Équations et Inéquations - 5e

Classe: 
Cinquième
 

I. Équations

I.1. Activité

Matar veut acheter un article coûtant $2000\;F$ et il ne dispose que de $400\;F$ Peut-il acheter l'article ?
 
Sinon propose-lui une solution.

Résolution

La somme dont dispose Matar est inférieur au prix de l'article. Donc, il ne pourra pas acheter cet article.
 
Si $x$ est la somme qui lui manque pour pouvoir acheter l'article alors,
 
$\begin{array}{rcrcl} 400\;F+x=1000\;F&\Rightarrow&x&=&1\,000\;F-400\;F\\\\&\Rightarrow&x&=&600\;F\end{array}$
 
Donc, il lui faut $600\;F$ de plus.

I.2. Équation de type $\ a+x=b$

Légalité $\ a+x=b\ $ où $a\ $ et $\ b$ sont des nombres décimaux relatifs est appelée équation d'inconnue $x.$
 
Trouver la valeur de $x$ est autrement dit résoudre l'équation $\ a+x=b.$
 
La solution de cette équation est :
$$x=b-a$$
L'ensemble des solutions est noté :
$$S=\{b-a\}$$
Exemple
 
Résoudre l'équation $19+x=27$
 
Soit : 
 
$\begin{array}{rcrcl} 19+x=27&\Rightarrow&x&=&27-19\\\\&\Rightarrow&x&=&8\end{array}$
 
D'où, $\boxed{S=\{8\}}$

Application

1) Résoudre dans $\mathbb{D}$ les équations suivantes :
 
a) $12+x=15$
 
b) $x+15=12$
 
c) $x+19=-7$
 
d) $x-12=9$
 
2) Modou a $x$ cahiers dans son sac. Sa sœur lui donne 5 autres. Ce qui lui fait un total de 20 cahiers.
 
Trouve le nombre $x$ de cahiers qui se trouvait dans son sac.

Solution

1) Résolvons les équations suivantes :
 
$\begin{array}{rcrcl}\text{a) }\ 12+x=15&\Rightarrow&x&=&15-12\\\\&\Rightarrow&x&=&3\end{array}$
 
Donc, $\boxed{S=\{3\}}$
 
$\begin{array}{rcrcl}\text{b) }\ x+15=12&\Rightarrow&x&=&12-15\\\\&\Rightarrow&x&=&-3\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{S=\{-3\}}$
 
$\begin{array}{rcrcl}\text{c) }\ x+19=-7&\Rightarrow&x&=&-7-19\\\\&\Rightarrow&x&=&-26\end{array}$
 
D'où, $\boxed{S=\{-26\}}$
 
$\begin{array}{rcrcl}\text{d) }\ x-12=9&\Rightarrow&x&=&9+12\\\\&\Rightarrow&x&=&21\end{array}$
 
Donc, $\boxed{S=\{21\}}$
 
2) Trouvons le nombre $x$ de cahiers qui se trouvait dans le sac de Modou
 
Le problème de Modou se traduit par l'équation suivante :
$$x+5=20$$
Donc, trouver le nombre $x$ revient à résoudre l'équation $x+5=20$
 
On a :
 
$\begin{array}{rcrcl} x+5=20&\Rightarrow&x&=&20-5\\\\&\Rightarrow&x&=&15\end{array}$
 
D'où, $\boxed{S=\{15\}}$
 
Ainsi, on peut dire que Modou avait 15 cahiers dans son sac.

