Solution des exercices : Les triangles - 5e
Classe:
Cinquième
Exercice 1
ABCABC est triangle, complétons le tableau.
Pour remplir ce tableau, il faut utiliser les propriétés suivantes :
− La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180∘ donc,
mesˆA+mesˆB+mesˆC=180∘
Par conséquent,
mesˆA=180∘−(mesˆB+mesˆC)
mesˆB=180∘−(mesˆA+mesˆC)
mesˆC=180∘−(mesˆA+mesˆB)
− Un triangle qui possède un angle de 90∘ est un triangle rectangle.
− Si un triangle possède deux angles de même mesure, il est dit isolé.
− Un triangle dont les mesures des angles sont différentes est un triangle quelconque.
mesˆA30∘63.5∘45∘138∘20∘mesˆB60∘103∘90∘13∘90∘mesˆC90∘13.5∘45∘29∘70∘Nature de rectangleisocèle etrectangleABCen Cquelconquerectanglequelconqueen Ben B
Exercice 2
1) Construisons un triangle ABC tel que :
AB=5cm; AC=4cmetBC=6cm
2) Traçons les droites (d) et (d′) médiatrices respectifs des segments [AB] et [BC].
On rappelle que la médiatrice d'un segment, c'est la droite passant par le milieu de ce segment et qui lui est perpendiculaire.
Soit alors, I milieu de [AB] et J milieu de [BC].
3) Construisons le cercle (C) circonscrit à ABC.
On sait que dans un triangle les trois médiatrices sont concourantes en un même point appelé centre du cercle circonscrit à ce triangle.
Donc, soit O le point de rencontre de (d) et (d′) alors, (C) est le cercle de centre O passant par les sommets du triangle ABC.
Exercice 3
1) Construisons un triangle MNP tel que :
MN=6cm; mesˆM=50∘etmesˆN=70∘
2) Calculons la mesure de l'angle ˆP.
On sait que la somme des mesures des angles d'un triangle est toujours égale à 180∘.
Donc,
mesˆM+mesˆN+mesˆP=180∘
Ainsi,
mesˆP=180∘−(mesˆM+mesˆN)=180∘−(50∘+70∘)=180∘−120∘=60∘
D'où, mesˆP=60∘
3) Construisons les droites (b) et (b′) bissectrices des angles ˆM et ˆP.
On rappelle bissectrice d'un angle est la droite qui partage l'angle en deux angles de même mesure.
4) Construisons le cercle (C) inscrit à MNP.
Dans un triangle, les trois bissectrices sont concourantes en un même point appelé centre du cercle inscrit dans ce triangle.
Soit alors O le point de rencontre des droites (b) et (b′).
O est donc le centre du cercle (C) inscrit à MNP.
Exercice 10
1) a) Construisons un triangle ABC tel que : AB=AC=5cm et mes^ABC=70∘.
b) ABC est un triangle isocèle en A.
Justification :
En effet, on remarque que les deux côtés [AB] et [AC] ont la même longueur ; 5cm donc, le triangle ABC est isocèle en A.
2) a) Construisons le point D symétrique de B par rapport à A.
b) ADC est un triangle isocèle en A.
En effet, D est symétrique de B par rapport à A donc, A est milieu du segment [BD].
Par suite, AD=AB=5cm
Mais, on sait que AB=AC=5cm donc, AD=AC=5cm.
D'où, ADC isocèle en A.
3) Calculons : mes^BAC; mes^CAD et mes^ADC.
− Calcul de mes^BAC
On sait que la somme des mesures des angles d'un triangle est toujours égale à 180∘.
