Exercices : Repérage 3e

Classe: 
Troisième

Exercice 1

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$. On donne : $A(-2\;;\ -2)\;;\ B(-4\;;\ 4)\;;\ C(2\;;\ 6)\ $ et $\ D(4\;;\ 0).$
 
1) Les vecteurs $\overrightarrow{AB}\ $ et $\ \overrightarrow{AD}$ sont-ils orthogonaux ? 
 
2) Calculer les distances $AB\ $ et $\ AD$.
 
3) Quelle est la nature du triangle $ABD\ ?$
 
4) Démontrer que le quadrilatère $ABCD$ est un carré

Exercice 2

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$. On considère les points $A(6\;,\ 5)\;;\ B(2\;,\ -3)\ $ et $\ C(-4\;,\ 0).$
 
1) Faire la figure en utilisant le centimètre comme unité.
 
2) Calculer les distances $AB\;,\  AC\ $ et $\ BC$. Donner les résultats sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un nombre entier positif.
 
3) En déduire la nature du triangle $ABC.$
 
4) Calculer l'aire du triangle $ABC$
 
5) Calculer le périmètre du triangle $ABC$, donner le résultat sous la forme $a\sqrt{5}$, puis la valeur arrondie au dixième de ce résultat.
 
6) On considère le cercle circonscrit au triangle $ABC$
 
a) Préciser la position du centre $E$ en justifiant la réponse. Calculer les coordonnées de ce point.
 
b) Déterminer la valeur exacte du rayon de ce cercle.
 
7) Calculer la valeur de $\tan\widehat{ACB}$ puis une valeur approchée de l'angle $\widehat{ACB}$
 
8) Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{CA}$. En déduire les coordonnées du point $D$ pour que $ACBD$ soit un parallélogramme.

Exercice 3

L'unité est le centimètre.

Dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ on donne les points :

$A(-2\;;\ 1)\;;\ B(4\;;\ 3)\;;\ C(-1\;;\ y)\quad   (y\in\mathbb{R})$
 
1) Calculer $y$ pour que les vecteurs $\overrightarrow{AB}\ $ et $\ \overrightarrow{AC}$ soient orthogonaux.
 
2) a) Soit $I$ le milieu de $[BC]$ ; calculer les cordonnées de $I.$
         
b) Soit $D$ le symétrique de $A$ par rapport à $I$. Calculer les coordonnées de $D.$
            
3) Soit $\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\7\end{pmatrix}$. Calculer les coordonnées du point $E$, image de $A$ par la translation de vecteur $\vec{u}$
 
4) Démontrer que $ABDC$ est un rectangle puis, montrer que les points $A\;,\ B\;,\ C\ $ et $\ D$ appartiennent à un même cercle.
               
5) Démontrer que  $AEI$ est un triangle rectangle.
 
6)  Établir une équation réduite de la droite $(AE).$  

Exercice 4

Un plan $P$ est rapporté à un repère orthonormé $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
1) placer les points $A,\ B$ et $C$ donnés par les coordonnées : $A(-1.5\;;\ 2)\;;\ B(1.5\;;\ -2)\;;\ C(6.5\;;\ 8)$ et montrer que $O$ est le milieu de  $[AB]$
 
2) Calculer les distances $AB\;;\  AC\ $ et $\ BC$ et montrer que le triangle $ABC$ est rectangle.
 
3) Soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(BC).$ Calculer  $BH,\ CH\ $ et $\ AH$ (On utilisera les relations métriques dans le triangle rectangle)
 
4) Soit $B'$ et $C'$ respectivement les projetés orthogonaux des points $B\ $ et $\ C$ sur l'axe $(Oy)$
 
a) Calculer $\dfrac{BH}{BC}\ $ et $\ \dfrac{B'O}{B'C'}$
 
b) Montrer avec précision que l'on peut en conclure que $H$ appartient à l'axe $(Ox)$

Exercice 5

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\;;\ \overrightarrow{OI}\;,\ \overrightarrow{OJ})$, on donne les points
$$A(5\;;\ -4)\;,\ B(-2\;;\ 0)\;,\ C(-3\;;\ 4)\ \text{ et }\ D(0\;;\ 5)$$
1) Placer les points $A\;,\ B\;,\ C$ et $D.$
 
