Série d'exercices : Calcul intégral -Ts

Calcul d'intégral par la recherche d'une primitive

Exercice 1

Calculer les intégrales suivantes :

$$\text{I}={\int }_1^3{\displaystyle \frac{2x+1}{x^2+x+1}}\mathrm{d}x;\text{J}={\int }_2^3{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{u}}}\mathrm{d}u;$$
$$\text{K}={\int }_{-1}^2(x+1)(x^2+2x-7)\mathrm{d}x;\text{L}={\int }_1^3{\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{t+1}}$$
$$\text{M}={\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{\cos }^{2}x\sin x\mathrm{d}x;\text{N}={\int }_{-3}^{3}x{\mathrm{e}}^2\mathrm{d}x;$$

Exercice 2

Calculer les intégrales suivantes :

$$1){\int }_0^5(x^4-x^2)\mathrm{d}x2){\int }_1^2(2x^2+5x-1)\mathrm{d}x$$
$$3{\int }_0^4(2x^5+2x^3-1)\mathrm{d}x4)\text{J}={\int }_2^5{\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x-1}}}$$
$$5){\int }_1^2(x+5{)}^4\mathrm{d}x6){\int }_1^5(x^2+{\displaystyle \frac{2}{x^2}})\mathrm{d}x$$
$$7){\int }_0^1(2x^2-1-{\displaystyle \frac{1}{(x+1{)}^2}})\mathrm{d}x8){\int }_{-1}^2{\displaystyle \frac{2x+1}{(x^2+x+1{)}^2}}\mathrm{d}x$$
$$9){\int }_{-1}^2{\displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2+5}}}\mathrm{d}x10){\int }_{-1}^2(x^3-5^2+1{)}^4(3x^2-10)\mathrm{d}x$$
$$11){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(\sin x-3\cos x+1)\mathrm{d}x12){\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}(\sin 2x+\cos 3x)\mathrm{d}x$$
$$13){\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{{\cos }^{2}x}}14){\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{\tan }^{2}x\mathrm{d}x$$
$$15){\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{{\cos }^{4}x}}16){\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}({\cos }^{2}x+\cos x-1)\sin x\mathrm{d}x$$
$$17){\int }_1^x{\displaystyle \frac{\ln t}{t}}\mathrm{d}t,x>018){\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}(\tan x+{\tan }^{3}x)\mathrm{d}x$$
$$19){\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}\tan x\mathrm{d}x20){\int }_0^3{\displaystyle \frac{x^2+2x}{(x+1{)}^3}}\mathrm{d}x$$
$$21){\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}{\displaystyle \frac{\sin x}{{\cos }^{4}x}}\mathrm{d}x22){\int }_{\ln 3}^{\ln 4}{\mathrm{e}}^{2x}\mathrm{d}x$$
$$23){\int }_0^2\sqrt{x}\mathrm{d}x24){\int }_1^2\sqrt{3x-1}\mathrm{d}x$$
$$25){\int }_1^3{\displaystyle \frac{1}{x^2}}{\mathrm{e}}^{{\displaystyle \frac{1}{x}}}\mathrm{d}x26){\int }_{-1}^4{\displaystyle \frac{x^3+1}{(x^4+4x+7{)}^3}}\mathrm{d}x27){\int }_{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}^{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{\cos x+x\sin x}{x^2}}\mathrm{d}x$$

Exercice 3

Déterminer les réels $a\;,\ b\text{ et }c$ puis calculer I.

$$1)f(x)={\displaystyle \frac{x+1}{x+2}}=a+{\displaystyle \frac{b}{x+2}}I={\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x$$
$$2)f(x)={\displaystyle \frac{x^2+x+1}{x-3}}=ax+b+{\displaystyle \frac{c}{x-3}}I={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$$
$$3)f(x)={\displaystyle \frac{2x+1}{x^2-5x+4}}={\displaystyle \frac{a}{x-1}}+{\displaystyle \frac{b}{x-4}}I={\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x$$
$$4)f(x)={\displaystyle \frac{x-2}{(x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{a}{x-1}}+{\displaystyle \frac{b}{(x-1{)}^2}}I={\int }_{-1}^{0}f(x)\mathrm{d}x$$
$$5)f(x)={\displaystyle \frac{1}{x(x^2+1)}}={\displaystyle \frac{a}{x}}+{\displaystyle \frac{bx+c}{x^2+1}}I={\int }_1^1{\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{x(x^2+1)}}$$ 
$$6)f(x)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x-2}{{\mathrm{e}}^x+1}}=a+{\displaystyle \frac{b{\mathrm{e}}^{-x}}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}}I={\int }_{\ln 2}^{\ln 3}f(x)\mathrm{d}x$$

