Série d'exercice : Nombres complexes - Ts

Classe: 
Terminale
 

Forme algébrique.Équations 

Exercice 1

Déterminer la forme cartésienne des nombres complexes suivants :
 
a) $z=(1+\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})\qquad \text{b) }z=(2-3\mathrm{i})(3\mathrm{i})$
 
c) $z=(2\mathrm{i}+1)(1+\mathrm{i})^{2}(3\mathrm{i}-4)$
 
d) $z=(5+4\mathrm{i})(3+7\mathrm{i})(2-3\mathrm{i})$
 
e) $z=\dfrac{1-\mathrm{i}}{2\mathrm{i}}\qquad \text{f) }z=\dfrac{3-4\mathrm{i}}{7+5\mathrm{i}}$
 
g) $z=\dfrac{(3-2\mathrm{i})(5+\mathrm{i})}{5-\mathrm{i}}$ 

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants, déterminer la partie réelle, la partie imaginaire et le conjugué du nombre complexe $z$ :
 
1) $z=5+3\mathrm{i} (2+6\mathrm{i})(3\mathrm{i}+4)\qquad 2)\ z=\dfrac{2\mathrm{i}+3}{2+3\mathrm{i}}$
 
3) $z=\dfrac{3-5\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}\qquad 4)\ z=\dfrac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$

Exercice 3

Trouver l'ensemble $(S)$ des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie :
 
a) $|z-4|=|z+2\mathrm{i}|$
 
b) $|z+1+\mathrm{i}|=|z-3|$
 
c) $|z-5+3\mathrm{i}|=3$
 
d) $|z+5-\mathrm{i}|=|z-4\mathrm{i}|$

Exercice 4

Résoudre dans $\mathbb{C}$ :
 
1) $(2-\mathrm{i})z=2+\mathrm{i}$
 
2) $3z-5+2\mathrm{i}z=2\mathrm{i}3z+4\mathrm{i} z$
 
3) $\dfrac{(2+\mathrm{i})z}{1-\mathrm{i}}=\dfrac{1-\mathrm{i}}{2+3\mathrm{i}}$
 
4) $(2+\mathrm{i}z)(3+\mathrm{i})=(1+3\mathrm{i})(z+2\mathrm{i})$
 
5) $(2+3\mathrm{i})z+3(z-\mathrm{i})=2\mathrm{i}+5z$
 
6) $\dfrac{1}{z-1}=\dfrac{\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}$

Exercice 5

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :
 
a) $(3-\mathrm{i})\overline{z}=\dfrac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$
 
b) $z+\overline{z}+2=0$
 
c) $3z+2\mathrm{i}\overline{z}=2+3\mathrm{i}$
 
d) $(2+\mathrm{i})z+(1+3\mathrm{i})\overline{z}=1+2\mathrm{i}$
 
e) $4 z^{2}+8|z|^{2}-3=0$
 
f) $\overline{z}=\dfrac{4}{z}\text{ et représenter graphiquement les solutions.}$
 
g) $z^{2}-2\mathrm{i}\overline{z}=0$ ; pour cette question, soit $O\;,\ A\;,\ B\;,\ C$ les images dans le plan complexe, muni du repère orthonormé $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ des solutions obtenues. Montrer que le triangle $ABC$ est équilatéral.
 
h) $(3+\mathrm{i})z+(1-3\mathrm{i})\overline{z}+12-6\mathrm{i}=0.$
 
(On trouvera une infinité de solutions).

Exercice 6

On pose $Z=(z-2)(\overline{z}+\mathrm{i}).$
 
Soit les écritures algébriques $z=x+\mathrm{i} y$ ;
 
$x\;,\ y\text{ réels et }Z=X+\mathrm{i}Y\;;\ X\;,\ Y\text{ réels.}$
 
1) Exprimer $X\text{ et }Y$ en fonction de $x\text{ et }y.$ 
 
Trouve alors les ensembles suivants :
 
$E_{1}\ :\text{ ensemble des points }M(z)\text{ tels que }Z\text{ est réel.}$
 
$E_{2}\ :\text{ ensemble des points }M(z)\text{ tels que }Z\text{ est imaginaire.}$
 
2) Traduire à l'aide de $\overline{Z}\text{ que }Z$ est réel, puis que $Z$ est imaginaire.
 
Retrouver alors les ensembles $E_{1}\text{ et }E_{2}.$

Exercice 7

On pose $Z=z^{2}+2z-3.$
 
1) Soit $F_{1}\ :\text{ l'ensemble des points }M(z)\text{ tels que }Z\text{ est réel.}$
 
Reconnaître $F_{1}.$
 
2) Soit $F_{2}\ :\text{ l'ensemble des points }M(z)\text{ tels que }Z\text{ est imaginaire.}$
 
Donner une équation de $F_{2}.$

Exercice 8

$u$ est un nombre complexe donné.
 
Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels que le nombre complexe :
$$a=\dfrac{u-\overline{u}z}{1-z}$$
soit : a) réel   b) imaginaire pur.

Exercice 9

Le but de l'exercice est de résoudre dans $\mathbb{C}\text{ l'équation }(E)\;,\text{ d'inconnue }z\ :\ P(z)=0\;,\text{ où }:$
$$P(z)=2z^{4}-6z^{3}+9z^{2}-6z+2.$$
 
1) Comparer $\overline{p(z)}\text{ et }P\overline{(z)}.$
 
(On indiquera avec précision les propriétés utilisées).
 
Montrer que si $z_{0}$ est racine de l'équation $(E)$ , le nombre $\dfrac{1}{z_{0}}$ est aussi racine de $(E).$
 
2) Déduire de ce qui précède que, si $z_{0}$ est racine de $(E)$ , il en est de même de $\overline{z_{0}}\text{ et }\dfrac{1}{\overline{z_{0}}}.$
 
3) Montrer que l'équation $(E)$ admet $1+\mathrm{i}$ pour racine.
 
Résoudre alors l'équation $(E).$

Exercice 10

Pour tout nombre complexe $z\neq 1$, on pose $z'=\dfrac{z-1}{\overline{z}-1}$ et on appelle $A\;,\ B\;,\ M\text{ et }M'$ les points d'affixes $1\;,\ -1\;,\ z\text{ et }z'$ dans le plan complexe muni du repère $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$
 
1) a) Comparer $|z-1|\text{ et }|\overline{z}-1|\;,\text{ et en déduire }|z'|.$
 
b) Traduire géométriquement ce résultat pour le point $M'.$
 
2) Calculer en fonction de $z\text{ et }\overline{z}\text{ le complexe }r=\dfrac{z'+1}{z-1}\text{ et en déduire que }r\text{ est réel.}$
 
3) Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{AM}\text{ et }\overrightarrow{BM'}$ sont colinéaires.
 
4) Utiliser ce qui précède pour donner une construction géométrique de $M'$ connaissant $M.$
 
Faire une figure.

Exercice 11

A tout complexe $z$, on associe dans le plan les points $M$ d'affixe $z$, $M'$ d'affixe $z+\mathrm{i}$ et $M''$ d'affixe $\mathrm{i}z.$
 
1) Pour quel nombre $z$ les points $O\text{ et }M'$ sont-ils confondus ?
 
Pour quel nombre $z$ les points $M'\text{ et }M''$ sont-ils confondus ?
 
2) a) on suppose que $z$ est distinct de $0\;,\text{ de }\mathrm{i}\text{ et de }\dfrac{1-\mathrm{i}}{2}.$
 
Montrer que les points $O\;,\ M'\text{ et }M''$ sont alignés si et seulement si $\dfrac{z+\mathrm{i}}{\mathrm{i}z}$ est un nombre réel.
 
b) Pour $z\,\in\;\mathbb{C}^{\ast}\;,\text{ on pose }z=x+\mathrm{i}y\text{ avec }x\text{ et }y\text{ réels.}$
 
Calculer la partie imaginaire de $\dfrac{z+\mathrm{i}}{\mathrm{i}z}\text{ en fonction de }x\text{ et de }y.$
 
3) a) Déterminer et représenter l'ensemble $\mathbb{C}$ des points $M$ tels que $O\;,\ M'\text{ et }M''$ soient deux à deux distincts et alignés.
 
b) en prenant $z=\dfrac{1}{4}-\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}\mathrm{i}\;,\text{ placer dans le plan les points }M\;,\ M'\text{ et }M''.$

Exercice 12

Calculer et écrire sous forme algébrique les racines carrées des nombres complexes suivants :
 
$z_{1}=3+4\mathrm{i}\qquad z_{2}=-8\mathrm{i}$
 
$z_{3}=7+24\mathrm{i}\qquad z_{4}=8-6\mathrm{i}$

Exercice 13

1) Résoudre dans $\mathbb{C}\text{ l(équation }z^{2}=5+12\mathrm{i}$
 
2) En utilisant le 1), résoudre, dans $\mathbb{C}\;,\text{ l'équation }z^{2}=5-12\mathrm{i}$
$(Indication\ :\ utiliser\ le\ conjugué\ de\ z)$
 
3) Résoudre alors dans $\mathbb{C}$ l'équation :
$$(z^{2}-5)^{2}+144=0$$

Exercice 14

1) Résoudre, dans $\mathbb{C}\;,\text{ l'équation }z^{2}=7+24\mathrm{i}$
 
2) Résoudre, dans $\mathbb{C}\;,\text{ l'équation }z^{4}=7+24\mathrm{i}$

Exercice 15

1) Calculer $(1+8\mathrm{i})^{2}$
 
2) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation :
$$(2+\mathrm{i})z^{2}-(9+2\mathrm{i})z+5(3-\mathrm{i})=0$$

Exercice 16

Résoudre dans $\mathbb{C}$ :
 
1) $z^{2}+(\mathrm{i}-5)z+8\mathrm{i}=0$
 
2) $z^{2}3\left(\sqrt{3}+\mathrm{i}\right)z+3\left(2+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)=0$

Exercice 17

Soit $P$ le polynôme défini par :
 