2) Calculer les coordonnées des points $K$ et $M$ milieux respectifs des segments $[AB]\ $ et $\ [DO].$
 
3) a) Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{CB}\ $ et $\ \overrightarrow{CD}.$
 
b) En déduire les distances $CB\ $ et $\ CD.$

Exercice 6

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\;;\ \overrightarrow{OI}\;,\ \overrightarrow{OJ})$, on donne les points 
 
$E\begin{pmatrix} -1\\ 3\end{pmatrix}\;,\ F\begin{pmatrix} 6\\ 2\end{pmatrix}\;,\ A\begin{pmatrix} 4\\ -6\end{pmatrix}\;,\ B\begin{pmatrix} 10\\ 8\end{pmatrix}\;,\ C\begin{pmatrix} 0\\ -2\end{pmatrix}\ $ et $\ D\begin{pmatrix} 3\\ 5\end{pmatrix}$ 
 
1) Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{OE}\ $ et $\ \overrightarrow{OF}$ sont orthogonaux.
 
2) Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}\ $ et $\ \overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
 
3) $\overrightarrow{OE}$ est-il égal à $\overrightarrow{AD}$ ? Justifier la réponse.

Exercice 7

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\;;\ \overrightarrow{OI}\;,\ \overrightarrow{OJ}).$
 
1) Soient $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 5+x \\ 3\end{pmatrix}\ $ et $\ \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 1 \\ 2y-3\end{pmatrix}.$ Calculer $x\ $ et $\ y$ pour que ces deux vecteurs soient égaux.
 
2) Soient $\overrightarrow{OE}\begin{pmatrix} 7 \\ 3x+2\end{pmatrix}\ $ et $\ \overrightarrow{OF}\begin{pmatrix} 2 \\ 3-x\end{pmatrix}.$ Calculer $x$ pour que ces deux vecteurs soient colinéaires.
 
3) Soient $\overrightarrow{BE}\begin{pmatrix} 3 \\ x+3\end{pmatrix}\ $ et $\ \overrightarrow{MF}\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3}-2x \\ \\ -4\end{pmatrix}.$ Calculer $x$ pour que ces deux vecteurs soient orthogonaux.
 
4) On considère les points $A\;,\ B\ $ et $\ C$, tels que : $\overrightarrow{OA}(4\;;\ 2)\;;\ \overrightarrow{AB}(-4\;;\ 4)\ $ et $\ \overrightarrow{BC}(-2\;;\ -2).$ Calculer les coordonnées des points $A\;,\ B\ $ et $\ C.$

Exercice 8

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\;;\ \overrightarrow{OI}\;,\ \overrightarrow{OJ}).$
 
1) On donne les points $A\begin{pmatrix} 3\\ 5\end{pmatrix}\;,\ B\begin{pmatrix} 2\\ -3\end{pmatrix}\ $ et $\ C\begin{pmatrix} -3\\ 4\end{pmatrix}.$ 
 
Trouver les coordonnées de $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme.
 
2) On donne les points $K\begin{pmatrix} -2\\ 1\end{pmatrix}\;,\ M\begin{pmatrix} 1\\ 3\end{pmatrix}$ et $N\begin{pmatrix} 2\\ -5\end{pmatrix}.$ Trouver les coordonnées de $P$ image de $K$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{MN}.$
 
3) Trouver les coordonnées de $F$ symétrique de $K$ par rapport à $O.$

Exercice 9

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, On donne les points $A\;,\ B$ et $C$ tels que : $\overrightarrow{OA}=6\vec{i}-\vec{j}\;;\  \overrightarrow{OB}=2\vec{i}-2\vec{j}\ $ et $\ \overrightarrow{OC}=5\vec{i}+3\vec{j}$
 
1) Placer les points $A\;,\ B\;,\ C$ et montrer que $\overrightarrow{AB}\ $ et $\ \overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux.
 
2) Calculer les distances $AB\;,\ CB\ $ et $\ AC.$ En déduire la nature du triangle $ABC.$
 
3) Calculer les coordonnées du centre $K$ du cercle $(\zeta)$ circonscrit à $ABC.$ Tracer $(\zeta)$ puis calculer son rayon.
 