Exercice 4

Calculer la fonction dérivée de la fonction $f\ :\ x\mapsto(ax^{2}+bx+c)\sqrt{x^{2}+2}\;,\ a\;,\ b\;,\ c$ étant des constantes.
 
En déduire le calcul de l'intégrale $${\int }_{-1}^4{\displaystyle \frac{6x^3+2x^2+9x+2}{\sqrt{x^2+2}}}\mathrm{d}x$$

Exercice 5

Soit :
 
$$I={\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\cos x}{\cos x+\sin x}}\mathrm{d}x\text{ et }J={\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x+\sin x}}\mathrm{d}x$$

Calculer $I+J\text{ et }I-J.$

En déduire $I\text{ et }J.$

Linéarisation

Exercice 6

Calculer les intégrales suivantes après linéarisation :

$$1){\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{\sin }^{3}x{\cos }^{2}x\mathrm{d}x2){\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}{\sin }^{4}x\mathrm{d}x$$
$$3){\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{\cos }^{3}t\mathrm{d}t4){\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}u{\cos }^{2}u\mathrm{d}u$$
$$5){\int }_{\frac{\pi }{4}}^{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}\cos x\cos 3x\cos 5x\mathrm{d}x6){\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\cos 2x{\sin }^{3}x\mathrm{d}x$$
                                                                                        

Intégration par parties

Exercice 8

Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'une ou plusieurs intégrations par parties

$$1){\int }_{\mathrm{e}}^{2\mathrm{e}}{x}^3\ln x\mathrm{d}x2){\int }_1^{\mathrm{e}}{x}^2\ln x^2\mathrm{d}x3){\int }_{\mathrm{e}}^{2\mathrm{e}}x(\ln x{)}^2\mathrm{d}x$$ (double intégration par parties)
$$4){\int }_0^{1}x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x5){\int }_1^2{x}^2{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$$ (double
intégration par parties)
$$6){\int }_0^1(x-3){\mathrm{e}}^{2x}\mathrm{d}x7){\int }_0^2(t^2+1){\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t$$ (double intégration par parties)
$$8){\int }_0^{\pi }(x+2)\sin x\mathrm{d}x9){\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{\mathrm{e}}^x\sin x\mathrm{d}x\text{ et }{\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}{\mathrm{e}}^x\cos x\mathrm{d}x$$ (double intégration par parties)

Exercice 9

Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'une ou plusieurs intégrations par parties

$$1){\int }_1^a{x}^2\ln x^2\mathrm{d}x,a>02){\int }_0^t(3x^2+x+1)\cos x\mathrm{d}x3){\int }_1^t{\displaystyle \frac{x\ln x}{(1+x^2{)}^2}}\mathrm{d}x$$
$$4){\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{x}^2\sin x\mathrm{d}x5){\int }_1^x{t}^n\ln t\mathrm{d}t,x>0,n\in \mathbb{N}\setminus \{-1\}$$
$$6){\int }_1^1(x^2+x+1)\sin 2x\mathrm{d}x7){\int }_{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}(x^2+1){\cos }^{2}x\mathrm{d}x$$
$$8){\int }_{-1}^1(1+x{)}^2{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x9){\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}{\displaystyle \frac{t\sin t}{{\cos }^{3}t}}\mathrm{d}x$$
$$10){\int }_1^{\lambda }\ln (x+\sqrt{x^2-1)}\mathrm{d}x,\lambda >111){\int }_{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}^{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}\cos x\ln (\cos x+1)\mathrm{d}x$$
$$12){\int }_0^2{x}^2{\mathrm{e}}^{|x-1|}\mathrm{d}x13){\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}{\mathrm{e}}^{-x}{\sin }^{2}x(1+{\cos }^{2}x)\mathrm{d}x$$

