Série d'exercices : Calcul intégral -Ts

Calcul d'intégral par la recherche d'une primitive

Exercice 1

Calculer les intégrales suivantes :

$$\text{I}=\int_{1}^{3}\dfrac{2x+1}{x^{2}+x+1}\mathrm{d}x\;;\qquad \text{J}=\int_{2}^{3}\dfrac{2}{\sqrt{u}}\mathrm{d}u\;;$$
$$\text{K}=\int_{-1}^{2}(x+1)(x^{2}+2x-7)\mathrm{d}x\;;\qquad \text{L}=\int_{1}^{3}\dfrac{\mathrm{d}t}{t+1}$$
$$\text{M}=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\cos^{2}x\sin x\mathrm{d}x\;;\qquad\text{N}=\int_{-3}^{3}x\mathrm{e}^{2}\mathrm{d}x\;;$$

Exercice 2

Calculer les intégrales suivantes :

$$1)\ \int_{0}^{5}(x^{4}-x^{2})\mathrm{d}x\qquad 2)\ \int_{1}^{2}(2x^{2}+5x-1)\mathrm{d}x$$
$$3\ \int_{0}^{4}(2x^{5}+2x^{3}-1)\mathrm{d}x\qquad 4)\ \text{J}=\int_{2}^{5}\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x-1}}$$
$$5)\ \int_{1}^{2}(x+5)^{4}\mathrm{d}x\qquad 6)\ \int_{1}^{5}\left(x^{2}+\dfrac{2}{x^{2}}\right)\mathrm{d}x$$
$$7)\ \int_{0}^{1}\left(2x^{2}-1-\dfrac{1}{(x+1)^{2}}\right)\mathrm{d}x\qquad 8)\ \int_{-1}^{2}\dfrac{2x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}}\mathrm{d}x$$
$$9)\ \int_{-1}^{2}\dfrac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2+5}}\mathrm{d}x\qquad 10)\ \int_{-1}^{2}(x^{3}-5^{2}+1)^{4}(3x^{2}-10)\mathrm{d}x$$
$$11)\ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x-3\cos x+1)\mathrm{d}x\qquad 12)\ \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}(\sin 2x+\cos 3x)\mathrm{d}x$$
$$13)\ \int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{\mathrm{d}x}{\cos^{2}x}\qquad 14)\ \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\tan^{2}x\mathrm{d}x$$
$$15)\ \int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{\mathrm{d}x}{\cos^{4}x}\qquad 16)\ \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}(\cos^{2}x+\cos x-1)\sin x\mathrm{d}x$$
$$17)\ \int_{1}^{x}\dfrac{\ln t}{t}\mathrm{d}t\;,\ x>0\qquad 18)\ \int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}(\tan x+\tan^{3}x)\mathrm{d}x$$
$$19)\ \int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\tan x\mathrm{d}x\qquad 20)\ \int_{0}^{3}\dfrac{x^{2}+2x}{(x+1)^{3}}\mathrm{d}x$$
$$21)\ \int_{0}^{\dfrac{\pi}{3}}\dfrac{\sin x}{\cos^{4}x}\mathrm{d}x\qquad 22)\ \int_{\ln 3}^{\ln 4}\mathrm{e}^{2x}\mathrm{d}x$$
$$23)\ \int_{0}^{2}\sqrt{x}\mathrm{d}x\qquad 24)\ \int_{1}^{2}\sqrt{3x-1}\mathrm{d}x$$
$$25)\ \int_{1}^{3}\dfrac{1}{x^{2}}\mathrm{e}^{\dfrac{1}{x}}\mathrm{d}x\quad 26)\ \int_{-1}^{4}\dfrac{x^{3}+1}{(x^{4}+4x+7)^{3}}\mathrm{d}x\quad 27)\ \int_{\dfrac{\pi}{3}}^{\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{\cos x+x\sin x}{x^{2}}\mathrm{d}x$$

Exercice 3

Déterminer les réels $a\;,\ b\text{ et }c$ puis calculer I.

