Vous êtes ici

Série d'exercice : Nombres complexes - Ts

Classe:

Terminale

Forme algébrique.Équations

Exercice 1

Déterminer la forme cartésienne des nombres complexes suivants :

$z=(1+\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})\qquad \text{b) }z=(2-3\mathrm{i})(3\mathrm{i})$

$z=(2\mathrm{i}+1)(1+\mathrm{i})^{2}(3\mathrm{i}-4)$

$z=(5+4\mathrm{i})(3+7\mathrm{i})(2-3\mathrm{i})$

$z=\dfrac{1-\mathrm{i}}{2\mathrm{i}}\qquad \text{f) }z=\dfrac{3-4\mathrm{i}}{7+5\mathrm{i}}$

$z=\dfrac{(3-2\mathrm{i})(5+\mathrm{i})}{5-\mathrm{i}}$

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants, déterminer la partie réelle, la partie imaginaire et le conjugué du nombre complexe

$z$ :

$z=5+3\mathrm{i} (2+6\mathrm{i})(3\mathrm{i}+4)\qquad 2)\ z=\dfrac{2\mathrm{i}+3}{2+3\mathrm{i}}$

$z=\dfrac{3-5\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}\qquad 4)\ z=\dfrac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$

Exercice 3

Trouver l'ensemble

$(S)$ des points

$M$ dont l'affixe

$z$ vérifie :

$|z-4|=|z+2\mathrm{i}|$

$|z+1+\mathrm{i}|=|z-3|$

$|z-5+3\mathrm{i}|=3$

$|z+5-\mathrm{i}|=|z-4\mathrm{i}|$

Exercice 4

Résoudre dans

$\mathbb{C}$ :

$(2-\mathrm{i})z=2+\mathrm{i}$

$3z-5+2\mathrm{i}z=2\mathrm{i}3z+4\mathrm{i} z$

$\dfrac{(2+\mathrm{i})z}{1-\mathrm{i}}=\dfrac{1-\mathrm{i}}{2+3\mathrm{i}}$

$(2+\mathrm{i}z)(3+\mathrm{i})=(1+3\mathrm{i})(z+2\mathrm{i})$

$(2+3\mathrm{i})z+3(z-\mathrm{i})=2\mathrm{i}+5z$

$\dfrac{1}{z-1}=\dfrac{\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}$

Exercice 5

Résoudre dans

$\mathbb{C}$ les équations suivantes :

$(3-\mathrm{i})\overline{z}=\dfrac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$

$z+\overline{z}+2=0$

$3z+2\mathrm{i}\overline{z}=2+3\mathrm{i}$

$(2+\mathrm{i})z+(1+3\mathrm{i})\overline{z}=1+2\mathrm{i}$

$4 z^{2}+8|z|^{2}-3=0$

$\overline{z}=\dfrac{4}{z}\text{ et représenter graphiquement les solutions.}$

$z^{2}-2\mathrm{i}\overline{z}=0$ ; pour cette question, soit

$O\;,\ A\;,\ B\;,\ C$ les images dans le plan complexe, muni du repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ des solutions obtenues. Montrer que le triangle

$ABC$ est équilatéral.

$(3+\mathrm{i})z+(1-3\mathrm{i})\overline{z}+12-6\mathrm{i}=0.$

(On trouvera une infinité de solutions).

Exercice 6

On pose

$Z=(z-2)(\overline{z}+\mathrm{i}).$

Soit les écritures algébriques

$z=x+\mathrm{i} y$ ;

$x\;,\ y\text{ réels et }Z=X+\mathrm{i}Y\;;\ X\;,\ Y\text{ réels.}$

1) Exprimer

$X\text{ et }Y$ en fonction de

$x\text{ et }y.$

Trouve alors les ensembles suivants :

$E_{1}\ :\text{ ensemble des points }M(z)\text{ tels que }Z\text{ est réel.}$

$E_{2}\ :\text{ ensemble des points }M(z)\text{ tels que }Z\text{ est imaginaire.}$

2) Traduire à l'aide de

$\overline{Z}\text{ que }Z$ est réel, puis que

$Z$ est imaginaire.