Exercice 10

Soit l'intégrale $$I_n={\int }_1^{\lambda }(\ln x{)}^n\mathrm{d}x,\lambda >0,n\in \mathbb{N}$$

1) Montrer, à l'aide d'une intégration par parties que l'on a :
 
$I_{n}=\lambda(\ln\lambda)^{n}-n\,I_{n-1}.$

2) Montrer alors que :

$I_{n}=\lambda[(\ln\lambda)^{n}-n(\ln\lambda)^{n-1}+n(n-1)(\ln\lambda)^{n-2}+\cdots+(-1)^{n}\times n !]-(-1)^{n}\times n !$

3) Calculer $I_{0}\;,\ I_{1}\;,\ I_{2}\text{ et }I_{3}.$

Exercice 11

Soit l'intégrale $$I={\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{{\cos }^{5}x}}$$

Pour tout entier naturel $n$, on pose : $$I_n={\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{{\cos }^{2n+1}x}}$$

1) Montrer qu'il existe deux réels $a\text{ et }b$ tels que :
$$\mathrm{\forall }x\in [0;{\displaystyle \frac{\pi }{4}}],{\displaystyle \frac{1}{\cos x}}={\displaystyle \frac{a\cos x}{1-\sin x}}+{\displaystyle \frac{b\cos x}{1+\sin x}}$$

En déduire le calcul de $I_{0}.$

2) Montrer, par une intégration par parties que pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}$ :
$$2n{I}_n=(2n-1)\ln -1+{\displaystyle \frac{2^n}{\sqrt{2}}}.$$

3) En déduire le calcul de $I.$

Exercice 12

Soit $x$ un réel strictement positif donné ; on considère les intégrales : $$I_n={\int }_0^x{\sin }^{2n}t\mathrm{d}t\text{ et }{J}_n={\int }_0^x{\sin }^{2n}t{\cos }^{2}t\mathrm{d}t\text{ pour tout }n\in \mathbb{N}$$

1) Trouver une relation entre $J_{n}\;,\ I_{n}\text{ et }I_{n+1}.$

2) En intégrant par parties, calculer $J_{n}$ en fonction de $I_{n+1}.$

En déduire une relation entre $I_{n+1}\text{ et }I_{n}.$

3) Calculer $I_{0}$ et montrer que l'on peut ainsi calculer $I_{n}\text{ et }J_{n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}.$

Exercice 13

$n$ est un nombre entier strictement positif. On donne l'intégrale : $$I_n={\int }_0^1{x}^n{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$$

où $\mathrm{e}.$ est la base de la fonction logarithme népérien.

1) Calculer $I_{1}.$

2) Démontrer que, pour tout nombre entier $n$ strictement positif, $I_{n+1}=\mathrm{e}-(n+1)I_{n}.$

(On pourra utiliser une intégration par parties).

3) Calculer les intégrales et $I_{2}\text{ et }I_{3}.$

4) Utiliser les résultats précédents pour calculer : $$I={\int }_0^1(x^3+2x^2-2x){\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$$
 

Recherche de primitives

Exercice 14

Dans chacun des cas suivants :

a) Vérifier que $f$ est continue sur $[a\;;\ b]\;;$

b) Calculer alors $${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t\text{ pour }x\in [a;b]$$

c) En déduire les primitives de $f\text{ sur }[a\;;\ b].$

$1)\ f(x)=\ln x[a\;;\ b]=[1\;;\ \mathrm{e}]$

$2)\ f(x)=x\mathrm{e}^{x}[a\;;\ b]=[-1\;;\ 1]$

$3)\ f(x)=x\sin x[a\;;\ b]=[-\pi\;;\ \pi]$

$4)\ f(x)=x\cos x[a\;;\ b]=[-\pi\;;\ \pi].$

Encadrement. Inégalités

Exercice 15

1) En intégrant l'inégalité $-1\leq\cos t\leq 1$, prouver que, pour tout réel $x$ positif, on a :
$$x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}\le \sin x\le x$$

2) Prouver que, pour tout $x$ positif, $1+x\leq\mathrm{e}^{x}\;,\text{ puis que }1+x+\dfrac{1}{2}x^{2}\leq\mathrm{e}^{x}.$

