Corrigé devoir n° 5 maths - 5e

Classe: 
Cinquième
 

Questions de cours

1) Recopions et complétons :
 
a) $N'$ symétrique du point $N$ par rapport à $O$ signifie que $O$ est le milieu du segment $[NN']$
 
b) Si $[IJ]\ $ et $\ [KL]$ sont symétriques par rapport à un point alors, $IJ=KL$
 
2) Donnons la définition des termes suivants :
 
$-\ $ angles alternes-internes : deux angles sont alternes internes si, et seulement si :
 
$\centerdot\ $ ils n'ont pas de sommet commun
 
$\centerdot\ $ ils sont tous à l'intérieur de la bande délimitée par deux droites coupées par une sécante
 
$\centerdot\ $ ils sont également situés de part et d'autres de la sécante
 
$-\ $ nombre premier : un nombre est dit premier si, et seulement si, il n'est divisible que par un $(1)$ et lui même.
 
$-\ $ angles adjacents : deux angles adjacents sont deux angles qui ont un sommet commun et sont situés de part et d'autre d'un côté commun.
 
$-\ $ angles supplémentaires : deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme de leur mesure est égale à $180^{\circ}.$

Exercice 1

1) Écrivons chacune des expressions suivantes sous la forme de puissances premières.
$$A=(2\times 3)^{4}\times 2^{4}\times 3^{5}\qquad B=2^{4}\times(3^{2})^{3}\times 2^{6}\times 3^{2}\times 2^{0}$$
Soit :
 
$\begin{array}{rcl} A&=&(2\times 3)^{4}\times 2^{4}\times 3^{5}\\\\&=&2^{4}\times 3^{4}\times 2^{4}\times 3^{5}\\\\&=&2^{4}\times 2^{4}\times 3^{4}\times 3^{5}\\\\&=&2^{4+4}\times 3^{4+5}\\\\&=&2^{8}\times 3^{9}\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{A=2^{8}\times 3^{9}}$
 
On a :
 
$\begin{array}{rcl} B&=&2^{4}\times(3^{2})^{3}\times 2^{6}\times 3^{2}\times 2^{0}\\\\&=&2^{4}\times 3^{2\times 3}\times 2^{6}\times 3^{2}\times 2^{0}\\\\&=&2^{4}\times 3^{6}\times 2^{6}\times 3^{2}\times 2^{0}\\\\&=&2^{4}\times 2^{6}\times 2^{0}\times 3^{6}\times 3^{2}\\\\&=&2^{4+6+0}\times 3^{6+2}\\\\&=&2^{10}\times 3^{8}\end{array}$
 
Donc, $\boxed{B=2^{10}\times 3^{8}}$
 
2) Calculons en respectant les règles de priorités :
 
$\begin{array}{rcl} C&=&10.5-3\times(4-3)^{3}+3\times (14-5\div 2)\\\\&=&10.5-3\times 1^{3}+3\times (14-2.5)\\\\&=&10.5-3+3\times 11.5\\\\&=&7.5+34.5\\\\&=&42\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{C=42}$
 
3) a) Calculons chacune des expressions $A\;;\ B\;;\ C\ $ et $\ D$ puis simplifions les résultats.
$$A=\dfrac{9}{4}+\dfrac{5}{3}-\dfrac{5}{12}\qquad B=\left(\dfrac{8}{3}+\dfrac{5}{2}\right)\times 4$$
$$C=\left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{2}\right)\div 2\qquad D=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{7}{2}+\dfrac{9}{5}$$
On a :
 
$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{9}{4}+\dfrac{5}{3}-\dfrac{5}{12}\\\\&=&\dfrac{27}{12}+\dfrac{20}{12}-\dfrac{5}{12}\\\\&=&\dfrac{27+20-5}{12}\\\\&=&\dfrac{42}{12}\\\\&=&\dfrac{6\times 7}{6\times 2}\\\\&=&\dfrac{7}{2}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{A=\dfrac{7}{2}}$
 
Soit :
 
$\begin{array}{rcl} B&=&\left(\dfrac{8}{3}+\dfrac{5}{2}\right)\times 4\\\\&=&\left(\dfrac{16}{6}+\dfrac{15}{6}\right)\times 4\\\\&=&\left(\dfrac{16+15}{6}\right)\times 4\\\\&=&\dfrac{31}{6}\times 4\\\\&=&\dfrac{31\times 4}{6}\\\\&=&\dfrac{31\times 2\times 2}{3\times 2}\\\\&=&\dfrac{62}{3}\end{array}$
 
Donc, $\boxed{B=\dfrac{62}{3}}$
 
On a :
 
$\begin{array}{rcl} C&=&\left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{2}\right)\div 2\\\\&=&\left(\dfrac{8}{10}-\dfrac{5}{10}\right)\div 2\\\\&=&\left(\dfrac{8-5}{10}\right)\div 2\\\\&=&\dfrac{3}{10}\div 2\\\\&=&\dfrac{3}{10}\times \dfrac{1}{2}\\\\&=&\dfrac{3}{20}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{C=\dfrac{3}{20}}$
 
On a :
 
$\begin{array}{rcl} D&=&\dfrac{1}{4}\times\dfrac{7}{2}+\dfrac{9}{5}\\\\&=&\dfrac{7}{8}+\dfrac{9}{5}\\\\&=&\dfrac{35}{40}+\dfrac{72}{40}\\\\&=&\dfrac{35+72}{40}\\\\&=&\dfrac{107}{40}\end{array}$
 
