Vous êtes ici

Dérivabilité - T S

Classe:

Terminale

I. Nombre dérivé

I.1. Définitions

$-\ \$ On dit qu'une fonction

$f$ est dérivable en

$x_{0}\in D_{f}$ si, et seulement si, l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée.

$\centerdot\ \ C_{1}\ :\ \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\ell\in\mathbb{R}$ (réel fini)

$\centerdot\ \ C_{2}\ :\ \lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\ell\in\mathbb{R}$

$\centerdot\ \ C_{3}\ :\$ il existe un réel

$\ell$ et une fonction

$\varepsilon$ tels que

$f(x_{0}+h)=f(x_{0})+\ell h+h\varepsilon(h)\quad\text{avec } \lim\limits_{h\rightarrow 0}\varepsilon(h)=0$

Dans ce dernier cas on dit que

$f$ admet un développement limité d'ordre 1 au voisinage de

$x_{0}.$

$\ell$ est le nombre dérivé de

$f$ en

$x_{0}$ noté

$f'(x_{0}).$

$f'(x_{0})=\ell$

$-\ \$ On dit qu'une fonction

$f$ est dérivable à gauche de

$x_{0}\in D_{f}$ si, et seulement si,

$\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{-}}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\ell_{1}\in\mathbb{R}\quad\text{(réel fini)}$

$\ell_{1}$ est le nombre dérivé de

$f$ à gauche de

$x_{0}$ noté

$f'_{g}(x_{0}).$

$f'_{g}(x_{0})=\ell_{1}$

$-\ \$ On dit qu'une fonction

$f$ est dérivable à droite de

$x_{0}\in D_{f}$ si, et seulement si,

$\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{+}}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\ell_{2}\in\mathbb{R}\quad\text{(réel fini)}$

$\ell_{2}$ est le nombre dérivé de

$f$ à droite de

$x_{0}$ noté

$f'_{d}(x_{0}).$

$f'_{d}(x_{0})=\ell_{2}$

Théorème 1

Une fonction

$f$ est dérivable en

$x_{0}$ si, et seulement si,

$f$ est dérivable à gauche et à droite de

$x_{0}$ et que les nombres dérivés sont égaux

$(f'_{g}(x_{0})=f'_{d}(x_{0}))$

Exercice d'application

Soit

$f$ et

$g$ deux fonctions définies par :

$f(x)=|x^{2}-x|\quad\text{et}\quad g(x)=\sqrt{x^{2}-4x+3}$

Étudier la dérivabilité de

$f$ et

$g$ en 1.

Résolution

Dérivabilité de

$f$ en 1

Écrivons

$f$ sans le symbole des valeurs absolues en utilisant le tableau de signe suivant :

$\begin{array}{|c|lcccccr|}\hline x&-\infty&&0&&1&&+\infty\\ \hline x^{2}-x&&+&0&-&0&+&\\ \hline|x^{2}-x|&&x^{2}-x&|&-x^{2}+x&|&x^{2}-x&\\ \hline \end{array}$

Donc,

$\begin{array}{rcl}\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}&=&\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{-x^{2}+x}{x-1}\\ \\&=&\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}(-x)\\ \\&=&-1 \end{array}$

$\begin{array}{rcl}\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}&=&\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac{x^{2}-x}{x-1}\\ \\&=&\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}(x)\\ \\&=&1 \end{array}$

Ainsi,

$f'_{g}(1)\neq f'_{d}(1)$

D'où,

$f$ n'est pas dérivable en 1.