3) Prouver que, pour tout $x$ positif, $\dfrac{x}{1+x}\leq\ln(1+x)\leq x.$

4) Prouver que :
 
a) $${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\le {\int }_{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\sin x}}\le {\displaystyle \frac{\pi \sqrt{2}}{4}}$$

b) $${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\le {\int }_{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\cos x}}\le {\displaystyle \frac{\pi \sqrt{2}}{4}}$$

c) $$1\le {\int }_0^1{\mathrm{e}}^{x^2}\mathrm{d}x\le \mathrm{e}$$

d) $$0\le {\int }_0^2\ln (1+x^2)\mathrm{d}x\le 2\ln 5$$
 
5) A partir d'un encadrement de $f\ :\ x\mapsto\cos x$ sur l'intervalle $\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{6}\right]$,

déterminer un encadrement de l'intégrale $${\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{6}}}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{(2+\cos x{)}^2}}$$

Calculs d'aires

Exercice 16

Calculer l'aire des domaines $\mathcal{D}$ suivants limités par $\mathcal{C}_{f}$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a\text{ et }x=b$ (en unités d'aire, puis en $cm^{2}(a<b)).$

1) $f(x)=x\mathrm{e}^{x}\;,\ x=0\text{ et }x=2.$

(unités : $3\;cm\text{ sur }(x'x)\;,\ 1\;cm\text{ sur }(y'y)).$

2) $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\;,\ x=1\text{ et }x=2.$

(unités : $1\;cm\text{ sur }(x'x)\;,\ 2\;cm\text{ sur }(y'y)).$

3) $f(x)=\dfrac{1}{\cos^{2}x}\;,\ x=0\text{ et }x=\dfrac{\pi}{4}.$

(unités : $2\;cm\text{ sur }(x'x)\;,\ 1\;cm\text{ sur }(y'y)).$

4) $f(x)=2+\dfrac{7}{x-2}\;,\ x=-2\text{ et }x=0.$

(unités : $2\;cm\text{ sur }(x'x\text{ et sur }(y'y)).$

5) $f(x)=x^{3}-1\;,\ x=0\text{ et }x=2.$

(unités : $3\;cm\text{ sur }(x'x)\;,\ 0.5\;cm\text{ sur }(y'y)).$

6) $f(x)=\left((1-2x)\mathrm{e}^{1+x-x^{2}}\right)\;,\ x=0\text{ et }x=1.$

(unités : $1\;cm\text{ sur }(x'x)\text{ et sur }(y'y)).$

7) $f(x)=\sin x\;,\ x=-\dfrac{\pi}{4}\text{ et }x=2.$

(unités : $3\;cm\text{ sur }(x'x)\;,\ 1\;cm\text{ sur }(y'y)).$

Exercice 17

Soit $f\text{ et }g$ deux fonctions, $\mathcal{C}_{f}\text{ et }\mathcal{C}_{g}$ leurs courbes représentatives dans le plan $\mathcal{P}$ rapporté à un repère orthogonal.

Calculer l'aire en unités d'aire des domaines $\mathcal{D}$ suivants :

1) $f(x)=x^{3}\text{ et }g(x)=x^{2}+2x\;(\mathcal{D}\text{ domaine limité par }\mathcal{C}_{f}\text{ et }\mathcal{C}_{g}).$

2) $f(x)=-x^{2}+4x\text{ et }g(x)=x-4\;(\mathcal{D}\text{ domaine limité par }\mathcal{C}_{f}\text{ et }\mathcal{C}_{g}).$

3) $f(x)=\dfrac{2x^{2}-x}{x-1}\text{ et }g(x)=2x+1\;(\mathcal{D}\text{ domaine limité par }\mathcal{C}_{f}\;,\ \mathcal{C}_{g}\text{ et les droites d'équations }x=2\text{ et }x=4).$

4) $f(x)=\dfrac{1}{x}\text{ et }g(x)=-\dfrac{1}{x}\;(\mathcal{D}\text{ domaine limité par }\mathcal{C}_{f}\;,\ \mathcal{C}_{g}\text{ et les droites d’équations }x=1\text{ et }x=5).$

5) $f(x)=\sin x\text{ et }g(x)=\cos x\;(\mathcal{D}\text{ domaine limité par }\mathcal{C}_{f}\;,\ \mathcal{C}_{g}\text{ et les droites d’équations }x=-\dfrac{\pi}{2}\text{ et }x=\dfrac{\pi}{2}).$

Exercice 18

Soit $f$ la fonction définie par :

$f(x)=\ln\dfrac{x-1}{x+1}.$

1) Étudier la fonction $f$ et tracer sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans le plan $\mathcal{P}$ rapporté à un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

2) Montrer que la fonction $f$ est intégrable sur $[2\;,\ 3].$
 
Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$ , la droite $(O\;,\ \vec{j})$ et les droites d'équations $x=2\text{ et }x=3$ (on pourra songer à faire une intégration par parties).

