Dérivabilité - T S
Classe:
Terminale
I. Nombre dérivé
I.1. Définitions
− On dit qu'une fonction f est dérivable en x0∈Df si, et seulement si, l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée.
⋅ C1 : limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=ℓ∈R (réel fini)
⋅ C2 : limh→0f(x0+h)−f(x0)h=ℓ∈R
⋅ C3 : il existe un réel ℓ et une fonction ε tels que f(x0+h)=f(x0)+ℓh+hε(h)avec limh→0ε(h)=0
Dans ce dernier cas on dit que f admet un développement limité d'ordre 1 au voisinage de x0.
ℓ est le nombre dérivé de f en x0 noté f′(x0).
f′(x0)=ℓ
− On dit qu'une fonction f est dérivable à gauche de x0∈Df si, et seulement si,
limx→x−0f(x)−f(x0)x−x0=ℓ1∈R(réel fini)
ℓ1 est le nombre dérivé de f à gauche de x0 noté f′g(x0).
f′g(x0)=ℓ1
− On dit qu'une fonction f est dérivable à droite de x0∈Df si, et seulement si,
limx→x+0f(x)−f(x0)x−x0=ℓ2∈R(réel fini)
ℓ2 est le nombre dérivé de f à droite de x0 noté f′d(x0).
f′d(x0)=ℓ2
Théorème 1
Une fonction f est dérivable en x0 si, et seulement si, f est dérivable à gauche et à droite de x0 et que les nombres dérivés sont égaux (f′g(x0)=f′d(x0))
Exercice d'application
Soit f et g deux fonctions définies par : f(x)=|x2−x|etg(x)=√x2−4x+3
Étudier la dérivabilité de f et g en 1.
Résolution
Dérivabilité de f en 1
Écrivons f sans le symbole des valeurs absolues en utilisant le tableau de signe suivant :
x−∞01+∞x2−x+0−0+|x2−x|x2−x|−x2+x|x2−x
Donc,
limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−−x2+xx−1=limx→1−(−x)=−1
limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+x2−xx−1=limx→1+(x)=1
Ainsi, f′g(1)≠f′d(1)
D'où, f n'est pas dérivable en 1.
Dérivabilité de g en 1
D'après le tableau de signes ci-dessous on a Dg=]−∞; 1]∪[3; +∞[
x−∞13+∞x2−4x+3+0−0+
Alors,
limx→1−g(x)−g(1)x−1=limx→1−√x2−4x+3x−1=limx→1−(x−1)(x−3)(x−1)√x2−4x+3=−∞
Donc, g non dérivable en 1.
I.2. Interprétation géométrique de la dérivabilité
Nous distinguons deux cas :
⋅ Soit f dérivable en x0 alors limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0)∈R
On a : limh→0f(x0+h)−f(x0)h est le coefficient directeur de la sécante (AB).
Alors, lorsque h tend vers 0 le point B tend vers le point A.
Et par conséquent, la droite (AB) tend vers une droite dite limite (T) appelée tangente à Cf en x0.
Ainsi, au point d'abscisse x0 on a une tangente (T) d'équation : y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)
f′(x0) est le coefficient directeur de la tangente.
⋅ Soit f non dérivable en x0 ; les cas suivants peuvent alors se présenter :
− deux demi-tangentes au point d'abscisse x0.
Par exemple f′g(x0)=−2 et f′d(x0)=23
Les équations des demi-tangentes sont données par :
T1 : y=f′g(x0)(x−x0)+f(x0) avec f′g(x0)=−2
T2 : y=f′d(x0)(x−x0)+f(x0) avec f′d(x0)=23
− une demi-tangente verticale au point d'abscisse x0.
Par exemple :
limx→x−0f(x)−f(x0)x−x0=−∞ et limx→x+0f(x)−f(x0)x−x0=+∞
− une demi-tangente de pente fini et une demi-tangente verticale au point d'abscisse x0.
Par exemple :
f′g(x0)=−2 et limx→x+0f(x)−f(x0)x−x0=+∞
I.3. Opérations sur la dérivabilité
Théorème 2
Si une fonction f est dérivable en x0 alors f est continue en x0 ; la réciproque est fausse.
Par exemple la fonction f(x)=|x2−x| qui est continue en 1 et non dérivable en 1.
