Équations et Inéquations - 5e
Classe:
Cinquième
I. Équations
I.1. Activité
Matar veut acheter un article coûtant 2000F et il ne dispose que de 400F Peut-il acheter l'article ?
Sinon propose-lui une solution.
Résolution
La somme dont dispose Matar est inférieur au prix de l'article. Donc, il ne pourra pas acheter cet article.
Si x est la somme qui lui manque pour pouvoir acheter l'article alors,
400F+x=1000F⇒x=1000F−400F⇒x=600F
Donc, il lui faut 600F de plus.
I.2. Équation de type a+x=b
Légalité a+x=b où a et b sont des nombres décimaux relatifs est appelée équation d'inconnue x.
Trouver la valeur de x est autrement dit résoudre l'équation a+x=b.
La solution de cette équation est :
x=b−a
L'ensemble des solutions est noté :
S={b−a}
Exemple
Résoudre l'équation 19+x=27
Soit :
19+x=27⇒x=27−19⇒x=8
D'où, S={8}
Application
1) Résoudre dans D les équations suivantes :
a) 12+x=15
b) x+15=12
c) x+19=−7
d) x−12=9
2) Modou a x cahiers dans son sac. Sa sœur lui donne 5 autres. Ce qui lui fait un total de 20 cahiers.
Trouve le nombre x de cahiers qui se trouvait dans son sac.
Solution
1) Résolvons les équations suivantes :
a) 12+x=15⇒x=15−12⇒x=3
Donc, S={3}
b) x+15=12⇒x=12−15⇒x=−3
Ainsi, S={−3}
c) x+19=−7⇒x=−7−19⇒x=−26
D'où, S={−26}
d) x−12=9⇒x=9+12⇒x=21
Donc, S={21}
2) Trouvons le nombre x de cahiers qui se trouvait dans le sac de Modou
Le problème de Modou se traduit par l'équation suivante :
x+5=20
Donc, trouver le nombre x revient à résoudre l'équation x+5=20
On a :
x+5=20⇒x=20−5⇒x=15
D'où, S={15}
Ainsi, on peut dire que Modou avait 15 cahiers dans son sac.
I.3. Équation de type ax=b
Résoudre une équation de type ax=b où a et b sont des nombres décimaux relatifs avec a≠0, c'est trouver les valeurs de x qui vérient l'équation. La solution de cette équation est donnée par :
x=ba
L'ensemble des solutions est noté :
S={ba}
Exemple
Soit à résoudre l'équation suivante : 3x=27
On a :
3x=27⇒x=273⇒x=9
Donc, S={9}
Application
Résoudre dans D les équations suivantes :
a) 2x−12=0
b) 3x+5=26
c) 2x−6=4
Solution
a) 2x−12=0⇒2x=0+12⇒x=122⇒x=6
Donc, S={6}
b) 3x+5=26⇒3x=26−5⇒3x=21⇒x=213⇒x=7
Par suite, S={7}
c) 2x−6=4⇒2x=4+6⇒2x=10⇒x=102⇒x=5
D'où, S={5}
II. Inéquations
II.1. Inéquation de type a+x≤b
L'inéquation a+x≤b où a et b sont des décimaux donnés est appelée inéquation d'inconnue x.
Dans une inéquation, les deux membres sont séparés par le signe de l'inégalité.
Résoudre l'inéquation a+x≤b revient à déterminer l'ensemble des solutions pour la valeur de x≤b−a
Cet ensemble est noté : S=]−∞; (b−a)]
Exemple
Résoudre l'inéquation 5+x≤3
On a :
5+x≤3⇔x≤3−5⇔x≤−2
D'où, S=]−∞; −2]
Graphiquement, on obtient :

L'ensemble des solutions est représenté par la partie non hachurée.
II.2. Inéquation de type a+x≥b
Résoudre l'inéquation a+x≥b revient à déterminer l'ensemble des valeurs de l'inconnue x vérifiant x≥b−a
L'ensemble des solutions est noté : S=[(b−a); +∞[
Exemple
Résoudre l'inéquation −3+x≥−3
On a :
−3+x≥−3⇔x≥−3+3⇔x≥0
Donc, S=[0; +∞[
On peut aussi illustrer graphiquement cet ensemble de solution à travers la figure ci-dessous :

L'ensemble des solutions est représenté par la partie non hachurée.
Remarques
Soit a un nombre alors, on a :
⋅ Si x>a alors, l'ensemble des solutions S sera noté :
S=]a; +∞[
Donc, le nombre a n'appartient pas à l'ensemble S des solutions.
Graphiquement, on obtient :

La partie non hachurée représente l'ensemble des solutions.
⋅ Si x≥a alors, l'ensemble des solutions S est donné par :
S=[a; +∞[
Ici, le nombre a appartient à l'ensemble S des solutions.
La représentation graphique donne :

L'ensemble des solutions est donc représenté par la partie non hachurée.
⋅ Si x<a alors, l'ensemble des solutions S est :
S=]−∞; a[
Ainsi, le nombre a n'appartient pas à cet ensemble.
En représentant graphiquement sur une droite graduée, on obtient :

La partie non hachurée représente l'ensemble des solutions.
⋅ Si x≤a alors, l'ensemble des solutions S est donnée par :
S=]−∞; a]
Le nombre a appartient à l'ensemble S des solutions.
La représentation graphique donne :

L'ensemble des solutions est donc représenté par la partie non hachurée.
Application
Résoudre dans D les inéquations suivantes :
a) 2(x+3)−x−5<0
b) 4(x−2.5)+5(3+x)≥5
Solution
a) On a :
2(x+3)−x−5<0⇔2×x+2×3−x−5<0⇔2x+6−x−5<0⇔2x−x+6−5<0⇔x+1<0⇔x<−1
Donc, S]−∞; −1[
En utilisant une représentation graphique, on obtient :

Ainsi, la partie non hachurée constitue l'ensemble des solutions de cette inéquation.
b) On a :
4(x−2.5)+5(3+x)=4×x+4×(−2.5)+5×3+5×x=4x−10+15+5x=9x+5
Donc,
4(x−2.5)+5(3+x)≥5⇔9x+5≥5⇔9x≥5−5⇔9x≥0⇔x≥0
Par suite, S[0; +∞[
La représentation graphique donne :

D'où, l'ensemble des solutions sera représenté par la partie non hachurée.
Auteur:
Mamadou Siradji Dia
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
mer, 03/11/2020 - 15:19
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c'est trop bien mais il y'a
AISSATOU SYLLA (non vérifié)
dim, 10/15/2023 - 19:54
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pourquoi, t'aime pas les
Anonyme (non vérifié)
mer, 03/11/2020 - 15:19
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c'est trop bien mais il y'a
Anonyme (non vérifié)
dim, 06/12/2022 - 17:55
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Trop bien cette paje ca ma
Alassan Amalkat... (non vérifié)
ven, 04/28/2023 - 19:05
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Bien
Anonyme (non vérifié)
lun, 05/22/2023 - 23:57
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Merci beaucoup pour votre
Anonyme (non vérifié)
ven, 06/02/2023 - 13:09
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Avec ça je comprends mieux
AISSATOU SYLLA (non vérifié)
dim, 10/15/2023 - 19:58
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mucha gracias sunudaara, vous
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