$$1)\ f(x)=\dfrac{x+1}{x+2}=a+\dfrac{b}{x+2}\quad I=\int_{1}^{2}f(x)\mathrm{d}x$$
$$2)\ f(x)=\dfrac{x^{2}+x+1}{x-3}=ax+b+\dfrac{c}{x-3}\quad I=\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x$$
$$3)\ f(x)=\dfrac{2x+1}{x^{2}-5x+4}=\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{x-4}\quad I=\int_{2}^{3}f(x)\mathrm{d}x$$
$$4)\ f(x)=\dfrac{x-2}{(x-1)^{2}}=\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{(x-1)^{2}}\quad I=\int_{-1}^{0}f(x)\mathrm{d}x$$
$$5)\ f(x)=\dfrac{1}{x(x^{2}+1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{bx+c}{x^{2}+1}\quad I=\int_{1}^{1}\dfrac{\mathrm{d}x}{x(x^{2}+1)}$$ 
$$6)\ f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}-2}{\mathrm{e}^{x}+1}=a+\dfrac{b\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}} I=\int_{\ln2}^{\ln3}f(x)\mathrm{d}x$$

Exercice 4

Calculer la fonction dérivée de la fonction $f\ :\ x\mapsto(ax^{2}+bx+c)\sqrt{x^{2}+2}\;,\ a\;,\ b\;,\ c$ étant des constantes.
 
En déduire le calcul de l'intégrale $$\int_{-1}^{4}\dfrac{6x^{3}+2x^{2}+9x+2}{\sqrt{x^{2}+2}}\mathrm{d}x$$

Exercice 5

Soit :
 
$$I=\int_{ 0}^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{\cos x+\sin x}\mathrm{d}x\quad\text{ et }\quad J=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{\sin x}{\cos x+\sin x}\mathrm{d}x$$

Calculer $I+J\text{ et }I-J.$

En déduire $I\text{ et }J.$

Linéarisation

Exercice 6

Calculer les intégrales suivantes après linéarisation :

$$1)\ \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\sin^{3}x\cos^{2}x\mathrm{d}x\qquad 2)\ \int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\sin^{4}x\mathrm{d}x$$
$$3)\ \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\cos^{3}t\mathrm{d}t\qquad 4)\ \int_{0}^{\pi}\sin^{2}u\cos^{2}u\mathrm{d}u$$
$$5)\ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{3}}\cos x\cos 3x\cos 5x\mathrm{d}x\qquad 6)\ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\cos 2x\sin^{3}x\mathrm{d}x$$
                                                                                        

Intégration par parties

Exercice 8

Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'une ou plusieurs intégrations par parties

$$1)\ \int_{\mathrm{e}}^{\mathrm{2e}}x^{3}\ln x\mathrm{d}x\quad 2)\ \int_{1}^{\mathrm{e}}x^{2}\ln x^{2}\mathrm{d}x\quad 3)\ \int_{\mathrm{e}}^{\mathrm{2e}}x(\ln x)^{2}\mathrm{d}x$$ (double intégration par parties)
$$4)\ \int_{0}^{1}x\mathrm{e}^{x}\mathrm{d}x\quad 5)\ \int_{1}^{2}x^{2}\mathrm{e}^{x}\mathrm{d}x$$ (double
intégration par parties)
$$6)\ \int_{0}^{1}(x-3)\mathrm{e}^{2x}\mathrm{d}x\quad 7)\ \int_{0}^{2}(t^{2}+1)\mathrm{e}^{t}\mathrm{d}t$$ (double intégration par parties)
$$8)\ \int_{0}^{\pi}(x+2)\sin x\mathrm{d}x\quad 9)\ \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\mathrm{e}^{x}\sin x\mathrm{d}x\text{ et }\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\mathrm{e}^{x}\cos x\mathrm{d}x$$ (double intégration par parties)

Exercice 9

Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'une ou plusieurs intégrations par parties

$$1)\ \int_{1}^{a}x^{2}\ln x^{2}\mathrm{d}x\;,\ a>0\quad 2)\ \int_{0}^{t}(3x^{2}+x+1)\cos x\mathrm{d}x\quad 3)\ \int_{1}^{t}\dfrac{x\ln x}{(1+x^{2})^{2}}\mathrm{d}x$$
$$4)\ \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}x^{2}\sin x\mathrm{d}x\quad 5)\int_{1}^{x}t^{n}\ln t\mathrm{d}t\;,\ x>0\;,\ n\in\mathbb{N}\setminus\{-1\}$$
$$6)\ \int_{1}^{1}(x^{2}+x+1)\sin 2x\mathrm{d}x\quad 7)\ \int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{2}}(x^{2}+1)\cos^{2}x\mathrm{d}x$$
$$8)\ \int_{-1}^{1}(1+x)^{2}\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x\quad 9)\ \int_{0}^{\dfrac{\pi}{3}}\dfrac{t\sin t}{\cos^{3}t}\mathrm{d}x$$
$$10)\ \int_{1}^{\lambda}\ln(x+\sqrt{x^{2}-1)}\mathrm{d}x\;,\ \lambda>1\quad 11)\ \int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{3}}\cos x\ln(\cos x+1)\mathrm{d}x$$
$$12)\ \int_{0}^{2}x^{2}\mathrm{e}^{|x-1|}\mathrm{d}x\quad 13)\ \int_{0}^{\dfrac{\pi}{3}}\mathrm{e}^{-x}\sin^{2}x(1+\cos^{2}x)\mathrm{d}x$$