Preuve théorème
f dérivable en x0 alors il existe une fonction ε telle que f(x0+h)=f(x0)+hf′(x0)+hε(h)avec limh→0ε(h)=0
Posons x=x0+h donc, f(x)=f(x0)+(x−x0)f′(x0)+(x−x0)ε(x−x0)
Ainsi,
limx→x0f(x)=limx→x0f(x0)+(x−x0)f′(x0)+(x−x0)ε(x−x0)=f(x0)
D'où, f continue en x0
Théorème 3
Si f et g sont deux fonctions dérivables en x0 alors :
⋅ f+g est dérivables en x0 et (f+g)′(x0)=f′(x0)+g′(x0)
⋅ fg est dérivables en x0 et (fg)′(x0)=f′(x0)g(x0)+f(x0)g′(x0)
⋅ si de plus g(x)≠0 alors fg est dérivables en x0 et (fg)′(x0)=f′(x0)g(x0)−f(x0)g′(x0)(g(x0))2
Théorème 4 (composée)
Si une fonction f est dérivable en x0 et g dérivable en y0=f(x0 alors g∘f est dérivable en x0 et (g∘f)′(x0)=f′(x0)×g′[f(x0)]
II. Fonctions dérivées
II.1. Définition
On appelle fonction dérivée de f la fonction notée f′ qui associe à tout x son nombre dérivé.
II.2. Tableau de dérivées
ff′ff′ff′ff′k∈R0sinxcosx1u−u′u2tanuu′cos2uaxacosx−sinx√uu′2√uunnu′un−11x−1x2tanx1cos2xsinuu′cosuuvu′v−uv′v2√x12√xxnnxn−1cosu−u′sinuuvu′v+uv′
u une fonction dérivable
Exercice d'application
Calculer les dérivées des fonctions f et g définies par :
f(x)=(x−1)√x2−4x+3, g(x)=sin4(4x2−3x+5)
Résolution
Soit f(x)=(x−1)√x2−4x+3 alors sa dérivée f′(x) est donnée par :
f′(x)=√x2−4x+3+(x−1)×2x−42√x2−4x+3=√x2−4x+3+(x−1)(x−2)√x2−4x+3=x2−4x+3+x2−3x+2√x2−4x+3
D'où, f′(x)=2x2−7x+5√x2−4x+3
On a g(x)=sin4(4x2−3x+5)
alors, g′(x)=4(8x−3)cos(4x2−3x+5)sin3(4x2−3x+5)
II.3. Dérivées successives
⋅ Si f est dérivable sur I et si sa fonction dérivée f′ est dérivable sur I on dira que f est deux fois dérivable sur I et la dérivée seconde est notée f″
\centerdot\ \ Si f'' est dérivable sur I on dira que f est trois fois dérivable sur I et la dérivée troisième est notée f^{(3)}(x)
\centerdot\ \ Si f est n fois dérivable sur I sa dérivée n^{\text{ième}} est notée f^{(n)}(x)
Par exemple, la dérivée n^{\text{ième}} des fonctions f(x)=\sin x et g(x)=\cos x est donnée par : f^{(n)}(x)=\sin\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)\;,\quad g^{(n)}(x)=\cos\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)
\centerdot\ \ Si f et g sont n fois dérivable sur I alors, (fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)
III. Applications
III.1. Sens de variation
\centerdot\ \ Si f'(x)\geq 0 sur I alors, f est croissante sur I.
\centerdot\ \ Si f'(x)\leq 0 sur I alors, sur I, alors f est décroissante sur I.
\centerdot\ \ Si f'(x)=0 sur I alors, la fonction f est constante sur I.
\centerdot\ \ Si f'(x)>0 sur I alors, f est strictement croissante sur I.
\centerdot\ \ Si f'(x)<0 sur I alors, sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
Exercice d'application
Soit f la fonction définie par : f(x)=|x^{2}-x|
1) Déterminer les limites aux bornes de D_{f}
2) Étudier la dérivabilité en 0 et 1
3) Donner la dérivée et dresser le tableau de variation
Résolution
1) Soit f(x)=|x^{2}-x| alors, D_{f}=\mathbb{R} et en écrivant f sans le symbole des valeurs absolues on obtient :
f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}-x&\text{si}&x\in\;]-\infty\;;\ 0]\cup[1\;;\ +\infty[\\-x^{2}+x&\text{si}&x\in\;]0\;;\ 1[\end{array}\right.