Dérivabilité de

$g$ en 1

D'après le tableau de signes ci-dessous on a

$D_{g}=]-\infty\;;\ 1]\cup[3\;;\ +\infty[$

$\begin{array}{|c|lcccccr|}\hline x&-\infty&&1&&3&&+\infty\\ \hline x^{2}-4x+3&&+&0&-&0&+&\\ \hline \end{array}$

Alors,

$\begin{array}{rcl}\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{g(x)-g(1)}{x-1}&=&\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{\sqrt{x^{2}-4x+3}}{x-1}\\ \\&=&\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{(x-1)(x-3)}{(x-1)\sqrt{x^{2}-4x+3}}\\ \\&=&-\infty \end{array}$

Donc,

$g$ non dérivable en

$1.$

I.2. Interprétation géométrique de la dérivabilité

Nous distinguons deux cas :

$\centerdot\ \$ Soit

$f$ dérivable en

$x_{0}$ alors

$\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=f'(x_{0})\in\mathbb{R}$

On a :

$\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$ est le coefficient directeur de la sécante

$(AB).$

Alors, lorsque

$h$ tend vers

$0$ le point

$B$ tend vers le point

$A.$

Et par conséquent, la droite

$(AB)$ tend vers une droite dite limite

$(T)$ appelée tangente à

$C_{f}$ en

$x_{0}.$

Ainsi, au point d'abscisse

$x_{0}$ on a une tangente

$(T)$ d'équation :

$y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$

$f'(x_{0})$ est le coefficient directeur de la tangente.

$\centerdot\ \$ Soit

$f$ non dérivable en

$x_{0}$ ; les cas suivants peuvent alors se présenter :

$-\ \$ deux demi-tangentes au point d'abscisse

$x_{0}.$

Par exemple

$f'_{g}(x_{0})=-2\$ et

$\ f'_{d}(x_{0})=\dfrac{2}{3}$

Les équations des demi-tangentes sont données par :

$T_{1}\ :\ y=f'_{g}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$ avec

$f'_{g}(x_{0})=-2$

$T_{2}\ :\ y=f'_{d}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$ avec

$f'_{d}(x_{0})=\dfrac{2}{3}$

$-\ \$ une demi-tangente verticale au point d'abscisse

$x_{0}.$

Par exemple :

$\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{-}}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=-\infty\$ et

$\ \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{+}}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=+\infty$

$-\ \$ une demi-tangente de pente fini et une demi-tangente verticale au point d'abscisse

$x_{0}.$

Par exemple :

$f'_{g}(x_{0})=-2\$ et

$\ \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{+}}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=+\infty$

I.3. Opérations sur la dérivabilité

Théorème 2

Si une fonction

$f$ est dérivable en

$x_{0}$ alors

$f$ est continue en

$x_{0}$ ; la réciproque est fausse.

Par exemple la fonction

$f(x)=|x^{2}-x|$ qui est continue en

$1$ et non dérivable en

$1.$

Preuve théorème

$f$ dérivable en

$x_{0}$ alors il existe une fonction

$\varepsilon$ telle que

$f(x_{0}+h)=f(x_{0})+hf'(x_{0})+h\varepsilon(h)\quad\text{avec } \lim_{h\rightarrow 0}\varepsilon(h)=0$

Posons

$x=x_{0}+h$ donc,

$f(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})f'(x_{0})+(x-x_{0})\varepsilon(x-x_{0})$

Ainsi,

$\begin{array}{rcl}\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)&=&\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x_{0})+(x-x_{0})f'(x_{0})+(x-x_{0})\varepsilon(x-x_{0})\\ \\&=&f(x_{0})\end{array}$

D'où,

$f$ continue en

$x_{0}$

Théorème 3

$f$ et

$g$ sont deux fonctions dérivables en

$x_{0}$ alors :

$\centerdot\ \ f+g$ est dérivables en

$x_{0}$ et

$(f+g)'(x_{0})=f'(x_{0})+g'(x_{0})$

$\centerdot\ \ fg$ est dérivables en

$x_{0}$ et

$(fg)'(x_{0})=f'(x_{0})g(x_{0})+f(x_{0})g'(x_{0})$

$\centerdot\ \$ si de plus

$g(x)\neq 0$ alors

$\dfrac{f}{g}$ est dérivables en

$x_{0}$ et

$\left(\dfrac{f}{g}\right)'(x_{0})=\dfrac{f'(x_{0})g(x_{0})-f(x_{0})g'(x_{0})}{(g(x_{0}))^{2}}$

Théorème 4 (composée)

Si une fonction

$f$ est dérivable en

$x_{0}\$ et

$\ g$ dérivable en

$y_{0}=f(x_{0}$ alors

$g\circ f$ est dérivable en

$x_{0}$ et

$(g\circ f)'(x_{0})=f'(x_{0})\times g'[f(x_{0})]$

II. Fonctions dérivées

II.1. Définition

On appelle fonction dérivée de

$f$ la fonction notée

$f'$ qui associe à tout

$x$ son nombre dérivé.