Exercice 10

Soit l'intégrale $$I_{n}=\int_{1}^{\lambda}(\ln x)^{n}\mathrm{d}x\;,\ \lambda>0\;,\ n\in\mathbb{N}$$

1) Montrer, à l'aide d'une intégration par parties que l'on a :
 
$I_{n}=\lambda(\ln\lambda)^{n}-n\,I_{n-1}.$

2) Montrer alors que :

$I_{n}=\lambda[(\ln\lambda)^{n}-n(\ln\lambda)^{n-1}+n(n-1)(\ln\lambda)^{n-2}+\cdots+(-1)^{n}\times n !]-(-1)^{n}\times n !$

3) Calculer $I_{0}\;,\ I_{1}\;,\ I_{2}\text{ et }I_{3}.$

Exercice 11

Soit l'intégrale $$I=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{\mathrm{d}x}{\cos^{5}x}$$

Pour tout entier naturel $n$, on pose : $$I_{n}=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{\mathrm{d}x}{\cos^{2n+1}x}$$

1) Montrer qu'il existe deux réels $a\text{ et }b$ tels que :
$$\forall \;x\in\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right]\;,\ \dfrac{1}{\cos x}=\dfrac{a\cos x}{1-\sin x}+\dfrac{b\cos x}{1+\sin x}$$

En déduire le calcul de $I_{0}.$

2) Montrer, par une intégration par parties que pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}$ :
$$2 nI_{n}=(2 n-1)\ln-1+\dfrac{2^{n}}{\sqrt{2}}.$$

3) En déduire le calcul de $I.$

Exercice 12

Soit $x$ un réel strictement positif donné ; on considère les intégrales : $$I_{n}=\int_{0}^{x}\sin^{2n}t\mathrm{d}t\quad\text{ et }\quad J_{n}=\int_{0}^{x}\sin^{2n}t\cos^{2}t\mathrm{d}t\quad\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}$$

1) Trouver une relation entre $J_{n}\;,\ I_{n}\text{ et }I_{n+1}.$

2) En intégrant par parties, calculer $J_{n}$ en fonction de $I_{n+1}.$

En déduire une relation entre $I_{n+1}\text{ et }I_{n}.$

3) Calculer $I_{0}$ et montrer que l'on peut ainsi calculer $I_{n}\text{ et }J_{n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}.$

Exercice 13

$n$ est un nombre entier strictement positif. On donne l'intégrale : $$I_{n}=\int_{0}^{1}x^{n}\mathrm{e}^{x}\mathrm{d}x$$

où $\mathrm{e}.$ est la base de la fonction logarithme népérien.

1) Calculer $I_{1}.$

2) Démontrer que, pour tout nombre entier $n$ strictement positif, $I_{n+1}=\mathrm{e}-(n+1)I_{n}.$

(On pourra utiliser une intégration par parties).

3) Calculer les intégrales et $I_{2}\text{ et }I_{3}.$

4) Utiliser les résultats précédents pour calculer : $$I=\int_{0}^{1}(x^{3}+2x^{2}-2x)\mathrm{e}^{x}\mathrm{d}x$$
 

Recherche de primitives

Exercice 14

Dans chacun des cas suivants :

a) Vérifier que $f$ est continue sur $[a\;;\ b]\;;$

b) Calculer alors $$\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t\quad\text{ pour }x\in[a\;;\ b]$$

c) En déduire les primitives de $f\text{ sur }[a\;;\ b].$

$1)\ f(x)=\ln x[a\;;\ b]=[1\;;\ \mathrm{e}]$

$2)\ f(x)=x\mathrm{e}^{x}[a\;;\ b]=[-1\;;\ 1]$

$3)\ f(x)=x\sin x[a\;;\ b]=[-\pi\;;\ \pi]$

$4)\ f(x)=x\cos x[a\;;\ b]=[-\pi\;;\ \pi].$

Encadrement. Inégalités

Exercice 15

1) En intégrant l'inégalité $-1\leq\cos t\leq 1$, prouver que, pour tout réel $x$ positif, on a :
$$x-\dfrac{x^{3}}{6}\leq\sin x\leq x$$