Donc, pour le triangle ABC on a :
mes^BAC+mes^ACB+mes^ABC=180∘
Ainsi, mes^BAC=180∘−(mes^BCA+mes^ABC)
Comme, ABC est isocèle en A alors,
mes^BCA=mes^ABC=70∘
Donc, en remplaçant, on trouve :
mes^BAC=180∘−(mes^BCA+mes^ABC)=180∘−(70∘+70∘)=180∘−140∘=40∘
D'où, mes^BAC=40∘
− Calcul de mes^CAD
Les points B, A, D sont alignés donc, les angles ^CAD et ^BAC sont supplémentaires.
Donc,
mes^CAD+mes^BAC=180∘
Par suite,
mes^CAD=180∘−mes^BAC=180∘−40∘=140∘
D'où, mes^CAD=140∘
− Calcul de mes^ADC
On sait que la somme des mesures des angles d'un triangle est toujours égale à 180∘.
Donc, pour le triangle ADC on a :
mes^ADC+mes^DCA+mes^CAD=180∘
Comme, ADC est isocèle en A alors,
mes^DCA=mes^ADC
Dans l'égalité précédente, on remplace mes^DCA par mes^ADC. On obtient alors :
mes^ADC+mes^ADC+mes^CAD=180∘
Ce qui donne :
2×mes^ADC+mes^CAD=180∘
Par suite,
2×mes^ADC=180∘−mes^CAD=180∘−140∘=40∘
Ainsi, 2×mes^ADC=40∘
D'où, mes^ADC=40∘2=20∘
4) En déduisons mes^BCD et la nature de BCD.
On remarque que les angles ^BCA et ^ACD sont adjacents.
Donc,
mes^BCD=mes^BCA+mes^ACD
Or, ABC isocèle en A donc, mes^BCA=mes^ABC=70∘
De même, ADC isocèle en A donc, mes^ACD=mes^ADC=20∘
Donc, en remplaçant, on trouve :
mes^BCD=mes^BCA+mes^ACD=70∘+20∘=90∘
D'où, mes^BCD=90∘
La mesure de l'angle ^BCD étant égale à 90∘ donc, le triangle BCD est rectangle en C.
5) Construisons le cercle (C) circonscrit à BDC.
Comme BDC est un triangle rectangle en C alors, le cercle (C) circonscrit à BDC a pour centre le milieu de l'hypoténuse qui est représenté par le côté [BD].
Or, A est le milieu de [BD] donc, le cercle (C) circonscrit à BDC a pour centre le point A.
Exercice 11
Parmi les affirmations données ci-dessous certaines sont vraies d'autres sont fausses.
Recopions celles qui sont fausses et corrigeons-les.
3) Les deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle sont des hauteurs.
5) L'orthocentre d'un triangle rectangle est le sommet de l'angle droit de ce triangle.
6) Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle se trouve au milieu de l'hypoténuse.
8) Un triangle rectangle dont l'un des angles mesure 45∘ est rectangle et isocèle.
Exercice 13
On considère les trois triangles ci-dessous.
1) Donnons la nature de chacun de ces triangles en justifiant.
− Le triangle ABC est rectangle en B.
D'après le codage de la figure, on observe un angle droit en B.
Ainsi, ABC est un triangle rectangle en B.
− Le triangle EFG est isocèle en E.
En observant le codage de la figure, on remarque que les côtés [EF] et [EG] ont même longueur.
Par conséquent, le triangle EFG est isocèle en E.
− Le triangle HIJ est équilatéral.
En observant le codage de la figure, on constate que les trois côtés [HI]; [HJ] et [IJ] sont de même longueur.
Par conséquent, HIJ est un triangle équilatéral.
2) Donnons la mesure de chacun des angles α1, α2 et α3
Comme ABC est un triangle rectangle en B alors, α1=90∘
Comme EFG est isocèle en E alors, les angles à la base ont même mesure.
Ce qui signifie que : α2=^EGF
Or, ^FGE=68∘ donc, α2=68∘
Comme HIJ est un triangle équilatéral alors, ses trois angles internes ont la même mesure de 60∘.
