Solution des exercices : Division des nombres décimaux arithmétiques - 6e

Classe: 
Sixième
 

Exercice 1

1) Posons puis effectuons les opérations suivantes :
 
a) Soit 6110÷2356110÷235
 
Le diviseur étant entier alors, en posant et en effectuant l'opération, on obtient :
6110470 14101410023526
b) Soit : 734.32÷26.3 donc, posons et effectuons l'opération en donnant le résultat avec deux chiffres après la virgule ; c'est à dire à 0.01 près.
734.3226.3
Pour effectuer cette opération, on essaie d'abord de rendre le diviseur entier.
 
Ainsi, on multiplie le diviseur par 10 pour le rendre entier.
 
Puis, on multiplie le dividende aussi par le même nombre 10. Ce qui revient à déplacer la virgule d'un rang vers sa droite.
 
Après, on peut effectuer la division, sans oublier de placer la virgule au quotient, au moment d'abaisser le premier nombre après la virgule dans le dividende. 
7343.20 526 2083   1841   2422 2367 550526.2426327.92
2) Calculons mentalement les quotients suivants.
 
c) Soit : 2009÷100
 
En effet, diviser par 100, revient à déplacer la virgule de deux rangs vers sa gauche.
 
Ainsi, 2009÷100=20.09
 
d) Soit : 45.37÷0.1
 
On sait que diviser par 0.1, revient à déplacer la virgule d'un rang vers sa droite.
 
Donc, 45.37÷0.1=453.7
 
3) Donnons un ordre de grandeur de chacun des quotients.
 
Pour calculer l'ordre de grandeur (OG) d'un quotient, on choisit d'abord une précision adaptée. Ensuite, on choisira en premier l'ordre de grandeur (OG) du diviseur, puis on choisira pour le dividende, un ordre de grandeur qui permet un calcul rapide et simple.
 
Enfin, on remplace le diviseur et le dividende par leur ordre de grandeur respectif et on effectue la division de ces ordres de grandeur.
 
e) Soit : 305÷19.5
 
On choisit une précision à la dizaine près.
 
Ainsi, 19.5 est proche de 20
 
Par ailleurs, le choix de 300 comme OG de 305 permet un calcul simple et rapide.
 
Par suite, l'ordre de grandeur de 305÷19.5 est égal à :
300÷20=30÷2=15
f) Soit : 69÷6.9
 
Pour une précision l'unité près, on a : 6.9 est proche de 7 donc, l'OG de 6.9 est 7.
 
En choisissant 70 comme OG de 69, on obtient un calcul simple et rapide.
 
Ainsi, l'ordre de grandeur de 69÷6.9 sera donné par :
70÷7=10

Exercice 2

1) Donnons le quotient entier approché par défaut de 277
 
Cherchons deux multiples successifs de 7 qui encadrent l'entier 27.
 
On sait que 21  et  28 sont deux multiples successifs de 7.
 
De plus : 21<27<28
 
Donc, 217<277<287
 
Ce qui donne : 3<277<4
 
Ainsi, le quotient entier approché par défaut de 277 est égal à 3.
 
2) Donnons le quotient entier approché  de la division de 213 par 13 à l'unité près par excès.
 
De la même manière, on a : 208  et  221 sont deux multiples successifs de 13 et qui encadrent l'entier 213.
 
Donc, 20813<21313<22113
 
Par suite, 16<21313<17
 
D'où, le quotient entier approché de la division de 213 par 13 à l'unité près par excès est le nombre entier 17.

Exercice 3

1) a)  Calculons le quotient au dixième près de 96.4 par 34 par défaut.
 
En arrondissant à un chiffre après la virgule par défaut, on obtient : 96.434=2.8
 
Donc, 2.8 représente le quotient au dixième près de 96.4 par 34 par défaut.
 
b) En déduisons le reste de la division à 110 près.
 
Soit r le reste de la division alors, on a :
 
r=96.4(34×2.8)=96.495.2=1.2
 
Donc, le reste de la division à 110 près est égal à 1.2
 
2.a) Calculons le quotient à 1100 près de 11717 par excès.
 