Retrouver alors les ensembles

$E_{1}\text{ et }E_{2}.$

Exercice 7

On pose

$Z=z^{2}+2z-3.$

1) Soit

$F_{1}\ :\text{ l'ensemble des points }M(z)\text{ tels que }Z\text{ est réel.}$

Reconnaître

$F_{1}.$

2) Soit

$F_{2}\ :\text{ l'ensemble des points }M(z)\text{ tels que }Z\text{ est imaginaire.}$

Donner une équation de

$F_{2}.$

Exercice 8

$u$ est un nombre complexe donné.

Déterminer l'ensemble des points

$M(z)$ tels que le nombre complexe :

$a=\dfrac{u-\overline{u}z}{1-z}$

soit : a) réel b) imaginaire pur.

Exercice 9

Le but de l'exercice est de résoudre dans

$\mathbb{C}\text{ l'équation }(E)\;,\text{ d'inconnue }z\ :\ P(z)=0\;,\text{ où }:$

$P(z)=2z^{4}-6z^{3}+9z^{2}-6z+2.$

1) Comparer

$\overline{p(z)}\text{ et }P\overline{(z)}.$

(On indiquera avec précision les propriétés utilisées).

Montrer que si

$z_{0}$ est racine de l'équation

$(E)$ , le nombre

$\dfrac{1}{z_{0}}$ est aussi racine de

$(E).$

2) Déduire de ce qui précède que, si

$z_{0}$ est racine de

$(E)$ , il en est de même de

$\overline{z_{0}}\text{ et }\dfrac{1}{\overline{z_{0}}}.$

3) Montrer que l'équation

$(E)$ admet

$1+\mathrm{i}$ pour racine.

Résoudre alors l'équation

$(E).$

Exercice 10

Pour tout nombre complexe

$z\neq 1$ , on pose

$z'=\dfrac{z-1}{\overline{z}-1}$ et on appelle

$A\;,\ B\;,\ M\text{ et }M'$ les points d'affixes

$1\;,\ -1\;,\ z\text{ et }z'$ dans le plan complexe muni du repère

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

1) a) Comparer

$|z-1|\text{ et }|\overline{z}-1|\;,\text{ et en déduire }|z'|.$

b) Traduire géométriquement ce résultat pour le point

$M'.$

2) Calculer en fonction de

$z\text{ et }\overline{z}\text{ le complexe }r=\dfrac{z'+1}{z-1}\text{ et en déduire que }r\text{ est réel.}$

3) Montrer que les vecteurs

$\overrightarrow{AM}\text{ et }\overrightarrow{BM'}$ sont colinéaires.

4) Utiliser ce qui précède pour donner une construction géométrique de

$M'$ connaissant

$M.$

Faire une figure.

Exercice 11

A tout complexe

$z$ , on associe dans le plan les points

$M$ d'affixe

$z$ ,

$M'$ d'affixe

$z+\mathrm{i}$ et

$M''$ d'affixe

$\mathrm{i}z.$

1) Pour quel nombre

$z$ les points

$O\text{ et }M'$ sont-ils confondus ?

Pour quel nombre

$z$ les points

$M'\text{ et }M''$ sont-ils confondus ?

2) a) on suppose que

$z$ est distinct de

$0\;,\text{ de }\mathrm{i}\text{ et de }\dfrac{1-\mathrm{i}}{2}.$

Montrer que les points

$O\;,\ M'\text{ et }M''$ sont alignés si et seulement si

$\dfrac{z+\mathrm{i}}{\mathrm{i}z}$ est un nombre réel.

b) Pour

$z\,\in\;\mathbb{C}^{\ast}\;,\text{ on pose }z=x+\mathrm{i}y\text{ avec }x\text{ et }y\text{ réels.}$

Calculer la partie imaginaire de

$\dfrac{z+\mathrm{i}}{\mathrm{i}z}\text{ en fonction de }x\text{ et de }y.$

3) a) Déterminer et représenter l'ensemble

$\mathbb{C}$ des points

$M$ tels que

$O\;,\ M'\text{ et }M''$ soient deux à deux distincts et alignés.