4) Calculer le sinus et la tangente de l'angle $\widehat{ABC}.$ En déduire la mesure de l'angle $\widehat{ABC}.$

Exercice 10

1) Trouve l'équation réduite de la droite $(D)$ passant par $A(1\;;\ 1)$ et de coefficient directeur 2.
 
2) Soit $(D')\ :\  2y+x-3=0$.  Justifie que $(D)\ $ et $\ (D')$ sont perpendiculaires.

Exercice 11

Soient $(D)\ :\ -2x+y-1=0\ $ et $\ (D')\ :\ y=-\dfrac{1}{2}x+b$
 
1) Justifie que $(D)\ $ et  $\ (D')$   sont perpendiculaires.
 
2) Calcule le réel  $b$ pour que la droite $(D')$   passe  par le point $A(2\;;\ 3).$

Exercice 12

Soient les vecteurs $\vec{u}(a\;;\ b)\ $ et $\ \vec{v}(a'\;;\ b')$ dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O;\ \vec{i},\ \vec{j}).$
 
1) Indique une relation entre $a\;;\ b\;;\ a'\ $ et $\ b'$ traduisant la colinéarité des vecteurs $\vec{u}\ $ et $\ \vec{v}.$
 
2) On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} x-1\\-3\end{pmatrix}\ $ et $\ \vec{v}\begin{pmatrix} -3\\2\end{pmatrix}$ détermine $x$ pour que $\vec{u}\ $ et $\ \vec{v}$ soient colinéaires.

Exercice 13

Dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ , on considère les droites $(D_{1})\ :\ y=-x+1\ $ et $\ (D_{2})\ :\ x-y+3=0.$
 
1) Démontre que les droites $(D_{1})\ $ et $\ (D_{2})$ sont perpendiculaires.
 
2) a) Construis les droites $(D_{1})\ $ et $\ (D_{2}).$
 
b) Justifie par le calcul que le point $J$ appartient à la droite $(D_{1}).$
 
c) On appelle $E$ le point d'intersection de $(D_{1})\ $ et $\ (D_{2})$. Justifie par le calcul que $E$ a pour couple de coordonnées $(-1\;;\ 2 ).$
 
d) Calcule la distance $EJ$.
 
e) Détermine une équation de la droite $(D_{3})$ passant par $J$ et parallèle à $(D_{2}).$
 
f) Quelle est la position relative de $(D_{3})\ $ et $\ (D_{1})$ ? Justifie ta réponse.

Exercice 14

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

On donne la droite $(d)$ d'équation $y=2x-1$ ; le point $A$ de coordonnées $(2\;;\ 3)$ et le point $B$ de coordonnées $(0\;;\ 5).$
 
1) Placer les points $A\ $ et $\ B$.
 
2) Montrer que le point $A$ est sur la droite $(d).$
 
3) Construire la droite $(d)$.
 
4) Calculer :
 
a) les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ ;
 
b) les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ;
 
c) la distance $AB.$
 
5) $(\Delta)$ est une droite perpendiculaire à $(d)$. Quel est son coefficient directeur ?
 
6) $(\Delta)$ est la droite perpendiculaire à $(d)$ qui passe par le point $B$. Tracer la droite $(\Delta)$ et, sans calcul, donner une équation de $(\Delta).$

Exercice 15

Dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, on donne : $\overrightarrow{AO}(2\;;\ -7 )\;,\ \overrightarrow{OB}(-5\;;\ -2)\;,\ C(7\;;\ -2)\ $  et $\ \overrightarrow{DC}(6\;;\ -6 ).$
 
1) Détermine les coordonnées des points $A\;,\ B\ $ et $\ D.$
 
2) Place les points $A\;,\ B\;,\ C\ $ et $\ D.$
 
3) Montre que :
 
a) les points $A\;,\ D\ $ et $\ C$ sont alignés.
 
b) le triangle $ABD$ est rectangle en $D.$

Exercice 16

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ ; on désigne par $(d)$ la droite passant par $A\left(\dfrac{13}{2}\;;\ 4\right)\ $ et $\ B\left(-\dfrac{5}{2}\;;\ -2\right)\ $ et $\ (d')\  :\ y=-\dfrac{3}{2}x+4$
 