En arrondissant à deux chiffres après la virgule par excès, on obtient : 11717=6.89
 
Donc, 6.89 est le quotient à 1100 près de 11717 par excès.
 
b) En déduisons le reste de la division.
 
Soit r le reste de la division alors, on a :
 
r=117(17×6.88)=117116.96=0.04
 
Ainsi, le reste de la division à 1100 près est égal à 0.04

Exercice 4

1) Donnons l'écriture décimale de : 13.56  et  70.226
 
On a : 13.56=2.25 donc, 2.25 est l'écriture décimale de : 13.56
 
On a : 70.226=2.7 donc, 2.7 est l'écriture décimale de : 70.226
 
2) 11711 n'admet pas une écriture décimale.
 
En effet, on a : 11711=10.636363 
 
Or, 10.636363 est un développement décimal illimité périodique de période 63.
 
Donc, 11711 n'est pas un quotient exact.
 
D'où, 11711 n'admet pas une écriture décimale.
 
3) Donnons une écriture fractionnaire de 7.25
 
On a : 7.25=725100
 
Donc, 725100 est une écriture fractionnaire de 7.25.

Exercice 5

1) Donnons l'écriture décimale de 238
 
On a : 238=2.875
 
Donc, 2.875 est l'écriture décimale de 238
 
2) a) Encadrons 238 entre deux entiers naturels consécutifs.  
 
On a : 238=2.875
 
Or, 2<2.875<3
 
D'où, un encadrement de 238 entre deux entiers naturels consécutifs est donné par :
2<238<3
b) Encadrons 238 entre deux décimaux consécutifs à 0.01 près.
 
On a : 238=2.875 alors,
 
Donc, on peut écrire : 2.87<2.875<2.88
 
D'où, un encadrement de 238 entre deux décimaux consécutifs à 0.01 près est donné par :
2.87<238<2.88

Exercice 6

1) Donnons le quotient approché par excès à l'unité près de la division de 200.87 par 49.
 
Cherchons alors deux multiples successifs de 49 qui encadrent l'entier 200.87
 
En effet, on sait que : 196  et  245 sont deux multiples successifs de 49 et qui encadrent l'entier 200.87
 
Donc, 19649<200.8749<24549
 
Ce qui donne, 4<200.8749<5
 
D'où, le quotient entier approché par excès à l'unité près de la division de 200.87 par 49 est le nombre entier 5.
 
2) 20.42 est le quotient approché par défaut au centième près de la division de 347.3 par 17.
 
3) Donner le reste de la division de 75.1 par 6.3 aux dixièmes près.
 
Soit 75.16.3
 
Pour rendre entier le dénominateur, on multiplie par 10 le numérateur et le dénominateur.
 
Ce qui donne : 75.16.3=75.1×106.3×10=75163
 
Ainsi, aux dixièmes près, on a : 75163=11.9
 
Soit r le reste de la division alors, on a :
 
r=751(63×11.9)=751749.7=1.3
 
D'où, le reste de la division de 75.1 par 6.3 aux dixièmes près est égal à 1.3

Exercice 7

Écrivons les nombres décimaux suivants sous la forme ab avec b non nul
3.5; 27.04; 100.001; 4; 58.273; 0.4; 0.045; 0.0102; 0.54321
On a :
 
3.5=3510
 
27.04=2704100
 
100.001=1000011000
 
4=41
 
58.273=582731000
 
0.4=410
 
0.045=451000
 
0.0102=10210000
 
0.54321=54321100000

Exercice 8

a) Exprime ces écritures fractionnaires sous forme de nombres décimaux.
14.77;1238;15411;18.757.5
On a :
 
14.77=2.1
 
1238=15.375
 
15411=14
 
18.757.5=2.5
 
b) Rangeons les écritures fractionnaires dans l'ordre décroissant.
 
En rangeant dans l'ordre décroissant les nombres décimaux trouvés en a), on a :
15.375>14>2.5>2.1
Donc, en remplaçant ces nombres décimaux par leur écriture fractionnaire, on obtient :
1238>15411>18.757.5>14.77

Exercice 10

1) Relevons dans cette liste les nombres divisibles : par 2 ; par 3 ; par 2 et 3
12; 31; 45; 810; 27; 34; 312; 431
  nombres divisibles par 2
 
Un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est pair.
 
