Devoir n° 18 - 1e S2

Classe: 
Première
 

Exercice 1 

Soit $P(x)=\dfrac{a^{2}(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b^{2}(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+\dfrac{c^{2}(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}$
 
1) Calculer $P(a)\;,\ P(b)\;,\ P(c).$
 
2) En déduire que : $\forall\;x\in\mathbb{R}\ :\ P(x)=x^{2}.$

Exercice 2 

1) Déterminer les polynômes $f(x)$ de degré 2 vérifiant la relation : $$P(x)-P(x-1)= x^{2}+x$$ quel que soit $x\in\mathbb{R}.$
 
2) En déduire la valeur de la somme $$1\times 2+2\times 3+3\times 4+\ldots+2006\times 2007$$

Exercice 3 

a) Déterminer les polynômes du troisième degré dont les divisions par $(x-1)$, par $(x-2)$ par $(x-3)$, ont le même reste 36.
 
b) Déterminer celui d'entre eux qui est divisible par $(x-4).$

Exercice 4

Soit $k$ un réel strictement positif et $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ telle que, pour tout réel $x$,
$$f(x-k)=-f(x+k)$$. Montrer que la fonction $f$ est périodique, et en préciser une période.

Exercice 5

Dans chacun des cas suivants, prouver que la courbe représentative de la fonction $f$ admet l'élément de symétrie indiqué :
 
1) $f\ :\ x\longmapsto\dfrac{x^{2}+4x+3}{2x^{2}+8x+9}$ axe de symétrie : $\Delta\ :\ x=-2.$
 
2) $f\ :\ x\longmapsto\dfrac{(x+1)^{2}}{x^{2}+1}$ centre de symétrie : $\Omega(0\;,\ 2).$

Exercice 6

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $I=[1\;;\ 5]$ par : $f(x)=1-\sqrt{2x-1}.$
 
1) En écrivant $f$ comme composée de fonctions simples, étudier les variations de $f.$
 
2) Démontrer que $f$ est une bijection de $[1\;;\ 5]$ vers $[-2\;;\ 0].$
 
Définir la bijection réciproque $f^{-1}$ et calculer $f^{-1}(x).$
 
 
$$\text{Durée : 2h 30}$$
 
Auteur: 
Mouhamadou Ka

Commentaires

3

C'est génial

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J'ai des élèves à encadrer et j'aurai aimer les faire traivailler avec vos exercices

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