Série d'exercices : Calcul intégral -Ts

Classe: 
Terminale

Calcul d'intégral par la recherche d'une primitive

Exercice 1

Calculer les intégrales suivantes :

I=312x+1x2+x+1dx;J=322udu;I=312x+1x2+x+1dx;J=322udu;
K=21(x+1)(x2+2x7)dx;L=31dtt+1K=21(x+1)(x2+2x7)dx;L=31dtt+1
M=π20cos2xsinxdx;N=33xe2dx;M=π20cos2xsinxdx;N=33xe2dx;

Exercice 2

Calculer les intégrales suivantes :

1) 50(x4x2)dx2) 21(2x2+5x1)dx1) 50(x4x2)dx2) 21(2x2+5x1)dx
3 40(2x5+2x31)dx4) J=52dxx13 40(2x5+2x31)dx4) J=52dxx1
5) 21(x+5)4dx6) 51(x2+2x2)dx5) 21(x+5)4dx6) 51(x2+2x2)dx
7) 10(2x211(x+1)2)dx8) 212x+1(x2+x+1)2dx7) 10(2x211(x+1)2)dx8) 212x+1(x2+x+1)2dx
9) 21x+1x2+2+5dx10) 21(x352+1)4(3x210)dx9) 21x+1x2+2+5dx10) 21(x352+1)4(3x210)dx
11) π20(sinx3cosx+1)dx12) π20(sin2x+cos3x)dx11) π20(sinx3cosx+1)dx12) π20(sin2x+cos3x)dx
13) π40dxcos2x14) π20tan2xdx13) π40dxcos2x14) π20tan2xdx
15) π40dxcos4x16) π20(cos2x+cosx1)sinxdx15) π40dxcos4x16) π20(cos2x+cosx1)sinxdx
17) x1lnttdt, x>018) π40(tanx+tan3x)dx17) x1lnttdt, x>018) π40(tanx+tan3x)dx
19) π40tanxdx20) 30x2+2x(x+1)3dx19) π40tanxdx20) 30x2+2x(x+1)3dx
21) π30sinxcos4xdx22) ln4ln3e2xdx21) π30sinxcos4xdx22) ln4ln3e2xdx
23) 20xdx24) 213x1dx23) 20xdx24) 213x1dx
25) 311x2e1xdx26) 41x3+1(x4+4x+7)3dx27) π4π3cosx+xsinxx2dx25) 311x2e1xdx26) 41x3+1(x4+4x+7)3dx27) π4π3cosx+xsinxx2dx

Exercice 3

Déterminer les réels a, b et ca, b et c puis calculer I.

1) f(x)=x+1x+2=a+bx+2I=21f(x)dx1) f(x)=x+1x+2=a+bx+2I=21f(x)dx
2) f(x)=x2+x+1x3=ax+b+cx3I=10f(x)dx2) f(x)=x2+x+1x3=ax+b+cx3I=10f(x)dx
3) f(x)=2x+1x25x+4=ax1+bx4I=32f(x)dx3) f(x)=2x+1x25x+4=ax1+bx4I=32f(x)dx
4) f(x)=x2(x1)2=ax1+b(x1)2I=01f(x)dx4) f(x)=x2(x1)2=ax1+b(x1)2I=01f(x)dx
5) f(x)=1x(x2+1)=ax+bx+cx2+1I=11dxx(x2+1) 
6) f(x)=ex2ex+1=a+bex1+exI=ln3ln2f(x)dx

Exercice 4

Calculer la fonction dérivée de la fonction f : x(ax2+bx+c)x2+2, a, b, c étant des constantes.
 
En déduire le calcul de l'intégrale 416x3+2x2+9x+2x2+2dx

Exercice 5

Soit :
 
I=π20cosxcosx+sinxdx et J=π20sinxcosx+sinxdx

Calculer I+J et IJ.

En déduire I et J.