II.2. Tableau de dérivées

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline f&f'&f&f'&f&f'&f&f'\\ \hline k\in\mathbb{R}&0&\sin x&\cos x&\dfrac{1}{u}&-\dfrac{u'}{u^{2}}&\tan u&\dfrac{u'}{\cos^{2}u}\\ \hline ax&a&\cos x&-\sin x&\sqrt{u}&\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}&u^{n}&nu'u^{n-1}\\ \hline \dfrac{1}{x}&-\dfrac{1}{x^{2}}&\tan x&\dfrac{1}{\cos^{2}x}&\sin u&u'\cos u&\dfrac{u}{v}&\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}\\ \hline \sqrt{x}&\dfrac{1}{2\sqrt{x}}&x^{n}&nx^{n-1}&\cos u&-u'\sin u&uv&u'v+uv'\\ \hline \end{array}$

$u$ une fonction dérivable

Exercice d'application

Calculer les dérivées des fonctions

$f\$ et

$\ g$ définies par :

$f(x)=(x-1)\sqrt{x^{2}-4x+3}\;,\ g(x)=\sin^{4}(4x^{2}-3x+5)$

Résolution

Soit

$f(x)=(x-1)\sqrt{x^{2}-4x+3}\$ alors sa dérivée

$f'(x)$ est donnée par :

$\begin{array}{rcl} f'(x)&=&\sqrt{x^{2}-4x+3}+(x-1)\times\dfrac{2x-4}{2\sqrt{x^{2}-4x+3}}\\ \\&=&\sqrt{x^{2}-4x+3}+\dfrac{(x-1)(x-2)}{\sqrt{x^{2}-4x+3}}\\ \\&=&\dfrac{x^{2}-4x+3+x^{2}-3x+2}{\sqrt{x^{2}-4x+3}}\end{array}$

D'où,

$f'(x)=\dfrac{2x^{2}-7x+5}{\sqrt{x^{2}-4x+3}}$

On a

$g(x)=\sin^{4}(4x^{2}-3x+5)$

alors,

$g'(x)=4(8x-3)\cos(4x^{2}-3x+5)\sin^{3}(4x^{2}-3x+5)$

II.3. Dérivées successives

$\centerdot\ \$ Si

$f$ est dérivable sur

$I$ et si sa fonction dérivée

$f'$ est dérivable sur

$I$ on dira que

$f$ est deux fois dérivable sur

$I$ et la dérivée seconde est notée

$f''(x)$

$\centerdot\ \$ Si

$f''$ est dérivable sur

$I$ on dira que

$f$ est trois fois dérivable sur

$I$ et la dérivée troisième est notée

$f^{(3)}(x)$

$\centerdot\ \$ Si

$f$ est

$n$ fois dérivable sur

$I$ sa dérivée

$n^{\text{ième}}$ est notée

$f^{(n)}(x)$

Par exemple, la dérivée

$n^{\text{ième}}$ des fonctions

$f(x)=\sin x$ et

$g(x)=\cos x$ est donnée par :

$f^{(n)}(x)=\sin\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)\;,\quad g^{(n)}(x)=\cos\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$

$\centerdot\ \$ Si

$f$ et

$g$ sont

$n$ fois dérivable sur

$I$ alors,

$(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)$

III. Applications

III.1. Sens de variation

$\centerdot\ \$ Si

$f'(x)\geq 0$ sur

$I$ alors,

$f$ est croissante sur

$I.$

$\centerdot\ \$ Si

$f'(x)\leq 0$ sur

$I$ alors, sur

$I$ , alors

$f$ est décroissante sur

$I.$

$\centerdot\ \$ Si

$f'(x)=0$ sur

$I$ alors, la fonction

$f$ est constante sur

$I.$

$\centerdot\ \$ Si

$f'(x)>0$ sur

$I$ alors,

$f$ est strictement croissante sur

$I.$

$\centerdot\ \$ Si

$f'(x)<0$ sur

$I$ alors, sur

$I$ , alors

$f$ est strictement décroissante sur

$I.$

Exercice d'application

Soit

$f$ la fonction définie par :

