Série d'exercices : limite et continuité 1e S1

Classe: 
Première
 

Exercice 1

Calculer la limite de f en et en + dans chacun des cas suivants :
 
a) f(x)=x24x72x26
 
b) f(x)=2x73x23x+1
 
c) f(x)=x+x22x
 
d) f(x)=x2+x+1x21
 
e) f(x)=x2+11x
 
f) f(x)=x|x|3x+2
 
g) f(x)=x4+231

Exercice 2

Calculer les limites suivantes (si elles existent):
 
a) limx1x2+2x33x21
 
b) limx5(1x5+2x+8)
 
c) limx233x+53x2
 
d) limx1x2+2x33x22x1
 
e) limx9x9x3
 
f) limx0+x1+x2+1
 
g) limx3x+12x+63
 
h) limx0xx2x+12x4x2+2
 
i) limx+xx23x+12x+4x2+x
 
j) limx2x38x2
 
k) limx0x+43x+4x+11
 
l) limx1|x26x+5|
 
m) limx5|x26x+5|
 
n) limx1(2x+E(x))

Exercice 3

Dans chacun des cas, déterminer la limite de f en 0:
 
a) f(x)=sin5xx
 
b) f(x)=sin5xsin3x
 
c) f(x)=sinxx
 
d) f(x)=sin3xx2
 
e) f(x)=sinx+tanxx
 
f) f(x)=x+sinxx2+x
 
g) f(x)=sin5xtan7x

Exercice 4

1) Démontrer que x[1;+[12xx+11.
 
En déduire limx+xxx+1 et limx+xx(x+1)
 
2) Démontrer que xR,|cosx+sinx|2. 
 
En déduire limxcosx+sinxx2 et limx+cosx+sinxx2

Exercice 5

Utiliser les propriétés pour calculer les limites suivantes :
 
a) limx0xsin1x
 
b) limx0x2cos1x
 
c) limx+cosxx2+1
 
d) limx+1x+sinx
 
e) limxx+cosx3+sinx
 
f) limx+E(x)x

Exercice 6

1) Démontrer que limx01cosxx2=12
 
2)En déduire la limite en 0 de chacune des fonctions suivantes:
 
f(x)=x31cosx
 
g(x)=sin2x1cosx
 
h(x)=cos2x1xtanx
 
i(x)=1cosxsinx

Exercice 7

Dans chacun des cas déterminer la valeur de a pour que f soit continue sur R:
 
a) {f(x)=x2xxsi x0f(0)=a
 
b) {f(x)=x2x+1xx1si x1f(1)=a
 
c) {f(x)=x+12x3si x0f(x)=x2+x+asi x>0

Exercice 8

1) Soit f la fonction par :
 
{f(x)=x2x6+|x3|x29 si x3f(3)=a
 
a) Déterminer le domaine de définition de la fonction f.
 
b) Déterminer la limite à gauche et à droite de 3.
 
c) Existent-ils des valeurs de a pour lesquelles f est continue ?
 
2) Soit g la fonction définie par g(x)=x29|x|3.
 
g est-elle prolongeable par continuité en 3 ? en -3 ? Si oui, donner son prolongement par continuité.
 
3) Étudier la continuité en -1 de la fonction h définie par h(x)=x2E(x)2

Exercice 9

1) Soit f la fonction définie par :
 
f(x)={2x2+1six<0x+1x2+1six0
 
a) Déterminer le domaine de définition Df de la fonction f.
 
b) Étudier la continuité de f en 0.
 
2) Soit g la fonction définie par :
 
{E(x)xsix01six=0
 
a) Déterminer le domaine de définition Dg de la fonction g.
 
b) Étudier la continuité de g en 1.
 

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