I.3. Équation de type $\ ax=b$

Résoudre une équation de type $\ ax=b\ $ où $a\ $ et $\ b$ sont des nombres décimaux relatifs avec $a\neq 0$, c'est trouver les valeurs de $x$ qui vérient l'équation. La solution de cette équation est donnée par :
$$x=\dfrac{b}{a}$$
L'ensemble des solutions est noté :
$$S=\left\{\dfrac{b}{a}\right\}$$
Exemple 
 
Soit à résoudre l'équation suivante : $3x=27$
 
On a :
 
$\begin{array}{rcrcl} 3x=27&\Rightarrow&x&=&\dfrac{27}{3}\\ \\&\Rightarrow&x&=&9\end{array}$
 
Donc, $\boxed{S=\{9\}}$

Application

Résoudre dans $\mathbb{D}$ les équations suivantes :
 
a) $2x-12=0$
 
b) $3x+5=26$
 
c) $2x-6=4$

Solution

$\begin{array}{rcrcl}\text{a) }\ 2x-12=0&\Rightarrow&2x&=&0+12\\ \\&\Rightarrow&x&=&\dfrac{12}{2}\\ \\&\Rightarrow&x&=&6\end{array}$
 
Donc, $\boxed{S=\{6\}}$
 
$\begin{array}{rcrcl}\text{b) }\ 3x+5=26&\Rightarrow&3x&=&26-5\\ \\&\Rightarrow&3x&=&21\\ \\&\Rightarrow&x&=&\dfrac{21}{3}\\ \\&\Rightarrow&x&=&7\end{array}$
 
Par suite, $\boxed{S=\{7\}}$
 
$\begin{array}{rcrcl}\text{c) }\ 2x-6=4&\Rightarrow&2x&=&4+6\\ \\&\Rightarrow&2x&=&10\\ \\&\Rightarrow&x&=&\dfrac{10}{2}\\ \\&\Rightarrow&x&=&5\end{array}$
 
D'où, $\boxed{S=\{5\}}$

II. Inéquations

II.1. Inéquation de type $\ a+x\leq b$

L'inéquation $\ a+x\leq b\ $ où $\ a\ $ et $\ b$ sont des décimaux donnés est appelée inéquation d'inconnue $x.$
 
Dans une inéquation, les deux membres sont séparés par le signe de l'inégalité.
 
Résoudre l'inéquation $\ a+x\leq b$ revient à déterminer l'ensemble des solutions pour la valeur de $x\leq b-a$
 
Cet ensemble est noté : $S=]-\infty\;;\ (b-a)]$
 
Exemple 
 
Résoudre l'inéquation $\ 5+x\leq 3$
 
On a :
 
$\begin{array}{rcrcl} 5+x\leq 3&\Leftrightarrow&x&\leq&3-5\\\\&\Leftrightarrow&x&\leq&-2\end{array}$
 
D'où, $\boxed{S=]-\infty\;;\ -2]}$
 
Graphiquement, on obtient :

 
 
L'ensemble des solutions est représenté par la partie non hachurée.

II.2. Inéquation de type $\ a+x\geq b$

Résoudre l'inéquation $\ a+x\geq b$ revient à déterminer l'ensemble des valeurs de l'inconnue $x$ vérifiant $x\geq b-a$
 
L'ensemble des solutions est noté : $S=[(b-a)\;;\ +\infty[$
 
Exemple
 
Résoudre l'inéquation $\ -3+x\geq -3$
 
On a :
 
$\begin{array}{rcrcl} -3+x\geq -3&\Leftrightarrow&x&\geq&-3+3\\\\&\Leftrightarrow&x&\geq&0\end{array}$
 
Donc, $\boxed{S=[0\;;\ +\infty[}$
 
On peut aussi illustrer graphiquement cet ensemble de solution à travers la figure ci-dessous :

 
 
L'ensemble des solutions est représenté par la partie non hachurée.

Remarques

Soit $a$ un nombre alors, on a :
 
$\centerdot\ $ Si $x>a$ alors, l'ensemble des solutions $S$ sera noté :
$$S=]a\;;\ +\infty[$$
Donc, le nombre $a$ n'appartient pas à l'ensemble $S$ des solutions.
 
Graphiquement, on obtient :
 

 
La partie non hachurée représente l'ensemble des solutions.
 
