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Calcul algébrique 3e

Classe:

Troisième

I. Développement et réductions d'expressions littérales

Développer une expression littérale, c'est mettre ses termes sous la forme de deux ou plusieurs produits par l'utilisation directe de la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et à la soustraction, des égalités usuelles (ou identités remarquables) ou une combinaison des deux méthodes.

Par contre réduire une expression littérale revient tout simplement à calculer les termes semblables.

I.1 La distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et à la soustraction

Soient

$a\;,\ b\;,\ c$ et

$d$ quatre réels ; on a :

$\centerdot\ \ a(b+c)=a.b+ac$

$\centerdot\ \ a(b-c)=a.b-a.c$

$\centerdot\ \ (a+b)(c+d)=a.c+a.d+b.c+b.d$

$\centerdot\ \ (a+b)(c-d)=a.c-a.d+b.c-b.d$

$\centerdot\ \ (a-b)(c+d)=a.c+a.d-b.c-b.d$

$\centerdot\ \ (a-b)(c-d)=a.c-a.d-b.c+b.d$

Application :

Développons puis réduisons les expressions littérales suivantes :

$\begin{array}{rcl} A(x)&=&(3x+2)(2x-3)-(3x-5)(3x-2)-5x(4x+3)\\ \\&=&(6x^{2}-9x+4x-6)-(9x^{2}-6x-15x+10)-(20x^{2}+15x)\\ \\&=&6x^{2}-9x+4x-6-9x^{2}+6x+15x-10-20x^{2}-15x\\ \\&=&-23x^{2}+x-16\end{array}$

D'où,

$\boxed{A(x)=-23x^{2}+x-16}$

$\begin{array}{rcl} B(x)&=&5(3x-2)(-x+5)-4(3x-2)(-7x+2)-15x(3x-2)\\ \\&=&5(-3x^{2}+15x+2x-10)-4(-21x^{2}+6x+14x-4)-(45x^{2}-30x)\\ \\&=&(-15x^{2}+75x+10x-50)-(-84x^{2}+24x+56x-16)-(45x^{2}-30x)\\ \\&=&-15x^{2}+75x+10x-50+84x^{2}-24x-56x+16-45x^{2}+30x\end{array}$

D'où,

$\boxed{B(x)=24x^{2}+35x-34}$

I.2 Égalités usuelles ou Identités remarquables

Soient

$a$ et

$b$ deux nombres réels ; on a :

$\centerdot\ \ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

$\centerdot\ \ (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

$\centerdot\ \ (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

Remarques : autres formes d'écritures

$\cdot\ \ (-a-b)^{2}=(a+b)^{2}$

$\cdot\ \ (-a+b)^{2}=(a-b)^{2}$

$\cdot\ \ (-a-b)(-a+b)=(a+b)(a-b)$

Applications :

Développons les expressions suivantes :

$f(x)=(3x+2)^{2}=9x^{2}+10x+4$

$g(x)=(2\sqrt{3}x-3)^{2}=12x^{2}-12\sqrt{3}x+9$

$h(x)=(2\sqrt{3}x-2\sqrt{7})(2\sqrt{3}x+2\sqrt{7})=20x^{2}-28$

$r(x)=\left(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{4}{9}x^{2}-2x+\dfrac{9}{4}$

$s(x)=\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{3}x\right)^{2}=\dfrac{9}{4}+5x+\dfrac{25}{9}x^{2}$

$t(x)=\left(-\dfrac{4}{3}x-\dfrac{3}{2}\right)\left(-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{16}{9}x^{2}-\dfrac{9}{4}$

I.3 Applications : combinaisons de deux méthodes

Développons puis réduisons les expressions littérales suivantes :