Ainsi,
\begin{array}{rcl}\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)&=&\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}x^{2}-x\\\\&=&+\infty\end{array}
\begin{array}{rcl}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)&=&\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^{2}-x\\\\&=&+\infty\end{array}
2) Dérivabilité de f en 0
On a
\begin{array}{rcl}\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}&=&\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}\dfrac{x^{2}-x}{x}\\ \\&=&\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}(x-1)\\ \\&=&-1 \end{array}
\begin{array}{rcl}\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}&=&\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{-x^{2}+x}{x}\\ \\&=&\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}(-x+1)\\ \\&=&1 \end{array}
Ainsi, f'_{g}(0)\neq f'_{d}(0)
D'où, f n'est pas dérivable en 0.
Dérivabilité de f en 1
On a
\begin{array}{rcl}\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}&=&\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{-x^{2}+x}{x-1}\\ \\&=&\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}(-x)\\ \\&=&-1 \end{array}
\begin{array}{rcl}\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}&=&\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac{x^{2}-x}{x-1}\\ \\&=&\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}(x)\\ \\&=&1 \end{array}
Ainsi, f'_{g}(1)\neq f'_{d}(1)
D'où, f n'est pas dérivable en 1.
3) Soit f'(x) la fonction dérivée de f alors on a : f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-1&\text{si}&x\in\;]-\infty\;;\ 0[\cup]1\;;\ +\infty[\\-2x+1&\text{si}&x\in\;]0\;;\ 1[\end{array}\right.
Tableau de variation de f
\begin{array}{|c|lcccccccr|}\hline x&-\infty&&0&&1/2&&1&&+\infty\\ \hline f'(x)&&-&-1||1&+&0&-&-1||1&+&\\ \hline&-\infty&&&&1/4&&&&+\infty\\f&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\&&&0&&&&0&&\\ \hline \end{array}
III.2. Extrémums - point d'inflexion
\centerdot\ \ On dit qu'une fonction f présente un extrémum au point d'abscisse x_{0} si f'(x) s'annule en x_{0} en changeant de signe autour de x_{0}.
\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x&&&x_{0}&&\\ \hline f'(x)&&-&0&+&\\ \hline&&&|&&\\f&&\searrow&|&\nearrow&\\&&&\text{minimum}&&\\ \hline \end{array}
On peut aussi formuler ainsi :
Il existe \alpha>0 tel que \forall\;x\in\;]x_{0}-\alpha\;;\ x_{0}+\alpha[\;,\quad f(x)\geq f(x_{0})
\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x&&&x_{0}&&\\ \hline f'(x)&&+&0&-&\\ \hline&&&\text{maximum}&&\\f&&\nearrow&|&\searrow&\\&&&|&&\\ \hline \end{array}
On peut alors formuler ainsi :
Il existe \alpha>0 tel que \forall\;x\in\;]x_{0}-\alpha\;;\ x_{0}+\alpha[\;,\quad f(x)\leq f(x_{0})
\centerdot\ \ On dit que M_{0}\begin{pmatrix} x_{0}\\y_{0}\end{pmatrix} est une point d'inflexion si :
\ast\ \ f'(x) garde un signe constant autour de x_{0}
\ast\ \ f''(x) s'annule en x_{0} en changeant de signe.
Par exemple
\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x&&&x_{0}&&\\ \hline f''(x)&&+&0&-&\\ \hline f'(x)&&+&|&+&\\ \hline \end{array}\quad\text{ou}\quad\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x&&&x_{0}&&\\ \hline f''(x)&&+&0&-&\\ \hline f'(x)&&-&|&-&\\ \hline \end{array}
ou encore
\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x&&&x_{0}&&\\ \hline f''(x)&&-&0&+&\\ \hline f'(x)&&+&|&+&\\ \hline \end{array}\quad\text{ou}\quad\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x&&&x_{0}&&\\ \hline f''(x)&&-&0&+&\\ \hline f'(x)&&-&|&-&\\ \hline \end{array}
Remarque : un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente.