2) Prouver que, pour tout $x$ positif, $1+x\leq\mathrm{e}^{x}\;,\text{ puis que }1+x+\dfrac{1}{2}x^{2}\leq\mathrm{e}^{x}.$

3) Prouver que, pour tout $x$ positif, $\dfrac{x}{1+x}\leq\ln(1+x)\leq x.$

4) Prouver que :
 
a) $$\dfrac{\pi}{4}\leq\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{\mathrm{d}x}{\sin x}\leq\dfrac{\pi\sqrt{2}}{4}$$

b) $$\dfrac{\pi}{4}\leq\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{\mathrm{d}x}{\cos x}\leq\dfrac{\pi\sqrt{2}}{4}$$

c) $$1\leq\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{x^{2}}\mathrm{d}x\leq\mathrm{e}$$

d) $$0\leq\int_{0}^{2}\ln(1+x^{2})\mathrm{d}x\leq2\ln 5$$
 
5) A partir d'un encadrement de $f\ :\ x\mapsto\cos x$ sur l'intervalle $\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{6}\right]$,

déterminer un encadrement de l'intégrale $$\int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{\mathrm{d}x}{(2+\cos x)^{2}}$$

Calculs d'aires

Exercice 16

Calculer l'aire des domaines $\mathcal{D}$ suivants limités par $\mathcal{C}_{f}$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a\text{ et }x=b$ (en unités d'aire, puis en $cm^{2}(a<b)).$

1) $f(x)=x\mathrm{e}^{x}\;,\ x=0\text{ et }x=2.$

(unités : $3\;cm\text{ sur }(x'x)\;,\ 1\;cm\text{ sur }(y'y)).$

2) $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\;,\ x=1\text{ et }x=2.$

(unités : $1\;cm\text{ sur }(x'x)\;,\ 2\;cm\text{ sur }(y'y)).$

3) $f(x)=\dfrac{1}{\cos^{2}x}\;,\ x=0\text{ et }x=\dfrac{\pi}{4}.$

(unités : $2\;cm\text{ sur }(x'x)\;,\ 1\;cm\text{ sur }(y'y)).$

4) $f(x)=2+\dfrac{7}{x-2}\;,\ x=-2\text{ et }x=0.$

(unités : $2\;cm\text{ sur }(x'x\text{ et sur }(y'y)).$

5) $f(x)=x^{3}-1\;,\ x=0\text{ et }x=2.$

(unités : $3\;cm\text{ sur }(x'x)\;,\ 0.5\;cm\text{ sur }(y'y)).$

6) $f(x)=\left((1-2x)\mathrm{e}^{1+x-x^{2}}\right)\;,\ x=0\text{ et }x=1.$

(unités : $1\;cm\text{ sur }(x'x)\text{ et sur }(y'y)).$

7) $f(x)=\sin x\;,\ x=-\dfrac{\pi}{4}\text{ et }x=2.$

(unités : $3\;cm\text{ sur }(x'x)\;,\ 1\;cm\text{ sur }(y'y)).$

Exercice 17

Soit $f\text{ et }g$ deux fonctions, $\mathcal{C}_{f}\text{ et }\mathcal{C}_{g}$ leurs courbes représentatives dans le plan $\mathcal{P}$ rapporté à un repère orthogonal.

Calculer l'aire en unités d'aire des domaines $\mathcal{D}$ suivants :

1) $f(x)=x^{3}\text{ et }g(x)=x^{2}+2x\;(\mathcal{D}\text{ domaine limité par }\mathcal{C}_{f}\text{ et }\mathcal{C}_{g}).$

2) $f(x)=-x^{2}+4x\text{ et }g(x)=x-4\;(\mathcal{D}\text{ domaine limité par }\mathcal{C}_{f}\text{ et }\mathcal{C}_{g}).$

3) $f(x)=\dfrac{2x^{2}-x}{x-1}\text{ et }g(x)=2x+1\;(\mathcal{D}\text{ domaine limité par }\mathcal{C}_{f}\;,\ \mathcal{C}_{g}\text{ et les droites d'équations }x=2\text{ et }x=4).$

4) $f(x)=\dfrac{1}{x}\text{ et }g(x)=-\dfrac{1}{x}\;(\mathcal{D}\text{ domaine limité par }\mathcal{C}_{f}\;,\ \mathcal{C}_{g}\text{ et les droites d’équations }x=1\text{ et }x=5).$