3) On appelle $g$ la restriction de $f\text{ à }]1\;;\ +\infty[.$
 
Montrer que $g$ est une bijection de $]1\;;\ +\infty[$ sur $]-\infty\;;\ 0[.$ Déterminer $g^{-1}.$

Exercice 19

Soit $f$ la fonction de $\mathbb{R}\text{ vers }\mathbb{R}\text{ définie par : }f(x)=\cos 3x.cos^{3} x.$

1) Étudier les variations de la fonction $f$ et construire sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\vec{j}).$ (On prendra $3\;cm$ pour unité.)

2) Montrer que, quel que soit le réel $x$, on a :
 
$f(x)=a\cos 6x+b\cos 4x+c\cos 2x+d$,

où $a\;,\ b\;,\ c\;,\ d$ sont quatre réels que l'on déterminera.

3) Calculer, en $cm^{2}$, l'aire de l'ensemble $E$ limité par la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0\text{ et }x=6.$

Exercice 20

1) Soit $f$ la fonction définie par :

$f(x)=x\sqrt{\mathrm{d}^{2}-x^{2}}$,

où $\mathrm{d}$ désigne un réel strictement positif fixé.

a) Étudier $f$ et dessiner sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormal.

b) Calculer l'aire de la partie du plan limitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0\text{ et }x=\mathrm{d}.$

2) Déterminer l'aire maximale d'un rectangle dont les sommets appartiennent à un même cercle de rayon $R\;,\ R$ désignant un nombre réel strictement positif fixé.

Exercice 21

Soit $f$ la fonction définie par :
 
$f(x)=\dfrac{\cos 2x}{\sin x}.$

1) Étudier $f$ et faire la représentation graphique $\mathcal{C}\text{ de }f$ dans un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (Unité : $1\;cm).$

2) Montrer qu'une primitive de $f$ sur l'intervalle $[\alpha\;,\ \beta]\text{ où }0 <\alpha<\beta<\pi$, est la fonction $F$ définie par :
 
$F(x)=\ln\left[\tan\dfrac{x}{2}\right]-g(x)\;,\text{ où }g$ désigne une fonction simple que l'on déterminera.

3) En déduire l'aire, en $cm^{2}$, du domaine $(\Delta)$ défini par :
$$(\mathrm{\Delta })=\{M(x,y)/{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\le x\le {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\text{ et }f(x)\le y\le 0\}.$$

Calcul de volumes

Exercice 22

1) Déterminer le volume d'une boule de rayon $R.$

2) Déterminer le volume d'un cône de hauteur $h$ dont la base est un cercle de rayon $R.$

3) Déterminer le volume d'une pyramide de hauteur $h$ dont la base est un rectangle de côtés $L\text{ et }l.$

4) Déterminer le volume d'un cube de côté $a.$

5) Déterminer le volume d'un cylindre de révolution dont le rayon du disque de base est $r$ et la hauteur $h.$

Dans chaque cas, on utilisera la formule $V=\int_{a}^{b}S(x)\mathrm{d}x\;,\ S(x)$ étant la section (=surface de l'intersection) du solide avec un plan perpendiculaire à $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ au point $H$ d'abscisse $x.$

Exercice 23

Dans chacun des cas suivants, calculer le volume du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe $\mathcal{C}\text{ de }f$ autour de l'axe $x'Ox.$

1) $f\ :\ x\mapsto\sin x\;,\ x\in [0\;,\ \pi]$

2) $f\ :\ x\mapsto -x^{2}+4\;,\ x\in [-2\;,\ 2]$

3) $f\ :\ x\mapsto\sin^{2}x\;,\ x\in [0\;,\ \pi]$
 
Indication :
 