Par conséquent, α3=60∘
Exercice 14
1) Dans chacun des cas ci-dessous construisons le triangle indiqué en laissant les traits de construction :
a) EDF tel que : ED=6cm; ^FED=60∘; ^FDE=30∘.
b) CDE tel que : CD=8cm; CE=5cm et DE=4cm.
2) Plaçons l'orthocentre du triangle EDF.
L'orthocentre de ce triangle est le point F.
En effet, on a :
^FED+^FDE=60∘+30∘=90∘
Donc, ^FED+^FDE=90∘
Ce qui signifie que les angles ˆE et ˆD sont complémentaires.
D'où, le triangle EDF est rectangle en F
Par conséquent, F est l'orthocentre du triangle EDF.
3) Construisons le cercle circonscrit au triangle CDE.
On trace alors les trois médiatrices du triangle CDE.
Le point de rencontre O de ces trois médiatrices est le centre du cercle circonscrit au triangle CDE.
Exercice 15
On considère un triangle IJK isocèle en J.
Les bissectrices des angles ˆI et ˆK se coupent en un point L.
1) Montrons que ^LIK=^IKL.
En effet, on a :
(IL) est bissectrice de l'angle ˆI donc, ^JIK=2^LIK
(KL) est bissectrice de l'angle ˆK alors, ^IKJ=2^IKL
Or, on sait que le triangle IJK est isocèle en J donc, les angles ^JIK et ^IKJ ont même mesure.
Ce qui signifie que : ^JIK=^IKJ
Par conséquent, 2^LIK=2^IKL
Ce qui donne : ^LIK=2^IKL2=^IKL
D'où, ^LIK=^IKL
2) Déduisons-en la nature du triangle IKL.
Le triangle IKL est isocèle en L.
Justifions notre réponse.
D'après le résultat de la question 1), on a : ^LIK=^IKL
Cela signifie que le triangle IKL a deux angles de même mesure.
Or, on sait que : un triangle qui a deux angles de même mesure est un triangle isocèle.
Par conséquent, IKL est isocèle en L.
Exercice 16
On considère le triangle ABC ci-dessous.
1) Le triangle ABC est rectangle en A.
Justifions notre réponse
D'après le codage de la figure, on a : D milieu du segment [CB].
On a aussi : DA=DB=DC.
Ce qui signifie que le point D, milieu du côté [CB], est à égale distance des trois sommets du triangle ABC.
Or, on sait que : si dans un triangle, le milieu d'un côté est à égale distance des trois sommets alors, ce triangle est rectangle.
Donc, ABC est rectangle en A.
2) Le point D est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Justifions notre réponse
En effet, comme ABC est un triangle rectangle en A alors, le côté [CB] représente l'hypoténuse de milieu D.
Or, on sait que : le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour centre le milieu de l'hypoténuse.
Par conséquent, D est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
3) Calculons ˆB+ˆC
Comme ABC est un triangle rectangle en A alors, les angles ˆB et ˆC sont complémentaires.
Ce qui signifie que : ˆB+ˆC=90∘
Exercice 17
1) Construisons un cercle (γ) de centre O et de rayon 3cm puis marquons sur (γ) deux points A et B diamétralement opposés.
2) La médiatrice de [AB] coupe le cercle en C et D.
Plaçons les points C et D puis précisons la nature exacte des triangles ABC et ABD.
ABC et ABD sont des triangles rectangles respectivement en C et D.
En effet, on sait que : si on joint un point d'un cercle aux extrémités d'un de ses diamètres ne contenant pas ce point alors, on obtient un triangle rectangle.
Or, C est un point du cercle (γ) et on a joint C aux extrémités A et B du diamètre [AB] de ce cercle.
Donc, ABC est un triangle rectangle en C.
De la même manière, on constate qu'on a joint le point D∈(γ) aux extrémités A et B du diamètre [AB] du cercle (γ).
Par conséquent, ABD est un triangle rectangle en D.
