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Exercices d'entrainement types du Bac : Intégration et Primitives

Classe:

Terminale

I. Primitives de fonctions - Calcul d'intégrales

Exercice 1

Déterminer une primitive de la fonction

$f$ sur l'intervalle donné dans chacun des cas :

$f(x)=\sin x\cos x\qquad \text{ sur }\mathbb{R}$

$f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\qquad \text{ sur }]0;\ +\infty[$

$f(x)=\dfrac{1}{x\ln x}\qquad \text{ sur }]1;\ +\infty[$

$f(x)=5\sqrt{x}+2\sqrt[5]{x}\qquad \text{ sur }\mathbb{R}_{+}^{*}$

$f(x)=(3x+3)(x^{2}+2x-3)^{4}\qquad \text{ sur }\mathbb{R}$

$f(x)=2\cos x+\dfrac{3}{x}\qquad \text{ sur }]0;\ +\infty[$

$f(x)=2\cos x+\dfrac{3}{x}\qquad \text{ sur }]-\infty;\ 0[$

$f(x)=\dfrac{1}{x^{3}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\qquad \text{ sur }]0;\ +\infty[$

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants, calculer

$I=\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$

$f(x)=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}+2}\qquad a=0\text{ et }b=\ln 2$

$f(x)=(2x^{3}-3x+1)\mathrm{e}^{x}\qquad a=0\text{ et }b=1$

$f(x)=\dfrac{x^{3}}{4+\cos x}\qquad a=-2\text{ et }b=2$

$f(x)=|x-2|+2|x-1|\qquad a=0\text{ et }b=3$

$f(x)=\mathrm{e}^{2x}\sin x\qquad a=0\text{ et }b=1$

$f(x)=\dfrac{x^{3}+3x-1}{(x-1)^{4}}\qquad a=-1\text{ et }b=0$

$f(x)=(x^{2}+3x-4)\cos x\qquad a=1\text{ et }b=\pi$

$f(x)=\dfrac{1}{\sin 2x}\qquad a=\dfrac{\pi}{4}\text{ et }b=\dfrac{\pi}{3}$

$f(x)=4+\sqrt{-x^{2}+6x+16}\qquad a=-2\text{ et }b=8$

10)

$f(x)=\sqrt{2x+1}\qquad a=0\text{ et }b=4$

Exercice 3

Calculer les intégrales

$I$ et

$J$ dans chacun des cas suivants :

$I=\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}\mathrm{d}x\;,\qquad J=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\sin 2x\cos 3x\mathrm{d}x$

$I=\int_{0}^{\pi}\sin^{5}x\mathrm{d}x\;,\qquad J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan x\mathrm{d}x$

$I=\int_{0}^{\pi}\sin x\cos^{4}x\mathrm{d}x\;,\qquad J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{1}{\cos^{2}x}\mathrm{d}x$

Exercice 4

On considère les intégrales :

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\mathrm{d}x}{\cos^{2}x}\;;\quad J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\mathrm{d}x}{\cos^{4}x}$

1) Quelle est la dérivée de la fonction tangente ? En déduire

$I.$

2) a) Soit la fonction

$f$ définie sur

$\left[0;\ \dfrac{\pi}{4}\right]$ par

$f(x)=\dfrac{\sin x}{\cos^{3}x}.$

Démontrer que

$f$ est dérivable sur

$\left[0;\ \dfrac{\pi}{4}\right]$ et que, pour tout

$x\in\left[0;\ \dfrac{\pi}{4}\right]$ ,

$f'(x)=\dfrac{3}{\cos^{4}x}-\dfrac{2}{\cos^{2}x}.$

b) Déduire du calcul précédent une relation entre

$I$ et

$J$ , puis calculer

$J.$

Exercice 5

On considère les fonctions

$f\;,\ g$ et

$h$ définies sur

$\mathbb{R}$ par :

$f(x)=x\;,\quad g(x)=\sqrt{x^{2}+1}\;,\quad \text{ et }\quad h(x)=x+\dfrac{1}{4}$

1) Démontrer que pour tout

$x\in[2;\ +\infty[\;,\ f(x)<g(x)<h(x).$

2) En déduire un encadrement de

$I=\int_{2}^{3}\sqrt{x^{2}+1}\mathrm{d}x$

II. Intégration par parties

Exercice 1

Soit

$a$ un réel strictement positif. On pose

$I(a)=\int_{1}^{a}\dfrac{\ln(x+1)}{x^{2}}\mathrm{d}x$

1) En remarquant que, pour tout

$x\in]0;\ +\infty[\;,\ \dfrac{1}{x(1+x)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}$ , calculer

$I(a)$ à l'aide d'une intégration par parties.

