Solution des exercices : Les triangles - 5e

1) Construisons un triangle $ABC$ et plaçons son orthocentre $H.$

 

Pour cela, on trace les trois hauteurs du triangle $ABC$ et le point de rencontre de ces trois hauteurs est l'orthocentre $H.$

 

2) Les orthocentres des triangles $AHB\ $ et $\ AHC$ sont respectivement les points $C\ $ et $\ B.$

 

Dans le triangle $AHB$, on a :

 

$(HC)$ est la hauteur issue de $H$

 

$(AC)$ est la hauteur issue de $A$

 

$(BC)$ est la hauteur issue de $B$

 

On remarque alors que ces trois hauteurs se coupent au point $C.$

 

Par conséquent, $C$ est l'orthocentre du triangle $AHB.$

 

De la même manière, dans le le triangle $AHC$, on a :

 

$(HB)$ est la hauteur issue de $H$

 

$(AB)$ est la hauteur issue de $A$

 

$(BC)$ est la hauteur issue de $B$

 

On constate que ces trois hauteurs se coupent au point $B.$

 

Ce qui signifie que $B$ est l'orthocentre du triangle $AHB.$

1) Traçons deux droites $(D_{1})\ $ et $\ (D_{2})$ sécantes en un point $O$ et plaçons un point $A$ n'appartenant pas à ces droites.

 

2) Construisons le point $B$ symétrique de $A$ par rapport à $(D_{1})$ et le point $C$ symétrique de $A$ par rapport à $(D_{2}).$

 

3) Le point $O$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$

 

Justifions notre réponse.

 

On a : $B$ symétrique de $A$ par rapport à $(D_{1}).$ Cela signifie que $(D_{1})$ est la médiatrice du segment $[AB].$

 

On a aussi : $C$ symétrique de $A$ par rapport à $(D_{2}).$ Ce qui signifie que $(D_{2})$ est la médiatrice du segment $[AC].$

 

De plus, $(D_{1})\ $ et $\ (D_{2})$ sont sécantes en $O.$

 

On peut donc dire que les deux médiatrices $(D_{1})\ $ et $\ (D_{2})$ du triangle $ABC$ se coupent au point $O.$

 

Or, on sait que le point de rencontre des médiatrices d'un triangle est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.

 

Par conséquent, $O$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC.$

Reproduisons et complétons le tableau ci- dessous.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Angles}&&&&&&\\\text{d'un}&\text{Triangle 1}&\text{Triangle 2}&\text{Triangle 3}&\text{Triangle 4}&\text{Triangle 5}&\text{Triangle 6}\\\text{triangle}&&&&&&\\\hline \widehat{a}&36^{\circ}&54^{\circ}&60^{\circ}&72^{\circ}&90^{\circ}&45^{\circ}\\\hline\widehat{b}&108^{\circ}&36^{\circ}&60^{\circ}&72^{\circ}&63^{\circ}&45^{\circ} \\\hline\widehat{c}&36^{\circ}&90^{\circ}&60^{\circ}&36^{\circ}&27^{\circ}&90^{\circ} \\\hline\widehat{a}+\widehat{b}&144^{\circ}&90^{\circ}&120^{\circ}&144^{\circ}&153^{\circ}&90^{\circ}\\\hline\text{Nature}&\text{isocèle}&\text{rectangle}&&\text{isocèle}&\text{rectangle}&\text{rectangle}\\\text{du}&\text{en }B&\text{en }C&\text{équilatéral}&\text{en }C&\text{en }A&\text{isocèle}\\\text{triangle}&&&&&&\text{en }C\\\hline\end{array}$$

1) Les angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires.

 

2) Construisons un triangle $ABC$ tel que $\widehat{ABC}=56^{\circ}\ $ et $\ \widehat{BAC}=34^{\circ}.$

 

3) Traçons $(D)$ la bissectrice de l'angle $\widehat{ACB}.\ (D)$ coupe $[AB]$ en $E.$

 

4) Calculons la mesure de chacun des angles $\widehat{ACE}\ $ et $\ \widehat{BCE}$

 

On constate d'abord que les angles $\widehat{ABC}\ $ et $\ \widehat{BAC}$ sont complémentaires.

 

En effet, on a : $\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=56^{\circ}+34^{\circ}=90^{\circ}$ donc, $\widehat{ABC}\ $ et $\ \widehat{BAC}$ sont complémentaires.

 

Par conséquent, le triangle $ABC$ est rectangle en $C.$

 

D'où, $\widehat{ACB}=90^{\circ}$

 

Comme $(D)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{ACB}$ alors, la droite $(D)$ partage l'angle $\widehat{ACB}$ en deux angles de même mesure.