Linéarisation

Exercice 6

Calculer les intégrales suivantes après linéarisation :

1) π20sin3xcos2xdx2) π40sin4xdx
3) π20cos3tdt4) π0sin2ucos2udu
5) π3π4cosxcos3xcos5xdx6) π30cos2xsin3xdx
                                                                                        

Intégration par parties

Exercice 8

Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'une ou plusieurs intégrations par parties

1) 2eex3lnxdx2) e1x2lnx2dx3) 2eex(lnx)2dx (double intégration par parties)
4) 10xexdx5) 21x2exdx (double
intégration par parties)
6) 10(x3)e2xdx7) 20(t2+1)etdt (double intégration par parties)
8) π0(x+2)sinxdx9) π20exsinxdx et π40excosxdx (double intégration par parties)

Exercice 9

Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'une ou plusieurs intégrations par parties

1) a1x2lnx2dx, a>02) t0(3x2+x+1)cosxdx3) t1xlnx(1+x2)2dx
4) π20x2sinxdx5)x1tnlntdt, x>0, nN{1}
6) 11(x2+x+1)sin2xdx7) π2π4(x2+1)cos2xdx
8) 11(1+x)2exdx9) π30tsintcos3tdx
10) λ1ln(x+x21)dx, λ>111) π3π4cosxln(cosx+1)dx
12) 20x2e|x1|dx13) π30exsin2x(1+cos2x)dx

Exercice 10

Soit l'intégrale In=λ1(lnx)ndx, λ>0, nN

1) Montrer, à l'aide d'une intégration par parties que l'on a :
 
In=λ(lnλ)nnIn1.

2) Montrer alors que :

In=λ[(lnλ)nn(lnλ)n1+n(n1)(lnλ)n2++(1)n×n!](1)n×n!

3) Calculer I0, I1, I2 et I3.

Exercice 11

Soit l'intégrale I=π40dxcos5x

Pour tout entier naturel n, on pose : In=π40dxcos2n+1x

1) Montrer qu'il existe deux réels a et b tels que :
x[0; π4], 1cosx=acosx1sinx+bcosx1+sinx

En déduire le calcul de I0.

2) Montrer, par une intégration par parties que pour tout nN :
2nIn=(2n1)ln1+2n2.

3) En déduire le calcul de I.

Exercice 12

Soit x un réel strictement positif donné ; on considère les intégrales : In=x0sin2ntdt et Jn=x0sin2ntcos2tdt pour tout nN

1) Trouver une relation entre Jn, In et In+1.

2) En intégrant par parties, calculer Jn en fonction de In+1.

En déduire une relation entre In+1 et In.

3) Calculer I0 et montrer que l'on peut ainsi calculer In et Jn pour tout nN.

Exercice 13

n est un nombre entier strictement positif. On donne l'intégrale : In=10xnexdx

e. est la base de la fonction logarithme népérien.

1) Calculer I1.

2) Démontrer que, pour tout nombre entier n strictement positif, In+1=e(n+1)In.

(On pourra utiliser une intégration par parties).

3) Calculer les intégrales et I2 et I3.

4) Utiliser les résultats précédents pour calculer : I=10(x3+2x22x)exdx
 

Recherche de primitives

Exercice 14

Dans chacun des cas suivants :

a) Vérifier que f est continue sur [a; b];

b) Calculer alors xaf(t)dt pour x[a; b]

c) En déduire les primitives de f sur [a; b].

1) f(x)=lnx[a; b]=[1; e]

2) f(x)=xex[a; b]=[1; 1]

3) f(x)=xsinx[a; b]=[π; π]

4) f(x)=xcosx[a; b]=[π; π].

Encadrement. Inégalités

Exercice 15

1) En intégrant l'inégalité 1cost1, prouver que, pour tout réel x positif, on a :
xx36sinxx

2) Prouver que, pour tout x positif, 1+xex, puis que 1+x+12x2ex.