$\begin{array}{rcl} A(x)&=&2(3x-2)^{2}+3(2x-3)(2x+3)-(4x-2)(3x-1)\\ \\&=&2(9x^{2}-12x+4)+3(4x^{2}-9)-(12x^{2}-4x-6x+2)\\ \\&=&(18x^{2}-24x+8)+(12x^{2}-27)-(12x^{2}-4x-6x+2)\\ \\&=&18x^{2}-24x+8+(12x^{2}-27-12x^{2}+4x+6x-2\end{array}$

D'où,

$\boxed{A(x)=18x^{2}-14x-21}$

$\begin{array}{rcl} B(x)&=&3(-2x+1)^{2}+2(-3x+2)(2x+3)-4(3+2x)^{2}\\ \\&=&3(4x^{2}-4x+1)+2(6x^{2}-9x+4x-6)-4(9+12x+4x^{2})\\ \\&=&(12x^{2}-12x+3)+(-12x^{2}-18x+8x+12)-(36+42x+16x^{2})\\ \\&=&12x^{2}-12x+3-12x^{2}-18x+8x+12-36-42x-16x^{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{B(x)=-16x^{2}-70x-21}$

II. Factorisation

Factoriser une expression littérale c'est mettre ces termes sous la forme de produits de deux ou plusieurs facteurs par l'utilisation dans le sens inverse :

$\centerdot\$ de la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et à la soustraction

$\cdot\ \ a.b+a.c=a(b+c)$

$\cdot\ \ a.b-a.c=a(b-c)$

$\cdot\ \ a.b+a.d+b.c+b.d=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)$

$\cdot\ \ a.b-a.d+b.c-b.d=a(c-d)+b(c-d)=(a+b)(c-d)$

$\cdot\ \ a.b+a.d-b.c-b.d=a(c+d)-b(c+d)=(a-b)(c+d)$

$\cdot\ \ a.b-a.d-b.c+b.d=a(c-d)-b(c-d)=(a-b)(c-d)$

$\centerdot\$ des égalités usuelles

$\cdot\ \ a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$

$\cdot\ \ a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$

$\cdot\ \ a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

Il n'y a pas de méthodes spécifiques pour faire une factorisation, on aura soit à mettre en évidence un facteur commun, soit à utiliser les égalités usuelles ou soit à combiner à la fois les deux méthodes.

II.1 Mise en évidence du facteur commun

II.1.1 Cas où le facteur commun est apparent

Exemple :

Factorisons les expressions littérales suivantes :

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(2x-1)^{2}+(2x-1)(3x+5)-4x(2x-1)+(2x-1)\\ \\&=&(2x-1)[(2x-1)+(3x+5)-4x+1]\\ \\&=&(2x-1)(2x-1+3x+5-4x+1)\end{array}$

D'où,

$\boxed{f(x)=(2x-1)(x+5)}$

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&3(x+3)(x-3)-2(2x+1)(x+3)-(x+3)\\ \\&=&(x+3)[3(x-3)-2(2x+1)-1]\\ \\&=&(x+3)(3x-9-4x-1-2)\end{array}$

D'où,

$\boxed{g(x)=(x+3)(-x-12)\ \text{ ou bien }\ g(x)=(x+3)(x+12)}$

II.1.2 Cas où le facteur commun est caché

Factoriser une expression littérale dont le facteur commun est caché revient tout simplement à procéder à des factorisations partielles au niveau des termes qui composent l'expression afin de mettre en évidence le facteur commun.

Exemple :

Factorisons les expressions littérales suivantes :

$\begin{array}{rcl} A(x)&=&(-2x+1)^{2}-(6x-3)(5x+1)-(4x-2)\\ \\&=&(2x-1)[(2x-1)-3(5x+1)-2]\\ \\&=&(2x-1)(2x-1-15x-3-2)\end{array}$