1) Déterminer une équation de $(d)$ puis montrer que $(d)\ $ et $\ (d')$ sont perpendiculaires et calculer les coordonnées de leur point d'intersection $E.$
 
2) Soit $M(-1\;;\ 3)$ un point du plan
 
a) On appelle $M'$ image de $M$ par la symétrie d'axe $(d)$ suivie de la symétrie d'axe $(d')$ ; montrer que $E$ est le milieu de $[MM']$ puis déterminer les coordonnées de $M'.$
 
b) On appelle $N$ image de $M$ dans la symétrie de centre $O$ suivie de la symétrie de centre $E.$

Démontrer que $\overrightarrow{MN}=2\times\overrightarrow{OE}$ puis  déterminer les coordonnées de $N.$

Exercice 17

Dans un repère orthonormal on considère les droites $(D)\ :\ 2x-y-3=0$ et $(D')\ :\ -2x+y+1=0$
 
1) Représente $(D)\ $ et $\ (D')$ dans le repère  puis montrer que $(D)\parallel(D')$
 
2) soit $A(3\;;\ -3)$ ; construire la droite $(L)$ qui est perpendiculaire à $(D)$ et passant par le point $A$  puis déterminer l'équation de la droite $(L)$  et trouver les coordonnées des points $E\ $ et $\ F$ intersections respectives de $(D)\ $ et $\ (D')$ avec $(L).$
 
3) Construire l'image $A'$  de $A$ par la symétrie orthogonale d'axe $(D)$ suivie de la symétrie orthogonale d'axe $(D')$ ; calculer les coordonnées de $A'.$

Exercice 18

Le plan est muni d'un R.O.N $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$ Soit $(\mathcal{D})$ la droite d'équation définie par : 
$$(D)\ :\ -2x+3y-1=0$$
1) Parmi les points : $A(2\;;\ -1)\;\ B(1\;;\ 1)\;,\ C\left(-\dfrac{1}{2}\;;\ 0\right)\ $ et $\ D(2\;;\ 0)$ indique ceux qui appartiennent à $(\mathcal{D}).$
 
2) Déterminer une équation réduite de la droite $(\mathcal{D}).$
 
3) Déterminer le coefficient directeur ; l'ordonnée à l'origine et un vecteur directeur de la droite $(\mathcal{D}).$

Exercice 19

On considère les équations des droites suivantes :
 
$(d_{1})\ :\ 2x+y-1=0\;,\quad (d_{2})\ :\ -x+2y+4=0$ 
 
$(d_{3})\ :\ 4x+2y-3=0\;,\quad (d_{4})\ :\ 2x-3y=0.$
 
1) Mettre toutes ces équations sous la forme réduite.
 
2) Déterminer les positions relatives des droites : $(d_{1})$ et $(d_{2})\;,\ (d_{3})$ et $(d_{4})\;,\ (d_{3})\ $ et $\ (d_{1}).$

Exercice 20 BFEM 2008 1er groupe

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\;;\ \overrightarrow{OI}\;,\ \overrightarrow{OJ})$, on donne les droites $(D)\ $ et $\ (D')$ telles que : 
 
$(D)\ :\ x-y+1=0$ et $(D')\ :\ x+y+3=0.$
 
1) Montrer que les droites $(D)\ $ et $\ (D')$ sont perpendiculaires.
 
2) Tracer les droites $(D)\ $ et $\ (D')$ dans le repère.
 
3) Déterminer graphiquement les coordonnées du point d'intersection $A$ de $(D)\ $ et $\ (D').$
 
4) Soit $B(0\;;\ -5).$ Construire le point $E$ image de $B$ par la symétrie orthogonale d'axe $(D')$ suivie de celle d'axe $(D).$
 
Quelle est la nature de cette transformation du plan ?
 
5) Trouver les coordonnées de $E.$

Exercice 21

Dans le plan muni d'un repère orthonormé. On donne les points : $A(3\;;\ -2)\;,\ B(6\;;\ 4)\ $ et $\ C(-5\;;\ 2).$
 
1) Déterminer une équation de la droite $(AB)$ puis en déduire son équation réduite.
 