3) Prouver que, pour tout x positif, x1+xln(1+x)x.

4) Prouver que :
 
a) π4π2π4dxsinxπ24

b) π4π2π4dxcosxπ24

c) 110ex2dxe

d) 020ln(1+x2)dx2ln5
 
5) A partir d'un encadrement de f : xcosx sur l'intervalle [0; π6],

déterminer un encadrement de l'intégrale π60dx(2+cosx)2

Calculs d'aires

Exercice 16

Calculer l'aire des domaines D suivants limités par Cf l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=b (en unités d'aire, puis en cm2(a<b)).

1) f(x)=xex, x=0 et x=2.

(unités : 3cm sur (xx), 1cm sur (yy)).

2) f(x)=lnxx, x=1 et x=2.

(unités : 1cm sur (xx), 2cm sur (yy)).

3) f(x)=1cos2x, x=0 et x=π4.

(unités : 2cm sur (xx), 1cm sur (yy)).

4) f(x)=2+7x2, x=2 et x=0.

(unités : 2cm sur (xx et sur (yy)).

5) f(x)=x31, x=0 et x=2.

(unités : 3cm sur (xx), 0.5cm sur (yy)).

6) f(x)=((12x)e1+xx2), x=0 et x=1.

(unités : 1cm sur (xx) et sur (yy)).

7) f(x)=sinx, x=π4 et x=2.

(unités : 3cm sur (xx), 1cm sur (yy)).

Exercice 17

Soit f et g deux fonctions, Cf et Cg leurs courbes représentatives dans le plan P rapporté à un repère orthogonal.

Calculer l'aire en unités d'aire des domaines D suivants :

1) f(x)=x3 et g(x)=x2+2x(D domaine limité par Cf et Cg).

2) f(x)=x2+4x et g(x)=x4(D domaine limité par Cf et Cg).

3) f(x)=2x2xx1 et g(x)=2x+1(D domaine limité par Cf, Cg et les droites d'équations x=2 et x=4).

4) f(x)=1x et g(x)=1x(D domaine limité par Cf, Cg et les droites d’équations x=1 et x=5).

5) f(x)=sinx et g(x)=cosx(D domaine limité par Cf, Cg et les droites d’équations x=π2 et x=π2).

Exercice 18

Soit f la fonction définie par :

f(x)=lnx1x+1.

1) Étudier la fonction f et tracer sa courbe représentative C dans le plan P rapporté à un repère orthonormal (O, i, j).

2) Montrer que la fonction f est intégrable sur [2, 3].
 
Calculer l'aire A du domaine plan délimité par la courbe C , la droite (O, j) et les droites d'équations x=2 et x=3 (on pourra songer à faire une intégration par parties).

3) On appelle g la restriction de f à ]1; +[.
 
Montrer que g est une bijection de ]1; +[ sur ]; 0[. Déterminer g1.

Exercice 19

Soit f la fonction de R vers R définie par : f(x)=cos3x.cos3x.

1) Étudier les variations de la fonction f et construire sa courbe représentative C dans un repère orthonormal (O, i,j). (On prendra 3cm pour unité.)

2) Montrer que, quel que soit le réel x, on a :
 
f(x)=acos6x+bcos4x+ccos2x+d,

a, b, c, d sont quatre réels que l'on déterminera.

3) Calculer, en cm2, l'aire de l'ensemble E limité par la courbe C , l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=6.

Exercice 20

1) Soit f la fonction définie par :

f(x)=xd2x2,

d désigne un réel strictement positif fixé.

a) Étudier f et dessiner sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormal.

b) Calculer l'aire de la partie du plan limitée par la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=d.

2) Déterminer l'aire maximale d'un rectangle dont les sommets appartiennent à un même cercle de rayon R, R désignant un nombre réel strictement positif fixé.

Exercice 21

Soit f la fonction définie par :
 
f(x)=cos2xsinx.