b) en prenant

$z=\dfrac{1}{4}-\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}\mathrm{i}\;,\text{ placer dans le plan les points }M\;,\ M'\text{ et }M''.$

Exercice 12

Calculer et écrire sous forme algébrique les racines carrées des nombres complexes suivants :

$z_{1}=3+4\mathrm{i}\qquad z_{2}=-8\mathrm{i}$

$z_{3}=7+24\mathrm{i}\qquad z_{4}=8-6\mathrm{i}$

Exercice 13

1) Résoudre dans

$\mathbb{C}\text{ l(équation }z^{2}=5+12\mathrm{i}$

2) En utilisant le 1), résoudre, dans

$\mathbb{C}\;,\text{ l'équation }z^{2}=5-12\mathrm{i}$

$(Indication\ :\ utiliser\ le\ conjugué\ de\ z)$

3) Résoudre alors dans

$\mathbb{C}$ l'équation :

$(z^{2}-5)^{2}+144=0$

Exercice 14

1) Résoudre, dans

$\mathbb{C}\;,\text{ l'équation }z^{2}=7+24\mathrm{i}$

2) Résoudre, dans

$\mathbb{C}\;,\text{ l'équation }z^{4}=7+24\mathrm{i}$

Exercice 15

1) Calculer

$(1+8\mathrm{i})^{2}$

2) Résoudre dans

$\mathbb{C}$ l'équation :

$(2+\mathrm{i})z^{2}-(9+2\mathrm{i})z+5(3-\mathrm{i})=0$

Exercice 16

Résoudre dans

$\mathbb{C}$ :

$z^{2}+(\mathrm{i}-5)z+8\mathrm{i}=0$

$z^{2}3\left(\sqrt{3}+\mathrm{i}\right)z+3\left(2+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)=0$

Exercice 17

Soit

$P$ le polynôme défini par :

$P(z)=z^{3}-(11+2\mathrm{i})z^{2}+2(17+7\mathrm{i})z-42.$

1) Démontrer qu'il existe un nombre réel

$\alpha$ solution de l'équation :

$P(z)=0.$

2) Déterminer le polynôme

$Q$ tel que :

$P(z)=(z-\alpha)\,Q(z)$

3) Résoudre dans

$\mathbb{C}\text{ l'équation : }P(z)=0.$

Exercice 18

Soit

$P$ le polynôme défini par :

$P(z)=z^{3}-2(1+2\mathrm{i})z^{2}+7\mathrm{i}z+3(1-3\mathrm{i}).$

1) Démontrer qu'il existe un imaginaire pur

$\mathrm{i}\,\beta$ solution de l'équation :

$P(z)=0.$

2) Déterminer le polynôme

$Q\text{ tel que : }P(z)=(z-\mathrm{i}\,\beta)\,Q(z)$

3) Résoudre dans

$\mathbb{C}\text{ l'équation : }P(z)=0.$

Exercice 19

Soit

$P$ le polynôme défini par :

$P(z)=z^{4}+(5-2\mathrm{i})z^{3}+2(8-0\mathrm{i})z^{2}+(6-16\mathrm{i})z-12\mathrm{i}.$

1) Vérifier que :

$P(2\mathrm{i})=P(-3)=0.$

2) Déterminer un polynôme

$Q$ du second degré tel que, pour tout nombre complexe

$z\;,\text{ on a : }$

$P(z)=(z^{2}+(3-2\mathrm{i})z-6\mathrm{i})Q(z).$

3) Résoudre dans

$\mathbb{C}\text{ l'équation : }P(z)=0.$

Exercice 20

Soit

$P$ le polynôme défini par :

$P(z)=z^{4}+4z^{3}+9z^{2}+4z+8\;\left(z\,\in\;\mathbb{C}\right).$

1) Comparer

$f\overline{(z)}\text{ et }\overline{f(z)}.$

Calculer

$f(\mathrm{i}).$

En déduire une, puis deux solutions dans

$\mathbb{C}\text{ de l'équation }f(z)=0.$

2) Mettre

$f(z)$ sous la forme d'un produit de deux polynômes du second degré à coefficients réels.