3) M est un point de (γ) tel que ^ABM=35∘.
Calculons les mesures des angles du triangle MAB en justifiant.
Soit M un point du cercle (γ).
Comme on a joint M aux extrémités A et B du diamètre [AB] de ce cercle alors, le triangle ABM est rectangle en M.
Donc, l'angle ^AMB est un angle droit.
Ce qui signifie que : ^AMB=90∘
On sait que dans un triangle rectangle les angles aigus sont complémentaires.
Or, ABM rectangle en M donc, ^ABM et ^MAB sont complémentaires.
Ce qui signifie : ^ABM+^MAB=90∘.
Ce qui donne alors : ^MAB=90∘−^ABM
En remplaçant ^ABM par sa valeur, on obtient :
^MAB=90∘−^ABM=90∘−35∘=55∘
Ainsi, ^MAB=55∘
Exercice 18
1) Traçons le demi-cercle (C) de diamètre [AB] tel que AB=6cm.
2) Plaçons le point I milieu de [AB] et M un point de (C) tel que ^MIB=60∘.
Précisons la nature du triangle MIB et déduisons-en la mesure de ses angles.
MIB est un triangle équilatéral.
Par conséquent, ses angles ont la même mesure de 60∘
En effet, on a : M appartient à (C) alors, MI=IB.
Donc, le triangle MIB est isocèle en I tel que ^MIB=60∘.
Or, on sait que : si un triangle isocèle a un angle de 60∘ alors, c'est un triangle équilatéral.
D'où, MIB est un triangle équilatéral.
3) La parallèle à (MB) passant par I coupe (AM) en K.
Calculons en justifiant les angles des triangles MIK et AKI.
Soit M un point du demi-cercle (C).
Comme on a joint M aux extrémités A et B du diamètre [AB] de ce demi-cercle alors, le triangle ABM est rectangle en M.
Donc, l'angle ^AMB est un angle droit.
Par suite, les angles ^AMB et ^AMB sont adjacents complémentaires.
Ce qui signifie : ^AMI+^IMB=^AMB=90∘
Ce qui donne alors : ^AMI=90∘−^IMB
En remplaçant ^IMB par sa valeur, on obtient :
^AMI=90∘−^IMB=90∘−60∘=30∘
Ainsi, ^AMI=30∘
On a : M appartient à (C) alors, MI=IA.
Donc, le triangle MIA est isocèle en I.
Par conséquent, ^IAM=^AMI
Or, ^AMI=30∘ donc, ^IAM=30∘
On a : (IK) parallèle à (MB) et (AM) perpendiculaire à (MB).
Or, on sait que : si deux droites sont parallèles alors, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Donc, (AM) est aussi perpendiculaire à (IK).
Par conséquent, les triangles MIK et AKI sont rectangles en K.
D'où, ^MKI=90∘ et ^AKI=90∘
Comme AKI est rectangle en K alors, les angles ^AIK et ^KAI sont complémentaires.
Ce qui signifie : ^AIK+^IAK=90∘.
Ce qui donne alors : ^AIK=90∘−^IAK
En remplaçant ^IAK par sa valeur, on obtient :
^AIK=90∘−^IAK=90∘−30∘=60∘
Donc, ^AIK=60∘
De la même manière, comme MIK est rectangle en K alors, les angles ^MIK et ^KMI sont complémentaires.
Ce qui signifie : ^MIK+^KMI=90∘.
Ce qui donne alors : ^MIK=90∘−^KMI
En remplaçant ^KMI par sa valeur, on obtient :
^MIK=90∘−^KMI=90∘−30∘=60∘
Ainsi, ^MIK=60∘
Exercice 19
1) Construisons un triangle ABC et plaçons son orthocentre H.
Pour cela, on trace les trois hauteurs du triangle ABC et le point de rencontre de ces trois hauteurs est l'orthocentre H.
2) Les orthocentres des triangles AHB et AHC sont respectivement les points C et B.
