Vous êtes ici

Application linéaire - 4e

Classe:

Quatrième

I. Définition

Soit $a$ un nombre rationnel. On appelle application linéaire toute correspondance qui à tout nombre rationnel $x$ associe le nombre rationnel $a\times x.$

Si on note par $f$ l'application linéaire alors :

$\centerdot\ \ f(x)$ ("lire $f$ de $x$") est l'image de $x$ par l'application linéaire $f.$

On écrit alors :

$$f(x)=ax$$

$\centerdot\ \ a$ est appelé le coefficient de l'application linéaire.

$\centerdot\ \ x$ est l'antécédent de $f(x)$ par l'application linéaire $f.$

Exemple :

$$f(x)=4x\;,\quad g(x)=\dfrac{2}{3}x\quad\text{et}\quad A(x)=-x$$

sont toutes des applications linéaires de coefficients respectifs $4\;,\ \dfrac{2}{3}\;,\ $ et $\ -1$

On a :

$f(0)=4\times 0=0.$

Ainsi, $0$ est l'image de $0$ par $f$

$0$ est l'antécédent de $0$ par $f$

$f(-4)=4\times(-4)=-16.$

Donc, $-16$ est l'image de $-4$ par $f$

$-4$ est l'antécédent de $-16$ par $f$

Application 1

1) Quelle est l'image de $\dfrac{3}{2}$ par $g\ ?$

2) Quel est l'antécédent de $-5$ par $g\ ?$

Solution

1) Soit $g(x)=\dfrac{2}{3}x$

Alors, $g\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{2}=1$

Ainsi, l'image de $\dfrac{3}{2}$ par $g$ est $1.$

2) $g(x)=-5$ donc, $\dfrac{2}{3}x=-5$

Ce qui entraine :

$\begin{array}{rcl} x&=&\dfrac{-5}{\dfrac{2}{3}}\\ \\&=&\dfrac{-5}{1}\times\dfrac{3}{2}\\ \\&=&\dfrac{-15}{2}\end{array}$

D'où, l'antécédent de $-5$ par $g$ est $\dfrac{-15}{2}$

Application 2

Soit $A(x)=\dfrac{-1}{3}x$ une application linéaire.

1) Calculer l'image de : $0\;,\ -1\;,\ \dfrac{-1}{2}$

2) Déterminer les nombres rationnels $x$ tels que leurs images par $A$ sont : $\dfrac{5}{3}\;,\ -12\ $ et $\ 0$

Solution

1) Calculons l'image de $0\;,\ $ de $\ -1\;,\ $ et de $\ \dfrac{-1}{2}$

$A(0)=\dfrac{-1}{3}\times 0=0$ donc, l'image de $0$ par $A$ est $0$

$A(-1)=\dfrac{-1}{3}\times(-1)=\dfrac{1}{3}$ donc, l'image de $-1$ par $A$ est $\dfrac{1}{3}$

$A\left(\dfrac{-1}{2}\right)=\dfrac{-1}{3}\times\dfrac{-1}{2}=\dfrac{1}{6}$ donc, $\dfrac{1}{6}$ est l'image de $\dfrac{-1}{2}$ par $A$

2) Déterminons les antécédents par $A$ des nombres rationnels $\dfrac{5}{3}\;,\ -12\ $ et $\ 0$

$A(x)=\dfrac{5}{3}$ donc, $\dfrac{-1}{3}x=\dfrac{5}{3}$

Par suite :

$\begin{array}{rcl} x&=&\dfrac{\dfrac{5}{3}}{\dfrac{-1}{3}}\\ \\&=&\dfrac{5}{3}\times\dfrac{3}{-1}\\ \\&=&\dfrac{-15}{3}\\ \\&=&-5\end{array}$

D'où, $x=-5$

Ainsi, $-5$ est l'antécédent de $\dfrac{5}{3}$ par $A$

Soit $A(x)=-12$ alors, $\dfrac{-1}{3}x=-12$

Donc,

$\begin{array}{rcl} x&=&\dfrac{-12}{\dfrac{-1}{3}}\\ \\&=&\dfrac{-12}{1}\times\dfrac{3}{-1}\\ \\&=&36\end{array}$

Ainsi, $x=36$

D'où, $36$ est l'antécédent de $-12$ par $A$

Soit $A(x)=0$ alors, $\dfrac{-1}{3}x=0$

Ce qui donne $x=0$

Par suite, l'antécédent de $0$ par $A$ est $0$

Remarque

Toute situation de proportionnalité est une application linéaire et inversement.

Exemple

Considérons un véhicule roulant à une vitesse de $60\;km/h.$

La distance $d$ parcourue et le temps mis sont deux grandeurs proportionnelles.

On écrit : $d=60t$ qui est une application linéaire de coefficient $60.$

II. Propriétés des applications linéaires

Soit $f$ une application linéaire.

Quels que soient les nombres rationnels $u\;,\ v\ $ et $\ w$, on a :

$\centerdot\ f(u+v)=f(u)+f(v)$

$\centerdot\ f(kw)=kf(w)\;,\quad k$ un nombre.

Exemple

On considère l'application linéaire $f(x)=\dfrac{4}{3}x$

1) Calculer $f(5)\ $ et $\ f(2)$

2) Calculer de deux manières différentes $f(7)\ $ et $\ f(12)$

Solution

1) $f(5)=\dfrac{4}{3}\times 5=\dfrac{20}{3}$

$f(2)=\dfrac{4}{3}\times 2=\dfrac{8}{3}$

2) 1er méthode

$f(7)=\dfrac{4}{3}\times 7=\dfrac{28}{3}$

$f(12)=\dfrac{4}{3}\times 12=16$

2èm méthode

$\begin{array}{rcl} f(7)&=&f(5+2)\\ \\&=&f(5)+f(2)\\ \\&=&\dfrac{20}{3}+\dfrac{8}{3}\\ \\&=&\dfrac{28}{3}\end{array}$

Donc, $f(7)=\dfrac{28}{3}$

$\begin{array}{rcl} f(12)&=&f(6\times 2)\\ \\&=&6\times f(2)\\ \\&=&6\times\dfrac{8}{3}\\ \\&=&\dfrac{48}{3}\\ \\&=&16\end{array}$

Ainsi, $f(12)=16$

III. Représentation graphique d'une application linéaire

Un repère est un ensemble de deux axes perpendiculaires en un point souvent noté $O$ et appelé l'origine du repère.

Ainsi, la représentation graphique d'une application linéaire est une droite qui passe par $O$ et par le point $A\begin{pmatrix} 1\\a\end{pmatrix}$ avec $a$ le coefficient de l'application linéaire.