Achever la résolution de l'équation

$f(z)=0$

Exercice 21

Démontrer que, si les nombres complexes

$z_{1}\text{ et }z_{2}$ ont pour module 1, le nombre complexe :

$z=\dfrac{z_{1}+z_{2}}{1+z_{1}z_{2}}\text{ est réel.}$

Détermination d'ensembles de points

Exercice 22

Déterminer et représenter l'ensemble des points

$M$ d'affixe

$z$ telle que :

$(3z+1)(\overline{z}+\mathrm{i})\text{ soit réel}$

$(\overline{z}+2)(z+2\mathrm{i})\text{ soit imaginaire pur}$

$z+\overline{z}=|z|$

$(2z+\mathrm{i})(\overline{z}-2)\text{ soit réel}$

$\dfrac{2-z}{\mathrm{i}+z}\text{ soit imaginaire pur}$

$\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+1}\text{ soit un réel strictement positif}$

$Z=\dfrac{z+2-\mathrm{i}}{z-3+\mathrm{i}}\text{Soit imaginaire pur avec }\Im(Z) \leq 0$

Exercice 23

Soit

$P$ un plan rapporté à un repère orthonormal

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

1) Démontrer que l'ensemble

$\mathbb{D}$ des points

$M\text{ de }P$ d'affixe

$z$ telle que :

$|z-1-2\mathrm{i}|=|z-7+2\mathrm{i}|$

est une droite dont on donnera une équation cartésienne.

2) En considérant les points

$A\text{ et }B$ d'affixes respectives

$1+2\mathrm{i}\text{ et }7+2\mathrm{i}$ , retrouver géométriquement le résultat de la question 1).

Exercice 24

Déterminer l'ensemble des points

$M$ d'affixe

$z$ qui sont alignés avec les points d'affixe

$\mathrm{i}\text{ et }\mathrm{i}z.$

Exercice 25

On considère le plan complexe

$P.$

1) Déterminer et représenter l'ensemble

$\mathbb{C}$ des points

$M$ d'affixe

$z$ telle que :

$(z-2\mathrm{i})(\overline{z}-1)\text{ soit un imaginaire pur.}$

2) Déterminer et représenter l'ensemble

$E$ des points

$M(z)$ telle que :

$(z-2\mathrm{i})(\overline{z}-1)\text{ soit un nombre réel positif.}$

Exercice 26

On note

$M$ le point d'affixe

$z=x+\mathrm{i}y.$

Soit

$u=z^{2}+\overline{z}+1\text{ et }v=z(\overline{z}+1).$

1) Calculer

$\Re(u)\;,\ \Im(u)\;,\ \Re(v)\text{ et }\Im(v)\text{ en fonction de }x\text{ et }y.$

2) Déterminer et représenter l'ensemble des points

$M$ du plan tels que :

$\Im(u)=\Im(v).$

3) Déterminer et représenter l'ensemble des points

$M$ du plan tels que :

$\Re(u)=\Re(v).$

4) Résoudre l'équation d'inconnue

$z\ :\ u=v.$

Forme trigonométrique et exponentielle

Exercice 27

Donner une forme trigonométrique puis exponentielle des nombres complexes suivants :

$1)\ \dfrac{1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{9\mathrm{i}}\qquad 2)\ \dfrac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$

$3)\ \dfrac{12}{\mathrm{i}}\qquad 4)\ \dfrac{\sqrt{6}+\mathrm{i}\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\mathrm{i}\sqrt{2}}$

$5)\ \left(\sqrt{6}-\mathrm{i}\sqrt{2}\right)^{4}$

$6)\ (3\mathrm{i})^{6}\qquad 7)\ \left(\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)^{8}$

$8)\ (1-\mathrm{i})^{18}\qquad 9)\ \dfrac{(1-\mathrm{i})^{3}}{\left(\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)^{2}}$