Donc, dans cette liste, les nombres divisibles par 2 sont :
12; 810; 34; 312
  nombres divisibles par 3
 
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
 
Donc, dans cette liste, les nombres divisibles par 3 sont :
12; 45; 810; 27; 312
Par conséquent les nombres divisibles à la fois par 2 et par 3 sont :
12; 810; 312
2) Relevons dans cette liste les nombres divisibles : par 5 ; par 9 ; par 5 et 9
27; 90; 45; 35; 54; 792; 838; 5
  nombres divisibles par 5
 
Un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 5 ou 0.
 
Donc, dans cette liste, les nombres divisibles par 5 sont :
90; 45; 35; 5
  nombres divisibles par 9
 
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
 
Donc, dans cette liste, les nombres divisibles par 9 sont :
27; 90; 45; 54; 792
Ainsi, les nombres divisibles à la fois par 5 et par 9 sont :
90; 45

Exercice 11

Reproduisons puis complétons le tableau ci-dessous
 
EcritureabfractionnaireEcriture décimalea sur b34340.7518180.12552522.5019019=0014140.25220022000.011111=11

Exercice 12

Calculons : 6×53;74×12
 
On a : 6×53=6×53=303=10
 
D'où, 6×53=10
 
Soit : 74×12=7×124=844=21
 
Ainsi, 74×12=21

Exercice 13

Un journaliste dispose de 1h51mn pour son émission "Wakh sa halate". Il veut accorder à chacun de ses 27  auditeurs un temps de parole équivalent.
 
Déterminons temps de chacun des auditeurs.
 
Comme 1h=60mn alors, en convertissant en minute, on trouve :
 
1h51mn=60+51=111mn
 
Donc, le temps de parole de chaque auditeur est donné par le quotient : 11127
 
On sait que 11127 n'est pas un quotient exact.
 
Donc, en posant l'opération, on obtient :
1111083274
Ainsi, chaque auditeur disposera de 4mn de temps de parole et il restera au journaliste 3mn

Exercice 15

Quatre personnes règlent une facture qui s'élève à 4200F. Les trois premières versent respectivement 13; 14  et  27 de cette somme. La quatrième paye le reste.
 
Déterminons la somme versée par chacune.
 
Comme la première personne a versé 13 de la facture alors, cela peut encore s'écrire :
versement première personne=13×4200
En calculant on obtient :
 
versement première personne=13×4200=1×42003=42003=1400
 
Donc, la première personne a versé 1400F
 
La deuxième personne a versé 14 de la facture. Ce qui se traduit par :
versement deuxième personne=14×4200
En calculant on obtient :
 
versement deuxième personne=14×4200=1×42004=42004=1050
 
D'où, la deuxième personne a versé 1050F
 
Comme la troisième personne a versé 27 de la facture alors, cela peut encore s'écrire :
versement troisième personne=27×4200
En calculant on obtient :
 
versement troisième personne=27×4200=2×42007=84007=1200
 
Ainsi, la troisième personne a versé 1200F
 
Par suite, la somme versée par ces trois personnes est égale à :
1400F+1050F+1200F=3650F
Comme la quatrième personne paye le reste alors, pour trouver cette sa part on effectue l'opération suivante :
versement quatrième personne=42003650
En calculant on trouve : 42003650=550
 
D'où, la troisième personne a payé 550F
 
Déterminons la fraction de la dépense totale versée par la quatrième personne
 
Soit 13; 14  et  27 la fraction de la dépense totale versée respectivement par les trois premières personnes.
 
On réduit au même dénominateur. Ce qui donne :
 
13=1×4×73×4×7=2884
 
14=1×3×73×4×7=2184
 
27=2×4×33×4×7=2484
 
Alors, la fraction de la dépense totale versée en tout par les trois premières personnes est égale :
2884+2184+2484=28+21+2484=7384
Comme la part totale est égale à 8484 alors, la part de la quatrième personne est donnée par :
84847384=847384=1184
Ainsi, la quatrième personne a versé 1184 de la somme totale.
 
Vérification :
 
1184×4200=11×420084=4620084=550
 
Donc, 1184×4200F=550F
 
Ce qui correspond bien au versement de la quatrième personne.