$P(z)=z^{3}-(11+2\mathrm{i})z^{2}+2(17+7\mathrm{i})z-42.$
 
1) Démontrer qu'il existe un nombre réel $\alpha$ solution de l'équation : $P(z)=0.$
 
2) Déterminer le polynôme $Q$ tel que :
 
$P(z)=(z-\alpha)\,Q(z)$
 
3) Résoudre dans $\mathbb{C}\text{ l'équation : }P(z)=0.$

Exercice 18

Soit $P$ le polynôme défini par :
 
$P(z)=z^{3}-2(1+2\mathrm{i})z^{2}+7\mathrm{i}z+3(1-3\mathrm{i}).$
 
1) Démontrer qu'il existe un imaginaire pur $\mathrm{i}\,\beta$ solution de l'équation : $P(z)=0.$
 
2) Déterminer le polynôme $Q\text{ tel que : }P(z)=(z-\mathrm{i}\,\beta)\,Q(z)$
 
3) Résoudre dans $\mathbb{C}\text{ l'équation : }P(z)=0.$

Exercice 19

Soit $P$ le polynôme défini par :
 
$P(z)=z^{4}+(5-2\mathrm{i})z^{3}+2(8-0\mathrm{i})z^{2}+(6-16\mathrm{i})z-12\mathrm{i}.$
 
1) Vérifier que : $P(2\mathrm{i})=P(-3)=0.$
 
2) Déterminer un polynôme $Q$ du second degré tel que, pour tout nombre complexe $z\;,\text{ on a : }$
$$P(z)=(z^{2}+(3-2\mathrm{i})z-6\mathrm{i})Q(z).$$
 
3) Résoudre dans $\mathbb{C}\text{ l'équation : }P(z)=0.$

Exercice 20

Soit $P$ le polynôme défini par :
 
$P(z)=z^{4}+4z^{3}+9z^{2}+4z+8\;\left(z\,\in\;\mathbb{C}\right).$
 
1) Comparer $f\overline{(z)}\text{ et }\overline{f(z)}.$
 
Calculer $f(\mathrm{i}).$
 
En déduire une, puis deux solutions dans $\mathbb{C}\text{ de l'équation }f(z)=0.$
 
2) Mettre $f(z)$ sous la forme d'un produit de deux polynômes du second degré à coefficients réels.
 
Achever la résolution de l'équation $f(z)=0$

Exercice 21

Démontrer que, si les nombres complexes $z_{1}\text{ et }z_{2}$ ont pour module 1, le nombre complexe :
$$z=\dfrac{z_{1}+z_{2}}{1+z_{1}z_{2}}\text{ est réel.}$$

Détermination d'ensembles de points

Exercice 22

Déterminer et représenter l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que :
 
1) $(3z+1)(\overline{z}+\mathrm{i})\text{ soit réel}$
 
2) $(\overline{z}+2)(z+2\mathrm{i})\text{ soit imaginaire pur}$
 
3) $z+\overline{z}=|z|$
 
4) $(2z+\mathrm{i})(\overline{z}-2)\text{ soit réel}$
 
5) $\dfrac{2-z}{\mathrm{i}+z}\text{ soit imaginaire pur}$
 
6) $\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+1}\text{ soit un réel strictement positif}$
 
7) $Z=\dfrac{z+2-\mathrm{i}}{z-3+\mathrm{i}}\text{Soit imaginaire pur avec }\Im(Z) \leq 0$

Exercice 23

Soit $P$ un plan rapporté à un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$
 
1) Démontrer que l'ensemble $\mathbb{D}$ des points $M\text{ de }P$ d'affixe $z$ telle que :
$$|z-1-2\mathrm{i}|=|z-7+2\mathrm{i}|$$
 
est une droite dont on donnera une équation cartésienne.
 
2) En considérant les points $A\text{ et }B$ d'affixes respectives $1+2\mathrm{i}\text{ et }7+2\mathrm{i}$, retrouver géométriquement le résultat de la question 1).

Exercice 24

Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ qui sont alignés avec les points d'affixe $\mathrm{i}\text{ et }\mathrm{i}z.$

Exercice 25

On considère le plan complexe $P.$
 
1) Déterminer et représenter l'ensemble $\mathbb{C}$ des points $M$ d'affixe $z$ telle que :
 
$(z-2\mathrm{i})(\overline{z}-1)\text{ soit un imaginaire pur.}$
 
2) Déterminer et représenter l'ensemble $E$ des points $M(z)$ telle que :
 
$(z-2\mathrm{i})(\overline{z}-1)\text{ soit un nombre réel positif.}$

Exercice 26

On note $M$ le point d'affixe $z=x+\mathrm{i}y.$
 
Soit $u=z^{2}+\overline{z}+1\text{ et }v=z(\overline{z}+1).$
 
1) Calculer $\Re(u)\;,\ \Im(u)\;,\ \Re(v)\text{ et }\Im(v)\text{ en fonction de }x\text{ et }y.$
 
2) Déterminer et représenter l'ensemble des points $M$ du plan tels que :
 
$\Im(u)=\Im(v).$
 
3) Déterminer et représenter l'ensemble des points $M$ du plan tels que :
 
$\Re(u)=\Re(v).$
 
4) Résoudre l'équation d'inconnue $z\ :\ u=v.$

Forme trigonométrique et exponentielle 

Exercice 27

Donner une forme trigonométrique puis exponentielle des nombres complexes suivants :
 
$1)\ \dfrac{1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{9\mathrm{i}}\qquad 2)\ \dfrac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$
 
$3)\ \dfrac{12}{\mathrm{i}}\qquad 4)\ \dfrac{\sqrt{6}+\mathrm{i}\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\mathrm{i}\sqrt{2}}$
 
$5)\ \left(\sqrt{6}-\mathrm{i}\sqrt{2}\right)^{4}$
 
$6)\ (3\mathrm{i})^{6}\qquad 7)\ \left(\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)^{8}$
 
$8)\ (1-\mathrm{i})^{18}\qquad 9)\ \dfrac{(1-\mathrm{i})^{3}}{\left(\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)^{2}}$

Exercice 28

1) a) Déterminer une forme trigonométrique et la forme algébrique de $\dfrac{3+3\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}$
 
b) En déduire les valeurs exactes de $\cos\dfrac{\pi}{12}\text{ et }\sin\dfrac{\pi}{12}.$
 
2) Déterminer de même les valeurs exactes de $\cos\dfrac{5\pi}{12}\text{ et }\sin\dfrac{5\pi}{12}\text{ à l'aide de }\dfrac{\sqrt{3}+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$

Exercice 29

Soit $z=\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\mathrm{i}}{2}\right)^{4}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$
 
1) Déterminer $\Re(z)\text{ et }\Im(z).$
 
2) Déterminer $|z|\text{ et }\arg(z).$
 
3) Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de $\cos\dfrac{11\pi}{12}\text{ et }\sin\dfrac{11\pi}{12}.$

Exercice 30

Exprimer en fonction de $\cos\theta\text{ et }\sin\theta$ :
 
a) $\cos 3\theta\text{ et }\sin 3\theta$
 
b) $\cos 4\theta\text{ et }\sin 4\theta$
 
c) $\cos 5\theta\text{ et }\sin 5\theta$

Exercice 31

Linéariser :
 
a) $\cos^{3} \theta\qquad \text{b) }\sin^{4}\theta\qquad \text{c) }\cos^{4}\theta$
 
d) $\cos^{3}\theta\,\sin\theta\qquad \text{e) }\sin^{3}\theta\,\cos\theta\qquad \text{f) }\sin^{4}\theta\,\cos^{2}\theta$

Exercice 32

Soit $\theta\,\in\,\left]0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[\text{ et les complexes}$
 
$z_{1}=1+\cos 2\theta+\mathrm{i}\sin 2\theta\text{ et }z_{2}=1+\cos 2\theta\mathrm{i}\sin 2\theta.$
 
Déterminer en fonction de $\theta$ le module et un argument de $z_{1}\text{ et }z_{2}.$

Exercice 33

1) Donner un argument de chacun des complexes suivants :
 
$z_{1}=\cos\theta\mathrm{i}\sin\theta$ ;
 
$z_{2}=\sin \theta+\mathrm{i}\cos\theta$ ;
 
$z_{3}=\sin\theta+\mathrm{i}\cos\theta$ ;
 
$z_{4}=\sin\theta\mathrm{i}\cos\theta\text{ et }z_{5}=\cos\theta\mathrm{i}\sin\theta.$
 
2) Dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{e}_{1}\;,\ \vec{e}_{2})$, placer le point $M_{0}$ d'affixe $\cos\theta+\mathrm{i}$
$\sin\theta\left(\text{ prendre }\theta\text{ tel que }0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)$ et les points $M_{1}\;,\ M_{2}\;,\ M_{3}\;,\ M_{4}\;,\ M_{5}$ d'affixes respectives $z_{1}\;,\ z_{2}\;,\ z_{3}\;,\ z_{4}\;,\ z_{5}.$

Exercice 34

Soit $z=\cos\alpha+\mathrm{i}\sin\alpha\left(\text{ avec }\alpha\in\,\;\mathbb{R}\right).$
 
1) Mettre sous la forme la plus simple $\dfrac{1}{z}.$
 
2) Calculer $z^{n}+\dfrac{1}{z^{n}}\left(\text{ avec }n\,\in\,\mathbb{C}^{\ast}\right).$
 
3) Développer le complexe $\left(z+\dfrac{1}{z}\right)^{4}$ et en déduire une linéarisation de $\cos^{4}\alpha.$