 

Ce qui signifie que : $\widehat{ACE}=\widehat{BCE}=\dfrac{\widehat{ACB}}{2}$

 

En remplaçant $\widehat{ACB}$ par sa valeur, on obtient : $\widehat{ACE}=\widehat{BCE}=\dfrac{90^{\circ}}{2}=45^{\circ}$

 

D'où, $\boxed{\widehat{ACE}=\widehat{BCE}=45^{\circ}}$

1) Traçons le triangle $ABC$ tel que :

$$AB=5\;cm\;,\ \widehat{CAB}=50^{\circ}\ \text{ et }\ \widehat{ABC}=60^{\circ}$$

Construisons le cercle $(C)$ de centre $O$ circonscrit au triangle $ABC.$

 

Pour cela, on trace les trois médiatrices du triangle $ABC.$

 

Le point de rencontre $O$ de ces trois médiatrices est alors le centre du cercle $(C)$ circonscrit à ce triangle.

 

2) Plaçons le point $M$ diamétralement opposé à $A.$

 

Le triangle $AMC$ est rectangle en $C.$ 

 

Justifions notre réponse.

 

En effet, on a : $M$ diamétralement opposé à $A$ donc, $[AM]$ est un diamètre du cercle $(C).$

 

De plus, on sait que : si on joint un point d'un cercle aux extrémités d'un de ses diamètres ne contenant pas ce point alors, on obtient un triangle rectangle.

 

Or, $C$ est un point du cercle $(C)$ et on a joint $C$ aux extrémités $A\ $ et $\ M$ du diamètre $[AM]$ de ce cercle.

 

Par conséquent, $AMC$ est un triangle rectangle en $C.$

 

3) a) Construisons le point $H$ symétrique de $B$ par rapport au point $I$ milieu de $[AC].$

 

b) Le quadrilatère $ABCH$ est un parallélogramme.

 

Justifions notre réponse.

 

On a : $H$ symétrique de $B$ par rapport au point $I$ alors, $I$ est milieu de $[BH].$

 

On a aussi : $I$ milieu de $[AC].$

 

Donc, on remarque que le quadrilatère $ABCH$ a ses diagonales de même milieu $I.$

 

Or, on sait que : si un quadrilatère a ses diagonales de milieu alors, c'est un parallélogramme.

 

D'où, $ABCH$ est un parallélogramme.

 

c) Déterminons la mesure de chacun des angles $\widehat{ACH}\ $ et $\ \widehat{AHC}.$

 

Comme $ABCH$ est un parallélogramme alors, $(HC)$ est parallèle à $(AB).$

 

Ainsi, $(HC)\ $ et $\ (AB)$ sont deux droites parallèles coupées par la sécante $(AC).$

 

Par conséquent, $\widehat{ACH}\ $ et $\ \widehat{CAB}$ sont deux angles alternes internes de même mesure.

 

Ce qui signifie alors : $\widehat{AHC}=\widehat{CAB}.$

 

Comme $\widehat{CAB}=50^{\circ}$ alors, $\boxed{\widehat{ACH}=50^{\circ}}$

 

Aussi, on sait que : dans un parallélogramme, deux angles opposés ont même mesure.

 

Or, dans le parallélogramme $ABCH$, les angles $\widehat{ACH}\ $ et $\ \widehat{ABC}$ sont opposés donc, ils ont la même mesure.

 

Ce qui signifie alors : $\widehat{ACH}=\widehat{ABC}$

 

Comme $\widehat{ABC}=60^{\circ}$ alors, $\boxed{\widehat{AHC}=60^{\circ}}$

1) Construisons un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que : $AB=5\;cm\ $ et $\ \widehat{ACB}=35^{\circ}.$

2) Construisons un triangle $EFG$ isocèle en $E$ avec $FG=5\;cm\ $ et $\ \widehat{FEG}=100^{\circ}.$

3) a) Traçons un segment $[IJ]$ de $5\;cm$ de longueur et plaçons $H$ un point n'appartenant pas à $[IJ]$ tel que $HI=HJ=4\;cm.$

 

Il faut remarquer que $H$ est sur la médiatrice du segment $[IJ].$

 

b) Construisons le triangle $IJK$ dont le cercle circonscrit a pour centre le point $H.$

 

Pour cela, on trace d'abord le cercle de centre $H$ et de rayon $4\,cm$

 

Ce cercle passe par les points $I\ $ et $\ J$ car $HI=HJ=4\;cm.$

 

Ensuite, on place le point $K$ sur ce même cercle.

 

On trace enfin le triangle $IJK.$

 

On constate alors que le cercle circonscrit à ce triangle a a pour centre le point $H.$

$POT$ est le triangle tel que :

$$PT=5\;cm\;,\ \widehat{OPT}=32^{\circ}\ \text{ et }\ \widehat{OTP}=58^{\circ}$$

1) $POT$ est un triangle rectangle en $O.$

 

Justifions notre réponse. 