2) Soit $(\mathcal{C})$ le cercle circonscrit au triangle $ABC$ rectangle en $A.$
 
a) La droite $(AB)$ coupe l'axe des abscisses en $E.$ Déterminer les coordonnées de $E.$
 
b) La droite $(AB)$ coupe l'axe des ordonnées en $F.$ Déterminer les coordonnées de $F.$
 
3) Tracer la tangente $(T)$ au cercle $(\mathcal{C})$ en $A$ puis déterminer une équation de la droite $(T).$

Exercice 22 BFEM 2009 2e groupe

Le plan est muni d'un RON. $(D)\ :\ y=-2x+1$ et $(D')\ :\ y+x=0.$
 
1) Montrer que $(D)\ $ et $\ (D')$ sont sécantes.
 
2) Tracer les droites $(D)\ $ et $\ (D').$
 
3) Détermine le point d'intersection de $(D)\ $ et $\ (D')$

Exercice 23  BFEM 2ND groupe.

Répondre par vrai on faux en justifiant la réponse
 
1) Soit $M(-2\;;\ -1)\ $ et $\ N(1\;;\ 2)$ dans un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$ La médiatrice de $[MN]$ passe par l'origine.
 
2) Les droites d'équations respectives dans un repère orthonormé : $y=\dfrac{7}{2}x\ $ et $\ x=\dfrac{-4}{6}y$ sont perpendiculaires.
 
3) Le plan est muni d'un RON : la droite $(d)$ passant par $A(2\;;\ 1)$ et de vecteur $\vec{u}(3\;;\ -1)$ passe par le point $B(2\;;\ 2).$
 
4) Dans un RON si $A(1\;;\ 1)$ et $B(1\;;\ 0)$ alors la droite $(AB)$ a pour équation : $x=1.$
 
5) Le coefficient directeur de la droite $(D)\ :\ -5x+y+3=0$ est $-5.$

Exercice 24

$x\ $ et $\ y$ étant des réels. 
 
On donne les vecteurs : $\vec{u}(-5\;;\ x+3)\;;\ \vec{v}(4\;;\ 1-x)\;;\ \vec{w}(2\;;\ -1)\ $ et $\ \vec{z}\left(y\;;\ \dfrac{1}{4}\right)$
 
1) Détermine $x$ pour que $\vec{u}\ $ et $\ \vec{v}$ soient colinéaires.
 
2) Détermine $y$ pour que $\vec{w}\ $ et $\ \vec{z}$ soient orthogonaux.
 
3) Détermine $x$ pour que $\vec{v}=2\vec{w}.$

Exercice 25

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
L'unité est le centimètre.
 
1) Place les points : $A\left(3\;;\ \dfrac{5}{2}\right)\;,\ B(0\;;\ -1)\ $ et $\ C\left(-1\;;\ \dfrac{7}{2}\right)$
 
2) Calcule les distances $AB\ $ et $\ BC.$ 
 
On gardera les valeurs exactes.
 
3) Déduis-en la nature du triangle $ABC.$
 
4) Place le point $M$ défini par : 
 
$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}.$
 
Calcule les coordonnées de $M.$

Exercice 26

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
On donne : $A(4\;;\ 4)\;,\ B(7\;;\ 5)\ $ et $\ C(8\;;\ 2).$
 
1) Montre que le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle.
 
2) Détermine les coordonnées de $E$ tel que $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AE}.$
 
3) Donne en le justifiant, la nature exacte de $ABCE.$

Exercice 27

Dans un repère orthonormal dont l'unité est le centimètre, on donne les points $R(-3\;;\ 5)\;;\ S(5\;;\ -1)\ $ et $\ T(1\;;\ -3).$
 
1) Montre que $RS=10.$
 
2) Calcule les longueurs $RT\ $ et $\ ST.$
 
Donne les résultats sous la forme $a\sqrt{5}.$
 
3) Montre que $RTS$ est un triangle rectangle.
 
4) Calcule la valeur exacte de l'aire de $RST$ et son périmètre.
 