III.3. Dérivée de la réciproque d'une fonction
III.3.1. Théorème 5 : bijection
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur I alors f est une bijection de I vers J=f(I) et donc f admet une bijection réciproque f^{-1} qui est continue et strictement monotone dans le même sens que f de J vers I et f^{-1} est dérivable sur J_{1}=J\setminus\{y\in J\;/\;f'(f^{-1}(y))=0\} et on a : \forall\;y_{0}\in J_{1}\;;\ (f^{-1})'(y_{0})=\dfrac{1}{f'(x_{0})}
où f(x_{0})=y_{0}\;;\ x_{0}\in I.
Remarque : pour obtenir x_{0} on résout l'équation f(x)=y_{0}
Exercice d'application
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^{3}-3x+1
1) Montrer que f admet une bijection réciproque sur [1\;;\ +\infty[
2) Calculer (f^{-1})'(1)
Résolution
1) Soit f(x)=x^{3}-3x+1 alors, f'(x)=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1)
Donc, f'(x) positive sur ]-\infty\;;\ -1[\cup]1\;;\ +\infty[ et négative sur ]-1\;;\ 1[.
\begin{array}{rcl}\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)&=&\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}x^{3}-3x+1\\\\&=&-\infty\end{array}
\begin{array}{rcl}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)&=&\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^{3}-3x+1\\\\&=&+\infty\end{array}
Tableau de variation de f
\begin{array}{|c|lcccccr|}\hline x&-\infty&&-1&&1&&+\infty\\ \hline f'(x)&&+&0&-&0&+&\\ \hline&&&3&&&&+\infty\\f&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\&-\infty&&&&-1&&\\ \hline \end{array}
Ainsi, f est continue et strictement croissante sur [1\;;\ +\infty[ donc bijective de [1\;;\ +\infty[ vers [-1\;;\ +\infty[.
Par suite f admet une bijection réciproque f^{-1} qui est continue et strictement croissante de [-1\;;\ +\infty[ vers [1\;;\ +\infty[ et f^{-1} est dérivable sur ]-1\;;\ +\infty[.
2) Calculons (f^{-1})'(1)
On a : (f^{-1})'(1)=\dfrac{1}{f'(x_{0})} avec f^{-1}(1)=x_{0} ; c'est-à-dire f(x_{0})=1.
Donc, résolvons l'équation f(x)=1. On a :
\begin{array}{rcl} f(x)=1&\Leftrightarrow&x^{3}-3x+1=1\\\\&\Leftrightarrow&x^{3}-3x=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\quad\text{ou}\quad x=-\sqrt{3}\quad\text{ou}\quad x=\sqrt{3}\end{array}
Or, \sqrt{3} est l'unique solution qui appartient à [1\;;\ +\infty[ donc, x_{0}=\sqrt{3}.
Par suite,
\begin{array}{rcl} (f^{-1})'(1)=\dfrac{1}{f'(x_{0})}&=&\dfrac{1}{f'(\sqrt{3})}\\ \\&=&\dfrac{1}{3\times 3-3}\\ \\&=&\dfrac{1}{6}\end{array}
D'où, (f^{-1})'(1)=\dfrac{1}{6}
III.3.2. Dérivée des fonctions réciproques de : \sin x\;;\ \cos x\;;\ \tan x
\centerdot\ \ Soit f(x)=\sin x\ alors, D_{f}=\mathbb{R} et T=2\pi.
f impaire donc le domaine d'étude est donné par D_{E}=[0\;;\ \pi].
Soit f'(x)=\cos x alors le tableau de variation de f est :
\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x&0&&\pi/2&&\pi\\ \hline f'(x)&&+&0&-&\\ \hline&&&1&&\\f&&\nearrow&&\searrow&\\&0&&&&0\\ \hline \end{array}
Ainsi, f est continue et strictement croissante sur \left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right] donc f est une bijection de \left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right] vers [0\;;\ 1].