5) $f(x)=\sin x\text{ et }g(x)=\cos x\;(\mathcal{D}\text{ domaine limité par }\mathcal{C}_{f}\;,\ \mathcal{C}_{g}\text{ et les droites d’équations }x=-\dfrac{\pi}{2}\text{ et }x=\dfrac{\pi}{2}).$

Exercice 18

Soit $f$ la fonction définie par :

$f(x)=\ln\dfrac{x-1}{x+1}.$

1) Étudier la fonction $f$ et tracer sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans le plan $\mathcal{P}$ rapporté à un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

2) Montrer que la fonction $f$ est intégrable sur $[2\;,\ 3].$
 
Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$ , la droite $(O\;,\ \vec{j})$ et les droites d'équations $x=2\text{ et }x=3$ (on pourra songer à faire une intégration par parties).

3) On appelle $g$ la restriction de $f\text{ à }]1\;;\ +\infty[.$
 
Montrer que $g$ est une bijection de $]1\;;\ +\infty[$ sur $]-\infty\;;\ 0[.$ Déterminer $g^{-1}.$

Exercice 19

Soit $f$ la fonction de $\mathbb{R}\text{ vers }\mathbb{R}\text{ définie par : }f(x)=\cos 3x.cos^{3} x.$

1) Étudier les variations de la fonction $f$ et construire sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\vec{j}).$ (On prendra $3\;cm$ pour unité.)

2) Montrer que, quel que soit le réel $x$, on a :
 
$f(x)=a\cos 6x+b\cos 4x+c\cos 2x+d$,

où $a\;,\ b\;,\ c\;,\ d$ sont quatre réels que l'on déterminera.

3) Calculer, en $cm^{2}$, l'aire de l'ensemble $E$ limité par la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0\text{ et }x=6.$

Exercice 20

1) Soit $f$ la fonction définie par :

$f(x)=x\sqrt{\mathrm{d}^{2}-x^{2}}$,

où $\mathrm{d}$ désigne un réel strictement positif fixé.

a) Étudier $f$ et dessiner sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormal.

b) Calculer l'aire de la partie du plan limitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0\text{ et }x=\mathrm{d}.$

2) Déterminer l'aire maximale d'un rectangle dont les sommets appartiennent à un même cercle de rayon $R\;,\ R$ désignant un nombre réel strictement positif fixé.

Exercice 21

Soit $f$ la fonction définie par :
 
$f(x)=\dfrac{\cos 2x}{\sin x}.$

1) Étudier $f$ et faire la représentation graphique $\mathcal{C}\text{ de }f$ dans un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (Unité : $1\;cm).$

2) Montrer qu'une primitive de $f$ sur l'intervalle $[\alpha\;,\ \beta]\text{ où }0 <\alpha<\beta<\pi$, est la fonction $F$ définie par :
 
$F(x)=\ln\left[\tan\dfrac{x}{2}\right]-g(x)\;,\text{ où }g$ désigne une fonction simple que l'on déterminera.

3) En déduire l'aire, en $cm^{2}$, du domaine $(\Delta)$ défini par :
$$(\Delta)=\left\lbrace M(x\;,\ y)/\dfrac{\pi}{4}\leq x\leq\dfrac{3\pi}{4}\text{ et }f(x)\leq y\leq 0\right\rbrace.$$

Calcul de volumes

Exercice 22

1) Déterminer le volume d'une boule de rayon $R.$

2) Déterminer le volume d'un cône de hauteur $h$ dont la base est un cercle de rayon $R.$

3) Déterminer le volume d'une pyramide de hauteur $h$ dont la base est un rectangle de côtés $L\text{ et }l.$

4) Déterminer le volume d'un cube de côté $a.$

5) Déterminer le volume d'un cylindre de révolution dont le rayon du disque de base est $r$ et la hauteur $h.$

Dans chaque cas, on utilisera la formule $V=\int_{a}^{b}S(x)\mathrm{d}x\;,\ S(x)$ étant la section (=surface de l'intersection) du solide avec un plan perpendiculaire à $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ au point $H$ d'abscisse $x.$

Exercice 23

Dans chacun des cas suivants, calculer le volume du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe $\mathcal{C}\text{ de }f$ autour de l'axe $x'Ox.$

1) $f\ :\ x\mapsto\sin x\;,\ x\in [0\;,\ \pi]$

2) $f\ :\ x\mapsto -x^{2}+4\;,\ x\in [-2\;,\ 2]$

3) $f\ :\ x\mapsto\sin^{2}x\;,\ x\in [0\;,\ \pi]$
 
Indication :
 