5) On appelle $(\mathcal{C})$ le cercle circonscrit au triangle $RST$ de centre $M.$
 
a) Exprime $\widehat{TSR}$ en fonction de $\widehat{TMR}$
 
b) Calcule les coordonnées de $M.$
 
c) Calcule le rayon du cercle $(\mathcal{C}).$
 
d) Démontre par calcul que le point $N(-3\;;\ -1)$ appartient au cercle $(\mathcal{C}).$

Exercice 28

1) Détermine une équation générale de chacune des droites décrites ci-dessous :

a) Droite passant par les points $A(2\;;\ -2)\ $ et $\ B(4\;;\ -1).$

b) Droite $((\mathcal{D})$ passant par $A(2\;;\ 2)$ et parallèle à $(BC)$ avec $B(0\;;\ 2)\ $ et $\ C(3\;;\ 8)$

c) Droite $(\Delta)$ passant par $G(-3\;;\ 2)$ et perpendiculaire à $(EF)$ avec $E(-1\;;\ 4)\ $ et $\ F(1\;;\ 1)$ 

d) Droite $(\mathcal{L})$ passant par $A(3\;;\ 1)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(-2\;;\ 5).$

2) Détermine une équation réduite de chacune des droites données ci-dessous.

a) Droite passant par les points $A(4\;;\ 3)\ $ et $\ B(0\;;\ 1)$

b) Droite $(\mathcal{L})$ passant par $H(7\;;\ -2)$ et de coefficient directeur $-1.$

c) Droite $(\mathcal{D'})$ passant par $K(4\;;\ 5)$ et perpendiculaire à la droite $(\mathcal{D})\ :\ y=3x+1.$

d) Droite $(\Delta')$ passant par $S(1\;;\ 2)$ et parallèle à la droite $(\Delta)\ :\ y=x-6.$

Exercice 29

On donne les points $A(-2\;;\ 1)\;;\ B(4\;;\ 1)\ $ et $\ C(1\;;\ 7).$

1) Calcule $AC\ $ et $\ BC$ puis déduis en que $C$ appartient à la médiatrice de $[AB].$

2) Détermine l'équation de $(\Delta)$ perpendiculaire à $(AB)$ et passant par $C.$

3) Détermine l'abscisse $x_{E}$ du point $E$ de $(\Delta)$ d'ordonnée $-5$ puis l'abscisse $x_{F}$ du point $F$ de $(\Delta)$ d'ordonnée $8.$

Que constates-tu ?

4) Calcule les coordonnées du point $G$ milieu de $[AB].$

5) Justifie que le quadrilatère $ACBE$ est un losange

Exercice 30

On donne les points $A(3\;;\ 2)\;;\ B(5\;;\ -2)\ $ et $\ C(-2\;;\ -5).$

1) Calcule les coordonnées de $K$ milieu de $[AB]$ et celles de $N$ milieu de $[AC].$

2) Que représentent les droites $(CK)\ $ et $\ (BN)$ dans le triangle $ABC\ ?$

3) Détermine une équation de $(CK)$ et une équation de $(BN).$

4) Soit $G$ le centre de gravité du triangle $ABC.$ 

Place le point $G$ puis calcule ses coordonnées.

5) On donne :

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ 

retrouve les coordonnées de $G$ à partir de cette relation.

Exercice 31

On donne les points $A(-1\;;\ 3)\;;\ B(2\;;\ 1)$ et les droites $(\Delta)\ :\ x-y+4=0\ $ et $\ (\mathcal{D})\ :\ y=-3x+2$

1) $A$ appartient-il à la droite $(\Delta)$ ? $B$ appartient-il à la droite $(\mathcal{D})\ ?$

2) Calculer les coordonnées de $E$, point d'intersection de $(\Delta)\ $ et $\ (\mathcal{D}).$

3) Calcule les coordonnées de $F$, point d'intersection de $(\Delta)$ avec l'axe des abscisses.

4) Sans faire de calcul, donne les coordonnées de $G$, point d'intersection de $(\mathcal{D})$ avec l'axe des ordonnées.

5) Représente les droites $(\Delta)\ $ et $\ (\mathcal{D})$ puis place les points $E\;,\ F\ $ et $\ G.$

Exercice 32

1) Place dans un repère orthonormé les points $E$, $F$ et $G$ définis par leurs coordonnées :

$E(-2\;;\ 2)\;;\ F(-3\;;\ -2)\;;\ G(6\;;\ 0).$

2) Calcule le coefficient directeur de la droite $(EG).$

3) Détermine une équation de la droite $(EF).$

4) Démontre que les droites $(EF)\ $ et $\ (EG)$ sont perpendiculaires.