D'où, f admet une bijection réciproque f^{-1}, notée \arcsin, qui est continue et strictement croissante de [0\;;\ 1] vers \left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right] et \arcsin est dérivable sur [0\;;\ 1[ et on a : (f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}=\dfrac{1}{\cos x}
Or,
\begin{array}{rcrcl}\cos^{2}x+\sin^{2}x=1&\Rightarrow&\cos x&=&\pm\sqrt{1-\sin^{2}x}\\\\&&&=&+\sqrt{1-\sin^{2}x}\quad\text{car }\ x\in\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]\\\\&\Rightarrow&\cos x&=&\sqrt{1-y^{2}}\end{array}
Ce qui entraîne alors, (f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}
D'où, \boxed{(\arcsin)'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}
\centerdot\ \ Soit g(x)=\cos x\ alors, D_{g}=\mathbb{R}.
T=2\pi\ et \ g est paire donc on peut restreindre l'étudie sur D_{E}=[0\;;\ \pi].
On a : g'(x)=-\sin x et soit le tableau de variation de g suivant :
\begin{array}{|c|lcr|}\hline x&0&&\pi\\ \hline g'(x)&&-&\\ \hline&1&&\\g&&\searrow&\\&&&-1\\ \hline \end{array}
Ainsi, g est continue et strictement décroissante sur \left[0\;;\ \pi\right] donc g est une bijection de \left[0\;;\ \pi\right] vers [-1\;;\ 1].
D'où, g admet une bijection réciproque g^{-1}, notée \arccos, qui est continue et strictement décroissante de [-1\;;\ 1] vers \left[0\;;\ \pi\right] et \arccos est dérivable sur ]-1\;;\ 1[ et on a : (g^{-1})'(y)=\dfrac{1}{g'(x)}=\dfrac{1}{-\sin x}
Or,
\begin{array}{rcrcl}\cos^{2}x+\sin^{2}x=1&\Rightarrow&\sin x&=&\pm\sqrt{1-\cos^{2}x}\\\\&&&=&+\sqrt{1-\cos^{2}x}\quad\text{car }\ x\in\left[0\;;\ \pi\right]\\\\&\Rightarrow&\sin x&=&\sqrt{1-y^{2}}\end{array}
Par suite, (g^{-1})'(y)=\dfrac{1}{-\sqrt{1-y^{2}}}
D'où, \boxed{(\arccos)'(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}
\centerdot\ \ Soit h(x)=\tan x\ alors, D_{h}=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right\}
h est \pi-périodique et impaire alors on choisit comme domaine d'étude l'intervalle suivant : D_{E}=\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[.
On a : h'(x)=1+\tan^{2}x>0 donc h est croissante.
Tableau de variation de h :
\begin{array}{|c|lcr||}\hline x&0&&\pi/2\\ \hline h'(x)&&+&\\ \hline&&&+\infty\\h&&\nearrow&\\&0&&\\ \hline \end{array}
Donc, h est continue et strictement croissante sur \left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[.
Par suite, h est une bijection de \left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[ vers [0\;;\ +\infty[.
Par conséquent, h admet une bijection réciproque h^{-1}, notée \arctan, qui est continue et strictement croissante de [0\;;\ +\infty[ vers \left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[ et \arctan est dérivable sur [0\;;\ +\infty[ et on a : (h^{-1})'(y)=\dfrac{1}{h'(x)}=\dfrac{1}{1+\tan^{2}x}
Or, y=\tan x
Donc, (h^{-1})'(y)=\dfrac{1}{1+y^{2}}
D'où, \boxed{(\arctan)'(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}}
Exercice d'application
Soit f la fonction définie par : f(x)=\sin^{2}x
1) Montrer que f admet une bijection réciproque sur [0\;;\ 1]
2) Donner l'expression de (f^{-1})'(x)
Résolution
1) On a : f(x)=\sin^{2}x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}\ alors, D_{f}=\mathbb{R} et T=\pi.
De plus, f est paire donc, on peut restreindre l'étude sur D_{E}=\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right].
On a : f'(x)=2\sin x\cos x\geq 0\;;\ \forall\;x\in D_{E} donc f est croissante.
Tableau de variation de f :
\begin{array}{|c|lcr|}\hline x&0&&\pi/2\\ \hline f'(x)&&+&\\ \hline&&&1\\f&&\nearrow&\\&0&&\\ \hline \end{array}
Donc, f est continue et strictement croissante sur \left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right].
Ainsi, f est une bijection de \left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right] vers [0\;;\ 1].