1) Étudier f et faire la représentation graphique C de f dans un repère orthonormal (O, i, j) (Unité : 1cm).

2) Montrer qu'une primitive de f sur l'intervalle [α, β] où 0<α<β<π, est la fonction F définie par :
 
F(x)=ln[tanx2]g(x), où g désigne une fonction simple que l'on déterminera.

3) En déduire l'aire, en cm2, du domaine (Δ) défini par :
(Δ)={M(x, y)/π4x3π4 et f(x)y0}.

Calcul de volumes

Exercice 22

1) Déterminer le volume d'une boule de rayon R.

2) Déterminer le volume d'un cône de hauteur h dont la base est un cercle de rayon R.

3) Déterminer le volume d'une pyramide de hauteur h dont la base est un rectangle de côtés L et l.

4) Déterminer le volume d'un cube de côté a.

5) Déterminer le volume d'un cylindre de révolution dont le rayon du disque de base est r et la hauteur h.

Dans chaque cas, on utilisera la formule V=baS(x)dx, S(x) étant la section (=surface de l'intersection) du solide avec un plan perpendiculaire à (O, i, j) au point H d'abscisse x.

Exercice 23

Dans chacun des cas suivants, calculer le volume du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe C de f autour de l'axe xOx.

1) f : xsinx, x[0, π]

2) f : xx2+4, x[2, 2]

3) f : xsin2x, x[0, π]
 
Indication :
 
Montrer que, pour tout x de R, sin4x=1x12cos2x+1xcos4x.

4) f : x(1x)ex, x[0, 1]

5) f : x2(3x)(1+x)x[1, 3]

6) f : x1216x2x[4, 4]

7) f : x1+cos3x, x[0, π3]

8) f : xx3, x[0, 2].

Exercice 24

Soit f la fonction numérique définie par :
 
f(x)=2exe2x.
 
1) Étudier les variations de f, puis tracer la courbe représentative C de la fonction f dans un repère orthonormé (O, i, j) du plan (unité graphique : 3cm).

2) La courbe C coupe l'axe (O, i) en A et l’axe (O, j) en B.

Indiquer les coordonnées de A et B.

Quelle est l'équation de la tangente à C en A ?
 
Construire cette tangente.

3) Calculer les dérivées des fonctions de R vers R définies par :
f1(x)=2ex12e2xf2(x)=2e2x43e3x

4) Soit T le triangle mixtiligne limité par (O, i), (O, j) et l'arc AB de la courbe C.

Calculer :
 
a) l'aire de T en cm2

b) le volume, en cm3, du solide de révolution engendré par la rotation de T autour de l'axe (O, i).

Intégrales et suites

Exercice 25

Pour tout nombre entier n1, on pose In=10xne1xdx

1) Montrer que, pour tout x[0; 1], xnxne1xexn.

2) Exprimer en fonction du nombre entier n, In=10xndx

3) Déduire des résultats précédents que l'on a, pour tout n1, 1n+1In(en+1).

4) En déduire que la suite (In) est convergente.

Parité et intégration

Exercice 26

1) Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; a] et F une primitive de f sur [a; a].

a) On suppose f est impaire.
 
On définit la fonction h par :
pour tout x[a; a], h(x)=F(x)F(x).

Étudier les variations de h.
 
En déduire que F est paire.
 
En déduire que aaf(x)dx=0

b) On suppose f est paire.
 
Prouver que, pour tout x de [a; a], F(x)=F(x)+2F(0).

En déduire que aaf(x)dx=2a0f(x)dx

c) Interpréter graphiquement ces résultats.

2) Soient f et g les fonctions définies sur [1; 1] par f(x)=exex et g(x)=ex+ex.
 
a) Étudier la parité et les variations de f et de g.

 Tracer leurs courbes représentatives.
 
b) Calculer 11(exex)dx, 11(ex+ex)dx et 10(ex+ex)dx

Interpréter graphiquement les résultats trouvés.

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