Exercice 28

1) a) Déterminer une forme trigonométrique et la forme algébrique de

$\dfrac{3+3\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}$

b) En déduire les valeurs exactes de

$\cos\dfrac{\pi}{12}\text{ et }\sin\dfrac{\pi}{12}.$

2) Déterminer de même les valeurs exactes de

$\cos\dfrac{5\pi}{12}\text{ et }\sin\dfrac{5\pi}{12}\text{ à l'aide de }\dfrac{\sqrt{3}+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$

Exercice 29

Soit

$z=\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\mathrm{i}}{2}\right)^{4}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$

1) Déterminer

$\Re(z)\text{ et }\Im(z).$

2) Déterminer

$|z|\text{ et }\arg(z).$

3) Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de

$\cos\dfrac{11\pi}{12}\text{ et }\sin\dfrac{11\pi}{12}.$

Exercice 30

Exprimer en fonction de

$\cos\theta\text{ et }\sin\theta$ :

$\cos 3\theta\text{ et }\sin 3\theta$

$\cos 4\theta\text{ et }\sin 4\theta$

$\cos 5\theta\text{ et }\sin 5\theta$

Exercice 31

Linéariser :

$\cos^{3} \theta\qquad \text{b) }\sin^{4}\theta\qquad \text{c) }\cos^{4}\theta$

$\cos^{3}\theta\,\sin\theta\qquad \text{e) }\sin^{3}\theta\,\cos\theta\qquad \text{f) }\sin^{4}\theta\,\cos^{2}\theta$

Exercice 32

Soit

$\theta\,\in\,\left]0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[\text{ et les complexes}$

$z_{1}=1+\cos 2\theta+\mathrm{i}\sin 2\theta\text{ et }z_{2}=1+\cos 2\theta\mathrm{i}\sin 2\theta.$

Déterminer en fonction de

$\theta$ le module et un argument de

$z_{1}\text{ et }z_{2}.$

Exercice 33

1) Donner un argument de chacun des complexes suivants :

$z_{1}=\cos\theta\mathrm{i}\sin\theta$ ;

$z_{2}=\sin \theta+\mathrm{i}\cos\theta$ ;

$z_{3}=\sin\theta+\mathrm{i}\cos\theta$ ;

$z_{4}=\sin\theta\mathrm{i}\cos\theta\text{ et }z_{5}=\cos\theta\mathrm{i}\sin\theta.$

2) Dans le plan muni d'un repère orthonormal

$(O\;,\ \vec{e}_{1}\;,\ \vec{e}_{2})$ , placer le point

$M_{0}$ d'affixe

$\cos\theta+\mathrm{i}$

$\sin\theta\left(\text{ prendre }\theta\text{ tel que }0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)$ et les points

$M_{1}\;,\ M_{2}\;,\ M_{3}\;,\ M_{4}\;,\ M_{5}$ d'affixes respectives

$z_{1}\;,\ z_{2}\;,\ z_{3}\;,\ z_{4}\;,\ z_{5}.$

Exercice 34

Soit

$z=\cos\alpha+\mathrm{i}\sin\alpha\left(\text{ avec }\alpha\in\,\;\mathbb{R}\right).$

1) Mettre sous la forme la plus simple

$\dfrac{1}{z}.$

2) Calculer

$z^{n}+\dfrac{1}{z^{n}}\left(\text{ avec }n\,\in\,\mathbb{C}^{\ast}\right).$

3) Développer le complexe

$\left(z+\dfrac{1}{z}\right)^{4}$ et en déduire une linéarisation de

$\cos^{4}\alpha.$

Exercice 35

Déterminer et construire l'ensemble des points

$M(z)$ tels que :

$\dfrac{z-\mathrm{i}}{z-1}\text{ soit réel.}$

$\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\text{ soit imaginaire pur}$

$\left|\dfrac{z-1+\mathrm{i}}{z+3}\right|=1$

$arg\,\left(\dfrac{z-2+\mathrm{i}}{z-3+\mathrm{i}}\right)=\dfrac{\pi}{2}\,(2\pi)$