Dans le triangle AHB, on a :
(HC) est la hauteur issue de H
(AC) est la hauteur issue de A
(BC) est la hauteur issue de B
On remarque alors que ces trois hauteurs se coupent au point C.
Par conséquent, C est l'orthocentre du triangle AHB.
De la même manière, dans le le triangle AHC, on a :
(HB) est la hauteur issue de H
(AB) est la hauteur issue de A
(BC) est la hauteur issue de B
On constate que ces trois hauteurs se coupent au point B.
Ce qui signifie que B est l'orthocentre du triangle AHB.
Exercice 20
1) Traçons deux droites (D1) et (D2) sécantes en un point O et plaçons un point A n'appartenant pas à ces droites.
2) Construisons le point B symétrique de A par rapport à (D1) et le point C symétrique de A par rapport à (D2).
3) Le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC
Justifions notre réponse.
On a : B symétrique de A par rapport à (D1). Cela signifie que (D1) est la médiatrice du segment [AB].
On a aussi : C symétrique de A par rapport à (D2). Ce qui signifie que (D2) est la médiatrice du segment [AC].
De plus, (D1) et (D2) sont sécantes en O.
On peut donc dire que les deux médiatrices (D1) et (D2) du triangle ABC se coupent au point O.
Or, on sait que le point de rencontre des médiatrices d'un triangle est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.
Par conséquent, O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Exercice 21
Reproduisons et complétons le tableau ci- dessous.
Anglesd'unTriangle 1Triangle 2Triangle 3Triangle 4Triangle 5Triangle 6triangleˆa36∘54∘60∘72∘90∘45∘ˆb108∘36∘60∘72∘63∘45∘ˆc36∘90∘60∘36∘27∘90∘ˆa+ˆb144∘90∘120∘144∘153∘90∘Natureisocèlerectangleisocèlerectanglerectangleduen Ben Céquilatéralen Cen Aisocèletriangleen C
Exercice 22
1) Les angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires.
2) Construisons un triangle ABC tel que ^ABC=56∘ et ^BAC=34∘.
3) Traçons (D) la bissectrice de l'angle ^ACB. (D) coupe [AB] en E.
4) Calculons la mesure de chacun des angles ^ACE et ^BCE
On constate d'abord que les angles ^ABC et ^BAC sont complémentaires.
En effet, on a : ^ABC+^BAC=56∘+34∘=90∘ donc, ^ABC et ^BAC sont complémentaires.
Par conséquent, le triangle ABC est rectangle en C.
D'où, ^ACB=90∘
Comme (D) est la bissectrice de l'angle ^ACB alors, la droite (D) partage l'angle ^ACB en deux angles de même mesure.
Ce qui signifie que : ^ACE=^BCE=^ACB2
En remplaçant ^ACB par sa valeur, on obtient : ^ACE=^BCE=90∘2=45∘
D'où, ^ACE=^BCE=45∘
Exercice 23
1) Traçons le triangle ABC tel que :
AB=5cm, ^CAB=50∘ et ^ABC=60∘
Construisons le cercle (C) de centre O circonscrit au triangle ABC.
Pour cela, on trace les trois médiatrices du triangle ABC.
Le point de rencontre O de ces trois médiatrices est alors le centre du cercle (C) circonscrit à ce triangle.
2) Plaçons le point M diamétralement opposé à A.
Le triangle AMC est rectangle en C.
Justifions notre réponse.
En effet, on a : M diamétralement opposé à A donc, [AM] est un diamètre du cercle (C).
De plus, on sait que : si on joint un point d'un cercle aux extrémités d'un de ses diamètres ne contenant pas ce point alors, on obtient un triangle rectangle.
Or, C est un point du cercle (C) et on a joint C aux extrémités A et M du diamètre [AM] de ce cercle.
Par conséquent, AMC est un triangle rectangle en C.