Exercice 35

Déterminer et construire l'ensemble des points $M(z)$ tels que :
 
a) $\dfrac{z-\mathrm{i}}{z-1}\text{ soit réel.}$
 
b) $\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\text{ soit imaginaire pur}$
 
c) $\left|\dfrac{z-1+\mathrm{i}}{z+3}\right|=1$
 
d) $arg\,\left(\dfrac{z-2+\mathrm{i}}{z-3+\mathrm{i}}\right)=\dfrac{\pi}{2}\,(2\pi)$
 
e) $arg\,\left(\dfrac{z-1+2\mathrm{i}}{z-3+\mathrm{i}}\right)=\pi\,(2\pi)$
 
f) $\dfrac{z-2\mathrm{i}}{z+2\mathrm{i}}\text{ soit un réel strictement positif}$
 
g) $arg\,(z-\mathrm{i})=arg\,(z+1)+k\pi$
 
h) $arg\,(z-\mathrm{i})=\dfrac{\pi}{2}+arg\,(z+1)+2k\pi$
 
i) $\left|\dfrac{z-\mathrm{i}}{z-4}\right|=2.$

Exercice 36

Soit $f$ l'application de $\mathbb{C}\setminus {2\mathrm{i}}\text{ dans }\mathbb{C}\text{ définie par : }$
 
$f(z)=\dfrac{z+2\mathrm{i}}{z-2\mathrm{i}}.$
 
On pose $Z=f(z).$
 
1) Soit $A(2\mathrm{i})\text{ et }B(2\mathrm{i}).$ 
 
Déterminer et construire l'ensemble $\mathcal{D}$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|Z|=1.$
 
2) On rappelle que :
 
$\forall\;z\,\in\,\mathcal{C}\;,\ |Z|^{2}=Z\overline{z}.$
 
Déterminer et construire l'ensemble des points $M(z)\text{ tels que }Z\,\in\mathrm{i}\mathbb{R}.$

Exercice 37

Pour tout complexe $z=x+\mathrm{i}y\text{ avec }x\;,\ y\in\,\mathbb{R}\text{ et }(x\;,\ y)\neq (1\;,\ 0)$, on considère le complexe $u$ défini par $u=\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+1}.$
 
1) On note $u=X+\mathrm{i}Y\text{ avec }X\;,\ Y\in\,\mathbb{R}.$
 
Exprimer $X\text{ et }Y$ en fonction de $x\text{ et }y.$
 
2) Déterminer les ensembles $E_{1}\;,\ E_{2}\text{ et }E_{3}$ définis respectivement par :
 
$E_{1}\ :$ ensemble des points $M(z)$ du plan tels que $u$ soit imaginaire pur ;
 
$E_{2}\ :$ ensemble des points $M(z)$ du plan tels que $u$ soit réel ;
 
$E_{3}\ :$ ensemble des points $M(z)$ du plan tels que $u$ soit réel et strictement positif ;
 
3) Représenter $E_{1}\;,\ E_{2}\text{ et }E_{3}.$

Exercice 38

Soit \begin{eqnarray} f\ :\ \mathcal{P}&\rightarrow &\mathcal{P}\nonumber \\ M(z=x+\mathrm{i}y)&\mapsto & M'(z')\nonumber \end{eqnarray} 
 
avec $z'=\dfrac{z-1}{z+1}.$
 
1) Déterminer l'ensemble $\mathcal{C}_{1}$ des points $M\text{ de }\mathcal{P}$ pour lesquels l'affixe de l'image $M'$ est un imaginaire pur.
 
2) Déterminer l'ensemble $\mathcal{C}_{2}$ des points $M\text{ de }\mathcal{P}$ tels que leur image $M'\text{ par }f$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Exercice 39

Soit $f$ l'application de $\mathcal{C}\setminus\mathrm{i}\text{ dans }\mathcal{C}$ définie par : 
 
$f(z)=\dfrac{z-\mathrm{i}}{\mathrm{i}z+1}.$
 
On pose $Z=f(z).$
 
1) Soit $A(\mathrm{i})\;,\ B(\mathrm{i})\text{ et }M(z).$
 
Interpréter géométriquement $|Z|\text{ et }arg(Z).$
 
Déterminer de deux façons (algébriquement et géométriquement) les ensembles $E_{1}=\left\lbrace M(z)/Z\,\in\,\mathbb{R}\right\rbrace$ et $E_{2}=\left\lbrace M(z)/Z\,\in\,\mathrm{i}\,\mathbb{R}\right\rbrace.$
 
Construire $E_{1}\text{ et }E_{2}.$

Exercice 40

Dans le plan complexe $\mathcal{P}$ rapporté à un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, on considère les points : $A(-\mathrm{i})\;,\ B(2\mathrm{i})$ et l'application :
\begin{eqnarray} f\ :\ \mathcal{P}\setminus{A}&\rightarrow &\mathcal{P}\nonumber\\ M(z)&\mapsto &\mathrm{i}\dfrac{z-2\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\nonumber \end{eqnarray} 
 
1) a) Soient $M_{1}(\mathrm{i})\text{ et }M_{2}\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{\mathrm{i}}{2}\right)$ ; déterminer $f(M_{1})\text{ et }f(M_{2}).$
 
b) Déterminer le point $M\text{ de }\mathcal{P}\setminus{A}\text{ tel que }f(M)=O$ et le point $Q\text{ tel que }f(Q)=N\text{ si }N$ est le point d'affixe $2―\mathrm{i}.$
 
2) Déterminer et construire :
 
a) L'ensemble $\mathcal{E}\text{ des points }M\text{ de }\mathcal{P}\setminus{A}$ dont les images ont pour affixe un imaginaire pur ;
 
b) L'ensemble $\mathcal{F}\text{ des points }M\text{ de }\mathcal{P}\setminus{A}$ dont les images ont pour affixe un réel.
 
c) L'ensemble $\mathcal{G}\text{ des points }M\text{ de }\mathcal{P}\setminus{A}$ dont les images appartiennent au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1.

Exercice 41

Soit $f$ l'application définie sur $\mathcal{C}\setminus{2\mathrm{i}}$ par $f(z)=\dfrac{z+\mathrm{i}}{z-2\mathrm{i}}.$
 
1) Soit $z\,\in\,\mathcal{C}\setminus{2\mathrm{i}}.$ 
 
On pose $z-2\mathrm{i}=\rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\text{ avec }\rho>0\text{ et }\theta\,\in\,\mathbb{R}.$
 
Écrire $f(z)-1$ sous forme exponentielle à l'aide de $\rho\text{ et }\theta.$
 
2) Soit $A$ le point d'affixe $2\mathrm{i}.$
 
a) Déterminer l'ensemble $E_{1}\text{ des points }M\text{ d'affixe }z\text{ vérifiant }|f(z)-1|=3.$
 
b) Déterminer l'ensemble $E_{2}\text{ des points }M\text{ d'affixe }z\text{ tels que }\dfrac{\pi}{4}$ soit un argument de $f(z)-1.$
 
c) Représenter les ensembles $E_{1}\text{ et }E_{2}.$

Exercice 42

1) a) Résoudre dans $\mathcal{C}$ l'équation $z^{2}-2z+4=0.$
 
On désigne par $z_{1}$ la solution de partie imaginaire positive et par $z_{2}$ l'autre solution.
 
b) Donner un argument et le module de chacune des solutions $z_{1}\text{ et }z_{2}.$
 
En déduire le module et un argument des complexes $z_{1}^{2}\text{ et }z_{2}^{2}$, puis écrire ces 2 nombres sous forme algébrique.
 
2) a) Placer dans le plan les points $A\;,\ B\;,\ A'\text{ et }B'$ d'affixes respectives $1+\mathrm{i}\sqrt{3}\;,\ 1-\mathrm{i}\sqrt{3}\;,\ 2+2\mathrm{i}\sqrt{3}\text{ et }2+2\mathrm{i}\sqrt{3}.$
 
b) Déterminer la nature du quadrilatère $AA'BB'.$
 
c) Montrer que le triangle $AA'B'$ est rectangle et qu'il en est de même du triangle $BB'A'$
 
En déduire que les 4 points $A\;,\ A'\;,\ B\text{ et }B'$ sont sur un même cercle dont on déterminera le centre $\Omega$ et le rayon $r.$

Exercice 43

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$
 
Soit $f$ l'application de $\mathcal{C}\setminus{1}\text{ dans }\mathcal{C}$ définie par : 
 
$f(z)=\dfrac{2-\mathrm{i}z}{1-z}.$
 
1) Déterminer le module et un argument de $f(z).$ 
 
Pour quelles valeurs de l'entier naturel $k$ le nombre $[f(2)]^{k}$ est-il réel ?
 
2) On pose $z'=f(z).$
 
a) Exprimer $z$ en fonction de $z'.$
 
b) Soient $M$ le point d'affixe $z(z\neq 1)\text{ et }M'$ le point d'affixe $z'.$
 
Montrer que $OM=\dfrac{M'A}{M'B}\text{ où }A\text{ et }B$ sont des points dont on donnera les affixes.
 
c) Soit $\mathcal{C}$ l'ensemble des points $M$ du plan pour lesquels $|z|=1\text{ et }z\neq 1.$
 
Montrer que si $M$ appartient à $\mathcal{C}$ , $M'$ appartient à une droite $\mathcal{D}$ que l'on pourra définir géométriquement.

Tracer $\mathcal{C}\text{ et }\mathcal{D}$ sur une même figure.

Exercice 44

1) Écrire sous forme trigonométrique le complexe $1+\mathrm{i}.$
 
2) On pose $z=\rho\,\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\theta}\text{ avec }\rho\,\in\,]0\;;\ +\infty[\text{ et }\theta\,\in\,[0\;;\ 2\pi[.$
 
a) Calculer $z^{2}\text{ et }(1+\mathrm{i})\overline{z}\text{ en fonction de }\rho\text{ et }\theta.$
 
b) En déduire la valeur $r\text{ de }\rho$ pour laquelle on a l'égalité : 
 
$z^{2}=(1+\mathrm{i})\overline{z}\qquad (1).$
 
2) Déterminer les valeurs $\theta_{0}\;,\ \theta_{1}\text{ et }\theta_{2}\text{ de }\theta\text{ telles que }z=r\,\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\theta}\text{ vérifie l'égalité}\quad(1).$
 
On note respectivement $z_{0}\;,\ z_{1}\text{ et }z_{2}$ les nombres complexes de module $r$ et d'arguments $\theta_{0}\;,\ \theta_{1}\text{ et }\theta_{2}.$
 
3) Soient $A_{1}\text{ et }A_{2}$ les points d'affixe respectives $z_{1}\;,\ z_{2}\text{ et }z_{2}\;,\ z_{0}$ dans le plan complexe, et $O$ le point d'affixe nulle. 
 