$arg\,\left(\dfrac{z-1+2\mathrm{i}}{z-3+\mathrm{i}}\right)=\pi\,(2\pi)$

$\dfrac{z-2\mathrm{i}}{z+2\mathrm{i}}\text{ soit un réel strictement positif}$

$arg\,(z-\mathrm{i})=arg\,(z+1)+k\pi$

$arg\,(z-\mathrm{i})=\dfrac{\pi}{2}+arg\,(z+1)+2k\pi$

$\left|\dfrac{z-\mathrm{i}}{z-4}\right|=2.$

Exercice 36

Soit

$f$ l'application de

$\mathbb{C}\setminus {2\mathrm{i}}\text{ dans }\mathbb{C}\text{ définie par : }$

$f(z)=\dfrac{z+2\mathrm{i}}{z-2\mathrm{i}}.$

On pose

$Z=f(z).$

1) Soit

$A(2\mathrm{i})\text{ et }B(2\mathrm{i}).$

Déterminer et construire l'ensemble

$\mathcal{D}$ des points

$M$ d'affixe

$z$ tels que

$|Z|=1.$

2) On rappelle que :

$\forall\;z\,\in\,\mathcal{C}\;,\ |Z|^{2}=Z\overline{z}.$

Déterminer et construire l'ensemble des points

$M(z)\text{ tels que }Z\,\in\mathrm{i}\mathbb{R}.$

Exercice 37

Pour tout complexe

$z=x+\mathrm{i}y\text{ avec }x\;,\ y\in\,\mathbb{R}\text{ et }(x\;,\ y)\neq (1\;,\ 0)$ , on considère le complexe

$u$ défini par

$u=\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+1}.$

1) On note

$u=X+\mathrm{i}Y\text{ avec }X\;,\ Y\in\,\mathbb{R}.$

Exprimer

$X\text{ et }Y$ en fonction de

$x\text{ et }y.$

2) Déterminer les ensembles

$E_{1}\;,\ E_{2}\text{ et }E_{3}$ définis respectivement par :

$E_{1}\ :$ ensemble des points

$M(z)$ du plan tels que

$u$ soit imaginaire pur ;

$E_{2}\ :$ ensemble des points

$M(z)$ du plan tels que

$u$ soit réel ;

$E_{3}\ :$ ensemble des points

$M(z)$ du plan tels que

$u$ soit réel et strictement positif ;

3) Représenter

$E_{1}\;,\ E_{2}\text{ et }E_{3}.$

Exercice 38

Soit

$\begin{eqnarray} f\ :\ \mathcal{P}&\rightarrow &\mathcal{P}\nonumber \\ M(z=x+\mathrm{i}y)&\mapsto & M'(z')\nonumber \end{eqnarray}$

avec

$z'=\dfrac{z-1}{z+1}.$

1) Déterminer l'ensemble

$\mathcal{C}_{1}$ des points

$M\text{ de }\mathcal{P}$ pour lesquels l'affixe de l'image

$M'$ est un imaginaire pur.

2) Déterminer l'ensemble

$\mathcal{C}_{2}$ des points

$M\text{ de }\mathcal{P}$ tels que leur image

$M'\text{ par }f$ appartient au cercle de centre

$O$ et de rayon

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Exercice 39

Soit

$f$ l'application de

$\mathcal{C}\setminus\mathrm{i}\text{ dans }\mathcal{C}$ définie par :

$f(z)=\dfrac{z-\mathrm{i}}{\mathrm{i}z+1}.$

On pose

$Z=f(z).$

1) Soit

$A(\mathrm{i})\;,\ B(\mathrm{i})\text{ et }M(z).$

Interpréter géométriquement

$|Z|\text{ et }arg(Z).$

Déterminer de deux façons (algébriquement et géométriquement) les ensembles

$E_{1}=\left\lbrace M(z)/Z\,\in\,\mathbb{R}\right\rbrace$ et

$E_{2}=\left\lbrace M(z)/Z\,\in\,\mathrm{i}\,\mathbb{R}\right\rbrace.$

Construire

$E_{1}\text{ et }E_{2}.$

Exercice 40

Dans le plan complexe

$\mathcal{P}$ rapporté à un repère orthonormé direct

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ , on considère les points :

$A(-\mathrm{i})\;,\ B(2\mathrm{i})$ et l'application :

