Solution des exercices : Division des nombres décimaux arithmétiques - 6e

1) Relevons dans cette liste les nombres divisibles : par $2$ ; par $3$ ; par $2$ et $3$

$$12\;;\ 31\;;\ 45\;;\ 810\;;\ 27\;;\ 34\;;\ 312\;;\ 431$$

$-\ $ nombres divisibles par $2$

 

Un nombre est divisible par $2$ si son dernier chiffre est pair.

 

Donc, dans cette liste, les nombres divisibles par $2$ sont :

$$12\;;\ 810\;;\ 34\;;\ 312$$

$-\ $ nombres divisibles par $3$

 

Un nombre est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est un multiple de $3.$

 

Donc, dans cette liste, les nombres divisibles par $3$ sont :

$$12\;;\ 45\;;\ 810\;;\ 27\;;\ 312$$

Par conséquent les nombres divisibles à la fois par $2$ et par $3$ sont :

$$12\;;\ 810\;;\ 312$$

2) Relevons dans cette liste les nombres divisibles : par $5$ ; par $9$ ; par $5$ et $9$

$$27\;;\ 90\;;\ 45\;;\ 35\;;\ 54\;;\ 792\;;\ 838\;;\ 5$$

$-\ $ nombres divisibles par $5$

 

Un nombre est divisible par $5$ si son dernier chiffre est $5$ ou $0.$

 

Donc, dans cette liste, les nombres divisibles par $5$ sont :

$$90\;;\ 45\;;\ 35\;;\ 5$$

$-\ $ nombres divisibles par $9$

 

Un nombre est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres est un multiple de $9.$

 

Donc, dans cette liste, les nombres divisibles par $9$ sont :

$$27\;;\ 90\;;\ 45\;;\ 54\;;\ 792$$

Ainsi, les nombres divisibles à la fois par $5$ et par $9$ sont :

$$90\;;\ 45$$

Reproduisons puis complétons le tableau ci-dessous

 

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &&\text{Ecriture}&\\a&b&\text{fractionnaire}&\text{Ecriture décimale}\\&&a\text{ sur }b&\\\hline&&&\\ 3&4&\dfrac{3}{4}&0.75\\&&&\\\hline&&&\\ 1&8&\dfrac{1}{8}&0.125\\&&&\\\hline&&&\\ 5&2&\dfrac{5}{2}&2.5\\&&&\\\hline &&&\\0&19&\dfrac{0}{19}=0&0\\&&&\\\hline&&&\\  1&4&\dfrac{1}{4}&0.25\\&&&\\\hline&&&\\ 2&200&\dfrac{2}{200}&0.01\\&&&\\\hline&&&\\ 1&1&\dfrac{1}{1}=1&1\\&&&\\\hline\end{array}$$

Calculons : $6\times\dfrac{5}{3}\;;\quad\dfrac{7}{4}\times 12$

 

On a : $6\times\dfrac{5}{3}=\dfrac{6\times 5}{3}=\dfrac{30}{3}=10$

 

D'où, $\boxed{6\times\dfrac{5}{3}=10}$

 

Soit : $\dfrac{7}{4}\times 12=\dfrac{7\times 12}{4}=\dfrac{84}{4}=21$

 

Ainsi, $\boxed{\dfrac{7}{4}\times 12=21}$

Un journaliste dispose de $1\;h\;51\;mn$ pour son émission "Wakh sa halate". Il veut accorder à chacun de ses $27$  auditeurs un temps de parole équivalent.

 

Déterminons temps de chacun des auditeurs.

 

Comme $1\;h=60\;mn$ alors, en convertissant en minute, on trouve :

 

$1\;h\;51\;mn=60+51=111\;mn$

 

Donc, le temps de parole de chaque auditeur est donné par le quotient : $\dfrac{111}{27}$

 

On sait que $\dfrac{111}{27}$ n'est pas un quotient exact.

 

Donc, en posant l'opération, on obtient :

$$\begin{array}{r} 111\\-108\\\hline 3\\ \\ \end{array}\begin{array}{|l} 27\\\hline 4\\ \\\\\end{array}$$

Ainsi, chaque auditeur disposera de $4\;mn$ de temps de parole et il restera au journaliste $3\;mn$

Quatre personnes règlent une facture qui s'élève à $4\,200\;F.$ Les trois premières versent respectivement $\dfrac{1}{3}\;;\ \dfrac{1}{4}\ $ et $\ \dfrac{2}{7}$ de cette somme. La quatrième paye le reste.

 

Déterminons la somme versée par chacune.

 

Comme la première personne a versé $\dfrac{1}{3}$ de la facture alors, cela peut encore s'écrire :

$$\text{versement première personne}=\dfrac{1}{3}\times 4\,200$$

En calculant on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\text{versement première personne}&=&\dfrac{1}{3}\times 4\,200\\\\&=&\dfrac{1\times 4\,200}{3}\\\\&=&\dfrac{4\,200}{3}\\\\&=&1\,400\end{array}$

 

Donc, la première personne a versé $1\,400\;F$

 

La deuxième personne a versé $\dfrac{1}{4}$ de la facture. Ce qui se traduit par :

$$\text{versement deuxième personne}=\dfrac{1}{4}\times 4\,200$$

En calculant on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\text{versement deuxième personne}&=&\dfrac{1}{4}\times 4\,200\\\\&=&\dfrac{1\times 4\,200}{4}\\\\&=&\dfrac{4\,200}{4}\\\\&=&1\,050\end{array}$

 

D'où, la deuxième personne a versé $1\,050\;F$

 