Exercice 16

a) Considérons les écritures fractionnaires suivantes :
102.5;224:10521;21010
Parmi les écritures fractionnaires ci-dessus, celles dont le numérateur est multiple du dénominateur sont :
102.5:10521;21010
b) Exprimons ces écritures fractionnaires sous forme de nombres décimaux.
 
On a :
 
102.5=4
 
224=5.5
 
10521=5
 
21010=21

Exercice 17

Reproduisons la figure ci-dessous en utilisant le quadrillage du cahier
 
 
a) Recopions et complétons les égalités ci-dessous :
 
En observant la figure, on peut écrire :
 
AB=10; AC=1; AD=4; AE=7
 
Ainsi, on a :
AC=110×AB;AD=410×AB;AE=710×AB
b) Plaçons F  et  G tels que AF=310×AB  et  AG=1110×AB
 

Exercice 18

a) Dans une heure il y a 60 minutes
 
b) Complétons
14h=15min;12h=30min;34h=45min
En effet, on a :
 
14h=14×60=604=15min
 
12h=12×60=602=30min
 
34h=34×603×604=1804=45min

Exercice 19

Le parcours d'un rallye automobile a une longueur totale de 4620km.
 
Déterminons le nombre de postes distants de 140km les uns des autres que l'on peut installer.
 
La distance entre deux postes est appelée intervalle.
 
Alors, le nombre d'intervalles est égal à :
4620140=33
Le nombre de postes est donc donné par :
nombre de postes=nombre d'intervalles+1
Ce qui donne :
nombre de postes=33+1=34
D'où, pour ce parcours d'un rallye automobile on peut installer 34 postes distants de 140km les uns des autres.

Exercice 20

On considère les nombres de la forme 293, où les remplacent des chiffres. Trouvons tous les nombres de cette forme qui sont divisibles à la fois par 3 et par 5.
 
En effet, on sait que : un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 5 ou 0.
 
Ainsi, les nombres suivants sont divisibles par 5.
 
2093021930229302393024930259302693027930289302993020935219352293523935249352593526935279352893529935
 
Par ailleurs, un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
 
Donc, dans la liste ci-dessus, trouvons les nombres qui sont aussi divisibles par 3.
 
On obtient :
219302493027930229352593528935
Par conséquent, les nombres de la forme 293, divisibles à la fois par 3 et par 5 sont :
219302493027930229352593528935

Exercice 21

Une piste d'athlétisme a une longueur de 400m.
 
a) Déterminons le nombre de tours que doivent effectuer les coureurs de 5000m 
 
Comme la piste a une longueur de 400m alors, le nombre de tours effectués par les coureurs de 5000m est :
nombre de tours=5000400
En calculant, on trouve : 5000400=12.5
 
Ce qui signifie que les coureurs de 5000m doivent effectuer 12 tours et demi.
 
b) Déterminons le nombre de tours que doivent effectuer les coureurs de 10000m
 
Comme la piste a une longueur de 400m alors, le nombre de tours effectués par les coureurs de 10000m est :
nombre de tours=10000400=25
Donc, les coureurs de 10000m doivent effectuer 25 tours.

Exercice 22

Le triangle ci-dessous est dit magique, car les produits des trois nombres écrits sur les côtés sont égaux.
 
Son produit magique est :
504=7×8×9=7×18×4=9×14×4
 
 
Complétons le triangle ci-dessous pour qu'il soit magique :
 
 
On a : 4×144×6=3456
 
Donc, pour que le triangle soit magique les produits des trois nombres écrits sur les autres côtés doivent être égaux à 3456.
 
Ce signifie que :
 
4××2=3456
 
2××6=3456
 
Ainsi, pour trouver la valeur manquante, on divise le nombre 3456 par le produit des deux nombres connus.
 
On a alors :
 
34564×2=34568=432
 
Donc, pour le côté gauche, le nombre manquant est 432
 
De la même manière, on a : 
 
34562×6=345612=288
 
Donc, pour le côté droit, le nombre manquant est 288
 
Vérification :
3456=4×144×6=4×432×2=2×288×6

Exercice 23

Recopions et complétons les divisions à trous suivantes :
75778977123737132451
 

Auteur: 
Diny Faye

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