La symétrie centrale

Classe:

Cinquième

I. Définition et notation

I.1. Activités

Marquer deux points $A\ $ et $\ B$ et construire le point $B$ tel que le point $O$ soit le milieu de $[AB].$

Comment sont les points $A\ -\ O\ -\ B\ ?$

Compare $OA\ $ et $\ OB$

Les points $A\ -\ O\ -\ B$ sont alignés.

Les distances $OA\ $ et $\ OB$ sont égales.

On dit que le point $A$ est le symétrique de $B$ par rapport à $O$ et que $B$ est aussi le symétrique de $A$ par rapport à $O$ ou que $A\ $ et $\ B$ sont symétriques par rapport à $O.$

I.2. Définition

$A\ $ et $\ B$ sont symétriques par rapport à un point $O$ signifie que $O$ est le milieu du segment $[AB].$

Le point $O$ est appelé centre de symétrie, il est son propre symétrique par rapport à lui même.

I.3. Notation

Si $A$ est le symétrique de $B$ par rapport à $O$ alors, on le note :

$$A=S_{_{O}}[B]$$

Si $B$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$ alors, il se note :

$$S_{_{O}}[A]=B$$

II. Symétriques de figures simples et propriétés

II.1. Symétrique de trois points alignés

a) Activité

Marquer trois points $R\;,\ S\;,\ T$ alignés. Construire un point $O$ n'appartenant pas à la droite $(RS).$

Construire les symétriques $R'\;,\ S'\;,\ T'$ respectifs de $R\;,\ S\;,\ T$ par rapport à $O.$

Construire les symétriques $R''\;,\ S''\;,\ T''$ respectifs de $R\;,\ S\;,\ T$ par rapport à $T.$

b) Propriétés

Les symétriques de trois points alignés sont aussi trois points alignés : on dit que la symétrie centrale conserve l'alignement.

II.2. Symétrique d'un segment

a) Activités

Trace un segment $[AB]$, marque le point $O\notin[AB].$

Construire les points $A'\;,\ B'$ symétriques de $A\;,\ B$ par rapport à $O.$

Compare les distances $AB\ $ et $\ A'B'$

Construire les points $A''\;,\ B''$ symétriques de $A\;,\ B$ par rapport à $A.$

Les distances $AB\ $ et $\ A'B'$ sont égales.

b) Propriétés

Le symétrique d'un segment est un segment de même longueur et qui lui est parallèle : on dit que la symétrie centrale conserve la longueur.

Application

On considère la figure ci-après

1) Construire les points $A'\;,\ B'\;,\ C'\ $ et $\ D'$ symétriques respectifs des points $A\;,\ B\;,\ C\ $ et $\ D$ par rapport à $I.$

2) Justifier les affirmations suivantes :

$(A'B')\ $ et $\ (C'D')$ sont parallèles

$(A'C')\ $ et $\ (B'D')$ sont sécantes

Si la droite $(A'B')$ est perpendiculaire à la droite $(A'D')$ alors, $(A'B')$ est parallèle à $(D'C')$

$(A'C')\ $ et $\ (B'D')$ sont sécantes parce que $(A'B')\ $ et $\ (C'D')$ sont parallèles.

$(A'B')//(C'D')\ $ car $\ (AB)//(CD)$

$(A'C')\ $ et $\ (B'D')$ sont sécantes parce que les diagonales $(AC)\ $ et $\ (BD)$ sont sécantes.

II.3. Symétrique d'une demi-droite

a) Activités

Construis une demi-droite d'origine $A$, marque le point $I$ n'appartenant pas à la demi-droite et $B$ appartenant à la demi-droite.

Construire le symétrique de la demi-droite $[AB)$ par rapport à $I.$

b) Propriétés

Le symétrique d'une demi-droite par rapport à un point est une demi-droite qui lui est parallèle et de sens opposé.

II.4. Symétrique d'une droite

a) Activités

Trace une droite $(D)$, marque un point $I\notin(D).$

Construis $(D')$ le symétrique de la droite $(D)$ par rapport à $I.$

Que constate-t-on ?

$S_{_{I}}[A]=A'\;,\quad S_{_{I}}[B]=B'$

On constate que $(D)\ $ et $\ (D')$ sont parallèles

b) Propriétés

Le symétrique d'une droite par rapport à un point est une droite qui lui est parallèle.

II.5. Symétrique d'un triangle

a) Activités

Construis un triangle $ABC$ et marque un point $O$ n'appartenant pas au triangle.

Construis les symétriques $A'\;,\ B'\;;\ C'$ respectifs de $A\;,\ B\;;\ C$ par rapport à $O.$

$S_{_{O}}(ABC)=A'B'C'$

$S_{_{O}}[A]=A'\;,\quad S_{_{O}}[B]=B'\;,\quad S_{_{O}}[C]=C'$

b) Propriétés

Le symétrique d'un triangle est un triangle de même nature.

II.6. Symétrique d'un cercle

a) Activités

Trace un cercle $(\mathcal{C})$ de centre $O$ et de rayon $r=2,5\;cm.$

Marque les points $I\;;\ J\;;\ K$ tels que :

$$OI=2\;cm\;;\quad OJ=2,5\;cm\;;\quad OK=3\;cm$$

Construire les symétriques $(\mathcal{C}_{1})\;,\ (\mathcal{C}_{2})\;,\ (\mathcal{C}_{3})$ respectifs de $(\mathcal{C})$ par rapport à $I\;;\ J\;;\ K.$

$S_{_{I}}(\mathcal{C})=(\mathcal{C}_{1})\;,\ S_{_{J}}(\mathcal{C})=(\mathcal{C}_{2})\;,\ S_{_{K}}(\mathcal{C})=(\mathcal{C}_{3})$

$S_{_{I}}[O]=O_{1}\;,\quad S_{_{J}}[O]=O_{2}\;,\quad S_{_{K}}[O]=O_{3}$

$S_{_{I}}[A]=A'\;,\quad S_{_{J}}[B]=B'\;,\quad S_{_{K}}[C]=C'$

b) Propriétés

Le symétrique d'un cercle par rapport à un point est un cercle de même rayon et dont le centre est le symétrique du centre du cercle considéré par rapport au point.

Auteur:

Mamadou Siradji Dia