Calculer sous forme trigonométrique le nombre complexe $\dfrac{z_{2}-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}$ 
 
En déduire la nature du triangle $OA_{1}A_{2}.$

Exercice 45 Calcul de $\cos\dfrac{\pi}{5}$

Au nombre complexe $z$, on associe le nombre complexe $Z=1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}.$
 
1) a) Vérifier que si $z\neq 1\;,\text{ alors }Z=\dfrac{1-z^{5}}{1-z}.$
 
b) On pose $z=\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\dfrac{2\pi}{5}}$; calculer $Z.$
 
En déduire la valeur de :
$$S=1+\cos\dfrac{2\pi}{5}+\cos\dfrac{4\pi}{5}+\cos\dfrac{6\pi}{5}+\cos\dfrac{8\pi}{5}.$$
 
2) Montrer que :
$$\cos\dfrac{2\pi}{5}+\cos\dfrac{8\pi}{5}=4\cos^{2}\left(\dfrac{\pi}{5}\right)-2.$$
 
$\left(\text{Indication : }remarquer\ que\ :\ \dfrac{8\pi}{5}=2\pi-\dfrac{2\pi}{5}\text{ et }\dfrac{6\pi}{5}=2\pi-\dfrac{4\pi}{5}\right)$
$Utiliser\ ces\ égalités\ et\ la\ valeur\ trouvée\ pour\ S\ au\ 1)\;b)\ pour\ calculer\ \cos\dfrac{\pi}{5}.$

Exercice 46

Soit $z=1+\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\theta}\;,\text{ où }\theta\,\in\,]\pi\;;\ \pi[.$
 
1) Déterminer le module $r$ et un argument $\varphi\text{ de }z$ $\left(\text{on pourra factoriser par }\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\dfrac{\theta}{2}}\right)$
 
2) Calculer $z^{4}$ à partir de l'écriture :
 
a) $z=1+\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\theta}\qquad \text{b) }z=r\,\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\varphi}.$
 
3) Établir la relation : 
 
$\cos^{4}\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{8}\cos\,2\theta+\dfrac{1}{2}\cos\theta+\dfrac{3}{8}.$

Exercice 47

Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal direct $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})(\text{unité : }4\;cm).$
 
On désigne par $A$ le point d'affixe 1 et par $\mathcal{P'}\text{ le plan }\mathcal{P}\text{ privé de }A.$
 
Soit $f\text{ l'application de }\mathcal{P'}\text{ dans }\mathcal{P}$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'=f(z)$ d'affixe $Z$ telle que : 
 
$Z=\dfrac{z-2}{z-1}.$
 
1) Soit $B$ le point d'affixe $\dfrac{1}{2}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
 
Déterminer $B'=f(B).$
 
2) Déterminer les points $I\text{ et }J$ invariants par $f.$
 
On notera $I$ celui d'ordonnée positive.
 
3) a) Exprimer en fonction de $z$ les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AM}\text{ et }\overrightarrow{AM'}.$
 
b) Déduire du a) une relation entre $AM'\text{ et }AM$ et prouver que l'image du cercle $\mathcal{C}$ de centre $A$ et de rayon 1 est le cercle $\mathcal{C}.$

Vérifier que $B\;\in\;\mathcal{C}.$

 
c) Tracer $\mathcal{C}$ et placer les points $B\;,\ B'\;,\ I\text{ et }J$ sur la figure.

Exercice 48

Le plan $\mathcal{P}$ complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$
 
Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :
$$z'=\dfrac{1}{z}.$$
On appelle $\mathcal{C}$ le cercle de centre $O$ et de rayon 1.
 
1) Placer sur une figure le point $B$ d'affixe $w=\dfrac{1}{2}(1+\mathrm{i})$ et son image $B'\text{ par }f(\text{ Unité : }4\;cm).$
 
Donner le module et un argument de chacun des complexes $w\text{ et }w'.$
 
2) Soit $z\,\in\;\mathcal{C}^{\ast}.$ 
 
Comparer les modules et les arguments de $z\text{ et }z'.$
 
3) Quel est l'ensemble des points $M$ pour lesquels $M\text{ et }M'$ sont symétriques par rapport à l'axe $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ ?
 
4) Soit $M$ un point de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $x=\dfrac{1}{2}.$ 
 
Montrer que son affixe z vérifie :
$$|1─z|=|z|.$$

Complexes et suites

Exercice 49

On définit les nombres complexes $Z_{n}$ de la manière suivante : 
 
$Z_{0}=1$ et, pour $n$ entier supérieur ou égal à $1\;,\ Z_{n}+1=\dfrac{1}{3}Z_{n}+\dfrac{2}{3}\mathrm{i}.$
 
1) Pour tout entier $n$, on pose $u_{n}=Z_{n}+\mathrm{i}.$
 
a) Calculer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}.$
 
b) Montrer par récurrence que, pour tout entier $n\;,\ u_{n}=(1+\mathrm{i})\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}.$
 
2) a) Exprimer en fonction de $n$ la partie réelle $x_{n}$ et la partie imaginaire $y_{n}$ de $u_{n}.$
 
Calculer les limites des suites $(x_{n})\text{ et }(y_{n}).$
 
On note $A_{n}$ le point du plan complexe d'affixe $u_{n}\text{ et }B_{n}$ le point d'affixe $Z_{n}.$
 
b) Calculer le module et l'argument de $u_{n}.$ 
 
Montrer que les points $A_{n}$ sont alignés, ainsi que les points $B_{n}.$

Exercice 50

1) Résoudre dans $\mathcal{C}^{2}$ le système :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} z_{1}z_{2}&=&\dfrac{1}{2}\\ \\ z_{1}+2z_{2}&=&\sqrt{3} \end{array}\right.$$
Donner les solutions sous forme trigonométrique.
 
2) On donne :
 
$S_{1}=1+\cos\theta+\cos 2\theta+\cdots+\cos n\theta$ et
 
$S_{2}=\sin \theta+\sin 2\theta+\cdots+\sin n\theta.$
 
a) Montrer que si $\theta\neq 2k\pi\;,\ \left( k\,\in\;\mathbb{Z}\right)\;,\text{ alors }S=S_{1}+\mathrm{i}S_{2}=\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}(n+1)\theta}-1}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}-1}$
 
b) En déduire que
$$S=\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\dfrac{n\theta}{2}}\dfrac{\sin\left(\dfrac{n+1}{2}\theta\right)}{\sin\dfrac{\theta}{2}}$$
puis les valeurs de $S_{1}\text{ et }S_{2}.$

Exercice 51

On veut déterminer trois nombres complexes $z_{1}\;,\ z_{2}\text{ et }z_{3}$ tels que leurs modules forment une progression géométrique de raison 2, et leurs arguments une progression arithmétique de raison $\dfrac{2\pi}{3}.$
 
Déterminer $z_{1}\;,\ z_{2}\;,\ z_{3}$ sachant que $z_{1}\times z_{2}\times z_{3}=4\left(1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)$ et qu'un argument de $z_{1}$ appartient à $\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$
 
Donner les résultats sous forme trigonométrique.

Exercice 52

Soit $(U_{n})\,n\,\in\,\mathbb{N}$ la suite géométrique de premier terme $U_{0}=4\;,\text{ de raison }\dfrac{1}{2}.$
 
Soit $(V_{n})\,n\,\in\,\mathbb{N}$ la suite arithmétique de premier terme $V_{0}=\dfrac{\pi}{4}\;,\text{ de raison }\dfrac{\pi}{2}.$
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $z_{n}$ le nombre complexe de module $U_{n}$ et dont un argument est $v_{n}.$ 
 
1) a) Exprimer $U_{n}\text{ et }V_{n}\text{ en fonction de }n.$
 
b) En déduire $z_{n}.$
 
2) Démontrer que $(z_{n})$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}\mathrm{i}$ et de premier terme $z_{0}=2\sqrt{2}+\mathrm{i}2\sqrt{2}.$
 
3) Soit $(\mathcal{P})$ le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})\text{ et }M_{n}$ le point d'affixe $z_{n}.$
 
a) Déterminer la nature de la transformation $F$ qui au point $M_{n}$ associe le point $M_{n+1}$ d'affixe $z_{n+1}.$
 
b) Donner ses éléments caractéristiques.
 
4) Pour tout entier naturel $n$, on pose $Z_{n}=z_{0}z_{1}z_{2}\cdots z_{n}.$
 
a) Exprimer en fonction de $n$ un argument de $Z_{n}.$
 
b) Démontrer que si $n$ est impair, alors $Z_{n}$ est réel.

Divers

Exercice 53

1) Résoudre , dans $\mathcal{C}$, l'équation :
 
$(\sin^{2}\alpha)z^{2}+(\sin 2\alpha)z+1+\cos^{2}\alpha=0$,
 
où $\alpha$ désigne un paramètre réel compris strictement entre $0\text{ et }\pi.$ 
 
On appellera $z'\text{ et }z''$ les solutions de cette équation.
 
2) Vérifier que $z'^{2}+z''^{2}$ est un réel indépendant de $\alpha.$
 
3) Dans un plan rapporté à un repère orthonormal, on considère les points $M'\text{ et }M''$ d'affixes respectives $z'\text{ et }z''.$
 
Déterminer $\alpha$ de façon que :
$$\left\lbrace\begin{array}{lllll} \dfrac{\pi}{2}&< &\alpha&<  &\pi\\ \\ \mathrm{d}(M'\;,\ M'')&=&||\overrightarrow{M'M''}||&=&2\sqrt{2} \end{array}\right.$$

Exercice 54

Soit $(E)$ :
 
$z^{4}-4(\cos a\cos b)z^{3}+2(1+\cos 2a+\cos 2b)z^{2}-4(\cos a\cos b)z+1=0$, où $a\text{ et }b$ sont des réels donnés.
 
