Exercices d'entrainement types du Bac : Intégration et Primitives
Classe:
Terminale
I. Primitives de fonctions - Calcul d'intégrales
Exercice 1
Déterminer une primitive de la fonction f sur l'intervalle donné dans chacun des cas :
1) f(x)=sinxcosx sur R
2) f(x)=lnxx sur ]0; +∞[
3) f(x)=1xlnx sur ]1; +∞[
4) f(x)=5√x+25√x sur R∗+
5) f(x)=(3x+3)(x2+2x−3)4 sur R
6) f(x)=2cosx+3x sur ]0; +∞[
7) f(x)=2cosx+3x sur ]−∞; 0[
8) f(x)=1x3+12√x sur ]0; +∞[
Exercice 2
Dans chacun des cas suivants, calculer I=∫baf(x)dx
1) f(x)=1ex+2a=0 et b=ln2
2) f(x)=(2x3−3x+1)exa=0 et b=1
3) f(x)=x34+cosxa=−2 et b=2
4) f(x)=|x−2|+2|x−1|a=0 et b=3
5) f(x)=e2xsinxa=0 et b=1
6) f(x)=x3+3x−1(x−1)4a=−1 et b=0
7) f(x)=(x2+3x−4)cosxa=1 et b=π
8) f(x)=1sin2xa=π4 et b=π3
9) f(x)=4+√−x2+6x+16a=−2 et b=8
10) f(x)=√2x+1a=0 et b=4
Exercice 3
Calculer les intégrales I et J dans chacun des cas suivants :
a) I=∫10x√1−x2dx,J=∫π60sin2xcos3xdx
b) I=∫π0sin5xdx,J=∫π40tanxdx
c) I=∫π0sinxcos4xdx,J=∫π401cos2xdx
Exercice 4
On considère les intégrales : I=∫π40dxcos2x;J=∫π40dxcos4x
1) Quelle est la dérivée de la fonction tangente ? En déduire I.
2) a) Soit la fonction f définie sur [0; π4] par f(x)=sinxcos3x.
Démontrer que f est dérivable sur [0; π4] et que, pour tout x∈[0; π4], f′(x)=3cos4x−2cos2x.
b) Déduire du calcul précédent une relation entre I et J, puis calculer J.
Exercice 5
On considère les fonctions f, g et h définies sur R par : f(x)=x,g(x)=√x2+1, et h(x)=x+14
1) Démontrer que pour tout x∈[2; +∞[, f(x)<g(x)<h(x).
2) En déduire un encadrement de I=∫32√x2+1dx
II. Intégration par parties
Exercice 1
Soit a un réel strictement positif. On pose I(a)=∫a1ln(x+1)x2dx
1) En remarquant que, pour tout x∈]0; +∞[, 1x(1+x)=1x−1x+1, calculer I(a) à l'aide d'une intégration par parties.
2) Déterminer lima→0I(a)
Exercice 2
Soit α un réel strictement positif.
1) On pose I(α)=∫1α1t2e−1tdt
Calculer I(α) en fonction de α, puis limα→0I(α)
2) On pose J(α)=∫1α1t3e−1tdt
En utilisant une intégration par parties, exprimer J(α) en fonction de α et I(α), puis en fonction de α et déterminer limα→0J(α)
Exercice 3
Considérons les intégrales suivantes I=∫10dx√x2+2,J=∫10x2√x2+2dx,K=∫10√x2+2dx
1) Calculer I
Soit f la fonction définie sur [0; 1] par f(x)=ln(x+√x2+2).
a) Calculer la dérivée de la fonction x↦ √x2+2.
b) En déduire la dérivée f′ de f.
c) Calculer la valeur de I
2) Calcul de J et K
a) Sans calculer explicitement J et K, vérifier que : J+2I=K.
b) A l'aide d'une intégration par parties portant sur l'intégrale K, montrer que : K=√3−J
c) En déduire les valeurs de J et de K
Exercice 4
1) Soit l'intégrale : K=∫π0excos(2x)dx
A l'aide de deux intégrations par parties successives, montrer que : K=eπ−15
2) Soient I=∫π0excos2xdx et J=∫π0exsin2xdx
Calculer I+J et I−J
En déduire les valeurs de I et J
Exercice 5
1) Vérifier que pour tout réel x, e2xex+1=ex−exex+1
2) Calculer la valeur moyenne μ de la fonction h définie sur [0; 1] par h(x)=exln(1+ex) et donner sa primitive sur R s'annulant en 0.
Exercice 6
On considère les fonctions f, g et h définies sur R par : f(x)=x,g(x)=e−x, et h(x)=xe−x
Soit I=[ln2; ln3]
1) Calculer la valeur moyenne m1 de la fonction f sur I.
2) Calculer la valeur moyenne m2 de la fonction g sur I.
3) En utilisant une intégration par parties, calculer la valeur moyenne m de la fonction h sur I.
III. Calcul d'aire et de volume
Exercice 1
Soit f la fonction définie sur R par :f(x)={12x2+x si x≤0sin(2x) si x>0
1) Montrer que f possède une infinité de primitives sur R et donner celle qui s'annule en π.
2) Construire l'arc relatif à l'intervalle [−2, π] de la courbe (C) représentative de f dans le repère orthonormé direct (O; →i, →j) et calculer l'aire de la portion du plan délimitée par les droites d'équations x=−2, x=π, y=0 et par (C).