$\begin{eqnarray} f\ :\ \mathcal{P}\setminus{A}&\rightarrow &\mathcal{P}\nonumber\\ M(z)&\mapsto &\mathrm{i}\dfrac{z-2\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\nonumber \end{eqnarray}$

1) a) Soient

$M_{1}(\mathrm{i})\text{ et }M_{2}\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{\mathrm{i}}{2}\right)$ ; déterminer

$f(M_{1})\text{ et }f(M_{2}).$

b) Déterminer le point

$M\text{ de }\mathcal{P}\setminus{A}\text{ tel que }f(M)=O$ et le point

$Q\text{ tel que }f(Q)=N\text{ si }N$ est le point d'affixe

$2―\mathrm{i}.$

2) Déterminer et construire :

a) L'ensemble

$\mathcal{E}\text{ des points }M\text{ de }\mathcal{P}\setminus{A}$ dont les images ont pour affixe un imaginaire pur ;

b) L'ensemble

$\mathcal{F}\text{ des points }M\text{ de }\mathcal{P}\setminus{A}$ dont les images ont pour affixe un réel.

c) L'ensemble

$\mathcal{G}\text{ des points }M\text{ de }\mathcal{P}\setminus{A}$ dont les images appartiennent au cercle

$\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1.

Exercice 41

Soit

$f$ l'application définie sur

$\mathcal{C}\setminus{2\mathrm{i}}$ par

$f(z)=\dfrac{z+\mathrm{i}}{z-2\mathrm{i}}.$

1) Soit

$z\,\in\,\mathcal{C}\setminus{2\mathrm{i}}.$

On pose

$z-2\mathrm{i}=\rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\text{ avec }\rho>0\text{ et }\theta\,\in\,\mathbb{R}.$

Écrire

$f(z)-1$ sous forme exponentielle à l'aide de

$\rho\text{ et }\theta.$

2) Soit

$A$ le point d'affixe

$2\mathrm{i}.$

a) Déterminer l'ensemble

$E_{1}\text{ des points }M\text{ d'affixe }z\text{ vérifiant }|f(z)-1|=3.$

b) Déterminer l'ensemble

$E_{2}\text{ des points }M\text{ d'affixe }z\text{ tels que }\dfrac{\pi}{4}$ soit un argument de

$f(z)-1.$

c) Représenter les ensembles

$E_{1}\text{ et }E_{2}.$

Exercice 42

1) a) Résoudre dans

$\mathcal{C}$ l'équation

$z^{2}-2z+4=0.$

On désigne par

$z_{1}$ la solution de partie imaginaire positive et par

$z_{2}$ l'autre solution.

b) Donner un argument et le module de chacune des solutions

$z_{1}\text{ et }z_{2}.$

En déduire le module et un argument des complexes

$z_{1}^{2}\text{ et }z_{2}^{2}$ , puis écrire ces 2 nombres sous forme algébrique.

2) a) Placer dans le plan les points

$A\;,\ B\;,\ A'\text{ et }B'$ d'affixes respectives

$1+\mathrm{i}\sqrt{3}\;,\ 1-\mathrm{i}\sqrt{3}\;,\ 2+2\mathrm{i}\sqrt{3}\text{ et }2+2\mathrm{i}\sqrt{3}.$

b) Déterminer la nature du quadrilatère

$AA'BB'.$

c) Montrer que le triangle

$AA'B'$ est rectangle et qu'il en est de même du triangle

$BB'A'$

En déduire que les 4 points

$A\;,\ A'\;,\ B\text{ et }B'$ sont sur un même cercle dont on déterminera le centre

$\Omega$ et le rayon

$r.$

Exercice 43

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

Soit

$f$ l'application de

$\mathcal{C}\setminus{1}\text{ dans }\mathcal{C}$ définie par :

$f(z)=\dfrac{2-\mathrm{i}z}{1-z}.$

1) Déterminer le module et un argument de

$f(z).$

Pour quelles valeurs de l'entier naturel

$k$ le nombre

$[f(2)]^{k}$ est-il réel ?

