Corrigé devoir n° 5 maths - 4e

 

1) Effectuons les opérations suivantes :

 

Soit : $A=\dfrac{2}{3}+\left[\dfrac{5}{3}\times\left(1-\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{2}{6}\right]$

 

Alors,

 

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{2}{3}+\left[\dfrac{5}{3}\times\left(\dfrac{2}{2}-\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{2}{6}\right]\\\\&=&\dfrac{2}{3}+\left[\dfrac{5}{3}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{2}{6}\right]\\\\&=&\dfrac{2}{3}+\left[\dfrac{5}{6}-\dfrac{2}{6}\right]\\\\&=&\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{6}\\\\&=&\dfrac{4}{6}+\dfrac{3}{6}\\\\&=&\dfrac{7}{6}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{A=\dfrac{7}{6}}$

 

Soit : $B=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{3}$

 

Alors,

 

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{3}\\\\&=&\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{3}\\\\&=&\dfrac{15}{60}-\dfrac{12}{60}+\dfrac{40}{60}\\\\&=&\dfrac{15-12+40}{60}\\\\&=&\dfrac{43}{60}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{B=\dfrac{43}{60}}$

 

Soit : $C=4-\dfrac{7}{10}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}-\dfrac{7}{3}$

 

Alors,

 

$\begin{array}{rcl} C&=&4-\dfrac{7}{10}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}-\dfrac{7}{3}\\\\&=&4-\dfrac{7}{10}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{7}{3}-\dfrac{1}{6}\\\\&=&4-\dfrac{7}{10}-\dfrac{6}{3}-\dfrac{1}{6}\\\\&=&\dfrac{120}{30}-\dfrac{21}{30}-\dfrac{60}{30}-\dfrac{5}{30}\\\\&=&\dfrac{120-21-60-5}{30}\\\\&=&\dfrac{34}{30}\\\\&=&\dfrac{17}{15}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{C=\dfrac{17}{15}}$

 

Soit : $D=\dfrac{\dfrac{\dfrac{1}{4}}{5}-\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{7}-\dfrac{3}{\dfrac{5}{2}+4}}$

 

Alors,

 

$\begin{array}{rcl} D&=&\dfrac{\dfrac{\dfrac{1}{4}}{5}-\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{7}-\dfrac{3}{\dfrac{5}{2}+4}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{7}-\dfrac{3}{\dfrac{5}{2}+\dfrac{8}{2}}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{7}-\dfrac{3}{\dfrac{13}{2}}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{3}{60}-\dfrac{20}{60}}{\dfrac{1}{7}-\dfrac{3}{1}\times\dfrac{2}{13}}\\\\&=&\dfrac{-\dfrac{17}{60}}{\dfrac{1}{7}-\dfrac{6}{13}}\\\\&=&\dfrac{-\dfrac{17}{60}}{\dfrac{13}{91}-\dfrac{42}{91}}\\\\&=&\dfrac{-\dfrac{17}{60}}{-\dfrac{29}{91}}\\\\&=&\left(-\dfrac{17}{60}\right)\times\left(-\dfrac{91}{29}\right)\\\\&=&\dfrac{1547}{1740}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{D=\dfrac{1547}{1740}}$

 

2) Écrivons le plus simple possible les expressions suivantes :

 

$\begin{array}{rcl} E&=&\dfrac{\left(2^{-1}\right)^{3}\times 3^{2}}{\left(2^{2}\times3\right)^{3}\times\left(3^{2}\right)^{2}}\\\\&=&\dfrac{2^{(-1)\times 3}\times 3^{2}}{2^{2\times 3}\times 3^{3}\times 3^{2\times 2}}\\\\&=&\dfrac{2^{-3}\times 3^{2}}{2^{6}\times 3^{3}\times 3^{4}}\\\\&=&2^{-3}\times 3^{2}\times 2^{-6}\times 3^{-3}\times 3^{-4}\\\\&=&2^{-3}\times 2^{-6}\times 3^{2}\times 3^{-3}\times 3^{-4}\\\\&=&2^{-3-6}\times 3^{2-3-4}\\\\&=&2^{-9}\times 3^{-5}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{E=2^{-9}\times 3^{-5}}$

 

$\begin{array}{rcl} F&=&\dfrac{a^{4}\times b^{3}\times c^{2}}{a^{5}\times b^{4}\times c^{3}}\\\\&=&a^{4}\times b^{3}\times c^{2}\times a^{-5}\times b^{-4}\times c^{-3}\\\\&=&a^{4}\times a^{-5}\times b^{3}\times b^{-4}\times c^{2}\times c^{-3}\\\\&=&a^{4-5}\times b^{3-4}\times c^{2-3}\\\\&=&a^{-1}\times b^{-1}\times c^{-1}\\\\&=&(a\times b\times c)^{-1}\\\\&=&\dfrac{1}{a\times b\times c}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{F=(a\times b\times c)^{-1}=\dfrac{1}{a\times b\times c}}$

 

3) Donnons l'écriture scientifique des expressions suivantes :

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} G&=&40^{2}\\\\&=&1\,600\\\\&=&1.6\times 1\,000\\\\&=&1.6\times 10^{3}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{G=1.6\times 10^{3}}$

 

Soit :

 

$\begin{array}{rcl} H&=&\dfrac{2\times 10^{-2}\times 3\times10^{-3}}{3\times 10^{4}\times 0.0001}\\\\&=&\dfrac{2\times 3\times 10^{-2}\times 10^{-3}}{3\times 10^{4}\times 10^{-4}}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{-2-3}}{10^{4-4}}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{-5}}{10^{0}}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{-5}}{1}\\\\&=&2\times 10^{-5}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{H=2\times 10^{-5}}$

 

4) Donner un encadrement de $\dfrac{22}{7}$ à $10^{-3}$ près.

 

On a : $\dfrac{22}{7}=3.142857...$

 

Alors, un encadrement de $\dfrac{22}{7}$ à $10^{-3}$ près est donné par :

$$3.142<\dfrac{22}{7}<3.143$$

a) Donnons l'approximation décimale par défaut et par excès de $\dfrac{22}{7}$

 

Comme $3.142<\dfrac{22}{7}<3.143$ alors :

 

$-\ $ l'approximation décimale par défaut de $\dfrac{22}{7}$ est égale à $3.142$

 

$-\ $ l'approximation décimale par excès de $\dfrac{22}{7}$ est égale à $3.143$

 

b) Arrondissons au dixième et au centième près $\dfrac{22}{7}.$

 

au dixième près, $\dfrac{22}{7}$ est égale à $3.1$

 

au centième près, $\dfrac{22}{7}$ est égale à $3.14$

$C_{1}$ est un cercle de centre $O_{1}$ et de rayon $R_{1}$, $C_{2}$ est un cercle de centre $O_{2}$ et de rayon $R_{2}.$

 

Complétons le tableau ci-dessous.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline R_{1}&5&5&6&10&10\\\hline R_{2}&3&6&9&7&5\\\hline O_{1}O_{2}&5&1&15&2&20\\\hline R_{1}+R_{2}&8&11&15&17&15\\\hline|R_{1}-R_{2}|&2&1&3&3&5\\\hline\text {Positions relatives}&\text{sécants}&\text{tangents}&\text{tangents}&\text{disjoints}&\text{disjoints}\\\text {de } C_{1} \text { et } C_{2}&&\text{intérieurement}&\text{extérieurement}&\text{intérieurement}&\text{extérieurement}\\\hline\end{array}$$

Exercice 3

Exercice 4