5) Soit $M$ le milieu du segment $[FG].$

Calcule les coordonnées de $M.$

6) On désigne par $(\mathcal{C})$ le cercle circonscrit au triangle $EFG.$

a) Calcule les coordonnées de son centre $I$ et la valeur exacte de son rayon.

b) Détermine l'équation de la droite $(\mathcal{D})$ perpendiculaire à $(IE)$ en $E.$

c) Calcule les valeurs exactes des longueurs $EF\ $ et $\ EG.$

Exercice 33

1) Place les points $A(4\;;\ 2)\ $ et $\ B(-2\;;\ -2)$ dans le plan muni d'un repère orthonormal.

2) Détermine une équation de la droite $(OA).$

3) On appelle $(\Delta)$ la médiatrice du segment $[OA].$

Montre que $(\Delta)$ a pour équation $y=-2x+5.$

4) Trace la droite $(\delta_{1})$ d'équation $y=-x+4.$

On appelle $(\delta_{2})$ la droite parallèle à $(\delta_{1})$ qui passe par le point $O.$

5) Détermine une équation de $(\delta_{2}).$

6) On appelle $P$ le point d'intersection des droites $(\Delta)\ $ et $\ (\delta_{1}).$

a) Pourquoi a-t-on : $PO=PA\ ?$

b) Quelle est la nature du triangle $OAP\ ?$

c) Calcule les coordonnées du point $P.$

7) On appelle $E$ l'image du point $P$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{OB}.$

Place le point $E$ dans le repère.

Calcule les coordonnées de $E.$ 

Vérifie par le calcul que $E$ est un point de $(\delta_{2}).$

8) Démontre que $BE=AP.$

Exercice 34

Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on donne les points ci-dessous :

$A(1\;;\ -1)\;;\ B(3\;;\ 1)\ $ et $\ C(-1\;;\ 3).$

1) Calcule $AB\;,\ AC\ $ et $\ BC$, puis déduis-en la nature du triangle $ABC.$

2) Place le point $D$ sur la demi-droite $[AC)$ tel que le triangle $ABD$ soit rectangle en $B.$

3) Trace le cercle $(\mathcal{C})$ circonscrit au triangle $ABD.$

4) Démontre que le point $C$ est le centre du cercle puis calcule son rayon.

5) Calcule les coordonnées du point $D.$ 

Construis le point $K$ image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{CB}$ ,

puis calcule les coordonnées de $K.$ 

Quelle est la nature du quadrilatère $CBKA\ ?$

6) Trace la hauteur $[BH]$ relative au côté $[AD]$ du triangle $ABD$, puis détermine une équation cartésienne de la droite $(BH).$

7) Le cercle $(\mathcal{C}')$ de centre $B$ passant par $C$, coupe le cercle $(\mathcal{C})$ en $M\ $ et $\ P.$ 

Justifie que la droite $(MP)$ est la médiatrice du segment $[BC]$, puis trouve une équation générale de la droite $(MP).$

8) Les droites $(MP)\ $ et $\ (BH)$ se coupent en $S.$ 

Calcule les coordonnées de $S.$

9) Détermine l'équation réduite de la droite $(\mathcal{T})$ tangente au cercle $(\mathcal{C}')$ en $K.$

10) Détermine l'équation réduite de la droite $(\Delta)$, parallèle à la droite $(MP)$, passant par $C.$

Exercice 35

On donne les points : $A(0\;;\ 4)\;;\ B(4\;;\ 0)\ $ et $\ C(-3\;;\ 0).$

1) Calcule les coordonnées du centre de gravité $G$ du triangle $ABC.$

2) Calcule les coordonnées de l'orthocentre $H$ du triangle $ABC.$

3) Calcule les coordonnées de $\Omega$ centre du cercle circonscrit au triangle $ABC.$

4) Vérifie que les points $\Omega$ , $G\ $ et $\ H$ sont alignés.

Exercice 36

Dans le repère orthonormal. 