2) Déterminer

$\lim_{a\rightarrow 0}I(a)$

Exercice 2

Soit

$\alpha$ un réel strictement positif.

1) On pose

$I(\alpha)=\int_{\alpha}^{1}\dfrac{1}{t^{2}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{t}}\mathrm{d}t$

Calculer

$I(\alpha)$ en fonction de

$\alpha$ , puis

$\lim_{\alpha\rightarrow 0}I(\alpha)$

2) On pose

$J(\alpha)=\int_{\alpha}^{1}\dfrac{1}{t^{3}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{t}}\mathrm{d}t$

En utilisant une intégration par parties, exprimer

$J(\alpha)$ en fonction de

$\alpha$ et

$I(\alpha)$ , puis en fonction de

$\alpha$ et déterminer

$\lim_{\alpha\rightarrow 0}J(\alpha)$

Exercice 3

Considérons les intégrales suivantes

$I=\int_{0}^{1}\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^{2}+2}}\;,\quad J=\int_{0}^{1}\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+2}}\mathrm{d}x\;,\quad K=\int_{0}^{1}\sqrt{x^{2}+2}\mathrm{d}x$

1) Calculer

$I$

Soit

$f$ la fonction définie sur

$[0;\ 1]$ par

$f(x)=\ln(x+\sqrt{x^{2}+2}).$

a) Calculer la dérivée de la fonction

$x\mapsto\ \sqrt{x^{2}+2}.$

b) En déduire la dérivée

$f'$ de

$f$ .

c) Calculer la valeur de

$I$

2) Calcul de

$J$ et

$K$

a) Sans calculer explicitement

$J$ et

$K$ , vérifier que :

$J+2I=K.$

b) A l'aide d'une intégration par parties portant sur l'intégrale

$K$ , montrer que :

$K=\sqrt{3}-J$

c) En déduire les valeurs de

$J$ et de

$K$

Exercice 4

1) Soit l'intégrale :

$K=\int_{0}^{\pi}\mathrm{e}^{x}\cos(2x)\mathrm{d}x$

A l'aide de deux intégrations par parties successives, montrer que :

$K=\dfrac{\mathrm{e}^{\pi}-1}{5}$

2) Soient

$I=\int_{0}^{\pi}\mathrm{e}^{x}\cos^{2}x\mathrm{d}x\quad\text{ et }\quad J=\int_{0}^{\pi}\mathrm{e}^{x}\sin^{2}x\mathrm{d}x$

Calculer

$I+J$ et

$I-J$

En déduire les valeurs de

$I$ et

$J$

Exercice 5

1) Vérifier que pour tout réel

$x\;,\ \dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{x}+1}=\mathrm{e}^{x}-\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}$

2) Calculer la valeur moyenne

$\mu$ de la fonction

$h$ définie sur

$[0;\ 1]$ par

$h(x)=\mathrm{e}^{x}\ln(1+\mathrm{e}^{x})$ et donner sa primitive sur

$\mathbb{R}$ s'annulant en 0.

Exercice 6

On considère les fonctions

$f\;,\ g$ et

$h$ définies sur

$\mathbb{R}$ par :

$f(x)=x\;,\quad g(x)=\mathrm{e}^{-x}\;,\quad \text{ et }\quad h(x)=x\mathrm{e}^{-x}$

Soit

$I=[\ln 2;\ \ln 3]$

1) Calculer la valeur moyenne

$m_{1}$ de la fonction

$f$ sur

$I.$

2) Calculer la valeur moyenne

$m_{2}$ de la fonction

$g$ sur

$I.$

3) En utilisant une intégration par parties, calculer la valeur moyenne

$m$ de la fonction

$h$ sur

$I.$

III. Calcul d'aire et de volume

Exercice 1

Soit

$f$ la fonction définie sur

$\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}\dfrac{1}{2}x^{2}+x\quad\text{ si }x &\leq & 0\\ \\ \sin(2x)\ \quad\text{ si }x &>& 0 \end{array}\right.$

1) Montrer que

$f$ possède une infinité de primitives sur

$\mathbb{R}$ et donner celle qui s'annule en

$\pi.$

2) Construire l'arc relatif à l'intervalle

$[-2,\ \pi]$ de la courbe

$(\mathcal{C})$ représentative de

$f$ dans le repère orthonormé direct

$(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$ et calculer l'aire de la portion du plan délimitée par les droites d'équations