1) Démontrer qu'en posant $u=z+\dfrac{1}{z}$, on peut ramener la résolution de $(E)$ à celle de deux équations du second degré.
 
2) Résoudre $(E)$ en donnant en fonction de $a\text{ et }b$ une forme trigonométrique de chacune des solutions.

Exercice 55

$\mathcal{P}$ est un plan euclidien muni d'un repère orthonormal.
 
Soit $M$ l'image du complexe $z$, $A$ l'image du complexe $\mathrm{i}$, et $B$ l'image du complexe $(-\mathrm{i}).$
 
1) Interpréter géométriquement le module de $z-\mathrm{i}\text{ et de }z+\mathrm{i}.$
 
Montrer que $\left|\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\right|=1$ si et seulement si $z$ est un nombre réel.
 
2) Soit $n$ un entier naturel non nul. Soit $\varphi$ un nombre réel.
 
Déduire de la question précédente que les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $\left(\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\right)^{n}=\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi$
sont toutes réelles.
$(On\ ne\ demande\ pas\ de\ les\ calculer).$
 
3) On pose $n=2\text{ et }\varphi=4\alpha\text{ avec }\alpha\;\in\;\left]0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$
 
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation :
 
$Z^{2}=\cos 4\alpha+\mathrm{i}\sin 4\alpha.$
 
En déduire les solutions de l'équation
$\left(\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\right)^{2}=\cos 4\alpha+\mathrm{i}\sin\alpha.$
 
Indiquer le signe des solutions.

Exercice 56

1) $\theta\;\in\;[0\;;\ 2\pi[.$ Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : 
 
$z^{2}-(2^{\theta+1}\cos \theta)z+2^{2\theta}=0\quad(1).$
 
Donner les solutions sous forme exponentielle.
 
2) On considère les points $A\;,\ B$ d'affixes les solutions de (1).
 
Déterminer $\theta$ pour que $OAB$ soit équilatéral dans un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Exercice 57

Écrire sous forme exponentielle les racines cubiques de $a=16(1-\mathrm{i}).$
 
2) Pour $\lambda\;\in\;\mathbb{R}$, on pose
$$z_{\lambda}=1+\mathrm{i}+2\sqrt{2}\mathrm{e}^{\lambda}=x_{\lambda}+\mathrm{i}y_{\lambda}.$$
 
a) Déterminer $x_{\lambda}\text{ et }y_{\lambda}\text{ en fonction de }\lambda.$
 
b) Déterminer l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M(x_{\lambda}\;,\ y_{\lambda})\text{ quand }\lambda\text{ décrit }[0\;;\ 2\pi[.$
 
3) Montrer que les solutions de l'équation $(z-(1-\mathrm{i}))^{3}=a$ sont des affixes de points de $\mathcal{C}.$

Racines $N^{ième}$ d'un nombre complexe

Exercice 58

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :
 
1) $z^{2}=-5+12\mathrm{i}\qquad 2)\ z^{3}=1+\mathrm{i}$
 
3) $\left(\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\right)^{3}+\left(\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\right)^{2}+\left(\dfrac{z-\mathrm{i}t}{z+\mathrm{i}}\right)+1=0$

Exercice 59

1) Calculer sous forme exponentielle puis sous forme algébrique les solutions de l'équation : 
 
$z^{4}=1$
 
a) Placer leurs images dans le plan complexe. 
 
Vérifier que leur somme est nulle.
 
2) Mêmes questions avec $z^{8}=1.$

Exercice 60

Résoudre dans $\mathbb{C}$ : 
 
a) $z^{4}=16\mathrm{i}$
 
b) $z^{6}=8\mathrm{i}.$
 
(On indiquera les solutions sous forme exponentielle).

Exercice 61

1) a) Calculer $\left(\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)^{4}.$
 
b) Soit l'équation $z^{4}=\dfrac{73}{16}-\dfrac{11\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}.$
 
Indiquer les solutions sous leur forme algébrique.
 
2) Calculer $(2-\mathrm{i})^{3}$ puis donner les racines cubiques du complexes $z=2-11\mathrm{i}.$

Exercice 62

1) Résoudre l'équation $z^{5}=1\text{ dans }\mathbb{C}.$
 
2) En déduire les solutions de l'équation
$z^{5}=-4-4\mathrm{i}\text{( N.B. On vérifiera d’abord que }1+\mathrm{i}\text{ est solution)}$ et construire les images des solutions dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct.

Exercice 63

1) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{4}=1.$
 
2) Calculer $(1-2\mathrm{i})^{4}$ puis en utilisant la question 1), en déduire les solutions de l'équation $z^{4}=-7+24\mathrm{i}.$
 
3) Résoudre dans $\mathbb{C}$ :
 
$(2z-1)^{4}=z^{4}$

$\left(Indication\ :\ poser\ Z=\dfrac{2z-1}{z}\right).$

Exercice 64

1) Déterminer les complexes solutions de l'équation $z^{4}=1.$
 
2) Déterminer sous forme trigonométrique les solutions de l'équation $z^{4}=8\left(1-\mathrm{i}\sqrt{3}\right).$
 
3) Soit $a=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}.$
 
Vérifier que $a^{4}=8\left(1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right).$ En déduire sous forme algébrique les résultats de 2).
 
4) Des questions 2) et 3), déduire les valeurs exactes de $\cos\dfrac{11\pi}{12}\text{ et }\sin\dfrac{11\pi}{12}.$

Exercice 65

Soit $(z_{n})\,n\;\in\;\mathbb{N}$ la suite de nombres complexes définie par la donnée de $z_{0}$ avec
 
$z_{0}=2\sqrt{2}(-1+\mathrm{i})$ et les conditions suivantes :
 
$\forall\;\in\;\mathbb{N}$, $arg(z_{n+1})\;\in\;\left[\dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\right]\text{ et }(z_{n+1})^{4}=z_{n}.$
 
1) Déterminer le module et un argument de $z_{1}.$
 
2) On pose $r_{n}=|z_{n}|\text{ et }v_{n}=\ln\,r_{n}.$
 
Montrer que $(v_{n})\,n\;\in\;\mathbb{N}$ est une suite géométrique.

Complexes et transformations

Dans cette section, $\mathcal{P}$ désigne le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\;\ \vec{i}\;;\ \vec{j})$

Exercice 66

Déterminer, dans chacun des cas suivants la nature de la transformation plane
 
\begin{eqnarray} F\ :\ P&\rightarrow &\nonumber\\ P M(z)&\mapsto & M'(z')\end{eqnarray} associée à la fonction
 
\begin{eqnarray} f\ :\ \mathbb{C}&\rightarrow & \mathbb{C}\nonumber\\ z&\mapsto & z'.\end{eqnarray} 
 
1) $f(z)=z+2-3\mathrm{i}$
 
2) $f(z)=-z+2\mathrm{i}$
 
3) $f(z)=-3z+4-8\mathrm{i}$
 
4) $f(z=\mathrm{i}z+2-\mathrm{i}$
 
5) $f(z)=\dfrac{\sqrt{3}-\mathrm{i}}{2}z$
 
6) $f(z)=\dfrac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}}z+1-\mathrm{i}$
 
7) $f(z)=-\mathrm{i}z-1+2\mathrm{i}$

Exercice 67

Soit $f$ l'application de $\mathcal{P}\rightarrow\mathcal{P}$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par $z'=az+b.$
 
Déterminer $a\text{ et }b$ pour que $f$ soit la similitude d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ modulo $2\pi$, de rapport 2 et dont le centre est le point de coordonnées $(2\;,\ -1).$
 
Exprimer alors les coordonnées $(x'\;,\ y')\text{ de }M'$ en fonction des coordonnées $(x\;,\ y)\text{ de }M.$

Exercice 68

Soient $M\;,\ P\;,\ Q$ trois points du plan complexe d'affixes respectives : $\mathrm{i}\;,\ 1\;,\ 2+\mathrm{i}.$
 
Déterminer la similitude $f$ telle que l'on ait :
 
$f(M)=P\text{ et }f(O)=Q.$
 
On donnera le centre, le rapport et l'angle de $f.$

Exercice 69

Soient $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D$ les points du plan complexe d'affixes respectives : 
 
$1+3\mathrm{i}\;,\ 4+3\mathrm{i}\;,\ 4-2\mathrm{i}\;,\ 1-2\mathrm{i}.$
 
1) Montrer qu'il existe une similitude directe unique telle que :
$$S(A)=C\text{ et }S(B)=D.$$
 
2) Déterminer $S(C)\text{ et }S(D).$
 
3) Démontrer que l'isobarycentre des points $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D$ est invariant par $S.$
 
En déduire les éléments caractéristiques de $S.$

Exercice 70

$\theta$ étant un nombre réel de l'intervalle $\left]\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\right[$, on considère l'équation du second degré suivante $\left(z\;\in\;\mathbb{C}\right)$ :
 
$z^{2}-(1+\mathrm{i}(\sin\theta+\tan\theta))z+\sin\theta(-\tan\theta+\mathrm{i})=0 \quad(1).$
 
1) Montrer que $b=\mathrm{i}\sin\theta$ est une solution de l'équation (1), puis calculer l'autre que l'on notera $a.$
 
2) Déterminer le module et l'argument de $a.$
 
3) Soit $T$ l'application de $\mathcal{P}$ dans lui-même qui, à un point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'=az+b(a\text{ et }b$ étant toujours les solutions de l'équation (1)).
 
a) Reconnaître cette transformation et donner ses éléments géométriques.
 
b) Comment faut-il choisir $\theta$ dans l'intervalle $\left]\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\right[$
 
pour que $T$ soit une similitude d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ ?
 
Calculer alors l'affixe du centre et le rapport de cette similitude.