Comme la troisième personne a versé $\dfrac{2}{7}$ de la facture alors, cela peut encore s'écrire :

$$\text{versement troisième personne}=\dfrac{2}{7}\times 4\,200$$

En calculant on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\text{versement troisième personne}&=&\dfrac{2}{7}\times 4\,200\\\\&=&\dfrac{2\times 4\,200}{7}\\\\&=&\dfrac{8\,400}{7}\\\\&=&1\,200\end{array}$

 

Ainsi, la troisième personne a versé $1\,200\;F$

 

Par suite, la somme versée par ces trois personnes est égale à :

$$1\,400\;F+1\,050\;F+1\,200\;F=3\,650\;F$$

Comme la quatrième personne paye le reste alors, pour trouver cette sa part on effectue l'opération suivante :

$$\text{versement quatrième personne}=4\,200-3\,650$$

En calculant on trouve : $4\,200-3\,650=550$

 

D'où, la troisième personne a payé $550\;F$

 

Déterminons la fraction de la dépense totale versée par la quatrième personne

 

Soit $\dfrac{1}{3}\;;\ \dfrac{1}{4}\ $ et $\ \dfrac{2}{7}$ la fraction de la dépense totale versée respectivement par les trois premières personnes.

 

On réduit au même dénominateur. Ce qui donne :

 

$\dfrac{1}{3}=\dfrac{1\times 4\times 7}{3\times 4\times 7}=\dfrac{28}{84}$

 

$\dfrac{1}{4}=\dfrac{1\times 3\times 7}{3\times 4\times 7}=\dfrac{21}{84}$

 

$\dfrac{2}{7}=\dfrac{2\times 4\times 3}{3\times 4\times 7}=\dfrac{24}{84}$

 

Alors, la fraction de la dépense totale versée en tout par les trois premières personnes est égale :

$$\dfrac{28}{84}+\dfrac{21}{84}+\dfrac{24}{84}=\dfrac{28+21+24}{84}=\dfrac{73}{84}$$

Comme la part totale est égale à $\dfrac{84}{84}$ alors, la part de la quatrième personne est donnée par :

$$\dfrac{84}{84}-\dfrac{73}{84}=\dfrac{84-73}{84}=\dfrac{11}{84}$$

Ainsi, la quatrième personne a versé $\dfrac{11}{84}$ de la somme totale.

 

Vérification :

 

$\begin{array}{rcl}\dfrac{11}{84}\times 4\,200&=&\dfrac{11\times 4\,200}{84}\\\\&=&\dfrac{46\,200}{84}\\\\&=&550\end{array}$

 

Donc, $\dfrac{11}{84}\times 4\,200\;F=550\;F$

 

Ce qui correspond bien au versement de la quatrième personne.

a) Considérons les écritures fractionnaires suivantes :

$$\dfrac{10}{2.5}\;;\quad \dfrac{22}{4}\::\quad \dfrac{105}{21}\;;\quad \dfrac{210}{10}$$

Parmi les écritures fractionnaires ci-dessus, celles dont le numérateur est multiple du dénominateur sont :

$$\dfrac{10}{2.5}\::\quad \dfrac{105}{21}\;;\quad \dfrac{210}{10}$$

b) Exprimons ces écritures fractionnaires sous forme de nombres décimaux.

 

On a :

 

$\dfrac{10}{2.5}=4$

 

$\dfrac{22}{4}=5.5$

 

$\dfrac{105}{21}=5$

 

$\dfrac{210}{10}=21$

Reproduisons la figure ci-dessous en utilisant le quadrillage du cahier

a) Recopions et complétons les égalités ci-dessous :

 

En observant la figure, on peut écrire :

 

$AB=10\;;\ AC=1\;;\ AD=4\;;\ AE=7$

 

Ainsi, on a :

$$AC=\dfrac{1}{10}\times AB\;;\quad AD=\dfrac{4}{10}\times AB\;;\quad AE=\dfrac{7}{10}\times AB$$

b) Plaçons $F\ $ et $\ G$ tels que $AF=\dfrac{3}{10}\times AB\ $ et $\ AG=\dfrac{11}{10}\times AB$

a) Dans une heure il y a $60$ minutes

 

b) Complétons

$$\dfrac{1}{4}\,h=15\;min\;;\quad\dfrac{1}{2}\,h=30\;min\;;\quad\dfrac{3}{4}\,h=45\;min$$

En effet, on a :

 

$\dfrac{1}{4}\,h=\dfrac{1}{4}\times 60=\dfrac{60}{4}=15\;min$

 

$\dfrac{1}{2}\,h=\dfrac{1}{2}\times 60=\dfrac{60}{2}=30\;min$

 

$\dfrac{3}{4}\,h=\dfrac{3}{4}\times 60\dfrac{3\times 60}{4}=\dfrac{180}{4}=45\;min$

Le parcours d'un rallye automobile a une longueur totale de $4\,620\;km.$

 

Déterminons le nombre de postes distants de $140\;km$ les uns des autres que l'on peut installer.

 

La distance entre deux postes est appelée intervalle.

 

Alors, le nombre d'intervalles est égal à :

$$\dfrac{4\,620}{140}=33$$

Le nombre de postes est donc donné par :

$$\text{nombre de postes}=\text{nombre d'intervalles}+1$$

Ce qui donne :

$$\text{nombre de postes}=33+1=34$$

D'où, pour ce parcours d'un rallye automobile on peut installer $34$ postes distants de $140\;km$ les uns des autres.

Exercice 20

Exercice 21

Exercice 22

Exercice 23