Série d'exercices : Étude du dipôle RC - Ts

Classe: 
Terminale
 

Exercice 1

On veut déterminer la capacité C d'un condensateur, pour cela on réalise sa charge avec un générateur de courant. 
 
Ce générateur débite un courant d'intensité I=0.5mA. 
 
On réalise la saisie automatique de la tension UC aux bornes du condensateur en fonction du temps. 
 
Le montage utilisé est schématisé ci-dessous :
 
 
1) Refaire le schéma du montage ; représenter UC, q (q>0), la voie Y et la masse de l'oscilloscope afin que l'on puisse visualiser UC.
 
2) A l'instant t=0 on ferme l'interrupteur K. 
 
Établir la relation entre I, C, UC et t.
 
3) On obtient la courbe UC(t) : (voir document ci-dessous). 
 
 
A l'aide de la courbe, déterminer la valeur de la capacité C du condensateur.
 
4) Afin de ne pas détériorer le condensateur, la durée de charge ne doit pas dépasser tmax=2min.
 
a) Calculer la tension de claquage du condensateur.
 
b) Déduire l'énergie électrique maximale emmagasinée par le condensateur.

Exercice 2

Le montage représenté ci-dessous permet de charger et de décharger un condensateur dans une résistance R.
 
 
1) a) Pour chacune de ces deux opérations, quelle doit être la position de l'interrupteur ?
 
1) b) Des deux graphes (fig 1 et fig 2) proposés ci-dessous, lequel correspond à la charge de ce condensateur ? 
 
 
 
Justifier.
 
2) Le générateur de courant permet une charge, à intensité constante, d'un condensateur. 
 
La charge dure 40s et l'intensité du courant a pour valeur 1μA.
 
2) a) Calculer la charge du condensateur à la date 40s.
 
2) b) Quelle est la valeur de l'énergie emmagasinée par le condensateur à cette date ?
 
2) c) Quelle est la capacité du condensateur ?
 
3) Sachant que ce condensateur est plan et que l'aire des deux surfaces communes en regard est S=0.1m2 et que l'épaisseur du diélectrique qui se trouve entre les deux plaques est e=0.02mm.
 
a) déterminer la permittivité électrique absolue ϵ du diélectrique de ce condensateur.
 
b) Déduire la permittivité relative ϵr du diélectrique. 
 
On donne ϵ0=8.851012u.s.i

Exercice 3

Le circuit électrique représenté par la figure ci-dessous (fig 2) est constitué des éléments suivants :
 
 
  Un générateur de tension idéale de f.e.m E.
 
  Deux conducteurs ohmiques de résistances R1 et R2.
 
  Un condensateur de capacité C initialement déchargé.
 
  Un commutateur K.
 
I. A l'instant t=0, on place le commutateur K dans la position 1. 
 
Un système d'acquisition approprié permet d'obtenir les courbes de variation de la charge q(t) du condensateur et la tension uR1(t) aux bornes du résistor R1. (voir fig 3 et fig 4).
 
 
1) a) Préciser, en le justifiant, le graphe correspondant à la charge q=f(t) et celui correspondant à la tension uR1=g(t).
 
b) Établir, à un instant de date t quelconque la relation entre q, uR1, E et C.
 
c) Montrer qu'à la date t=0, la tension uR1 est égale à E. 
 
En déduire sa valeur (pour le graphe de uR1(t) : 1 carreau  2V).
 
d) A partir du graphe de q(t), prélever la valeur de la charge électrique maximale Qmax du condensateur (1 carreau  2104C).
 
2) a) Définir la constante de temps τ d'un dipôle RC. 
 
Montrer que τ est un temps.
 
b) Montrer que l'équation différentielle régissant les variations de uR1 au cours du temps peut s'écrire sous la forme τ1duR1dt+uR1=0 avec τ1=R1C.
 
c) La solution générale de cette équation est de la forme : uR1=Aeαt. 
 
Déterminer A et α.
 
d) Montrer que lorsque le condensateur est complètement chargé, sa tension est égale à E.
 
Déduire la valeur de la capacité C.
 
3) a) Déterminer graphiquement τ1. 
 
Préciser la méthode utilisée.
 
b) Calculer la valeur de R1.
 
c) Calculer l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur lorsque uR1=uC.
 
II. Lorsque le condensateur est complètement chargé, on bascule le commutateur K à la position 2 à un instant choisi comme nouvelle origine des dates.
 