Exercice 71

Dans l'ensemble des nombres complexes on considère la suite $(z_{n})n\;\in\;\mathbb{N}$ définie par :
 
$z_{0}=-1\text{ et }\forall\;x\in\mathbb{N}\;,\ z_{n+1}=(1-\mathrm{i})z_{n}.$
 
1) Calculer $z_{1}\;,\ z_{2}\;,\ z_{3}\;,\ z_{4}$ et placer les points images $M_{1}\;,\ M_{2}\;,\ M_{3}\;,\ M_{4}$ dans le plan complexe.
 
2) Soit $M_{n}$ le point du plan d'affixe $z_{n}.$
 
Démontrer qu'il existe une similitude plane directe $S$ telle que tout point $M_{n+1}$ soit l'image de $M_{n}$ par $S.$
 
Déterminer les éléments géométriques de $S.$

Exercice 72

Soient $u_{0}\text{ et }a$ deux nombres complexes donnés.
 
Soit $(u_{n})n\;\in\;\mathbb{N}$ la suite géométrique de nombres complexes définie par :
 
$\forall\;x\in\mathbb{N}\;,\ u_{n+1}=a\,u_{n}.$
 
1) Calculer la somme $u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{n}$ en fonction de $a\;,\ n\;,\ u_{n}.$
 
2) On pose $a=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}.$
 
Déterminer le module et un argument de $a.$
 
Soit $f$ la transformation qui au point $M_{n}$ d'affixe $u_{n}$ associe le point $M_{n+1}$ d'affixe $u_{n+1}.$
 
Déterminer les éléments géométriques de $f.$
 
Calculer la somme $u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{6}$ et plus généralement, pour tout entier naturel $n$, la somme $u_{n}+u_{n+1}+\cdots+u_{n+5}.$
 
On suppose :
 
$u_{0}=2.$ 
 
Placer les points $M_{0}\;,\ M_{1}\;,\cdots M_{5}\;,\ M_{6}$ sur une figure.
 
Que remarque-t-on ?

Exercice 73

1) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation :
 
$(1-\mathrm{i})z^{2}+2(1+2\mathrm{i})z+\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{2}=0$
 
2) On trouve deux solutions, chacune étant de la forme $a+b\mathrm{i}$, avec $a\text{ et }b$ réels.
 
Soit $z_{0}$ celle pour laquelle $a=b\text{ et }M_{0}$ son image dans le plan complexe $\mathcal{P}.$ 
 
On considère la similitude directe $S$ de centre O de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{6}.$
 
Soit $M_{0}\;,\ M_{1}\;,\cdots M_{n}$, la suite de points du plan telle que : 
 
$M_{1}=S(M_{0})\;,\ M_{2}=S(M_{1})\;,\cdots M_{n}=S(M_{n-1}).$
 
a) Soit $z_{n}$ l'affixe de $M_{n}(n\in\mathbb{N}).$ 
 
Écrire $z_{n}$ en fonction de $z_{n-1}.$
 
b) Soit $\rho_{n}\text{ et }\theta_{n}$ le module et l'argument de $z_{n}.$
 
Montrer que la suite $(\rho_{n})\,n\in\mathbb{N}$ est une suite géométrique et que la suite $(\theta_{n})\,n\in\mathbb{N}$ est une suite arithmétique.
 
Donner le premier terme $t$ la raison de chaque suite.
 
c) Exprimer $\rho_{n}\text{ et }\theta_{n}$ en fonction de $n.$

Exercice 74

Dans le plan complexe, on considère le point $A$ d'affixe 2 et les transformations suivantes :
 
$h_{1}$ homothétie de centre $A$ et de rapport 2.
 
$h_{2}$ homothétie de centre O et de rapport $-\dfrac{1}{2}.$
 
$r$ rotation de centre $A$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}.$
 
1) Quelle est la nature de la transformation $h_{2}\circ r\circ h_{1}$ ?
 
2) Quelle est la nature de la transformation $h_{2}\circ r\circ r\circ h_{1}$ ?
 
(On donnera les éléments géométriques de ces transformations).

Exercice 75

On donne, dans le plan complexe, les quatre points $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D$ d'affixes respectives :
 
$z_{A}=-2+6\mathrm{i}$ ;
 
$z_{B}=1-3\mathrm{i}$ ;
 
$z_{C}=5+5\mathrm{i}$ ;
 
$z_{D}=2+4\mathrm{i}.$
 
Il est rappelé que $a\text{ et }b$ étant deux constantes complexes quelconques, la transformation $z'=az+b$, (1) définit la similitude directe plane la plus générale associant au point $M$ d'affixe $z$ le point $M'$ d'affixe $z'.$
 
1) Calculer $a\text{ et }b$ pour la similitude $S$ qui transforme les points $C\text{ et }D$ respectivement en les points $A\text{ et }B.$
 
2) On considère la similitude $S'$ définie par : 
 
$z'=2\mathrm{i}z+13+\mathrm{i}.$
 
Montrer que la composée $H=S'\circ S$ est une homothétie dont on précisera le rapport.
 
Quelle est l'image de $C\text{ par }H$ ?
 
3) Montrer que la transformation $R$ définie par $z'=\mathrm{i}z+2+4\mathrm{i}$ est une rotation dont on précisera le centre et l'angle. Quelle est l'image de $B$ dans cette rotation ?
 
4) Montrer, sans calculs, que la transformation $R\circ H$ admet le point $C$ pour point invariant.

Exercice 76

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$
 
A) Pour tout complexe $z$, soit $\Re(z)=3z^{5}-4z^{4}+3z^{3}-3z^{2}+4z-3.$
 
1) Déterminer le polynôme $P$ tel que :
 
$\forall\;z\in\mathbb{C}\;,\ \Re(z)=(z^{3}-1)P(z).$
 
2) Résoudre dans $\mathbb{C}$ les 5 solutions, réelles ou complexes, de l'équation $\Re(z)=0.$
 
3) Calculer leurs modules. Les représenter dans $\mathcal{P}.$
 
B) Soit $r$ la rotation dans $\mathcal{P}$ de centre $\Omega(2\;,\ 0)$ transformant le point $(4\;,\ 0)\text{ en }(2\;,\ 2).$
 
1) Déterminer $f$, application de $\mathbb{C}\text{ dans }\mathbb{C}$, telle que si $z$ est l'affixe de $M$, alors $f(z)$ est celle de $r(M).$
 
2) Déterminer les images par $f$ des 5 solutions calculées en A).
 
Les représenter dans $\mathcal{P}.$
 
3) Ces cinq nouveaux points sont sur un cercle. 
 
Préciser son centre et son rayon.
 
C) Soit $u=\dfrac{6-\sqrt{15}}{8}+\dfrac{\sqrt{5}-2\sqrt{3}}{8}\mathrm{i}.$
 
1) Démontrer que $|u|=\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{4}.$
 
En déduire un argument de $u.$
 
2) Soit $T$ la transformation de $\mathcal{P}$ associant au point d'affixe $z$ le point d'affixe $z'=uz+\dfrac{2-\mathrm{i}\sqrt{5}}{3}\mathrm{i}.$
 
Démontrer que $T$ est une similitude directe dont on précisera les éléments caractéristiques.
 
D) Dans le plan $\mathcal{P}$ , soit
 
$A(1\;,\ 0)\;,\ B\left(\dfrac{2}{3}\;,\ \dfrac{\sqrt{5}}{3}\right)\;,\ C\left(\dfrac{1}{2}\;,\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
 
$D\left(-\dfrac{1}{2}\;,\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\;,\ E\left(\dfrac{2}{3}\;,\ -\dfrac{\sqrt{5}}{3}.\right)$
 
1) Déterminer $k\text{ et }k'$ tels que le barycentre de ${(A\;,\ 8)(B\;,\ k)(E\;,\ k')}\text{ soit }\Omega(2\;,\ 0).$
 
2) Déterminer le barycentre de $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D\;,\ E$ affectés respectivement des coefficients : 
 
$24\;,\ -9\;,\ -4\sqrt{3}\;,\ 4\sqrt{3}\;,\ -9.$

Exercice 77

Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$
 
1) On considère la transformation $T\text{ de }\mathcal{P}\text{ dans }\mathcal{P}$ qui, au point $M(x\;,\ y)$ associe le point $M'(x'\;,\ y')$ tel que :
 
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x'&=&x+1\\ y'&=&y+\sqrt{3} \end{array}\right.$$
 
Le point $M$ a pour affixe $z\text{ et }M'$ a pour affixe $z'.$
 
a) Exprimer $z'\text{ en fonction de }z.$
 
b) Donner la nature de $T.$
 
2) Soit $S$ : 
 
\begin{eqnarray} \mathcal{P} & \rightarrow &\mathcal{P}\nonumber\\ M_{1}(z_{1}) & \mapsto & M_{2}(z_{2})\text{ tel que}\nonumber \end{eqnarray}
 
$z_{2}=\left(\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z_{1}.$
 
a) Donner la nature de $f$ et ses éléments caractéristiques.
 
b) Définir analytiquement l'application $S\circ T.$ 
 
Quelle est l'image du point $E\left(-1\;,\ -\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\text{ par }S\circ T$ ?
 
c) Soit $\mathcal{D}\ :\ x+\sqrt{3}y+2=0.$
 
Montrer que $E\in\mathcal{D}.$
 
Trouver l'image $\mathcal{D'}\text{ de }\mathcal{D}\text{ par }S\circ T.$
 
Quel est le point d'intersection de $\mathcal{D}\text{ et }\mathcal{D'}$ ?

Exercice 78

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{e}_{1}\;,\ \vec{e}_{2})$, on considère l'application $F$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par :
$$z'=u^{2}z+u-1\;,\text{ où }u\in\mathbb{C}.$$
 
1) Déterminer l'ensemble des complexes $u$ pour lesquels $f$ est une rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}.$
 
2) Déterminer $u$ tel que $F$ soit une translation.
 
3) Déterminer $u$ tel que $F$ soit une homothétie de rapport 2.
 