$f(x)=|x^{2}-x|$

1) Déterminer les limites aux bornes de

$D_{f}$

2) Étudier la dérivabilité en 0 et 1

3) Donner la dérivée et dresser le tableau de variation

Résolution

1) Soit

$f(x)=|x^{2}-x|$ alors,

$D_{f}=\mathbb{R}$ et en écrivant

$f$ sans le symbole des valeurs absolues on obtient :

$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}-x&\text{si}&x\in\;]-\infty\;;\ 0]\cup[1\;;\ +\infty[\\-x^{2}+x&\text{si}&x\in\;]0\;;\ 1[\end{array}\right.$

Ainsi,

$\begin{array}{rcl}\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)&=&\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}x^{2}-x\\\\&=&+\infty\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)&=&\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^{2}-x\\\\&=&+\infty\end{array}$

2) Dérivabilité de

$f$ en

$0$

On a

$\begin{array}{rcl}\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}&=&\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}\dfrac{x^{2}-x}{x}\\ \\&=&\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}(x-1)\\ \\&=&-1 \end{array}$

$\begin{array}{rcl}\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}&=&\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{-x^{2}+x}{x}\\ \\&=&\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}(-x+1)\\ \\&=&1 \end{array}$

Ainsi,

$f'_{g}(0)\neq f'_{d}(0)$

D'où,

$f$ n'est pas dérivable en

$0.$

Dérivabilité de

$f$ en

$1$

On a

$\begin{array}{rcl}\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}&=&\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{-x^{2}+x}{x-1}\\ \\&=&\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}(-x)\\ \\&=&-1 \end{array}$

$\begin{array}{rcl}\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}&=&\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac{x^{2}-x}{x-1}\\ \\&=&\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}(x)\\ \\&=&1 \end{array}$

Ainsi,

$f'_{g}(1)\neq f'_{d}(1)$

D'où,

$f$ n'est pas dérivable en

$1.$

3) Soit

$f'(x)$ la fonction dérivée de

$f$ alors on a :

$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-1&\text{si}&x\in\;]-\infty\;;\ 0[\cup]1\;;\ +\infty[\\-2x+1&\text{si}&x\in\;]0\;;\ 1[\end{array}\right.$

Tableau de variation de

$f$

$\begin{array}{|c|lcccccccr|}\hline x&-\infty&&0&&1/2&&1&&+\infty\\ \hline f'(x)&&-&-1||1&+&0&-&-1||1&+&\\ \hline&-\infty&&&&1/4&&&&+\infty\\f&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\&&&0&&&&0&&\\ \hline \end{array}$

III.2. Extrémums - point d'inflexion

$\centerdot\ \$ On dit qu'une fonction

$f$ présente un extrémum au point d'abscisse

$x_{0}$ si

$f'(x)$ s'annule en

$x_{0}$ en changeant de signe autour de

$x_{0}.$

$\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x&&&x_{0}&&\\ \hline f'(x)&&-&0&+&\\ \hline&&&|&&\\f&&\searrow&|&\nearrow&\\&&&\text{minimum}&&\\ \hline \end{array}$

On peut aussi formuler ainsi :

Il existe

$\alpha>0$ tel que

$\forall\;x\in\;]x_{0}-\alpha\;;\ x_{0}+\alpha[\;,\quad f(x)\geq f(x_{0})$

$\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x&&&x_{0}&&\\ \hline f'(x)&&+&0&-&\\ \hline&&&\text{maximum}&&\\f&&\nearrow&|&\searrow&\\&&&|&&\\ \hline \end{array}$

On peut alors formuler ainsi :

Il existe

$\alpha>0$ tel que

$\forall\;x\in\;]x_{0}-\alpha\;;\ x_{0}+\alpha[\;,\quad f(x)\leq f(x_{0})$

$\centerdot\ \$ On dit que

$M_{0}\begin{pmatrix} x_{0}\\y_{0}\end{pmatrix}$ est une point d'inflexion si :

$\ast\ \ f'(x)$ garde un signe constant autour de

$x_{0}$

$\ast\ \ f''(x)$ s'annule en

$x_{0}$ en changeant de signe.