1) a) Écrire la loi des mailles correspondante.
 
b) Montrer qu'à la date t=0, la tension aux bornes du résistor R2 est uR2=E.
 
2) La tension aux bornes du résistor R2 est donnée par l'expression uR2=Eet/τ2 avec τ2=R2C.
 
a) Sachant qu'à la date t2=4102s, la charge du condensateur est q=3.7104C. 
 
Calculer R2.
 
b) Représenter sur le même graphe l'allure de la courbe représentant q en fonction du temps au cours de la décharge. 
 
Même question pour la tension uR2(t).

Exercice 4

Au cours d'une séance de TP on étudie la décharge d'un condensateur de capacité C (préalablement chargé) à travers un dipôle ohmique de résistance R. 
 
Un ordinateur muni d'une interface et d'un tableur a permis de tracer les courbes représentant l'évolution de la tension u=uAB et de l'intensité du courant dans le circuit (voir ci-dessous).
 
 
 
1) Établir la relation entre i et dudt.
 
2) Donner, en justifiant la réponse, le signe de qA à l'instant t=0.
 
3) Indiquer, en justifiant les réponses, le sens réel du courant et le sens de déplacement des électrons.
 
4) Déterminer la valeur de la constante de temps τ du dipôle RC.
 
5) Déterminer les valeurs de R et de C.

Exercice 5

On étudie le flash d'un appareil photographique jetable. 
 
Dans ce type d'appareil, une pile de 1.5V alimente un oscillateur. 
 
Un transformateur élève la tension qui, après avoir été redressée, permet de charger un condensateur. 
 
Une lampe témoin s'allume lorsque le flash est prêt à fonctionner. 
 
La décharge du condensateur dans une lampe à éclat engendre l'éclair.
 
Le condensateur utilisé porte les indications suivantes : 330V ; 160μF±;10%. 
 
La durée minimale séparant deux déclenchements successifs du flash est de 10s.
 
Pour vérifier la valeur de la capacité du condensateur, on réalise le montage schématisé ci-dessous.
 
 
Le condensateur, initialement déchargé, est alimenté à travers un dipôle ohmique de résistance R=12.5kΩ par une source idéale de tension appliquant une tension E=300V.
 
A l'aide d'un oscilloscope numérique, on visualise la tension uC aux bornes du condensateur ainsi que la tension uR aux bornes du dipôle ohmique. 
 
Ces courbes sont représentées ci-dessous.
 
 
1) Indiquer, sur le schéma du montage, le branchement permettant à un oscilloscope de tracer les courbes (a) et (b). 
 
On précisera sur le schéma les tensions effectivement mesurées.
 
2) Des tensions uR et uC, quelle est celle qui permet de suivre l'évolution du courant (intensité) dans le circuit ? 
 
Justifier la réponse.
 
3) Quelle est des deux courbes (a) et (b) celle qui représente uC
 
Justifier la réponse.
 
4) Montrer que le produit RC est homogène à une durée.
 
5) Montrer qu'une seule des équations différentielles suivantes est correcte.
(1)RduRdt+CuR=0 ;
(2)CduRdt+RuR=0 ;
(3)RCduRdt+uR=0 ;
(4)duRdt+RCuR=0 ;
 
6) La solution de l'équation différentielle vérifiée par la tension uR a pour expression : uR=Eet/τ avec τ=RC.
 
Montrer que l'on peut écrire : Ln(uR)=at+b. 
 
On exprimera a et b en fonction de E et τ.
 
7) La droite précédente est tracée par l'ordinateur (document ci-dessous). 
 
 
En déduire la valeur de la capacité C du condensateur. 
 
Cette valeur est-elle en accord avec l'indication portée sur le condensateur ?

Exercice 6

1. On considère le circuit électrique ci-dessous comprenant un conducteur ohmique de résistance R=4.7kΩ, un condensateur de capacité C et une alimentation stabilisée de tension à vide E. 
 
Un fil conducteur relie les bornes B et D du condensateur.
 
 
1.1 Que vaut la tension aux bornes du condensateur ?
 
1.2 Déterminer l'expression de l'intensité I0 du courant dans le circuit en fonction de certains paramètres parmi les suivants E, R, C.
 
2. On se propose de suivre l'évolution de la tension uBD aux bornes du condensateur, au cours du temps.
 
Un ordinateur est relié au circuit électrique par l'intermédiaire d'une interface d'acquisition de données (voir figure 1)
 
 
A la date t=0, on enlève le fil conducteur aux bornes du condensateur. 
 