4) Caractériser $F$ lorsque $u=1-\mathrm{i}.$

Les nombres complexes au baccalauréat

Exercice 79 (1989 $2^{ième}$ groupe)

Soit le nombre complexe $z=1+\mathrm{i}\sqrt{3}.$
 
1) Déterminer le module et un argument de $z$ ; en déduire la forme trigonométrique de $z_{n}\;,\ n$ entier naturel.
 
2) Pour quelles valeurs de $n\;,\ z^{n}$ est-il réel ?

Exercice 80 (1989 $2^{ième}$ groupe)

Déterminer les racines carrées du complexe $Z=-3-4\mathrm{i}.$

Exercice 81 (1990 $1^{er}$ groupe)

Soit $f$ l'application de $\mathbb{C}\text{ dans }\mathbb{C}$ qui, au nombre complexe $z$ associe le nombre complexe $Z$ défini par : 
 
$Z=(1+\mathrm{i}\sqrt{3})z+3(1-\mathrm{i})$
 
1) Montrer que le nombre $w=1+\mathrm{i}$ est invariant par $f.$
 
2) Montrer que $Z-w=(1+\mathrm{i}\sqrt{3})(z-w).$
 
3) Soit $m\;,\ M\text{ et }W$ les représentants dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ des nombres complexes $z\;,\ Z\;,\ w.$
 
a) Calculer le module et l'argument du nombre complexe $\dfrac{Z-w}{z-w}.$
 
b) Montrer que $M$ est l'image de $m$ dans la composée d'une rotation dont on précisera le centre et l'angle, et d'une homothétie dont on déterminera le centre et le rapport.
 
c) Faire une figure représentant $W\;,\ m\;,\ M.$
 
d) Montrer géométriquement que le triangle $(WmM)$ est un triangle rectangle.
 
4) Écrire sous forme trigonométrique le nombre $\left(\dfrac{Z-w}{z-w}\right)^{n}$, où $n$ est un entier naturel.

Exercice 82 (1990 $2^{ième}$ groupe)

Soit le nombre complexe $u=\dfrac{a+1+(1-a)\mathrm{i}}{\sqrt{2(1+a^{2})}}.$
 
Calculer le module de $u.$ Si $\alpha$ est un argument de $u$, calculer $\cos\alpha\;,\ \cos 2\alpha\;,\ \sin\alpha\text{ et }\sin 2\alpha.$
 
2) Soit le nombre complexe $Z=8a^{2}-(1+a^{2})^{2}+4a(1-a^{2})\mathrm{i}\;,\text{ avec }a\in\mathbb{R}.$
 
Calculer $|Z|$, puis montrer que $Z=|Z|u^{4}.$
 
En déduire les racines quatrièmes du nombre complexe $Z.$

Exercice 83 (1991 $1^{er}$ groupe)

On considère dans $\mathbb{C}$ le polynôme $P$ défini par : 
 
$P(X)=X^{4}-6X^{3}+14X^{2}-24X+40.$
 
1) Montrer qu'il existe deux complexes imaginaires purs solutions de « $P(X)=0$ ».
 
2) En déduire une factorisation de $P(X)$ en produit de polynômes du $2^{nd}$ degré à coefficients réels.
 
3) Résoudre dans $\mathbb{C}\ :\ P(X)=0.$

Exercice 84 (1991 $2^{ième}$ groupe)

1) Soit$(\alpha\;,\ \beta)\in\mathbb{C}^{\ast}\times\mathbb{C}.$ 
 
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ :
 
$$\alpha\,z^{2}+(-\beta+\mathrm{i}\alpha)z-\mathrm{i}\beta=0.$$
 
2) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ :
$$(m+\ln x)z^{2}+\mathrm{i}[m-\ln x+\mathrm{i}(m+\ln x)]z+\mathrm{i}(m-\ln x)=0$$,
 
où $x\in\mathbb{C}_{+}^{\ast}\text{ et }m\in\mathbb{C}^{\ast}.$

Exercice 85 (1991 Remplacement, $2^{ième}$ groupe)

Résoudre dans le corps des complexes, l'équation : $z^{3}-(1+\mathrm{i})z^{2}-2(1+\mathrm{i})z+8=0$, sachant qu'elle a une racine réelle.

Exercice 86 (1991 Remplacement, $2^{ième}$ groupe)

Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, on considère les points $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D$ d'affixes respectives : $z_{A}=1+\mathrm{i}\;;\ z_{B}=2-\mathrm{i}\;;\ z_{C}=-3+6\mathrm{i}\;;\ z_{D}=3+4\mathrm{i}.$
 
1) Déterminer les éléments de la similitude directe $S$ dans laquelle les points $A\text{ et }B$ sont transformés respectivement en $C\text{ et }D.$
 
2) On considère l'homothétie $H$ de rapport $-\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ et de centre le point de coordonnées $\left(-\dfrac{1}{5}\;,\ -\dfrac{8}{5}\right).$
 
Déterminer la nature de la transformation $S\circ H$ et ses éléments caractéristiques.

Exercice 87 (1992 $1^{er}$ groupe)

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal, soit $M$ le point d'affixe $z\;,\ A$ celui d'affixe $\mathrm{i}$ et $B$ celui d'affixe $(-\mathrm{i}).$ 
 
On pose $Z=\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}.$
 
1) a) Déterminer l'ensemble $D$ des points $M(z)$ tels que $z$ soit réel.
 
b) Déterminer l'ensemble $C$ des points $M(z)$ tels que $z$ soit imaginaire pur.
 
2) a) Interpréter géométriquement les modules de $z-\mathrm{i}\text{ et de }z+\mathrm{i}.$ 
 
Montrer que $|Z|=1$ si et seulement si $z$ est réel.
 
b) Soit $n$ un entier naturel non nul et $\alpha$ un réel de $\left]0\;,\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$
 
Déduire de la question précédente que l'équation $(E)$ :
 
$\left(\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\right)^{4}=\cos 4\alpha+\mathrm{i}\sin 4\alpha$ n'admet que des solutions réelles. 
 
(On ne demande pas de les calculer).
 
c) Résoudre l'équation $Z^{2}=\cos 4\alpha+\mathrm{i}\sin 4\alpha.$ 
 
En déduire les solutions de $(E).$

Exercice 88 (1994 $1^{er}$ groupe)

On considère le nombre complexe $c=1-\mathrm{i}.$
 
1) Calculer $c^{2}\text{ et }c^{5}.$
 
Dans un plan muni d'un repère orthonormé, marquer les points qui ont pour affixes $c\;,\ c^{2}\text{ et }c^{5}.$
 
2) A tout point $M$ d'affixe $z$ du plan, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$, avec $z'=c\,z+c^{5}.$
 
On définit ainsi une transformation du plan. 
 
Déterminer l'affixe du point $S$, invariant par $T.$ 
 
Préciser la nature de la transformation $T$ et ses éléments caractéristiques.

Exercice 89 (1995 $1^{er}$ groupe)

On considère le polynôme $P$, de la variable complexe $z$, défini par : 
 
$P(z)=z^{3}+\mathrm{i}\,z^{2}-3 z+5\mathrm{i}.$
 
1) Calculer $P(\mathrm{i})$ , puis déterminer toutes les racines de $P(z).$
 
On notera $z_{1}$ la racine dont la partie réelle est négative et $z_{2}$ l'autre racine.
 
2) a) Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe $\dfrac{z_{1}-\mathrm{i}}{z_{2}-\mathrm{i}}.$ 
 
b) Dans le plan complexe de repère $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ , on désigne par $A\;,\ B\text{ et }C$ les images respectives de $\mathrm{i}\;,\ z_{1}\text{ et }z_{2}.$ 

Déduire de la question précédente la nature du triangle $ABC.$

Exercice 90 (1995 $2^{ième}$ groupe)

Soit $(z_{n})\,n\geq 0$ la suite géométrique de premier terme $z_{0}=1$ et de raison $q=\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\dfrac{1}{3}\mathrm{i}.$
 
Le plan est muni d'un repère orthonormal. 
 
On désigne par $M_{n}$ le point d'affixe $z_{n}.$
 
1) Exprimer $z_{n}$ en fonction de $n.$
 
2) Quelle est l'application qui permet de passer de $M_{n}\text{ à }M_{n+1}$ ?
 
Placer sur une figure les 6 points $M_{0}\;,\ M_{1}\;,\ M_{2}\;,\ M_{3}\;,\ M_{4}\;,\  M_{5}.$
 
(On prendra $6\;cm$ pour unité graphique).
 
3) Soit $(u_{n})\,n\geq 0$ la suite des modules des termes de la suite $(z_{n})\,n\geq 0$, c'est-à-dire $u_{n}=|z_{n}|.$ 
 
Étudier le sens de variation et la limite de $(u_{n}).$
 
4) Soit $(\alpha_{n})\,n\geq 0$ définie par : 
 
$\alpha_{n}=arg(z_{n})$ (où arg désigne l'argument principal).
 
Démontrer que $(\alpha_{n})$ est une suite périodique.
 
5) Démontrer que, quel que soit $n\in\mathbb{N}$, le triangle $OM_{n}M_{n+3}$ est rectangle.

Exercice 91 (95, Remplacement)

Soit $P(z)=z^{3}-(6+2\mathrm{i})z^{2}+(10+4\mathrm{i})z+16+4\mathrm{i}.$
 
1) Montrer que $P(z)=0$ admet une solution imaginaire pure, puis résoudre cette équation.
 
On notera $z_{0}\;,\ z_{1}\;,\ z_{2}$ les trois solutions avec $|z_{1}|<|z_{2}|.$
 
2) Dans le plan complexe de repère orthonormal $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$, placer les points $A\;,\ B\;,\ C$ d'affixes respectives $z_{0}\;,\ z_{1}\text{ et }z_{2}$ , puis donner l'affixe du barycentre $G$ des points pondérés $(A\;,\ 2)(B\;,\ 1)\text{ et }(C\;,\ 1).$

Exercice 92 (1996, $1^{er}$ groupe)

On considère le polynôme à variables complexes défini par :
 
$P(z)=z^{3}-2(1+\mathrm{i})z^{2}-2(1-4\mathrm{i})z+4(2+\mathrm{i}).$
 
1) Montrer que $p(z)$ admet une racine $z_{0}$ de la forme $\mathrm{i}y\left(y\in\mathbb{R}\right)$ que l'on précisera.
 
