rectangle.

 

4) Calcule la valeur exacte de l'aire de $RST$ et son périmètre.

 

5) On appelle $(\mathcal{C})$ le cercle circonscrit au triangle $RST$ de centre $M.$

 

a) Exprime $\widehat{TSR}$ en fonction de $\widehat{TMR}$

 

b) Calcule les coordonnées de $M.$

 

c) Calcule le rayon du cercle $(\mathcal{C}).$

 

d) Démontre par calcul que le point $N(-3\;;\ -1)$ appartient au cercle $(\mathcal{C}).$

Exercice 28

1) Détermine une équation générale de chacune des droites décrites ci-dessous :

a) Droite passant par les points $A(2\;;\ -2)\ $ et $\ B(4\;;\ -1).$

b) Droite $((\mathcal{D})$ passant par $A(2\;;\ 2)$ et parallèle à $(BC)$ avec $B(0\;;\ 2)\ $ et $\ C(3\;;\ 8)$

c) Droite $(\Delta)$ passant par $G(-3\;;\ 2)$ et perpendiculaire à $(EF)$ avec $E(-1\;;\ 4)\ $ et $\ F(1\;;\ 1)$ 

d) Droite $(\mathcal{L})$ passant par $A(3\;;\ 1)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(-2\;;\ 5).$

2) Détermine une équation réduite de chacune des droites données ci-dessous.

a) Droite passant par les points $A(4\;;\ 3)\ $ et $\ B(0\;;\ 1)$

b) Droite $(\mathcal{L})$ passant par $H(7\;;\ -2)$ et de coefficient directeur $-1.$

c) Droite $(\mathcal{D'})$ passant par $K(4\;;\ 5)$ et perpendiculaire à la droite $(\mathcal{D})\ :\ y=3x+1.$

d) Droite $(\Delta')$ passant par $S(1\;;\ 2)$ et parallèle à la droite $(\Delta)\ :\ y=x-6.$

Exercice 29

On donne les points $A(-2\;;\ 1)\;;\ B(4\;;\ 1)\ $ et $\ C(1\;;\ 7).$

1) Calcule $AC\ $ et $\ BC$ puis déduis en que $C$ appartient à la médiatrice de $[AB].$

2) Détermine l'équation de $(\Delta)$ perpendiculaire à $(AB)$ et passant par $C.$

3) Détermine l'abscisse $x_{E}$ du point $E$ de $(\Delta)$ d'ordonnée $-5$ puis l'abscisse $x_{F}$ du point $F$ de $(\Delta)$ d'ordonnée $8.$

Que constates-tu ?

4) Calcule les coordonnées du point $G$ milieu de $[AB].$

5) Justifie que le quadrilatère $ACBE$ est un losange

Exercice 30

On donne les points $A(3\;;\ 2)\;;\ B(5\;;\ -2)\ $ et $\ C(-2\;;\ -5).$

1) Calcule les coordonnées de $K$ milieu de $[AB]$ et celles de $N$ milieu de $[AC].$

2) Que représentent les droites $(CK)\ $ et $\ (BN)$ dans le triangle $ABC\ ?$

3) Détermine une équation de $(CK)$ et une équation de $(BN).$

4) Soit $G$ le centre de gravité du triangle $ABC.$ 

Place le point $G$ puis calcule ses coordonnées.

5) On donne :

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ 

retrouve les coordonnées de $G$ à partir de cette relation.

Exercice 31

On donne les points $A(-1\;;\ 3)\;;\ B(2\;;\ 1)$ et les droites $(\Delta)\ :\ x-y+4=0\ $ et $\ (\mathcal{D})\ :\ y=-3x+2$

1) $A$ appartient-il à la droite $(\Delta)$ ? $B$ appartient-il à la droite $(\mathcal{D})\ ?$

2) Calculer les coordonnées de $E$, point d'intersection de $(\Delta)\ $ et $\ (\mathcal{D}).$

3) Calcule les coordonnées de $F$, point d'intersection de $(\Delta)$ avec l'axe des abscisses.