On considère les points $A(-1\;;\  2)\;,\ B(0\;;\ -1)\ $ et $\ C(3\;;\ 1).$

Soit $A'$, $B'$ et $C'$ les milieux respectifs $[BC]\;,\ [AC]\ $ et $\ [AB]$ et $G$ le point d'intersection de $(AA')\ $ et $\ (BB').$

1) Comment s'appelle le point $G$ ?

2) Donne une équation de la droite $(AA')$ et de la droite $(BB').$

3) Calcule les coordonnées du point $G.$

4) Vérifie que $\overrightarrow{GC}+2\overrightarrow{GC'}=\vec{0}.$ 

En déduire que $G$ appartient à la droite $(CC').$

Exercice 37

Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on donne les points $A(-2\;;\ 2)\;;\ B(x\;;\ 0)\ $ et $\ C(1\;;\ 3).$

1) Détermine la valeur de $x$ pour laquelle la droite $(CB)$ est orthogonale à la droite $(CA).$ 

Montre alors que $C$ appartient à la médiatrice de $[AB].$

2) On considère le cercle $(\mathcal{C})$ de centre $C$ passant par $A.$

Montre qu'il passe par $B\ $ et $\ O.$

3) Détermine les points d'intersection de $(\mathcal{C})$ avec les axes du repère.

Exercice 38

Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on donne les points $A(-2\;;\ 0)\;;\ B(4\;;\ 6)\ $ et $\ C(8\;;\ -10).$

1) Calcule les longueurs $AB\;,\ BC\ $ et $\ AC.$

2) Montre que le triangle $ABC$ est rectangle.

3) Soit $C(K\;,\ r)$ le cercle circonscrit au triangle $ABC.$

a) Calcule les coordonnées du point $K.$

b) Calcule $r$ et la longueur du cercle

4) Montre que le point $E(14\;;\ -4)$ appartient au cercle $\mathcal{C}.$

Exercice 39

Dans le plan muni d'un repère orthonormal. 

L'unité choisie est le centimètre.

Place les points $A(2\;;\ 4)\ $ et $\ B(-2\;;\ 8).$

1) a) Vérifie que les points $A$ et $B$ appartiennent à la droite $(\mathcal{D})$ d'équation : $y=-x+6$

b) Trace la droite $(\mathcal{D}).$

2) Calcule les coordonnées de $M$ milieu de $[AB].$

3) Détermine l'équation de la droite $(\Delta)$ passant par $M$ et perpendiculaire à $(\mathcal{D}).$

4) Trace $(\Delta).$

Que représente $(\Delta)$ pour le segment $[AB].$

Exercice 40

Dans le plan muni d'un repère orthonormal. 

On donne les points $A(4\;;\ 1)\ $ et $\ B(0\;;\ -1).$

1) Détermine une équation de la droite $(AB).$

2) Détermine une équation de la droite $(\Delta)$ perpendiculaire en $A$ à $(AB).$

3) Soit $M(a\;;\ b).$ 

Détermine les réels $a\ $ et $\ b$ tels que : 

$M\in\;(AB)\ $ et $\ b=2a.$

Exercice de Synthèse

Dans le plan muni d'un repéré orthonormal, on donne les points $A(2\;;\ 1)\;,\ B(-3\;;\ 2)\ $ et $\ C(-2\;;\ 7)$
 
1) Placer les points dans le repère
 
2) Calculer les coordonnées $\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{BC}\ $ et $\ \overrightarrow{AC}$
 
3) Montrer $ABC$ est un triangle rectangle en $B$
 
4) Calculer les coordonnées du point $E$ tel que $ABEC$ soit un parallélogramme
 
5) Soit $F$ l'image de $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{CE}.$ 
 
Calcule les coordonnées de $F$
 
6) Justifier que $B$ est le milieu de $[AF]$
 
7) Soit $\overrightarrow{MN}$ un vecteur de coordonnées $\overrightarrow{MN}\left(\dfrac{5}{3}\;;\ -\dfrac{1}{3}\right)$
 
a) Démontrer que $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{MN}$
 
b) Vérifier que $\overrightarrow{AB}\ $ et $\ \overrightarrow{MN}$  sont  colinéaires
 

$\begin{array}{c}\blacktriangleright\,\boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}$

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