Devoir n° 34 1e S

Classe: 
Première

Exercice 1

On considère l'équation d'inconnue $x$ : $(m-1)x^{2}+2(m-4)x+(m-4)(m+2)=0$
 
1) Étudier l'existence et le signe des racines de cette équation.
 
2) a) Déterminer une relation indépendante de $m$ liant les racines $x'\text{ et }x''$ de cette équation.
 
b) En déduire les valeurs des racines doubles.
 
3) Calculer, en fonction de $m$, l'expression $y=\dfrac{1}{1+x'}+\dfrac{1}{1+x''}.$

Exercice 2

$ABC$ est un triangle tel que $BC=2a\;;\ AB=AC=3a(a>0).$ 
 
On note $\theta$ l'angle $\widehat{BAC}.$ 
 
Soit $A'$ le milieu de $[BC]$, $H$ l'orthocentre de $ABC\text{ et }B'$ le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC).$
 
1) Vérifier que $\cos\theta=\dfrac{7}{9}.$
 
2) Trouver deux réels $\alpha\text{ et }\lambda$ pour que $B'$ soit le barycentre de $(A\;,\ \alpha)\text{ et }(C\;,\ \lambda).$
 
3) Trouver trois réels $x\;,\ y\text{ et }z$ tels que $H$ soit le barycentre de $(A\;,\ x)\;,\ (B\;,\ y)\text{ et }(C\;,\ z).$

Exercice 3

Soit $a\;,\ b\;,\ c$ trois réels non tous nuls; $A\;,\ B\;,\ C$ trois points du plan.
 
On considère les fonctions vectorielle $\vec{f}$ et scalaire $g$ définies par : 
 
$\vec{f}(M)=a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}\text{ et }g(M)=a\,MA^{2}+b\,MB^{2}+c\,MC^{2}.$
 
1) On suppose que $a+b+c=0.$
 
a) Montrer que les points $A\;,\ B\text{ et }C$ sont alignés.
 
b) Montrer que $g(M)=a\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=b\,\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=c\,\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}.$
 
2) On suppose que $a+b+c\neq 0.$
 
a) Montrer que $g(M)=(a+b+c)MG^{2}+g(G)$, où $G$ est le barycentre de ${(A\;,\ a)\;;\ (B\;,\ b)\;;\ (C\;,\ c)}.$
 
b) Montrer que $g(G)=\dfrac{1}{a+b+c}$ ($ab\,AB^{2}+bc\,BC^{2}+ca\,CA^{2}).$
 
Application : $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que : $AC=AB=2d(d>0).$
 
Déterminer, puis construire l'ensemble des points $M$ du plan tels que : $MA^{2}+2MB^{2}+MC^{2}=6d^{2}.$

Exercice 4

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
 
1) $\sqrt{2x+3}\leq\sqrt{4x+3}-\sqrt{2x-1}$
 
2) $\sqrt{2x^{2}+3x-1}\leq x-1$
 
3) $|x^{2}+2x-3|>|2x-1.$
 

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