On enregistre alors la variation de la tension uBD aux bornes du condensateur au cours du temps. 
 
L'acquisition de mesures étant terminée, on trace le graphe d'équation uBD=f(t) (voir document 1).
 
2.1 Déterminer, à partir du document 1, la valeur de la tension E.
 
En déduire la valeur de l'intensité I0 du courant dans le circuit à t=0.
 
2.2 Établir que l'équation différentielle d'évolution de la tension uBD au cours du temps est donnée par l'expression :
duBDdt+uBDRC=ERC
 
Vérifier à partir de l'équation différentielle que la constante de temps du circuit τ=RC est homogène à une durée.
 
2.3 A partir du coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe uBD=f(t) à l'instant de date t=0, déterminer la constante de temps du circuit. 
 
En déduire la valeur de la capacité C du condensateur.
 
A partir du document 1, déterminer la durée au bout de laquelle on peut considérer que le condensateur est chargé. 
 
Comparer cette durée à la constante de temps τ du circuit.
 
3. On désire visualiser sur un oscilloscope l'évolution de la tension uBD aux bornes du condensateur lors de sa charge.
 
Le circuit électrique comprend maintenant un générateur basse fréquence (GBF) délivrant une tension carrée uAD, un condensateur de capacité C=10nF et un conducteur ohmique de résistance R=10kΩ. (fig 2).
 
 
4. Indiquer, sur le circuit électrique de la figure 2, les branchements à réaliser pour visualiser sur la voie 1 de l'oscilloscope la tension délivrée par le générateur basse fréquence, et sur la voie 2 la tension aux bornes du condensateur.

Exercice 7

I. On se propose d'étudier l'évolution de la tension aux bornes d'un condensateur dans le but de déterminer la capacité du condensateur.
 
Un générateur de tension de force électromotrice E alimente un conducteur ohmique de résistance R=100Ω et un condensateur de capacité C, associés en série (figure 1).
 
 
Un dispositif d'acquisition de données relié à un ordinateur permet de suivre l'évolution de la tension uC aux bornes du condensateur en fonction du temps.
 
À la date t=0, on ferme l'interrupteur K et l'ordinateur enregistre la courbe uC=f(t).
 
 
1) À l'aide de la courbe uC(t), déterminer la date t à partir de laquelle on peut considérer que la tension uC est constante. 
 
Quel phénomène physique est mis en évidence par la portion de courbe située avant la date t ?
 
2) Déterminer la valeur de E. 
 
Expliquer.
 
3) Déterminer la valeur de la constante de temps τ du circuit.
 
4) En déduire une valeur approchée de C.
 
5) Évaluer, à partir de la figure ci-dessus, la durée Δt nécessaire pour charger complètement le condensateur. 
 
Comparer Δt à τ.
 
6) Faut-il augmenter ou diminuer la valeur de R pour charger plus rapidement le condensateur ? 
 
Justifier la réponse.
 
7) En respectant l'orientation d'intensité qui est indiquée sur la figure 1, établir l'équation différentielle vérifiée par la tension uC.
 
8) Sachant que uC=E(1et/RC) est solution de l'équation différentielle et en respectant l'orientation d'intensité qui est indiquée sur la figure 1, établir l'expression de i(t). 
 
En déduire l'allure de la courbe i=f(t).

Exercice 8

On dispose au laboratoire d'un condensateur de capacité C inconnue, pour déterminer expérimentalement la valeur de C, deux groupes d'élèves proposent deux solutions différentes.
 
I. Le premier groupe réalise un circuit électrique comportant :
 
  Un générateur idéal de courant débitant un courant d'intensité constante I=20μA.
 
  Un voltmètre.
 
  Le condensateur de capacité C inconnue.
 
  Un conducteur ohmique de résistance R
 
  Un interrupteur K et un chronomètre.
 
A la date t=0, ils ferment l'interrupteur K et mesurent à différentes dates la tension aux bornes du condensateur, ce qui leur a permis de tracer la courbe de variation de la tension uc aux bornes du condensateur en fonction du temps (figure 1 ).
 
 
1) Représenter le schéma du circuit en indiquant le branchement du voltmètre.
 
2) Établir l'expression de uC en fonction de I, C et t.
 
3) Déterminer graphiquement la valeur de la capacité C.
 