 

En effet, on a : $\widehat{OPT}+\widehat{OTP}=32^{\circ}+58^{\circ}=90^{\circ}$

 

On remarque alors que les angles aigus du triangle $POT$ sont complémentaires.

 

Par conséquent, le triangle $POT$ est rectangle en $O.$

 

Marquons le point $E$ milieu de $[PT].$

 

Le triangle $EOP$ est isocèle en $E.$ 

 

Justifions notre réponse.

 

En effet, le triangle rectangle $POT$ a pour hypoténuse le côté $[PT].$

 

Or, on sait que : dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est à égale distance des trois sommets du triangle.

 

Donc, le point $E$ est à égale distance des sommets $P\;;\ O\ $ et $\ T$ du triangle $POT.$

 

Cela signifie que les segments $[EP]\;;\ [EO]\ $ et $\ [ET]$ ont même longueur.

 

Ainsi, le triangle $EOP$ a deux côtés de même longueur.

 

Par conséquent, c'est un triangle isocèle en $E.$

 

2) La hauteur issue de $E$ dans le triangle $OET$ coupe le segment $[OT]$ en $I.$

 

a) Montrons que l'angle $\widehat{OEI}=32^{\circ}.$

 

On a : $(OP)$ perpendiculaire à $(OT)\ $ et $\ ((EI)$ perpendiculaire à $(OT).$

 

Or, on sait que : si deux droites sont perpendiculaires alors, toute droite perpendiculaire à l'une est parallèle à l'autre.

 

Donc, les droites $(OP)\ $ et $\ (EI)$ sont parallèles.

 

Alors, $(OP)\ $ et $\ (EI)$ sont deux droites parallèles coupées par la sécante $(OE).$

 

Par conséquent, $\widehat{OEI}\ $ et $\ \widehat{POE}$ sont deux angles alternes internes de même mesure.

 

Ce qui signifie alors : $\widehat{OEI}=\widehat{POE}.$

 

Or, $\widehat{POE}=\widehat{OPE}=32^{\circ}$ car le triangle $EOP$ est isocèle en $E.$

 

Ainsi, $\boxed{\widehat{OEI}=32^{\circ}}$

 

b) Justifions que la droite $(EI)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{OET}.$

 

On a : $EO=ET$ donc, le triangle $OET$ est isocèle en $E.$

 

Par conséquent, la hauteur $(EI)$ issue de $E$ est en même temps bissectrice de l'angle $\widehat{OET}.$

 

3) La parallèle à la droite $(OE)$ passant par $P$ et la parallèle à la droite $(PE)$ passant par $O$ se coupent en $A.$

 

a) Justifions que le quadrilatère $AOEP$ est un parallélogramme.

 

On a :

 

La parallèle à la droite $(OE)$ passe par $P\ $ et $\ A$ donc, les droites $(OE)\ $ et $\ (PA)$ sont parallèles.

 

La parallèle à la droite $(PE)$ passe par $O\ $ et $\ A$ donc, les droites $\ (PE)$ et $\ (OA)$ sont parallèles.

 

Ainsi, on constate que le quadrilatère $AOEP$ a ses côtés parallèles deux à deux.

 

Par conséquent, c'est un parallélogramme.

 

b) Justifions que l'angle $\widehat{PAO}= 116^{\circ}.$

 

On sait que : dans un parallélogramme, deux angles opposés ont même mesure.

 

Or, dans le parallélogramme $AOEP$, les angles $\widehat{PAO}\ $ et $\ \widehat{OEP}$ sont opposés donc, ils ont la même mesure.

 

Ce qui signifie alors : $\widehat{PAO}=\widehat{OEP}$

 

Cherchons alors la mesure de l'angle $\widehat{OEP}$

 

On sait que dans un triangle la somme des angles est égale à $180^{\circ}.$

 

Donc, $\widehat{OEP}+\widehat{OPE}+\widehat{POE}=180^{\circ}$

 

Ce qui entraine alors : $\widehat{OEP}=180^{\circ}-(\widehat{OPE}+\widehat{POE})$

 

En remplaçant $\widehat{OPE}\ $ et $\ \widehat{POE}$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\widehat{OEP}&=&180^{\circ}-(\widehat{OPE}+\widehat{POE})\\\\&=&180^{\circ}-(32^{\circ}+32^{\circ})\\\\&=&180^{\circ}-64^{\circ}\\\\&=&116^{\circ}\end{array}$

 

Donc, $\widehat{OEP}=116^{\circ}$

 

Par conséquent, $\boxed{\widehat{PAO}=116^{\circ}}$

Exercice 27

Exercice 28

Exercice 29