2) Déterminer les complexes $a\text{ et }b$ tels que pour tout $z\in\mathbb{C}$, $P(z)=(z-2\mathrm{i})(z^{2}+az+b)$ ; puis achever la résolution dans $\mathbb{C}$ de l'équation $P(z)=0.$
 
On désignera par $z_{1}\text{ et }z_{2}$ les racines autres que $z_{0}\text{ avec }|z_{1}|>|z_{2}|.$
 
3) On désigne par $A\;,\ B\text{ et }C$ les points d'affixes respectives $z_{0}\;,\ z_{1}\text{ et }z_{2}$ ; $I$ le point d'affixe 2 et par $r$ la rotation de centre $\mathrm{i}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}.$
 
a) Écrire $\dfrac{z_{1}-z_{0}}{z_{2}-z_{0}}$ sous forme trigonométrique  
 
En déduire une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}\right).$
 
b) Déterminer l'affixe $z_{3}$ du point $D$ image de $B$ par la rotation $r.$
 
c) Montrer que $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D$ sont situés sur un même cercle.

Exercice 93 (1997, Remplacement)

On considère l'équation $z_{3}=18+26\mathrm{i}$ (1).
 
1) Montrer que $z_{0}=3+\mathrm{i}$ est racine de l'équation (1).
 
2) Montrer que pour toute solution $z$ de l'équation (1), $Z=\dfrac{z}{z_{0}}$ est une racine cubique de 1.
 
3) Résoudre $Z_{3}=1$ et en déduire toutes les solutions de (1).
 

Exercice 94 (1998, $1^{er}$ groupe)

1) Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :
 
a) $z^{2}-2z+5=0$
 
b) $z^{2}-2\left(1+\sqrt{3}\right)z+5+2\sqrt{3}=0$
 
2) On considère dans le plan de repère orthonormal $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ les points $A\;,\ B\;,\ C\text{ et }D$ d'affixes respectives :
 
$Z_{A}=1+2\mathrm{i}$ ; 
 
$Z_{B}=1+\sqrt{3}+\mathrm{i}$ ;
 
$Z_{C}=1+\sqrt{3}-\mathrm{i}$ ;
 
$Z_{D}=1-2\mathrm{i}$
 
a) Placer $A\;,\ B\;,\ C\text{ et }D$ dans le plan $(\mathcal{P})$
 
b) Vérifier que $\dfrac{Z_{D}-Z_{B}}{Z_{A}-Z_{B}}=\mathrm{i}\sqrt{3}$ , en déduire la nature du triangle $ABD$
 
c) Montrer que les points $A\;,\ B\;,\ C\text{ et }D$ appartiennent à un même cercle, $(\mathcal{C})$ dont on précisera le centre et le rayon.
 
3) On considère l'équation $(E)\ :\ z^{2}-2(1+2\cos\theta)Z+5+4\cos\theta=0\ \theta\text{ est un élément de }\mathbb{R}.$
 
a) Résoudre $(E)\text{ dans }\mathbb{C}$
 
b) Montrer que les points images des solutions de $(E)$ appartiennent à $(\mathcal{C}).$

Exercice 95 (1998, Remplacement).

Dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, on considère l'équation $(E)$ d'inconnue $z$ telle que : 
 
$(E)\ :\ \mathrm{i}z^{2}+(1-5\mathrm{i})z+6\mathrm{i}-2=0.$
 
a) Montrer que cette équation possède une solution réelle notée $z_{1}.$
 
Déterminer l'autre solution $z_{2}\text{ de }(E).$
 
b) Dans le plan complexe muni du repère orthonormé $(O\;,\ \vec{e}_{1}\;,\ \vec{e}_{2})$ , on note $M_{1}$ le point d'affixe $z_{1}\text{ et }M_{2}$ le point d'affixe $z_{2}.$
 
Déterminer l'affixe du point $C$ de l'axe $(O\;,\ \vec{e}_{1})$ équidistant de $M_{1}\text{ et }M_{2}.$
 
c) Soit la rotation $R_{1}$ de centre $C$ telle que $R_{1}(M_{1})=M_{2}.$
 
$\alpha$) Déterminer une mesure de l'angle de la rotation $R_{1}.$
 
$\beta$) Déterminer l'affixe du point $O'$ image de $O$ par $R_{1}.$
 
d) Soit la rotation $R_{2}$ de centre O et d'angle orienté $\theta$ tel que $Mes\ \theta=\dfrac{\pi}{2}\;rad.$
 
$\alpha$) Quelle est la nature de la composée $R_{2}\circ R_{1}$ ? 
 
Justifier votre réponse.
 
$\beta$) Soit $B$ d'affixe $3\mathrm{i}.$ 
 
Déterminer l'image du cercle circonscrit au triangle $BOC$ par $R_{2}\circ R_{1}.$ 
 
Justifier votre réponse.

Exercice 96 (1999, $2^{ième}$ groupe)

Soit $\alpha\in\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[\text{ et }f_{\alpha}$ l'application du plan complexe dans lui-même qui, au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par :
 
$z'=(-1+\mathrm{i}\tan\alpha)z-\mathrm{i}\tan\alpha+2$
 
1) Déterminer le module et un argument du nombre complexe $-1+\mathrm{i}\tan\alpha.$
 
2) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $f_{\alpha}.$
 
3) Soit $h_{\alpha}$ l'homothétie de centre le point $\Omega$ d'affixe 1 et de rapport $\dfrac{1}{\cos\alpha}.$
 
Donner une écriture complexe de la rotation ra telle que : 
 
$f_{\alpha}=r_{\alpha}\circ h_{\alpha}.$

Exercice 97 (1999, Remplacement)

On considère le plan complexe $\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormal direct $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$
 
1) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation :
$$-z^{3}+6z-20\mathrm{i}=0\quad(E)$$
 
sachant qu'elle admet une solution imaginaire pure $a.$
 
2) Notons $b\text{ et }c$ les autres solutions de $(E)$ , $b$ ayant la partie réelle positive et soient $A\;,\ B\;,\ C$ les points de $\mathcal{P}$ d'affixes respectives $a\;,\ b\;,\ c.$ 
 
Déterminer le module et un argument de $\dfrac{b-a}{c-a}.$
 
En déduire la nature du triangle $ABC.$
 
3) Soit $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{3}\;rad\text{ et }f$ l'application qui à tout point $M\text{ de }\mathcal{P}$ d'affixe $z\neq\mathrm{i}-\sqrt{3}$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par :
$$z'=\dfrac{z-2\mathrm{i}}{z+\sqrt{3}+\mathrm{i}}$$
 
a) Donner l'écriture complexe de $r$ puis l'affixe du point $A'=r(A).$
 
b) Déterminer l'ensemble des points $M\text{ de }\mathcal{P}$ dont les images par $f$ ont pour affixe un réel négatif. 
 
On notera $E$ cet ensemble.
 
c) Déterminer l'ensemble $F$ des points $M\text{ de }\mathcal{P}$ dont les images par $f$ appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1.

Exercice 98 (2000, $1^{er}$ groupe)

On considère les points $A_{1}\;,\ A_{2},\ A_{3}$ d'affixes respectives :
 
$Z_{1}=1\;;\ Z_{2}=1+\sqrt{2}+\mathrm{i}\sqrt{2} 2$ ;
 
$Z_{3}=\dfrac{5+\mathrm{i}\sqrt{3}}{4}$
 
1) a) Donner une écriture trigonométrique des nombres complexes $Z_{2}-Z_{1}\text{ et }Z_{3}-Z_{1}$
 
b) Donner une écriture algébrique et une écriture trigonométrique de $\dfrac{Z_{3}-Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}}.$
 
En déduire les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\text{ et }\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right).$
 
2) Soit $S$ la similitude plane directe transformant $A_{2}\text{ en }A_{3}\text{ et }A_{1}\text{ en }A_{2}.$
 
a) Préciser les éléments caractéristiques de $S.$
 
b) On désigne d'affixe $Z'$, l'image par $S$ du point $M$ d'affixe $Z.$ 
 
Exprimer $Z'$ en fonction de $Z$ ; en déduire l'image, par $S$ du point $B$ d'affixe $1-4\sqrt{2}\mathrm{e}^{\,-\mathrm{i}\dfrac{\pi}{3}}.$

Exercice 99 (2001, $2^{ième}$ groupe).

1) Factoriser : 
 
$\alpha^{2}-2\mathrm{i}\alpha-1\alpha.$
 
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation :
 
$z^{2}-\alpha(\alpha+\mathrm{i})z+\mathrm{i}\alpha^{3}=0.$
 
2) On note $r$ le module de $\alpha\text{ et }\theta$ un de ses arguments. 
 
Calculer le module et un argument de chacune des solutions de $(E).$
 
3) $\mathcal{P}$ désigne le plan complexe ; on note $S_{\alpha}$ l'application définie sur $\mathcal{P}$ par :
\begin{eqnarray} S_{\alpha}\ :\ \mathcal{P} &\rightarrow & \mathcal{P}\nonumber\\ M(z) & \mapsto & M'(z')\nonumber \end{eqnarray}
 
tel que : 
 
$z'=\mathrm{i}\alpha z+\alpha^{2}.$
 
Déterminer $\alpha$ pour que $S_{\alpha}$ soit une rotation d'angle $\dfrac{5\pi}{6}.$
 
(Bac 2001, $2^{ième}$ groupe).
 

Commentaires

J'ai des difficultés en maths je suis une élève de terminale s2 j'ai besoin d aide mes vos cours mon permis d améliorer mon niveau je voudrais vous demander si vous n avez pas les corrections des sujets de bac svp

J'apprécie bien vos exercices

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