Par exemple

$\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x&&&x_{0}&&\\ \hline f''(x)&&+&0&-&\\ \hline f'(x)&&+&|&+&\\ \hline \end{array}\quad\text{ou}\quad\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x&&&x_{0}&&\\ \hline f''(x)&&+&0&-&\\ \hline f'(x)&&-&|&-&\\ \hline \end{array}$

ou encore

$\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x&&&x_{0}&&\\ \hline f''(x)&&-&0&+&\\ \hline f'(x)&&+&|&+&\\ \hline \end{array}\quad\text{ou}\quad\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x&&&x_{0}&&\\ \hline f''(x)&&-&0&+&\\ \hline f'(x)&&-&|&-&\\ \hline \end{array}$

Remarque : un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente.

III.3. Dérivée de la réciproque d'une fonction

III.3.1. Théorème 5 : bijection

$f$ est une fonction continue et strictement monotone sur

$I$ alors

$f$ est une bijection de

$I$ vers

$J=f(I)$ et donc

$f$ admet une bijection réciproque

$f^{-1}$ qui est continue et strictement monotone dans le même sens que

$f$ de

$J$ vers

$I$ et

$f^{-1}$ est dérivable sur

$J_{1}=J\setminus\{y\in J\;/\;f'(f^{-1}(y))=0\}$ et on a :

$\forall\;y_{0}\in J_{1}\;;\ (f^{-1})'(y_{0})=\dfrac{1}{f'(x_{0})}$

où

$f(x_{0})=y_{0}\;;\ x_{0}\in I.$

Remarque : pour obtenir

$x_{0}$ on résout l'équation

$f(x)=y_{0}$

Exercice d'application

Soit

$f$ la fonction définie sur

$\mathbb{R}$ par

$f(x)=x^{3}-3x+1$

1) Montrer que

$f$ admet une bijection réciproque sur

$[1\;;\ +\infty[$

2) Calculer

$(f^{-1})'(1)$

Résolution

1) Soit

$f(x)=x^{3}-3x+1$ alors,

$f'(x)=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1)$

Donc,

$f'(x)$ positive sur

$]-\infty\;;\ -1[\cup]1\;;\ +\infty[$ et négative sur

$]-1\;;\ 1[.$

$\begin{array}{rcl}\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)&=&\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}x^{3}-3x+1\\\\&=&-\infty\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)&=&\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^{3}-3x+1\\\\&=&+\infty\end{array}$

Tableau de variation de

$f$

$\begin{array}{|c|lcccccr|}\hline x&-\infty&&-1&&1&&+\infty\\ \hline f'(x)&&+&0&-&0&+&\\ \hline&&&3&&&&+\infty\\f&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\&-\infty&&&&-1&&\\ \hline \end{array}$

Ainsi,

$f$ est continue et strictement croissante sur

$[1\;;\ +\infty[$ donc bijective de

$[1\;;\ +\infty[$ vers

$[-1\;;\ +\infty[.$

Par suite

$f$ admet une bijection réciproque

$f^{-1}$ qui est continue et strictement croissante de

$[-1\;;\ +\infty[$ vers

$[1\;;\ +\infty[$ et

$f^{-1}$ est dérivable sur

$]-1\;;\ +\infty[.$

2) Calculons

$(f^{-1})'(1)$

On a :

$(f^{-1})'(1)=\dfrac{1}{f'(x_{0})}$ avec

$f^{-1}(1)=x_{0}$ ; c'est-à-dire

$f(x_{0})=1.$

Donc, résolvons l'équation

$f(x)=1.$ On a :

$\begin{array}{rcl} f(x)=1&\Leftrightarrow&x^{3}-3x+1=1\\\\&\Leftrightarrow&x^{3}-3x=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\quad\text{ou}\quad x=-\sqrt{3}\quad\text{ou}\quad x=\sqrt{3}\end{array}$