Par conséquent, f admet une bijection réciproque f^{-1} qui est continue et strictement croissante de [0\;;\ 1] vers \left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right].
2) Expression de (f^{-1})'(x)
On a : f^{-1} est dérivable sur ]0\;;\ 1[ et \forall\;y\in\;]0\;;\ 1[\;;\ (f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}=\dfrac{1}{2\sin x\cos x}
Or,
\begin{array}{rcrcl} y=\sin^{2}x&\Rightarrow&\sin x&=&\pm\sqrt{y}\\\\&&&=&+\sqrt{y}\quad\text{car }\ x\in\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]\\\\&\Rightarrow&\sin x&=&\sqrt{y}\end{array}
et
\begin{array}{rcrcl}\cos^{2}x+\sin^{2}x=1&\Rightarrow&\cos x&=&\pm\sqrt{1-\sin^{2}x}\\\\&&&=&+\sqrt{1-\sin^{2}x}\quad\text{car }\ x\in\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]\\\\&\Rightarrow&\cos x&=&\sqrt{1-y}\end{array}
Ce qui donne, (f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{2\sqrt{y}\sqrt{1-y}}
D'où, \boxed{(f^{-1})'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-x^{2}}}}
III.4. Inégalité des accroissements finis
Théorème 6
Si une fonction f est dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R}\;;\ a\;,\ b\in I et si \forall\;x\in[a\;;\ b] il existe \;m\;,\ M\in\mathbb{R} tels que m\leq f'(x)\leq M alors m(b-a)\leq f(b)-f(a)\leq M(b-a)
Preuve théorème
Soit \varphi la fonction définie par \varphi(x)=f(x)-mx.
On a : \varphi dérivable sur [a\;;\ b] et \varphi'(x)=f'(x)-m\geq 0.
\varphi est donc croissante.
Ainsi,
\begin{array}{rcrcl} b\geq a&\Rightarrow&\varphi(b)&\geq&\varphi(a)\\\\&\Rightarrow&f(b)-mb&\geq&f(a)-ma\\\\&\Rightarrow&f(b)-f(a)&\geq&mb-ma=m(b-a)\end{array}
Par ailleurs, considérons \psi la fonction définie par \psi(x)=f(x)-Mx.
Alors, \psi est dérivable sur [a\;;\ b] et \psi'(x)=f'(x)-M\leq 0 donc \psi est décroissante.
Ainsi,
\begin{array}{rcrcl} b\geq a&\Rightarrow&\psi(b)&\leq&\psi(a)\\\\&\Rightarrow&f(b)-Mb&\leq&f(a)-Ma\\\\&\Rightarrow&f(b)-f(a)&\leq&Mb-Ma=M(b-a)\end{array}
D'où, m(b-a)\leq f(b)-f(a)\leq M(b-a)
Corollaire
Si une fonction f est dérivable sur I\;;\ a\;,\ b\in I et s'il existe k\in\mathbb{R}_{+}^{*} tel que \forall\;x\in[a\;;\ b]\;;\ |f'(x)|\leq k alors |f(b)-f(a)|\leq k|b-a|
Exercice d'application
Montrer que \forall\;a\in\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right]\;;\quad a\leq\tan a\leq 2a
Résolution
Soit f(x)=\tan x\ alors, D_{f}=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right\}
De plus, f est dérivable sur \left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right] et f'(x)=\dfrac{1}{\cos^{2}x}
Soit a\in\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right] alors, \forall\;x\in[0\;;\ a] on a : \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\leq\cos a\leq\cos x\leq\cos 0
c'est-à-dire ; \dfrac{\sqrt{2}}{2}\leq\cos x\leq 1\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{2}\leq\cos^{2}x\leq 1
Donc, 1\leq\dfrac{1}{\cos^{2}x}\leq 2
Par suite, en appliquant l'inégalité des accroissements finis on obtient :
1(a-0)\leq\tan a-\tan 0\leq 2(a-0)
Ce qui donne, a\leq\tan a\leq 2a
Ainsi, \forall\;a\in\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right]\;; on a : a\leq\tan a\leq 2a
Auteur:
Seyni Ndiaye & D. Faye
Commentaires
Ababacar (non vérifié)
mar, 08/04/2020 - 13:43
Permalien
Vraiment je vs felicite de
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