Calcul algébrique 3e

I. Développement et réductions d'expressions littérales

I.1 La distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et à la soustraction

Application :

I.2 Égalités usuelles ou Identités remarquables

Applications :

I.3 Applications : combinaisons de deux méthodes

II. Factorisation 

II.1 Mise en évidence du facteur commun

II.1.1 Cas où le facteur commun est apparent

Exemple :

II.1.2 Cas où le facteur commun est caché

Exemple :

II.2 L'utilisation des égalités usuelles

Exemple :

Factorisons les expressions littérales suivante 

$f(x)=9x^{2}+6x+1=(3x+1)^{2}$

$g(x)=\dfrac{16}{25}x^{2}-2x+\dfrac{25}{16}=\left(\dfrac{4}{5}x-\dfrac{5}{4}\right)^{2}$

$h(x)=49x^{2}-36=(7x-6)(7x+6)$

$$$\begin{array}{rcl}r(x)& =& (2x+3{)}^2-(x+2{)}^2\\ \\ & =& 2(2x-3{)}^2-3(2x-3)(x+2)-(2x-3)\\ \\ & =& [(2x+3)+(x+2)][(2x+3)-(x+2)]\\ \\ & =& (2x+3+x+2)(2x+3-x-2)\\ \\ & =& (3x+5)(x+1)\end{array}$$$

$s(x)=\dfrac{9}{4}x^{2}-5x+\dfrac{25}{9}=\left(\dfrac{4}{5}x-\dfrac{5}{4}\right)^{2}=$

$$$\begin{array}{rcl}t(x)& =& (3x-1{)}^2+2(3x-1)(2x+3)+(2x+3{)}^2\\ \\ & =& [(3x-1)+(2x+3){]}^2\\ \\ & =& [(2x+3)+(x+2)][(2x+3)-(x+2)]\\ \\ & =& (3x-1+2x+3{)}^2\\ \\ & =& (5x+2{)}^2\end{array}$$$

II.3 Combinaison simultanée des deux méthodes

Exemple :

Factorisons les expressions littérales suivantes :

$$$\begin{array}{rcl}A(x)& =& 2x^2-98-(3x+21)(4x-3)+(2x^2+28x+98)-2x-14\\ \\ & =& 2(x^2-49)-3(x+7)(4x-3)+2(x^2+14x+49)-(2x+14)\\ \\ & =& 2(x-7)(x+7)-3(x+7)(4x-3)+2(x+7{)}^2-2(x+7)\\ \\ & =& (x+7)[2(x-7)-3(4x-3)+2(x+7)-2]\\ \\ & =& (x+7)(2x-7-12x+9+2x+14-2)\end{array}$$$

D'où, $\boxed{A(x)=(x+7)(-8x+7)}$

$$$\begin{array}{rcl}B(x)& =& (3x^2-30x+75)+(2x-10)(2x-3)+(50-2x^2)\\ \\ & =& 3(x^2-10x+25)+2(x-5)(2x-3)+2(25-x^2)\\ \\ & =& 3(x-5{)}^2+2(x-5)(2x-3)+2(5-x)(5+x)\\ \\ & =& 3(x-5{)}^2+2(x-5)(2x-3)-2(x-5)(5+x)\\ \\ & =& (x-5)[3(x-5)+2(2x-3)-2(5+x)]\\ \\ & =& (x-5)(3x-15+4x-6-10-2x)\end{array}$$$

D'où, $\boxed{B(x)=(x-5)(5x-31)}$  

III. Simplification

III.1 Condition d'existence d'un quotient d'expressions littérales

Pour qu'un quotient d'une expression littérale par une expression littérale puisse exister, il suffit tout simplement que l'expression littérale se trouvant au dénominateur du quotient soit différente de zéro.

Exemple :

Donnons la condition d'existence des quotients d'expressions littérales suivantes 

$\centerdot\ \ h(x)=\dfrac{(3x-2)(2x+5)}{3(3x-2)(x+5)}$

$h(x)$ existe si, et seulement si, $3(3x-2)(x+5)\neq 0$

c'est à dire ; $3x-2\neq 0$ et $x+5\neq 0$

Ainsi, $x\neq\dfrac{2}{3}$ et $x\neq -5$

Donc, $h(x)$ existe pour $x\neq\dfrac{2}{3}$ et $x\neq -5$

$\centerdot\ \ r(x)=\dfrac{2x(3x+4)}{2(3x+4)^{2}}$

$r(x)$ existe si, et seulement si, $2(3x+4)^{2}\neq 0$

c'est à dire ; $3x+4\neq 0$

Ainsi, $x\neq -\dfrac{4}{3}$

Donc, $r(x)$ existe pour $x\neq -\dfrac{4}{3}$

III.2 Simplification

Simplifier un quotient d'expressions littérales dont les termes sont présentes de manière factorisée et dont la condition d'existence est initialement posée revient tout bonnement à éliminer autant de fois tout facteur commun entre les termes du quotient.

Exemple :

Simplifions les quotients d'expressions littérales suivantes 

$h(x)=\dfrac{(3x-2)(2x+5)}{3(3x-2)(x+5)}\quad\text{et}\quad r(x)=\dfrac{2x(3x+4)}{2(3x+4)^{2}}$

Pour $x\neq\dfrac{2}{3}$ et $x\neq -5$, alors $h(x)=\dfrac{2x+5}{3(x+5)}$

Pour $x\neq -\dfrac{4}{3}$, alors $r(x)=\dfrac{x}{(3x+4)}$
 

IV. Valeur numérique d'une expression ou quotient d'expressions littérales

Exemple 1 :

Pour $x=0\;,\ \dfrac{2}{3}$ et $2\sqrt{3}+1$, donnons la valeur numérique de l'expression littérale suivante 

$A(x)=(3x+4)(3x-2)=9x^{2}+6x-8$

$A(0)=9(0)^{2}+6(0)-8=-8$

$A\left(\dfrac{2}{3}\right)=\left[3\left(\dfrac{2}{3}\right)+4\right]\left[3\left(\dfrac{2}{3}\right)-2\right]=(2+4)(2-2)=0$

$$$\begin{array}{rcl}A(2+\sqrt{3}+1)& =& 9(2\sqrt{3}+1{)}^2+6(2\sqrt{3}+1)-8\\ \\ & =& 9(12+4\sqrt{3}+1)+6(2\sqrt{3}+1)-8\\ \\ & =& 108+36\sqrt{3}+9+12\sqrt{3}+6-8\end{array}$$$

Donc, $\boxed{A(2\sqrt{3}+1)=115+48\sqrt{3}}$  

Exemple 2 :

Pour $x=3\sqrt{2}+2$, donnons la valeur numérique du quotient d'expression littérale suivante 

$h(x)=\dfrac{x-3}{x+2}$

$$$\begin{array}{rcl}h(3\sqrt{2}+2)& =& {\displaystyle \frac{(3\sqrt{2}+2)-3}{(3\sqrt{2}+2)+2}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{3\sqrt{2}-1}{3\sqrt{2}+4}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{(3\sqrt{2}-1)(3\sqrt{2}-4)}{(3\sqrt{2}+4)(3\sqrt{2}-4)}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{18-12\sqrt{2}-3\sqrt{2}+4}{18-16}}\end{array}$$$

Donc, $\boxed{h(3\sqrt{2}+2)=\dfrac{22-15\sqrt{2}}{2}}$