Or,

$\sqrt{3}$ est l'unique solution qui appartient à

$[1\;;\ +\infty[$ donc,

$x_{0}=\sqrt{3}.$

Par suite,

$\begin{array}{rcl} (f^{-1})'(1)=\dfrac{1}{f'(x_{0})}&=&\dfrac{1}{f'(\sqrt{3})}\\ \\&=&\dfrac{1}{3\times 3-3}\\ \\&=&\dfrac{1}{6}\end{array}$

D'où,

$(f^{-1})'(1)=\dfrac{1}{6}$

III.3.2. Dérivée des fonctions réciproques de : $\sin x\;;\ \cos x\;;\ \tan x$

$\centerdot\ \$ Soit

$f(x)=\sin x\$ alors,

$D_{f}=\mathbb{R}$ et

$T=2\pi.$

$f$ impaire donc le domaine d'étude est donné par

$D_{E}=[0\;;\ \pi].$

Soit

$f'(x)=\cos x$ alors le tableau de variation de

$f$ est :

$\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x&0&&\pi/2&&\pi\\ \hline f'(x)&&+&0&-&\\ \hline&&&1&&\\f&&\nearrow&&\searrow&\\&0&&&&0\\ \hline \end{array}$

Ainsi,

$f$ est continue et strictement croissante sur

$\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ donc

$f$ est une bijection de

$\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ vers

$[0\;;\ 1].$

D'où,

$f$ admet une bijection réciproque

$f^{-1}$ , notée

$\arcsin$ , qui est continue et strictement croissante de

$[0\;;\ 1]$ vers

$\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ et

$\arcsin$ est dérivable sur

$[0\;;\ 1[$ et on a :

$(f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}=\dfrac{1}{\cos x}$

Or,

$\begin{array}{rcrcl}\cos^{2}x+\sin^{2}x=1&\Rightarrow&\cos x&=&\pm\sqrt{1-\sin^{2}x}\\\\&&&=&+\sqrt{1-\sin^{2}x}\quad\text{car }\ x\in\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]\\\\&\Rightarrow&\cos x&=&\sqrt{1-y^{2}}\end{array}$

Ce qui entraîne alors,

$(f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}$

D'où,

$\boxed{(\arcsin)'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}$

$\centerdot\ \$ Soit

$g(x)=\cos x\$ alors,

$D_{g}=\mathbb{R}.$

$T=2\pi\$ et

$\ g$ est paire donc on peut restreindre l'étudie sur

$D_{E}=[0\;;\ \pi].$

On a :

$g'(x)=-\sin x$ et soit le tableau de variation de

$g$ suivant :

$\begin{array}{|c|lcr|}\hline x&0&&\pi\\ \hline g'(x)&&-&\\ \hline&1&&\\g&&\searrow&\\&&&-1\\ \hline \end{array}$

Ainsi,

$g$ est continue et strictement décroissante sur

$\left[0\;;\ \pi\right]$ donc

$g$ est une bijection de

$\left[0\;;\ \pi\right]$ vers

$[-1\;;\ 1].$

D'où,

$g$ admet une bijection réciproque

$g^{-1}$ , notée

$\arccos$ , qui est continue et strictement décroissante de

$[-1\;;\ 1]$ vers

$\left[0\;;\ \pi\right]$ et

$\arccos$ est dérivable sur

$]-1\;;\ 1[$ et on a :

$(g^{-1})'(y)=\dfrac{1}{g'(x)}=\dfrac{1}{-\sin x}$

Or,

$\begin{array}{rcrcl}\cos^{2}x+\sin^{2}x=1&\Rightarrow&\sin x&=&\pm\sqrt{1-\cos^{2}x}\\\\&&&=&+\sqrt{1-\cos^{2}x}\quad\text{car }\ x\in\left[0\;;\ \pi\right]\\\\&\Rightarrow&\sin x&=&\sqrt{1-y^{2}}\end{array}$

Par suite,

$(g^{-1})'(y)=\dfrac{1}{-\sqrt{1-y^{2}}}$

D'où,

$\boxed{(\arccos)'(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}$

$\centerdot\ \$ Soit

$h(x)=\tan x\$ alors,

$D_{h}=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right\}$

$h$ est

$\pi-$ périodique et impaire alors on choisit comme domaine d'étude l'intervalle suivant :

$D_{E}=\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$

On a :

$h'(x)=1+\tan^{2}x>0$ donc

$h$ est croissante.