4) Sans faire de calcul, donne les coordonnées de $G$, point d'intersection de $(\mathcal{D})$ avec l'axe des ordonnées.

5) Représente les droites $(\Delta)\ $ et $\ (\mathcal{D})$ puis place les points $E\;,\ F\ $ et $\ G.$

Exercice 32

1) Place dans un repère orthonormé les points $E$, $F$ et $G$ définis par leurs coordonnées :

$E(-2\;;\ 2)\;;\ F(-3\;;\ -2)\;;\ G(6\;;\ 0).$

2) Calcule le coefficient directeur de la droite $(EG).$

3) Détermine une équation de la droite $(EF).$

4) Démontre que les droites $(EF)\ $ et $\ (EG)$ sont perpendiculaires.

5) Soit $M$ le milieu du segment $[FG].$

Calcule les coordonnées de $M.$

6) On désigne par $(\mathcal{C})$ le cercle circonscrit au triangle $EFG.$

a) Calcule les coordonnées de son centre $I$ et la valeur exacte de son rayon.

b) Détermine l'équation de la droite $(\mathcal{D})$ perpendiculaire à $(IE)$ en $E.$

c) Calcule les valeurs exactes des longueurs $EF\ $ et $\ EG.$

Exercice 33

1) Place les points $A(4\;;\ 2)\ $ et $\ B(-2\;;\ -2)$ dans le plan muni d'un repère orthonormal.

2) Détermine une équation de la droite $(OA).$

3) On appelle $(\Delta)$ la médiatrice du segment $[OA].$

Montre que $(\Delta)$ a pour équation $y=-2x+5.$

4) Trace la droite $(\delta_{1})$ d'équation $y=-x+4.$

On appelle $(\delta_{2})$ la droite parallèle à $(\delta_{1})$ qui passe par le point $O.$

5) Détermine une équation de $(\delta_{2}).$

6) On appelle $P$ le point d'intersection des droites $(\Delta)\ $ et $\ (\delta_{1}).$

a) Pourquoi a-t-on : $PO=PA\ ?$

b) Quelle est la nature du triangle $OAP\ ?$

c) Calcule les coordonnées du point $P.$

7) On appelle $E$ l'image du point $P$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{OB}.$

Place le point $E$ dans le repère.

Calcule les coordonnées de $E.$ 

Vérifie par le calcul que $E$ est un point de $(\delta_{2}).$

8) Démontre que $BE=AP.$

Exercice 34

Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on donne les points ci-dessous :

$A(1\;;\ -1)\;;\ B(3\;;\ 1)\ $ et $\ C(-1\;;\ 3).$

1) Calcule $AB\;,\ AC\ $ et $\ BC$, puis déduis-en la nature du triangle $ABC.$

2) Place le point $D$ sur la demi-droite $[AC)$ tel que le triangle $ABD$ soit rectangle en $B.$

3) Trace le cercle $(\mathcal{C})$ circonscrit au triangle $ABD.$

4) Démontre que le point $C$ est le centre du cercle puis calcule son rayon.

5) Calcule les coordonnées du point $D.$ 

Construis le point $K$ image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{CB}$ ,

puis calcule les coordonnées de $K.$ 

Quelle est la nature du quadrilatère $CBKA\ ?$

6) Trace la hauteur $[BH]$ relative au côté $[AD]$ du triangle $ABD$, puis détermine une équation cartésienne de la droite $(BH).$

7) Le cercle $(\mathcal{C}')$ de centre $B$ passant par $C$, coupe le cercle $(\mathcal{C})$ en $M\ $ et $\ P.$ 

Justifie que la droite $(MP)$ est la médiatrice du segment $[BC]$, puis trouve une équation générale de la droite $(MP).$

8) Les droites $(MP)\ $ et $\ (BH)$ se coupent en $S.$ 

Calcule les coordonnées de $S.$

9) Détermine l'équation réduite de la droite $(\mathcal{T})$ tangente au cercle $(\mathcal{C}')$ en $K.$