$\centerdot\ $ Si $x\geq a$ alors, l'ensemble des solutions $S$ est donné par :
$$S=[a\;;\ +\infty[$$
Ici, le nombre $a$ appartient à l'ensemble $S$ des solutions.
 
La représentation graphique donne :
 

 
L'ensemble des solutions est donc représenté par la partie non hachurée.
 
$\centerdot\ $ Si $x<a$ alors, l'ensemble des solutions $S$ est :
$$S=]-\infty\;;\ a[$$
Ainsi, le nombre $a$ n'appartient pas à cet ensemble.
 
En représentant graphiquement sur une droite graduée, on obtient :
 

 
La partie non hachurée représente l'ensemble des solutions.
 
$\centerdot\ $ Si $x\leq a$ alors, l'ensemble des solutions $S$ est donnée par :
$$S=]-\infty\;;\ a]$$
Le nombre $a$ appartient à l'ensemble $S$ des solutions.
 
La représentation graphique donne :
 

 
L'ensemble des solutions est donc représenté par la partie non hachurée.

Application

Résoudre dans $\mathbb{D}$ les inéquations suivantes :
 
a) $2(x+3)-x-5<0$
 
b) $4(x-2.5)+5(3+x)\geq 5$

Solution

a) On a :
 
$\begin{array}{rcrcl} 2(x+3)-x-5<0&\Leftrightarrow&2\times x+2\times 3-x-5&<&0\\\\&\Leftrightarrow&2x+6-x-5&<&0\\\\&\Leftrightarrow&2x-x+6-5&<&0\\\\&\Leftrightarrow&x+1&<&0\\\\&\Leftrightarrow&x&<&-1\end{array}$
 
Donc, $\boxed{S]-\infty\;;\ -1[}$
 
En utilisant une représentation graphique, on obtient :
 

 
Ainsi, la partie non hachurée constitue l'ensemble des solutions de cette inéquation.
 
b) On a :
 
$\begin{array}{rcl} 4(x-2.5)+5(3+x)&=&4\times x+4\times(-2.5)+5\times 3+5\times x\\\\&=&4x-10+15+5x\\\\&=&9x+5\end{array}$
 
Donc,
 
$\begin{array}{rcrcl} 4(x-2.5)+5(3+x)\geq 5&\Leftrightarrow&9x+5&\geq&5\\\\&\Leftrightarrow&9x&\geq&5-5\\\\&\Leftrightarrow&9x&\geq&0\\\\&\Leftrightarrow&x&\geq&0\end{array}$
 
Par suite, $\boxed{S[0\;;\ +\infty[}$
 
La représentation graphique donne :
 

 
D'où, l'ensemble des solutions sera représenté par la partie non hachurée.
 

Auteur: 
Mamadou Siradji Dia

Commentaires

Anonyme (non vérifié)

mer, 03/11/2020 - 15:19

c'est trop bien mais il y'a plus de math que n'importe quel autre matière

AISSATOU SYLLA (non vérifié)

dim, 10/15/2023 - 19:54

pourquoi, t'aime pas les maths?

Anonyme (non vérifié)

mer, 03/11/2020 - 15:19

c'est trop bien mais il y'a plus de math que n'importe quel autre matière

Anonyme (non vérifié)

dim, 06/12/2022 - 17:55

Trop bien cette paje ca ma aider

Alassan Amalkat... (non vérifié)

ven, 04/28/2023 - 19:05

Bien

Anonyme (non vérifié)

lun, 05/22/2023 - 23:57

Merci beaucoup pour votre aide car en ces temps c'est difficile d'apprendre les maths

Anonyme (non vérifié)

ven, 06/02/2023 - 13:09

Avec ça je comprends mieux

AISSATOU SYLLA (non vérifié)

dim, 10/15/2023 - 19:58

mucha gracias sunudaara, vous vous êtes surpasser pour que tous les élèves du collège au lycée puissent s'appuyer sur sunudaara afin de travailler sur nos lacunes, on adore thank you very much

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