Tableau de variation de

$h$ :

$\begin{array}{|c|lcr||}\hline x&0&&\pi/2\\ \hline h'(x)&&+&\\ \hline&&&+\infty\\h&&\nearrow&\\&0&&\\ \hline \end{array}$

Donc,

$h$ est continue et strictement croissante sur

$\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$

Par suite,

$h$ est une bijection de

$\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ vers

$[0\;;\ +\infty[.$

Par conséquent,

$h$ admet une bijection réciproque

$h^{-1}$ , notée

$\arctan$ , qui est continue et strictement croissante de

$[0\;;\ +\infty[$ vers

$\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ et

$\arctan$ est dérivable sur

$[0\;;\ +\infty[$ et on a :

$(h^{-1})'(y)=\dfrac{1}{h'(x)}=\dfrac{1}{1+\tan^{2}x}$

Or,

$y=\tan x$

Donc,

$(h^{-1})'(y)=\dfrac{1}{1+y^{2}}$

D'où,

$\boxed{(\arctan)'(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}}$

Exercice d'application

Soit

$f$ la fonction définie par :

$f(x)=\sin^{2}x$

1) Montrer que

$f$ admet une bijection réciproque sur

$[0\;;\ 1]$

2) Donner l'expression de

$(f^{-1})'(x)$

Résolution

1) On a :

$f(x)=\sin^{2}x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}\$ alors,

$D_{f}=\mathbb{R}$ et

$T=\pi.$

De plus,

$f$ est paire donc, on peut restreindre l'étude sur

$D_{E}=\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right].$

On a :

$f'(x)=2\sin x\cos x\geq 0\;;\ \forall\;x\in D_{E}$ donc

$f$ est croissante.

Tableau de variation de

$f$ :

$\begin{array}{|c|lcr|}\hline x&0&&\pi/2\\ \hline f'(x)&&+&\\ \hline&&&1\\f&&\nearrow&\\&0&&\\ \hline \end{array}$

Donc,

$f$ est continue et strictement croissante sur

$\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right].$

Ainsi,

$f$ est une bijection de

$\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ vers

$[0\;;\ 1].$

Par conséquent,

$f$ admet une bijection réciproque

$f^{-1}$ qui est continue et strictement croissante de

$[0\;;\ 1]$ vers

$\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right].$

2) Expression de

$(f^{-1})'(x)$

On a :

$f^{-1}$ est dérivable sur

$]0\;;\ 1[$ et

$\forall\;y\in\;]0\;;\ 1[\;;\ (f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}=\dfrac{1}{2\sin x\cos x}$

Or,

$\begin{array}{rcrcl} y=\sin^{2}x&\Rightarrow&\sin x&=&\pm\sqrt{y}\\\\&&&=&+\sqrt{y}\quad\text{car }\ x\in\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]\\\\&\Rightarrow&\sin x&=&\sqrt{y}\end{array}$

Ce qui donne,

$(f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{2\sqrt{y}\sqrt{1-y}}$

D'où,

$\boxed{(f^{-1})'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-x^{2}}}}$

III.4. Inégalité des accroissements finis

Théorème 6

Si une fonction

$f$ est dérivable sur un intervalle

$I$ de

$\mathbb{R}\;;\ a\;,\ b\in I$ et si

$\forall\;x\in[a\;;\ b]$ il existe

$\;m\;,\ M\in\mathbb{R}$ tels que

$m\leq f'(x)\leq M$ alors

$m(b-a)\leq f(b)-f(a)\leq M(b-a)$

Preuve théorème

Soit

$\varphi$ la fonction définie par

$\varphi(x)=f(x)-mx.$

On a :

$\varphi$ dérivable sur

$[a\;;\ b]$ et

$\varphi'(x)=f'(x)-m\geq 0.$

$\varphi$ est donc croissante.