Donc, $\boxed{D=\dfrac{107}{40}}$
 
b) Mettons ces résultats sous la forme de $q+\dfrac{r}{b}$
 
On a : $A=\dfrac{7}{2}$
 
Donc, on peut écrire :
 
$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{6+1}{2}\\\\&=&\dfrac{6}{2}+\dfrac{1}{2}\\\\&=&3+\dfrac{1}{2}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{A=3+\dfrac{1}{2}}$
 
Soit : $B=\dfrac{62}{3}$ alors, on a :
 
$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{60+2}{3}\\\\&=&\dfrac{60}{3}+\dfrac{2}{3}\\\\&=&20+\dfrac{2}{3}\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{B=60+\dfrac{2}{3}}$
 
On a : $C=\dfrac{3}{20}$
 
Alors, on peut écrire :
 
$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{20-17}{20}\\\\&=&\dfrac{20}{20}-\dfrac{17}{20}\\\\&=&1-\dfrac{17}{20}\\\\&=&1+\left(\dfrac{-17}{20}\right)\end{array}$
 
Donc, $\boxed{C=1+\left(\dfrac{-17}{20}\right)}$
 
Soit : $D=\dfrac{107}{40}$ alors, on a :
 
$\begin{array}{rcl} D&=&\dfrac{80+27}{40}\\\\&=&\dfrac{80}{40}+\dfrac{27}{40}\\\\&=&2+\dfrac{27}{40}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{D=2+\dfrac{27}{40}}$
 
3) Rendons irréductibles les fractions suivantes :
$$\dfrac{256}{224}\;;\quad\dfrac{450}{180}$$
En décomposant $256\ $ et $\ 224$ en produits de facteurs premiers, on obtient :
 
$256=2^{8}\ $ et $\ 224=2^{5}\times 7$
 
Ainsi,
 
$\begin{array}{rcl} PGCD(256\;;\ 224)&=&2^{5}\\\\&=&32\end{array}$
 
Par suite,
 
$\begin{array}{rcl} \dfrac{256}{224}&=&\dfrac{256\div 32}{224\div 32}\\\\&=&\dfrac{8}{7}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{\dfrac{256}{224}=\dfrac{8}{7}}$
 
De la même manière, en décomposant $450\ $ et $\ 180$ en produits de facteurs premiers, on obtient :
 
$450=2\times 3^{2}\times 5^{2}\ $ et $\ 180=2^{2}\times 3^{2}\times 5$
 
Ainsi,
 
$\begin{array}{rcl} PGCD(450\;;\ 180)&=&2\times 3^{2}\times 5\\\\&=&90\end{array}$
 
Par suite,
 
$\begin{array}{rcl} \dfrac{450}{180}&=&\dfrac{450\div 90}{180\div 90}\\\\&=&\dfrac{5}{2}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{\dfrac{450}{180}=\dfrac{5}{2}}$

Exercice 2

1) Construisons un cercle $(\mathcal{C})$ de centre $O$ et de rayons $r=3\;cm$
 
2) Marquons un diamètre $[AB]$ puis un point $M$ sur le cercle tel que $M\neq A\ $ et $\ M\neq B$
 
3) Construisons le cercle $(\mathcal{C}')$ de centre à $O'$ symétrique de $(\mathcal{C})$ par rapport à $B.$
 
La mesure du rayon du cercle $(\mathcal{C}')$ est :
$$r'=3\;cm$$
Rappel : le symétrique d'un cercle par rapport à un point est un cercle de même rayon.
 
4) Construisons le triangle $A'B'M'$ symétrique de $ABM$ par rapport à $B$
 
 

Exercice 3

Dans la figure ci-dessous, $(AB)\ $ et $\ (CG)$ sont deux droites parallèles.
 
 
1) Les angles $\widehat{FDB}\ $ et $\ \widehat{ADE}$ sont opposés par le sommet $D.$
 
Ils ont donc, la même mesure.
 
D'où, $\widehat{ADE}=55^{\circ}$
 
2) Les angles $\widehat{ADE}\ $ et $\ \widehat{EDB}$ sont adjacents et supplémentaires.
 
Donc, $\widehat{ADE}+\widehat{EDB}=180^{\circ}$
 
Par suite,
 
$\begin{array}{rcl}\widehat{EDB}&=&\widehat{ADE}+\widehat{EDB}=180^{\circ}-\widehat{ADE}\\\\&=&180^{\circ}-55^{\circ}\\\\&=&125^{\circ}\end{array}$
 
Ainsi, $\widehat{EDB}=125^{\circ}$
 
3) a) $\widehat{EDB}\ $ et $\ \widehat{CED}$ sont deux angles alternes-internes.
 
b) Donnons la mesure de ces angles en justifiant notre réponse.
 
$(AB)\ $ et $\ (CG)$ étant deux droites parallèles coupées par une sécante $(FH)$ alors, les angles alternes-internes $\widehat{EDB}\ $ et $\ \widehat{CED}$ sont de même mesure.
 
D'où, $\widehat{EDB}=\widehat{CED}=125^{\circ}$
 
4) a) $\widehat{FDB}\ $ et $\ \widehat{DEG}$ sont deux angles correspondants.
 
b) Donnons la mesure de ces angles en justifiant notre réponse.
 
Comme $(AB)\ $ et $\ (CG)$ sont deux droites parallèles coupées par une sécante $(FH)$ alors, les angles correspondants $\widehat{FDB}\ $ et $\ \widehat{DEG}$ sont de même mesure.
 
Ainsi, $\widehat{FDB}=\widehat{DEG}=55^{\circ}$

 

Auteur: 
Diny Faye

Commentaires

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