Calculer à la date t=20s, l'énergie emmagasinée dans le condensateur.
 
II. Le deuxième groupe réalise un circuit électrique comportant :
 
  Un générateur basse fréquence G.B.F de signaux carrés, de fréquence N, fournissant alternativement une tension nulle ou positive Um (Tension créneaux).
 
  Un oscilloscope bicourbe,
 
  Le condensateur de capacité C inconnue.
 
  Un conducteur ohmique de résistance R réglable et un interrupteur K.
 
1) Représenter le schéma du circuit en indiquant les branchements des fils de masse et les entrées YA et YB de l'oscilloscope nécessaire pour visualiser respectivement la tension fournie par le G.B.F et la tension aux bornes du condensateur.
 
2) Avec R=40Ω, on observe sur l'écran de l'oscillo les courbes de la figure 2.
 
Les réglages de l'oscilloscope indiquent Sensibilité verticales sur YA : 2Vdiv1 et sur YB : 1Vdiv1.
 
Sensibilité horizontale : 10msdiv1.
 
a) Identifier les courbes 1 et 2, interpréter le phénomène observé principalement, dans les zones OA et AB.
 
b) Établir l'équation différentielle régissant les variations de uC dans la zone OA. 
 
Donner l'expression de sa solution en fonction de Um, R, C et t.
 
c) Déterminer graphiquement
 
  La période T du G.B.F et la tension maximale Um fournie.
 
Calculer la fréquence N.
 
  la constante de temps τ. 
 
Déduire la valeur de la capacité C du condensateur, la comparer à celle trouvée par le premier groupe.
 
d) Tracer sur le même graphe l'allure de la courbe de variation de la tension uR aux bornes du résistor en fonction du temps. 
 
Préciser sur le graphe les deux régimes.
 
3) On règle la résistance R à la valeur 60Ω.
 
a) Calculer la nouvelle valeur de la constante de temps.
 
Tracer, sur le même graphe, l'allure de la courbe représentant uC en fonction du temps.
 
 

Exercice 9

I. Le condensateur de capacité C utilisé dans le montage schématisé ci-dessous est alimenté par un générateur de tension supposé idéal délivrant entre ses bornes une tension E=6V. 
 
 
Un conducteur ohmique a une résistance R=300Ω alors que l'autre sa résistance R est inconnue. 
 
Le condensateur étant initialement déchargé, le commutateur K est placé sur la position 1 à un instant pris comme origine de temps et à l'aide d'un ordinateur muni d'une interface on a pu suivre l'évolution de l'intensité de courant électrique dans le circuit voir figure 2 (page à compléter et à remettre avec la copie)
 
 
1) En désignant par q la charge positive portée par l'armature A du condensateur à une date t. 
 
Indiquer sur le schéma le sens arbitraire positif du courant i(t).
 
2) En appliquant la loi des mailles, établir l'équation différentielle régissant les variations de l'intensité du courant i(t).
 
3) Cette équation différentielle admet pour solution : i(t)=AeαtA et α sont deux constantes positives qu'on déterminera leurs expressions.
 
4) Déterminer l'expression de la tension aux bornes du condensateur uAB(t).
 
5) En utilisant le graphe de i(t), déterminer :
 
a) la valeur de la résistance R.
 
b) la valeur de la constante de temps τ. 
 
Déduire la valeur de la capacité C.
 
II. Lorsque l'intensité de courant s'annule dans le circuit, on bascule le commutateur K sur la position 2 à une date considérée comme origine de temps alors qu'on a programmé l'ordinateur pour tracer la courbe d'évolution de l'énergie dissipée dans le résistor R en fonction de u2AB. 
 
La courbe obtenue est donnée par la figure 3
 
 
1) En appliquant la loi des mailles, établir l'équation différentielle régissant les variations de la tension uAB(t).
 
2) La solution de l'équation différentielle précédente est uAB(t)=Eet/τ.
 
3) Trouver l'expression de l'intensité du courant et déduire le sens du courant réel.
 
4) Montrer que l'énergie dissipée par effet joule dans le résistor R s'écrit sous la forme :
Edissipée=12Cu2AB+12CE2
 
5) En utilisant le graphe de la figure 3 :
 
a) Retrouver la valeur de la capacité du condensateur.
 
b) Déterminer l'instant t pour lequel l'énergie dissipée est égale à l'énergie emmagasinée dans le condensateur
 

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