Ainsi,

$\begin{array}{rcrcl} b\geq a&\Rightarrow&\varphi(b)&\geq&\varphi(a)\\\\&\Rightarrow&f(b)-mb&\geq&f(a)-ma\\\\&\Rightarrow&f(b)-f(a)&\geq&mb-ma=m(b-a)\end{array}$

Par ailleurs, considérons

$\psi$ la fonction définie par

$\psi(x)=f(x)-Mx.$

Alors,

$\psi$ est dérivable sur

$[a\;;\ b]$ et

$\psi'(x)=f'(x)-M\leq 0$ donc

$\psi$ est décroissante.

Ainsi,

$\begin{array}{rcrcl} b\geq a&\Rightarrow&\psi(b)&\leq&\psi(a)\\\\&\Rightarrow&f(b)-Mb&\leq&f(a)-Ma\\\\&\Rightarrow&f(b)-f(a)&\leq&Mb-Ma=M(b-a)\end{array}$

D'où,

$m(b-a)\leq f(b)-f(a)\leq M(b-a)$

Corollaire

Si une fonction

$f$ est dérivable sur

$I\;;\ a\;,\ b\in I$ et s'il existe

$k\in\mathbb{R}_{+}^{*}$ tel que

$\forall\;x\in[a\;;\ b]\;;\ |f'(x)|\leq k$ alors

$|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|$

Exercice d'application

Montrer que

$\forall\;a\in\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right]\;;\quad a\leq\tan a\leq 2a$

Résolution

Soit

$f(x)=\tan x\$ alors,

$D_{f}=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right\}$

De plus,

$f$ est dérivable sur

$\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right]$ et

$f'(x)=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$

Soit

$a\in\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right]$ alors,

$\forall\;x\in[0\;;\ a]$ on a :

$\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\leq\cos a\leq\cos x\leq\cos 0$

c'est-à-dire ;

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}\leq\cos x\leq 1\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{2}\leq\cos^{2}x\leq 1$

Donc,

$1\leq\dfrac{1}{\cos^{2}x}\leq 2$

Par suite, en appliquant l'inégalité des accroissements finis on obtient :

$1(a-0)\leq\tan a-\tan 0\leq 2(a-0)$

Ce qui donne,

$a\leq\tan a\leq 2a$

Ainsi,

$\forall\;a\in\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right]\;;$ on a :

$a\leq\tan a\leq 2a$

Auteur:

Seyni Ndiaye & D. Faye

Commentaires

Ababacar (non vérifié)

mar, 08/04/2020 - 13:43

Permalien

Vraiment je vs felicite de

Vraiment je vs felicite de cet excellent travail

répondre

Ajouter un commentaire

form.antibot { display: none !important; } You must have JavaScript enabled to use this form.

Vous êtes ici

Dérivabilité - T S

Formulaire de recherche

I. Nombre dérivé

I.1. Définitions

Théorème 1

Exercice d'application

Résolution

I.2. Interprétation géométrique de la dérivabilité

I.3. Opérations sur la dérivabilité

Théorème 2

Théorème 3

Théorème 4 (composée)

II. Fonctions dérivées

II.1. Définition

II.2. Tableau de dérivées

Exercice d'application

Résolution

II.3. Dérivées successives

III. Applications

III.1. Sens de variation

Exercice d'application

Résolution

III.2. Extrémums - point d'inflexion

III.3. Dérivée de la réciproque d'une fonction

III.3.1. Théorème 5 : bijection

Exercice d'application

Résolution

III.3.2. Dérivée des fonctions réciproques de : sinx; cosx; tanx\sin x\;;\ \cos x\;;\ \tan x

Exercice d'application

Résolution

III.4. Inégalité des accroissements finis

Théorème 6

Corollaire

Exercice d'application

Résolution

Commentaires

Vraiment je vs felicite de

Ajouter un commentaire

Plain text

III.3.2. Dérivée des fonctions réciproques de : $\sin x\;;\ \cos x\;;\ \tan x$