10) Détermine l'équation réduite de la droite $(\Delta)$, parallèle à la droite $(MP)$, passant par $C.$

Exercice 35

On donne les points : $A(0\;;\ 4)\;;\ B(4\;;\ 0)\ $ et $\ C(-3\;;\ 0).$

1) Calcule les coordonnées du centre de gravité $G$ du triangle $ABC.$

2) Calcule les coordonnées de l'orthocentre $H$ du triangle $ABC.$

3) Calcule les coordonnées de $\Omega$ centre du cercle circonscrit au triangle $ABC.$

4) Vérifie que les points $\Omega$ , $G\ $ et $\ H$ sont alignés.

Exercice 36

Dans le repère orthonormal. 

On considère les points $A(-1\;;\  2)\;,\ B(0\;;\ -1)\ $ et $\ C(3\;;\ 1).$

Soit $A'$, $B'$ et $C'$ les milieux respectifs $[BC]\;,\ [AC]\ $ et $\ [AB]$ et $G$ le point d'intersection de $(AA')\ $ et $\ (BB').$

1) Comment s'appelle le point $G$ ?

2) Donne une équation de la droite $(AA')$ et de la droite $(BB').$

3) Calcule les coordonnées du point $G.$

4) Vérifie que $\overrightarrow{GC}+2\overrightarrow{GC'}=\vec{0}.$ 

En déduire que $G$ appartient à la droite $(CC').$

Exercice 37

Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on donne les points $A(-2\;;\ 2)\;;\ B(x\;;\ 0)\ $ et $\ C(1\;;\ 3).$

1) Détermine la valeur de $x$ pour laquelle la droite $(CB)$ est orthogonale à la droite $(CA).$ 

Montre alors que $C$ appartient à la médiatrice de $[AB].$

2) On considère le cercle $(\mathcal{C})$ de centre $C$ passant par $A.$

Montre qu'il passe par $B\ $ et $\ O.$

3) Détermine les points d'intersection de $(\mathcal{C})$ avec les axes du repère.

Exercice 38

Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on donne les points $A(-2\;;\ 0)\;;\ B(4\;;\ 6)\ $ et $\ C(8\;;\ -10).$

1) Calcule les longueurs $AB\;,\ BC\ $ et $\ AC.$

2) Montre que le triangle $ABC$ est rectangle.

3) Soit $C(K\;,\ r)$ le cercle circonscrit au triangle $ABC.$

a) Calcule les coordonnées du point $K.$

b) Calcule $r$ et la longueur du cercle

4) Montre que le point $E(14\;;\ -4)$ appartient au cercle $\mathcal{C}.$

Exercice 39

Dans le plan muni d'un repère orthonormal. 

L'unité choisie est le centimètre.

Place les points $A(2\;;\ 4)\ $ et $\ B(-2\;;\ 8).$

1) a) Vérifie que les points $A$ et $B$ appartiennent à la droite $(\mathcal{D})$ d'équation : $y=-x+6$

b) Trace la droite $(\mathcal{D}).$

2) Calcule les coordonnées de $M$ milieu de $[AB].$

3) Détermine l'équation de la droite $(\Delta)$ passant par $M$ et perpendiculaire à $(\mathcal{D}).$

4) Trace $(\Delta).$

Que représente $(\Delta)$ pour le segment $[AB].$

Exercice 40

Dans le plan muni d'un repère orthonormal. 

On donne les points $A(4\;;\ 1)\ $ et $\ B(0\;;\ -1).$

1) Détermine une équation de la droite $(AB).$

2) Détermine une équation de la droite $(\Delta)$ perpendiculaire en $A$ à $(AB).$

3) Soit $M(a\;;\ b).$ 

Détermine les réels $a\ $ et $\ b$ tels que : 

$M\in\;(AB)\ $ et $\ b=2a.$

Exercice de Synthèse