D'où,

$\boxed{A(x)=(2x-1)(-13x-6)=-(2x-1)(13x+6)}$

$\begin{array}{rcl} B(x)&=&(15x+10)(-x+5)-(12x-8)(-7x+2)-5(6x-9x^{2})\\ \\&=&5(3x-2)(-x+5)-4(3x-2)(-7x+2)-15x(2-3x)\\ \\&=&5(3x-2)(-x+5)-4(3x-2)(-7x+2)+15x(3x-2)\\ \\&=&(3x-2)[5(-x+5)-4(-7x+2)+15x]\\ \\&=&(3x-2)(-5x+25+28x-8+15x)\end{array}$

D'où,

$\boxed{B(x)=(3x-2)(38x+17)}$

$\begin{array}{rcl} C(x)&=&2(3-2x)^{2}-(6x-9)(x+2)-2x+3\\ \\&=&2(2x-3)^{2}-3(2x-3)(x+2)-(2x-3)\\ \\&=&(2x-3)[2(2x-3)-3(x+2)-1]\\ \\&=&(2x-3)(4x-6-3x+6-1)\end{array}$

D'où,

$\boxed{C(x)=(2x-3)(x-13)}$

II.2 L'utilisation des égalités usuelles

Exemple :

Factorisons les expressions littérales suivante

$f(x)=9x^{2}+6x+1=(3x+1)^{2}$

$g(x)=\dfrac{16}{25}x^{2}-2x+\dfrac{25}{16}=\left(\dfrac{4}{5}x-\dfrac{5}{4}\right)^{2}$

$h(x)=49x^{2}-36=(7x-6)(7x+6)$

$\begin{array}{rcl} r(x)&=&(2x+3)^{2}-(x+2)^{2}\\ \\&=&2(2x-3)^{2}-3(2x-3)(x+2)-(2x-3)\\ \\&=&[(2x+3)+(x+2)][(2x+3)-(x+2)]\\ \\&=&(2x+3+x+2)(2x+3-x-2)\\ \\&=&(3x+5)(x+1)\end{array}$

$s(x)=\dfrac{9}{4}x^{2}-5x+\dfrac{25}{9}=\left(\dfrac{4}{5}x-\dfrac{5}{4}\right)^{2}=$

$\begin{array}{rcl} t(x)&=&(3x-1)^{2}+2(3x-1)(2x+3)+(2x+3)^{2}\\ \\&=&[(3x-1)+(2x+3)]^{2}\\ \\&=&[(2x+3)+(x+2)][(2x+3)-(x+2)]\\ \\&=&(3x-1+2x+3)^{2}\\ \\&=&(5x+2)^{2}\end{array}$

II.3 Combinaison simultanée des deux méthodes

Exemple :

Factorisons les expressions littérales suivantes :

$\begin{array}{rcl} A(x)&=&2x^{2}-98-(3x+21)(4x-3)+(2x^{2}+28x+98)-2x-14\\ \\&=&2(x^{2}-49)-3(x+7)(4x-3)+2(x^{2}+14x+49)-(2x+14)\\ \\&=&2(x-7)(x+7)-3(x+7)(4x-3)+2(x+7)^{2}-2(x+7)\\ \\&=&(x+7)[2(x-7)-3(4x-3)+2(x+7)-2]\\ \\&=&(x+7)(2x-7-12x+9+2x+14-2)\end{array}$

D'où, $\boxed{A(x)=(x+7)(-8x+7)}$

$\begin{array}{rcl} B(x)&=&(3x^{2}-30x+75)+(2x-10)(2x-3)+(50-2x^{2})\\ \\&=&3(x^{2}-10x+25)+2(x-5)(2x-3)+2(25-x^{2})\\ \\&=&3(x-5)^{2}+2(x-5)(2x-3)+2(5-x)(5+x)\\ \\&=&3(x-5)^{2}+2(x-5)(2x-3)-2(x-5)(5+x)\\ \\&=&(x-5)[3(x-5)+2(2x-3)-2(5+x)]\\ \\&=&(x-5)(3x-15+4x-6-10-2x)\end{array}$

D'où, $\boxed{B(x)=(x-5)(5x-31)}$

III. Simplification

III.1 Condition d'existence d'un quotient d'expressions littérales

Pour qu'un quotient d'une expression littérale par une expression littérale puisse exister, il suffit tout simplement que l'expression littérale se trouvant au dénominateur du quotient soit différente de zéro.