$x=-2\;,\ x=\pi\;,\ y=0$ et par

$(\mathcal{C}).$

Exercice 2

Soit

$\mathfrak{R}_{1}$ la région du plan délimitée par la droite

$\Delta$ d'équation

$y=2x+2$ , la courbe

$(\mathcal{C})$ d'équation

$y=2x+2-\dfrac{3\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}$ et le demi-plan d'inéquation

$x\leq 0.$

Calculer l'aire de

$\mathfrak{R}_{1}$ et représenter

$\mathfrak{R}_{1}$ dans un repère orthonormé direct

$(O;\ \vec{i},\ \vec{j}).$

Exercice 3

Soit

$f$ la fonction définie sur

$\mathbb{R}_{+}^{*}$ par :

$f(x)=\dfrac{x^{3}+2x}{x^{2}+x+1}-\ln x$

1) Calculer les réels

$a,\ b,\ c$ et

$d$ tels que pour tout réel

$x>0\;,\ f(x)=ax+b+\dfrac{cx+d}{x^{2}+x+1}-\ln x.$

2) Soit

$u=\int_{1}^{4}\ln x\mathrm{d}x$

Donner une interprétation géométrique de

$u.$

Calculer le réel

$u.$

3) En déduire l'aire

$\mathcal{A}_{1}$ de la portion de plan

$\mathbf{D}_{1}$ , délimitée par la courbe

$(\mathcal{C})$ représentative de

$f$ dans le repère orthonormé direct

$(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$ , l'axe des abscisses et la bande

$1\leq x\leq 4.$

Représenter

$\mathcal{A}_{1}$ .

Exercice 4

On considère la fonction

$f$ définie sur

$]0;\ +\infty[$ par

$f(x)=\dfrac{1}{x}+\mathrm{e}^{-x}.$

1) Faire une étude complète de

$f$ (limites aux bornes et variations).

Le plan étant muni d'un repère orthonormal

$(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$ , on désigne par

$(\mathcal{C})$ la courbe représentative de

$f$ dans le plan muni de ce repère.

Tracer

$(\mathcal{C})$ .

2) Soit

$a$ un réel strictement supérieur à 1.

a) Déterminer l'aire

$\mathcal{A}(a)$ de la partie du plan limitée par

$(\mathcal{C})$ , l'axe des abscisses, la droite d'équation

$x=1$ et la droite d'équation

$x=a.$

b) Déterminer

$\lim_{a\rightarrow +\infty}\mathcal{A}(a)$

Exercice 5

Soit la fonction

$f$ définie sur

$]0;\ +\infty[$ par

$f(x)=x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x^{2}}.$

Soit

$(\mathcal{C})$ sa représentation graphique dans le repère orthonormal

$(O;\ \vec{i},\ \vec{j}).$

$(\mathcal{C})$ admet une asymptote

$D$ d'équation

$y=x$ , et pour

$x>0.7$ ,

$(\mathcal{C})$ est au-dessus de

$D.$

1) Au moyen d'une intégration par parties, calculer

$I=\int_{1}^{2}\dfrac{\ln x}{x^{2}}\mathrm{d}x$

2) En déduire l'aire

$\mathcal{A}$ de la portion du plan limitée par la courbe

$(\mathcal{C})$ , la droite

$D$ et les parallèles à l'axe des ordonnées d'équations

$x=1$ et

$x=2.$

Exercice 6

Soient

$f$ et

$g$ deux fonctions définies sur

$\mathbb{R}$ par

$f(x)=2x\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x^{2}}$ et

$g(x)=\dfrac{1}{4}x^{2}-x.$

Soit

$(\mathcal{C})$ et

$(\Gamma)$ les courbes représentatives de

$f$ et

$g$ respectivement dans un repère orthogonal

$(O;\ \vec{i},\ \vec{j}).$

1) Donner une étude de

$f$ et de

$g.$

2) Représenter

$(\mathcal{C})$ et

$(\Gamma).$

3) Calculer l'aire

$\mathcal{A}$ de la portion de plan

$\mathbf{D}$ , délimitée par

$(\mathcal{C})\;,\ (\Gamma)$ et la bande

$0\leq x\leq 4.$

Exercice 7

1) Tracer dans un repère orthonormé du plan la courbe

$(\mathcal{C})$ représentative de la fonction

$f\ :\ x\mapsto\sin^{2}x$ définie sur

$[0,\ \pi].$

2) Montrer que pour tout réel

$x\;,\ \sin^{4}x=\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\cos 2x+\dfrac{1}{8}\cos 4x.$

3) Calculer le volume engendré par rotation autour de l'axe des abscisses de la plaque

$D\;,\$

$D$ étant l'ensemble des points

$M(x,\ y)$ tels que

$0\leq x\leq\pi$ et

$0\leq x\leq\sin^{2}x.$

IV. Suite d'intégrales

Exercice 1

$\forall\;n\in\mathbb{N}^{*}\;,\ I_{n}=\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}}{\mathrm{e}^{x}+x+1}\mathrm{d}x$

1) Montrer que la suite

$(I_{n})$ est positive.

