Série d'exercices : limite et continuité 1e S1

Classe:

Première

Exercice 1

Calculer la limite de

$f$ en

$-\infty$ et en

$+\infty$ dans chacun des cas suivants :

a)

$f(x)=\dfrac{x^{2}-4x-7}{2x^{2}-6}$

b)

$f(x)=\dfrac{2x-7}{3x^{2}-3x+1}$

c)

$f(x)=x+\sqrt{x^{2}-2x}$

d)

$f(x)=\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-1}$

e)

$f(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{x}$

f)

$f(x)=\dfrac{x-\sqrt{|x|}}{3x+2}$

g)

$f(x)=x^{4}+2^{3}-1$

Exercice 2

Calculer les limites suivantes (si elles existent):

a)

$\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{x^{2}+2x-3}{3x^{2}-1}$

b)

$\lim_{x\rightarrow 5}\left(\dfrac{1}{x-5}+2x+8\right)$

c)

$\lim_{x\rightarrow \frac{2}{3}}\dfrac{3x+5}{3x-2}$

d)

$\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{x^{2}+2x-3}{3x^{2}-2x-1}$

e)

$\lim_{x\rightarrow 9}\dfrac{x-9}{\sqrt{x}-3}$

f)

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}+1}$

g)

$\lim_{x\rightarrow 3}\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt{x+6}-3}$

h)

$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x-\sqrt{x^{2}-x+1}}{2x-\sqrt{4x^{2}+2}}$

i)

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x-\sqrt{x^{2}-3x+1}}{2x+\sqrt{4x^{2}+x}}$

j)

$\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{x^{3}-8}{x-2}$

k)

$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{x+4}-\sqrt{3x+4}}{\sqrt{x+1}-1}$

l)

$\lim_{x\rightarrow 1}\sqrt{|x^{2}-6x+5|}$

m)

$\lim_{x\rightarrow 5}\sqrt{|x^{2}-6x+5|}$

n)

$\lim_{x\rightarrow 1}(2x+\mathbb{E}(x))$

Exercice 3

Dans chacun des cas, déterminer la limite de

$f$ en

$0$ :

a)

$f(x)=\dfrac{\sin5x}{x}$

b)

$f(x)=\dfrac{\sin5x}{\sin3x}$

c)

$f(x)=\dfrac{\sin\;x}{\sqrt{x}}$

d)

$f(x)=\dfrac{\sin^{3}x}{x^{2}}$

e)

$f(x)=\dfrac{\sin\;x+\tan\;x}{x}$

f)

$f(x)=\dfrac{x+\sin\;x}{x^{2}+x}$

g)

$f(x)=\dfrac{\sin5x}{\tan7x}$

Exercice 4

1) Démontrer que

$\forall\;x\;\in\;[1\;;+\infty[\dfrac{1}{2}\leq\dfrac{x}{x+1}\leq 1.$

En déduire

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x\sqrt{x}}{x+1}$ et

$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\sqrt{x}(x+1)}$

2) Démontrer que

$\forall\;x\;\in\;\mathbb{R}\;,\;|\cos\;x+\sin\;x|\leq2.$

En déduire

$\lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{\cos\;x+\sin\;x}{x^{2}}$ et

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\cos\;x+\sin\;x}{x^{2}}$

Exercice 5

Utiliser les propriétés pour calculer les limites suivantes :

a)

$\lim_{x\rightarrow 0}x\sin\dfrac{1}{x}$

b)

$\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}\cos\dfrac{1}{x}$

c)

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\cos\;x}{x^{2}+1}$

d)

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x+\sin\;x}$

e)

$\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x+\cos\;x}{3+\sin\;x}$

f)

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\mathbb{E}(x)}{x}$

Exercice 6

1) Démontrer que

$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos\;x}{x^{2}}=\dfrac{1}{2}$

2)En déduire la limite en

$0$ de chacune des fonctions suivantes:

$f(x)=\dfrac{x^{3}}{1-\cos\;x}$

$g(x)=\dfrac{\sin^{2}x}{1-\cos\;x}$

$h(x)=\dfrac{\cos^{2}x-1}{x\tan\;x}$

$i(x)=\dfrac{\sqrt{1-\cos\;x}}{\sin\;x}$

Exercice 7

Dans chacun des cas déterminer la valeur de

$a$ pour que

$f$ soit continue sur

$\mathbb{R}:$

a)

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x) &=& \dfrac{x^{2}-x}{x}\quad \text{si }\; x\neq 0 \\ \\ f(0) &=& a\end{array}\right.$

b)

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x) &=& \dfrac{\sqrt{x^{2}-x+1}-x}{x-1}\quad \text{si }\;x\neq1 \\ \\ f(1) &=& a\end{array}\right.$

c)

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x) &=& \dfrac{x+1}{2x-3}\quad \text{si }\; x\leq 0 \\ \\ f(x) &=& x^{2}+x+a\quad \text{si }\; x>0\end{array}\right.$

Exercice 8

1) Soit

$f$ la fonction par :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x) &=& \dfrac{x^{2}-x-6+|x-3|}{x^{2}-9}\quad \text{ si }\; x\neq 3 \\ \\ f(3) &=& a \end{array}\right.$

a) Déterminer le domaine de définition de la fonction

$f.$

b) Déterminer la limite à gauche et à droite de 3.

c) Existent-ils des valeurs de

$a$ pour lesquelles

$f$ est continue ?

2) Soit

$g$ la fonction définie par

$g(x)=\dfrac{x^{2}-9}{|x|-3}.$

$g$ est-elle prolongeable par continuité en 3 ? en -3 ? Si oui, donner son prolongement par continuité.

3) Étudier la continuité en -1 de la fonction

$h$ définie par

$h(x)=x^{2}\mathbb{E}(x)-2$

Exercice 9

1) Soit

$f$ la fonction définie par :

$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lcl} 2x^{2}+1 &\text{si} & x<0 \\ \dfrac{x+1}{-x^{2}+1} & \text{si} & x\geq 0\end{array}\right.$

a) Déterminer le domaine de définition

$Df$ de la fonction

$f.$

b) Étudier la continuité de

$f$ en 0.

2) Soit

$g$ la fonction définie par :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl}\dfrac{\mathbb{E(x)}}{x} &\text{si} & x\neq 0 \\ \\ 1 &\text{si} & x=0\end{array}\right.$

a) Déterminer le domaine de définition

$Dg$ de la fonction

$g.$

b) Étudier la continuité de

$g$ en 1.

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