3) a) Construisons le point H symétrique de B par rapport au point I milieu de [AC].
b) Le quadrilatère ABCH est un parallélogramme.
Justifions notre réponse.
On a : H symétrique de B par rapport au point I alors, I est milieu de [BH].
On a aussi : I milieu de [AC].
Donc, on remarque que le quadrilatère ABCH a ses diagonales de même milieu I.
Or, on sait que : si un quadrilatère a ses diagonales de milieu alors, c'est un parallélogramme.
D'où, ABCH est un parallélogramme.
c) Déterminons la mesure de chacun des angles ^ACH et ^AHC.
Comme ABCH est un parallélogramme alors, (HC) est parallèle à (AB).
Ainsi, (HC) et (AB) sont deux droites parallèles coupées par la sécante (AC).
Par conséquent, ^ACH et ^CAB sont deux angles alternes internes de même mesure.
Ce qui signifie alors : ^AHC=^CAB.
Comme ^CAB=50∘ alors, ^ACH=50∘
Aussi, on sait que : dans un parallélogramme, deux angles opposés ont même mesure.
Or, dans le parallélogramme ABCH, les angles ^ACH et ^ABC sont opposés donc, ils ont la même mesure.
Ce qui signifie alors : ^ACH=^ABC
Comme ^ABC=60∘ alors, ^AHC=60∘
Exercice 24
1) Construisons un triangle ABC rectangle en A tel que : AB=5cm et ^ACB=35∘.
2) Construisons un triangle EFG isocèle en E avec FG=5cm et ^FEG=100∘.
3) a) Traçons un segment [IJ] de 5cm de longueur et plaçons H un point n'appartenant pas à [IJ] tel que HI=HJ=4cm.
Il faut remarquer que H est sur la médiatrice du segment [IJ].
b) Construisons le triangle IJK dont le cercle circonscrit a pour centre le point H.
Pour cela, on trace d'abord le cercle de centre H et de rayon 4cm
Ce cercle passe par les points I et J car HI=HJ=4cm.
Ensuite, on place le point K sur ce même cercle.
On trace enfin le triangle IJK.
On constate alors que le cercle circonscrit à ce triangle a a pour centre le point H.
Exercice 25
POT est le triangle tel que :
PT=5cm, ^OPT=32∘ et ^OTP=58∘
1) POT est un triangle rectangle en O.
Justifions notre réponse.
En effet, on a : ^OPT+^OTP=32∘+58∘=90∘
On remarque alors que les angles aigus du triangle POT sont complémentaires.
Par conséquent, le triangle POT est rectangle en O.
Marquons le point E milieu de [PT].
Le triangle EOP est isocèle en E.
Justifions notre réponse.
En effet, le triangle rectangle POT a pour hypoténuse le côté [PT].
Or, on sait que : dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est à égale distance des trois sommets du triangle.
Donc, le point E est à égale distance des sommets P; O et T du triangle POT.
Cela signifie que les segments [EP]; [EO] et [ET] ont même longueur.
Ainsi, le triangle EOP a deux côtés de même longueur.
Par conséquent, c'est un triangle isocèle en E.
2) La hauteur issue de E dans le triangle OET coupe le segment [OT] en I.
a) Montrons que l'angle ^OEI=32∘.
On a : (OP) perpendiculaire à (OT) et ((EI) perpendiculaire à (OT).
Or, on sait que : si deux droites sont perpendiculaires alors, toute droite perpendiculaire à l'une est parallèle à l'autre.
Donc, les droites (OP) et (EI) sont parallèles.
Alors, (OP) et (EI) sont deux droites parallèles coupées par la sécante (OE).
Par conséquent, ^OEI et ^POE sont deux angles alternes internes de même mesure.
Ce qui signifie alors : ^OEI=^POE.
Or, ^POE=^OPE=32∘ car le triangle EOP est isocèle en E.