Montrer que, pour tout $x\text{ de }\mathbb{R}$, $\sin 4x=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}\cos 2x+\dfrac{1}{x}\cos 4x.$

4) $f\ :\ x\mapsto (1-x)\mathrm{e}^{x}\;,\ x\in[0\;,\ 1]$

5) $f\ :\ x\mapsto 2\sqrt{(3-x)(1+x)}x\in[-1\;,\ 3]$

6) $f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{2}\sqrt{16-x^{2}}x\in[-4\;,\ 4]$

7) $f\ :\ x\mapsto 1+\cos 3x\;,\ x\in [0\;,\ \dfrac{\pi}{3}]$

8) $f\ :\ x\mapsto x^{3}\;,\ x\in[0\;,\ 2].$

Exercice 24

Soit $f$ la fonction numérique définie par :
 
$f(x)=2\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{2x}.$
 
1) Étudier les variations de $f$, puis tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ du plan (unité graphique : $3\;cm).$

2) La courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe $(O\;,\ \vec{i})\text{ en }A\text{ et l’axe }(O\;,\ \vec{j})\text{ en }B.$

Indiquer les coordonnées de $A\text{ et }B.$

Quelle est l'équation de la tangente à $\mathcal{C}\text{ en }A$ ?
 
Construire cette tangente.

3) Calculer les dérivées des fonctions de $\mathbb{R}\text{ vers }\mathbb{R}$ définies par :
$$f_1(x)=2{\mathrm{e}}^x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{2x}{f}_2(x)=2{\mathrm{e}}^{2x}-{\displaystyle \frac{4}{3}}{\mathrm{e}}^{3x}$$

4) Soit $T$ le triangle mixtiligne limité par $(O\;,\ \vec{i})\;,\ (O\;,\ \vec{j})\text{ et l'arc }\overset{\displaystyle\frown}{AB}\text{ de la courbe }\mathcal{C}.$

Calculer :
 
a) l'aire de $T\text{ en }cm^{2}$

b) le volume, en $cm^{3}$, du solide de révolution engendré par la rotation de $T$ autour de l'axe $(O\;,\ \vec{i}).$

Intégrales et suites

Exercice 25

Pour tout nombre entier $$n\ge 1,\text{ on pose }{I}_n={\int }_0^1{x}^n{\mathrm{e}}^{1-x}\mathrm{d}x$$

1) Montrer que, pour tout $x\in[0\;;\ 1]\;,\ x^{n}\leq x^{n}\mathrm{e}^{1-x}\leq\mathrm{e}x^{n}.$

2) Exprimer en fonction du nombre entier $$n,I_n={\int }_0^1{x}^n\mathrm{d}x$$

3) Déduire des résultats précédents que l'on a, pour tout $n\geq 1\;,\ \dfrac{1}{n+1}\leq I_{n}\left( \dfrac{\mathrm{e}}{n+1}\right).$

4) En déduire que la suite $(I_{n})$ est convergente.

Parité et intégration

Exercice 26

1) Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[-a\;;\ a]\text{ et }F$ une primitive de $f\text{ sur }[-a\;;\ a].$

a) On suppose $f$ est impaire.
 
On définit la fonction $h$ par :
$$\text{pour tout }x\in [-a;a],h(x)=F(x)-F(-x).$$

Étudier les variations de $h.$
 
En déduire que $F$ est paire.
 
En déduire que $${\int }_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=0$$

b) On suppose $f$ est paire.
 
Prouver que, pour tout $x\text{ de }[-a\;;\ a]\;,\ F(-x)=-F(x)+2 F(0).$

En déduire que $${\int }_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=2{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x$$

c) Interpréter graphiquement ces résultats.

2) Soient $f\text{ et }g$ les fonctions définies sur $[-1\;;\ 1]\text{ par }f(x)=\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\text{ et }g(x)=\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}.$
 
a) Étudier la parité et les variations de $f\text{ et de }g.$

 Tracer leurs courbes représentatives.
 
b) Calculer $${\int }_{-1}^1({\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x})\mathrm{d}x,{\int }_{-1}^1({\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x})\mathrm{d}x\text{ et }{\int }_0^1({\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x})\mathrm{d}x$$

Interpréter graphiquement les résultats trouvés.