Montrer que, pour tout $x\text{ de }\mathbb{R}$, $\sin 4x=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}\cos 2x+\dfrac{1}{x}\cos 4x.$

4) $f\ :\ x\mapsto (1-x)\mathrm{e}^{x}\;,\ x\in[0\;,\ 1]$

5) $f\ :\ x\mapsto 2\sqrt{(3-x)(1+x)}x\in[-1\;,\ 3]$

6) $f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{2}\sqrt{16-x^{2}}x\in[-4\;,\ 4]$

7) $f\ :\ x\mapsto 1+\cos 3x\;,\ x\in [0\;,\ \dfrac{\pi}{3}]$

8) $f\ :\ x\mapsto x^{3}\;,\ x\in[0\;,\ 2].$

Exercice 24

Soit $f$ la fonction numérique définie par :
 
$f(x)=2\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{2x}.$
 
1) Étudier les variations de $f$, puis tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ du plan (unité graphique : $3\;cm).$

2) La courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe $(O\;,\ \vec{i})\text{ en }A\text{ et l’axe }(O\;,\ \vec{j})\text{ en }B.$

Indiquer les coordonnées de $A\text{ et }B.$

Quelle est l'équation de la tangente à $\mathcal{C}\text{ en }A$ ?
 
Construire cette tangente.

3) Calculer les dérivées des fonctions de $\mathbb{R}\text{ vers }\mathbb{R}$ définies par :
$$f_{1}(x)=2\mathrm{e}^{x}-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}\quad f_{2}(x)=2\mathrm{e}^{2x}-\dfrac{4}{3}\mathrm{e}^{3x}$$

4) Soit $T$ le triangle mixtiligne limité par $(O\;,\ \vec{i})\;,\ (O\;,\ \vec{j})\text{ et l'arc }\overset{\displaystyle\frown}{AB}\text{ de la courbe }\mathcal{C}.$

Calculer :
 
a) l'aire de $T\text{ en }cm^{2}$

b) le volume, en $cm^{3}$, du solide de révolution engendré par la rotation de $T$ autour de l'axe $(O\;,\ \vec{i}).$

Intégrales et suites

Exercice 25

Pour tout nombre entier $$n\geq 1\;,\text{ on pose }I_{n}=\int_{0}^{1}x^{n}\mathrm{e}^{1-x}\mathrm{d}x$$

1) Montrer que, pour tout $x\in[0\;;\ 1]\;,\ x^{n}\leq x^{n}\mathrm{e}^{1-x}\leq\mathrm{e}x^{n}.$

2) Exprimer en fonction du nombre entier $$n\;,\ I_{n}=\int_{0}^{1}x^{n}\mathrm{d}x$$

3) Déduire des résultats précédents que l'on a, pour tout $n\geq 1\;,\ \dfrac{1}{n+1}\leq I_{n}\left( \dfrac{\mathrm{e}}{n+1}\right).$

4) En déduire que la suite $(I_{n})$ est convergente.

Parité et intégration

Exercice 26

1) Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[-a\;;\ a]\text{ et }F$ une primitive de $f\text{ sur }[-a\;;\ a].$

a) On suppose $f$ est impaire.
 
On définit la fonction $h$ par :
$$\text{pour tout }x\in [-a\;;\ a]\;,\ h(x)=F(x)-F(-x).$$

Étudier les variations de $h.$
 
En déduire que $F$ est paire.
 
En déduire que $$\int_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=0$$

b) On suppose $f$ est paire.
 
Prouver que, pour tout $x\text{ de }[-a\;;\ a]\;,\ F(-x)=-F(x)+2 F(0).$

En déduire que $$\int_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=2\int_{0}^{a}f(x)\mathrm{d}x$$

c) Interpréter graphiquement ces résultats.

2) Soient $f\text{ et }g$ les fonctions définies sur $[-1\;;\ 1]\text{ par }f(x)=\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\text{ et }g(x)=\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}.$
 
a) Étudier la parité et les variations de $f\text{ et de }g.$

 Tracer leurs courbes représentatives.
 
b) Calculer $$\int_{-1}^{1}\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right)\mathrm{d}x\;,\ \int_{-1}^{1}\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)\mathrm{d}x\quad\text{ et }\quad\int_{0}^{1}\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)\mathrm{d}x$$

Interpréter graphiquement les résultats trouvés.