Ainsi, ^OEI=32∘
b) Justifions que la droite (EI) est la bissectrice de l'angle ^OET.
On a : EO=ET donc, le triangle OET est isocèle en E.
Par conséquent, la hauteur (EI) issue de E est en même temps bissectrice de l'angle ^OET.
3) La parallèle à la droite (OE) passant par P et la parallèle à la droite (PE) passant par O se coupent en A.
a) Justifions que le quadrilatère AOEP est un parallélogramme.
On a :
La parallèle à la droite (OE) passe par P et A donc, les droites (OE) et (PA) sont parallèles.
La parallèle à la droite (PE) passe par O et A donc, les droites (PE) et (OA) sont parallèles.
Ainsi, on constate que le quadrilatère AOEP a ses côtés parallèles deux à deux.
Par conséquent, c'est un parallélogramme.
b) Justifions que l'angle ^PAO=116∘.
On sait que : dans un parallélogramme, deux angles opposés ont même mesure.
Or, dans le parallélogramme AOEP, les angles ^PAO et ^OEP sont opposés donc, ils ont la même mesure.
Ce qui signifie alors : ^PAO=^OEP
Cherchons alors la mesure de l'angle ^OEP
On sait que dans un triangle la somme des angles est égale à 180∘.
Donc, ^OEP+^OPE+^POE=180∘
Ce qui entraine alors : ^OEP=180∘−(^OPE+^POE)
En remplaçant ^OPE et ^POE par leur valeur, on obtient :
^OEP=180∘−(^OPE+^POE)=180∘−(32∘+32∘)=180∘−64∘=116∘
Donc, ^OEP=116∘
Par conséquent, ^PAO=116∘
Exercice 27
Pass, Véréane et Darou sont des villages du Sénégal situés sur des axes différents.
Ces villages sont désignés respectivement par les lettres P, V et D.
Les distances entre ces villages sont les suivantes :
PV=600m, PD=500m et VD=700m
1) Représentons ces villages sur un plan à l'échelle 110000
On donne d'abord les dimensions sur le plan.
On sait que si D est la distance réelle et e l'échelle alors, la distance d sur le plan est donnée par :
d=D×e
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
PV=600m×110000=600m10000=0.06m=6cm
Donc, sur le plan PV=6cm
PD=500m×110000=500m10000=0.05m=5cm
Donc, sur le plan PD=5cm
VD=700m×110000=700m10000=0.07m=7cm
Donc, sur le plan VD=7cm
On trace ensuite le triangle PVD tel que :
PV=6cm, PD=5cm et VD=7cm
2) Une O.N.G décide de leur construire un forage situé à égale distance des villages.
Nous sommes désignés pour choisir l'emplacement du forage.
Établissons sur le plan l'emplacement du forage en justifiant notre réponse.
En effet, on sait que le centre du cercle circonscrit à un triangle est à égale distance des sommets du triangle.
Donc, pour construire un forage situé à égale distance des villages, on choisira de le placer au centre du cercle circonscrit au triangle PVD.
Pour cela, on trace les trois médiatrices de ce triangle.
Le point de rencontre de ces trois médiatrices qui est le centre du cercle circonscrit désigne alors l'emplacement de ce forage.
Exercice 28
Notre école organise une kermesse durant laquelle un des jeux consiste à ramasser un mouchoir posé à terre.
Le premier à ramasser le mouchoir remporte le gain.
1) Deux filles Astou et Fama prennent position sur la même ligne.
On les désignera respectivement par les lettres A et F.
Pour que le jeu soit équitable, on peut placer le mouchoir sur le milieu du segment [AF].
Donc, M est milieu de [AF]
Faisons un schéma.
2) Bineta veut participer au jeu sans être sur la même ligne de départ que les 2 autres filles.
Elle est désignée par la lettre B.
Plaçons B sur le schéma précédent pour que le jeu soit équitable pour les 3 candidates.