Exercice 2
Soit R1 la région du plan délimitée par la droite Δ d'équation y=2x+2, la courbe (C) d'équation y=2x+2−3exex+1 et le demi-plan d'inéquation x≤0.
Calculer l'aire de R1 et représenter R1 dans un repère orthonormé direct (O; →i, →j).
Exercice 3
Soit f la fonction définie sur R∗+ par :f(x)=x3+2xx2+x+1−lnx
1) Calculer les réels a, b, c et d tels que pour tout réel x>0, f(x)=ax+b+cx+dx2+x+1−lnx.
2) Soit u=∫41lnxdx
Donner une interprétation géométrique de u.
Calculer le réel u.
3) En déduire l'aire A1 de la portion de plan D1, délimitée par la courbe (C) représentative de f dans le repère orthonormé direct (O; →i, →j), l'axe des abscisses et la bande 1≤x≤4.
Représenter A1.
Exercice 4
On considère la fonction f définie sur ]0; +∞[ par f(x)=1x+e−x.
1) Faire une étude complète de f (limites aux bornes et variations).
Le plan étant muni d'un repère orthonormal (O; →i, →j), on désigne par (C) la courbe représentative de f dans le plan muni de ce repère.
Tracer (C).
2) Soit a un réel strictement supérieur à 1.
a) Déterminer l'aire A(a) de la partie du plan limitée par (C), l'axe des abscisses, la droite d'équation x=1 et la droite d'équation x=a.
b) Déterminer lima→+∞A(a)
Exercice 5
Soit la fonction f définie sur ]0; +∞[ par f(x)=x+1x+lnxx2.
Soit (C) sa représentation graphique dans le repère orthonormal (O; →i, →j).
(C) admet une asymptote D d'équation y=x, et pour x>0.7, (C) est au-dessus de D.
1) Au moyen d'une intégration par parties, calculer I=∫21lnxx2dx
2) En déduire l'aire A de la portion du plan limitée par la courbe (C), la droite D et les parallèles à l'axe des ordonnées d'équations x=1 et x=2.
Exercice 6
Soient f et g deux fonctions définies sur R par f(x)=2xe−12x2 et g(x)=14x2−x.
Soit (C) et (Γ) les courbes représentatives de f et g respectivement dans un repère orthogonal (O; →i, →j).
1) Donner une étude de f et de g.
2) Représenter (C) et (Γ).
3) Calculer l'aire A de la portion de plan D, délimitée par (C), (Γ) et la bande 0≤x≤4.
Exercice 7
1) Tracer dans un repère orthonormé du plan la courbe (C) représentative de la fonction f : x↦sin2x définie sur [0, π].
2) Montrer que pour tout réel x, sin4x=38−12cos2x+18cos4x.
3) Calculer le volume engendré par rotation autour de l'axe des abscisses de la plaque D, D étant l'ensemble des points M(x, y) tels que 0≤x≤π et 0≤x≤sin2x.
IV. Suite d'intégrales
Exercice 1
1) Montrer que la suite (In) est positive.
2) Montrer que la suite (In) est décroissante.
3) En déduire que la suite (In) converge et donner un encadrement de sa limite I.
4) Déterminer les extremums de la fonction u : x↦ex+x+1 sur [0, 1] et en déduire d'abord un encadrement de In puis la valeur de I.
Exercice 2
Pour tout entier naturel non nul, on pose In=∫e1x2(lnx)ndx
De plus, on pose I0=∫e1x2dx
1) Calculer I0.
2) En utilisant une intégration par parties, calculer I1.
3) L'affirmation "∀n∈N, le réel In est positif" est-elle vraie ?
4) Démontrer que la suite (In) est décroissante.
5) a) En utilisant une intégration par parties, démontrer que ∀n∈N∗, 3In+1+(n+1)In=e3(⋆)
b) En déduire les réels I2 et I3.
6) a) Déduire de l'égalité (⋆) que, ∀n∈N∗, In≤e3n+1
b) Déterminer limn→+∞In
Exercice 3
Soit la fonction f définie sur ]0, +∞[ par f(x)=x2+x+1x2e−1x
1) Démontrer que la fonction h définie sur ]0, +∞[ par h(x)=(x+1)e−1x est une primitive de f sur ]0, +∞[.
2) Pour n∈N∗, on pose un=∫11nf(x)dx
3) Étudier la convergence de la suite (un)
Exercice 4
Pour tout entier naturel non nul p, on pose Ip=∫e21(lnx)px2dx
1) A l'aide d'une intégration par parties, calculer I1=∫e21(lnx)x2dx
2) Prouver que ∀p∈N∗, Ip+1=−2p+1e2+(p+1)Ip
3) En utilisant les résultats précédents, calculer successivement I2, I3, I4.
V. Fonction définie par une intégrale
Exercice 1
Soit la fonction G définie par : G(x)=∫x01√1+t4dt
Montrer que :
a) G est définie sur R
b) G est impaire et est bornée
c) G est croissante
Exercice 2
On considère la fonction f définie sur ]0; +∞[ par f(x)=(x+1)lnx.
F désigne la primitive de f sur ]0; +∞[ qui s'annule en 1.
On a donc : pour tout x∈]0; +∞[, F(x)=∫x1f(t)dt
1) Quel est le signe de F(x) suivant les valeurs de x ?
2) Calculer F(x) à l'aide d'une intégration par parties.
3) Déterminer les limites de F en 0 et en +∞.
Commentaires
Zazia (non vérifié)
ven, 02/18/2022 - 11:17
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