2) Montrer que la suite

$(I_{n})$ est décroissante.

3) En déduire que la suite

$(I_{n})$ converge et donner un encadrement de sa limite

$I.$

4) Déterminer les extremums de la fonction

$u\ :\ x\mapsto\mathrm{e}^{x}+x+1$ sur

$[0,\ 1]$ et en déduire d'abord un encadrement de

$I_{n}$ puis la valeur de

$I.$

Exercice 2

Pour tout entier naturel non nul, on pose

$I_{n}=\int_{1}^{\mathrm{e}}x^{2}(\ln x)^{n}\mathrm{d}x$

De plus, on pose

$I_{0}=\int_{1}^{\mathrm{e}}x^{2}\mathrm{d}x$

1) Calculer

$I_{0}.$

2) En utilisant une intégration par parties, calculer

$I_{1}.$

3) L'affirmation "

$\forall\;n\in\mathbb{N}\;,\$ le réel

$I_{n}$ est positif" est-elle vraie ?

4) Démontrer que la suite

$(I_{n})$ est décroissante.

5) a) En utilisant une intégration par parties, démontrer que

$\forall\;n\in\mathbb{N}^{*}\;,\ 3I_{n+1}+(n+1)I_{n}=\mathrm{e}^{3}\qquad(\star)$

b) En déduire les réels

$I_{2}$ et

$I_{3}.$

6) a) Déduire de l'égalité

$(\star)$ que,

$\forall\;n\in\mathbb{N}^{*}\;,\ I_{n}\leq\dfrac{\mathrm{e}^{3}}{n+1}$

b) Déterminer

$\lim_{n\rightarrow +\infty}I_{n}$

Exercice 3

Soit la fonction

$f$ définie sur

$]0,\ +\infty[$ par

$f(x)=\dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}$ et

$(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal

$(O;\ \vec{i},\ \vec{j}).$

1) Démontrer que la fonction

$h$ définie sur

$]0,\ +\infty[$ par

$h(x)=(x+1)\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}$ est une primitive de

$f$ sur

$]0,\ +\infty[.$

2) Pour

$n\in\mathbb{N}^{*}\;,$ on pose

$u_{n}=\int_{\frac{1}{n}}^{1}f(x)\mathrm{d}x$ Calculer

$u_{n}$ et interpréter graphiquement le résultat.

3) Étudier la convergence de la suite

$(u_{n})$

Exercice 4

Pour tout entier naturel non nul

$p$ , on pose

$I_{p}=\int_{1}^{\mathrm{e}^{2}}\dfrac{(\ln x)^{p}}{x^{2}}\mathrm{d}x$

1) A l'aide d'une intégration par parties, calculer

$I_{1}=\int_{1}^{\mathrm{e}^{2}}\dfrac{(\ln x)}{x^{2}}\mathrm{d}x$

2) Prouver que

$\forall\;p\in\mathbb{N}^{*}\;,\ I_{p+1}=-\dfrac{2^{p+1}}{\mathrm{e}^{2}}+(p+1)I_{p}$

3) En utilisant les résultats précédents, calculer successivement

$I_{2}\;,\ I_{3}\;,\ I_{4}.$

V. Fonction définie par une intégrale

Exercice 1

Soit la fonction

$G$ définie par :

$G(x)=\int_{0}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{1+t^{4}}}\mathrm{d}t$

Montrer que :

$G$ est définie sur

$\mathbb{R}$

$G$ est impaire et est bornée

$G$ est croissante

Exercice 2

On considère la fonction

$f$ définie sur

$]0;\ +\infty[$ par

$f(x)=(x+1)\ln x.$

$F$ désigne la primitive de

$f$ sur

$]0;\ +\infty[$ qui s'annule en 1.

On a donc :

$\text{pour tout }x\in]0;\ +\infty[\;,\ F(x)=\int_{1}^{x}f(t)\mathrm{d}t$

1) Quel est le signe de

$F(x)$ suivant les valeurs de

$x$ ?

2) Calculer

$F(x)$ à l'aide d'une intégration par parties.

3) Déterminer les limites de

$F$ en 0 et en

$+\infty.$

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Zazia (non vérifié)

ven, 02/18/2022 - 11:17

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