Exemple :

Donnons la condition d'existence des quotients d'expressions littérales suivantes

$\centerdot\ \ h(x)=\dfrac{(3x-2)(2x+5)}{3(3x-2)(x+5)}$

$h(x)$ existe si, et seulement si, $3(3x-2)(x+5)\neq 0$

c'est à dire ; $3x-2\neq 0$ et $x+5\neq 0$

Ainsi, $x\neq\dfrac{2}{3}$ et $x\neq -5$

Donc, $h(x)$ existe pour $x\neq\dfrac{2}{3}$ et $x\neq -5$

$\centerdot\ \ r(x)=\dfrac{2x(3x+4)}{2(3x+4)^{2}}$

$r(x)$ existe si, et seulement si, $2(3x+4)^{2}\neq 0$

c'est à dire ; $3x+4\neq 0$

Ainsi, $x\neq -\dfrac{4}{3}$

Donc, $r(x)$ existe pour $x\neq -\dfrac{4}{3}$

III.2 Simplification

Simplifier un quotient d'expressions littérales dont les termes sont présentes de manière factorisée et dont la condition d'existence est initialement posée revient tout bonnement à éliminer autant de fois tout facteur commun entre les termes du quotient.

Exemple :

Simplifions les quotients d'expressions littérales suivantes

$h(x)=\dfrac{(3x-2)(2x+5)}{3(3x-2)(x+5)}\quad\text{et}\quad r(x)=\dfrac{2x(3x+4)}{2(3x+4)^{2}}$

Pour $x\neq\dfrac{2}{3}$ et $x\neq -5$ , alors $h(x)=\dfrac{2x+5}{3(x+5)}$

Pour $x\neq -\dfrac{4}{3}$ , alors $r(x)=\dfrac{x}{(3x+4)}$

IV. Valeur numérique d'une expression ou quotient d'expressions littérales

Exemple 1 :

Pour $x=0\;,\ \dfrac{2}{3}$ et $2\sqrt{3}+1$ , donnons la valeur numérique de l'expression littérale suivante

$A(x)=(3x+4)(3x-2)=9x^{2}+6x-8$

$A(0)=9(0)^{2}+6(0)-8=-8$

$A\left(\dfrac{2}{3}\right)=\left[3\left(\dfrac{2}{3}\right)+4\right]\left[3\left(\dfrac{2}{3}\right)-2\right]=(2+4)(2-2)=0$

$\begin{array}{rcl} A(2+\sqrt{3}+1)&=&9(2\sqrt{3}+1)^{2}+6(2\sqrt{3}+1)-8\\ \\&=&9(12+4\sqrt{3}+1)+6(2\sqrt{3}+1)-8\\ \\&=&108+36\sqrt{3}+9+12\sqrt{3}+6-8\end{array}$

Donc, $\boxed{A(2\sqrt{3}+1)=115+48\sqrt{3}}$

Exemple 2 :

Pour $x=3\sqrt{2}+2$ , donnons la valeur numérique du quotient d'expression littérale suivante

$h(x)=\dfrac{x-3}{x+2}$

$\begin{array}{rcl} h(3\sqrt{2}+2)&=&\dfrac{(3\sqrt{2}+2)-3}{(3\sqrt{2}+2)+2}\\ \\&=&\dfrac{3\sqrt{2}-1}{3\sqrt{2}+4}\\ \\&=&\dfrac{(3\sqrt{2}-1)(3\sqrt{2}-4)}{(3\sqrt{2}+4)(3\sqrt{2}-4)}\\ \\&=&\dfrac{18-12\sqrt{2}-3\sqrt{2}+4}{18-16}\end{array}$