En effet, on sait que : dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est à égale distance des trois sommets du triangle.
On a : M milieu du côté [AF]
Alors, pour que le mouchoir soit à égale distance des trois candidates, on va placer B de sorte que le triangle ABF soit rectangle en B.
3) Nous sommes chargés par nos camarades de donner toutes les positions possibles de tout concurrent afin que le jeu soit équitable.
Indiquons ces positions sur le schéma en justifiant notre réponse.
Afin que le jeu soit équitable, toutes les positions possibles de tout concurrent seront sur le cercle de diamètre [AF].
Donc, le cercle de diamètre [AF] représente l'ensemble des positions possibles de tout concurrent afin que le jeu soit équitable.
En effet, on sait que le centre d'un cercle est à égale distance de tout point situé sur ce cercle.
Or, le centre d'un cercle est le milieu d'un de ses diamètres.
Donc, le milieu M du segment [AF] est le centre du cercle de diamètre [AF].
Par conséquent, M est à égale distance de tout point situé sur le cercle de diamètre [AF].
Ainsi, pour que le jeu soit équitable, les concurrents seront positionnés sur le cercle de diamètre [AF].
Exercice 29
Pour financer ses activités, le foyer de notre école a aménagé un jardin ayant la forme d'un triangle ABC dont les distances sont
AB=40m, AC=20m et BC=30m
1) Représentons le jardin sur le plan à l'échelle 11000.
On donne d'abord les dimensions sur le plan.
On sait que si D est la distance réelle et e l'échelle alors, la distance d sur le plan est donnée par :
d=D×e
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
AB=40m×11000=40m1000=0.04m=4cm
Donc, sur le plan AB=4cm
AC=20m×11000=20m1000=0.02m=2cm
Donc, sur le plan AC=2cm
BC=30m×11000=30m1000=0.03m=3cm
Donc, sur le plan BC=3cm
On trace ensuite le triangle PVD tel que :
AB=4cm, AC=2cm et BC=3cm
2) Calculons le périmètre réel du jardin.
Pour cela, on utilise les distances réelles.
On a :
Périmètre réel=AB+AC+BC=40m+20m+30m=90m
Donc, le périmètre réel du jardin est égal à 90m
3) On clôture le jardin avec du grillage vendu à 700F le mètre en laissant une porte de 4m de large et une autre de 3.5m de large.
Calculons le prix du grillage et le prix de revient de la clôture sachant qu'il faut 7 piquets vendus à 500F pièce et qu'il faut payer 45000F pour la main d'œuvre.
− Calcul du prix du grillage
Comme le grillage est vendu à 700F le mètre alors, on a :
Prix du grillage=700×longueur du grillage
Comme on a laissé deux portes ; une 4m de large et une autre de 3.5m de large alors, la longueur du grillage nécessaire est donnée par :
longueur du grillage=Périmètre réel−(4m+3.5m)=90m−7.5m=82.5m
Donc, en remplaçant longueur du grillage par sa valeur, on obtient :
Prix du grillage=700×longueur du grillage=700×82.5=57750
Ainsi, le prix du grillage est de 57750F
− Calcul du prix de revient de la clôture
On a :
Prix de revient=Prix du grillage+Prix des piquets+Main d'œuvre
Comme chaque piquet coûte 500F alors, le prix des 7 piquets est donné par :
Prix des piquets=500×7=3500
Donc, le prix des 7 piquets est de 3500F
On obtient alors :
Prix de revient=Prix du grillage+Prix des piquets+Main d'œuvre=57750+3500+45000=106250
D'où, le prix de revient de la clôture est de 106250F
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
dim, 03/06/2022 - 19:40
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Comment vous aviez tracé la
Anonyme (non vérifié)
dim, 04/17/2022 - 20:07
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Soit ABC un triangle tel que
Anonyme (non vérifié)
dim, 04/17/2022 - 20:07
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Soit ABC un triangle tel que
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