2) On pose

$z'=f(z).$

a) Exprimer

$z$ en fonction de

$z'.$

b) Soient

$M$ le point d'affixe

$z(z\neq 1)\text{ et }M'$ le point d'affixe

$z'.$

Montrer que

$OM=\dfrac{M'A}{M'B}\text{ où }A\text{ et }B$ sont des points dont on donnera les affixes.

c) Soit

$\mathcal{C}$ l'ensemble des points

$M$ du plan pour lesquels

$|z|=1\text{ et }z\neq 1.$

Montrer que si

$M$ appartient à

$\mathcal{C}$ ,

$M'$ appartient à une droite

$\mathcal{D}$ que l'on pourra définir géométriquement.

Tracer $\mathcal{C}\text{ et }\mathcal{D}$ sur une même figure.

Exercice 44

1) Écrire sous forme trigonométrique le complexe

$1+\mathrm{i}.$

2) On pose

$z=\rho\,\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\theta}\text{ avec }\rho\,\in\,]0\;;\ +\infty[\text{ et }\theta\,\in\,[0\;;\ 2\pi[.$

a) Calculer

$z^{2}\text{ et }(1+\mathrm{i})\overline{z}\text{ en fonction de }\rho\text{ et }\theta.$

b) En déduire la valeur

$r\text{ de }\rho$ pour laquelle on a l'égalité :

$z^{2}=(1+\mathrm{i})\overline{z}\qquad (1).$

2) Déterminer les valeurs

$\theta_{0}\;,\ \theta_{1}\text{ et }\theta_{2}\text{ de }\theta\text{ telles que }z=r\,\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\theta}\text{ vérifie l'égalité}\quad(1).$

On note respectivement

$z_{0}\;,\ z_{1}\text{ et }z_{2}$ les nombres complexes de module

$r$ et d'arguments

$\theta_{0}\;,\ \theta_{1}\text{ et }\theta_{2}.$

3) Soient

$A_{1}\text{ et }A_{2}$ les points d'affixe respectives

$z_{1}\;,\ z_{2}\text{ et }z_{2}\;,\ z_{0}$ dans le plan complexe, et

$O$ le point d'affixe nulle.

Calculer sous forme trigonométrique le nombre complexe

$\dfrac{z_{2}-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}$

En déduire la nature du triangle

$OA_{1}A_{2}.$

Exercice 45 Calcul de $\cos\dfrac{\pi}{5}$

Au nombre complexe

$z$ , on associe le nombre complexe

$Z=1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}.$

1) a) Vérifier que si

$z\neq 1\;,\text{ alors }Z=\dfrac{1-z^{5}}{1-z}.$

b) On pose

$z=\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\dfrac{2\pi}{5}}$ ; calculer

$Z.$

En déduire la valeur de :

$S=1+\cos\dfrac{2\pi}{5}+\cos\dfrac{4\pi}{5}+\cos\dfrac{6\pi}{5}+\cos\dfrac{8\pi}{5}.$

2) Montrer que :

$\cos\dfrac{2\pi}{5}+\cos\dfrac{8\pi}{5}=4\cos^{2}\left(\dfrac{\pi}{5}\right)-2.$

$\left(\text{Indication : }remarquer\ que\ :\ \dfrac{8\pi}{5}=2\pi-\dfrac{2\pi}{5}\text{ et }\dfrac{6\pi}{5}=2\pi-\dfrac{4\pi}{5}\right)$

$Utiliser\ ces\ égalités\ et\ la\ valeur\ trouvée\ pour\ S\ au\ 1)\;b)\ pour\ calculer\ \cos\dfrac{\pi}{5}.$

Exercice 46

Soit

$z=1+\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\theta}\;,\text{ où }\theta\,\in\,]\pi\;;\ \pi[.$

1) Déterminer le module

$r$ et un argument

$\varphi\text{ de }z$

$\left(\text{on pourra factoriser par }\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\dfrac{\theta}{2}}\right)$

2) Calculer

$z^{4}$ à partir de l'écriture :

$z=1+\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\theta}\qquad \text{b) }z=r\,\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\varphi}.$

3) Établir la relation :

$\cos^{4}\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{8}\cos\,2\theta+\dfrac{1}{2}\cos\theta+\dfrac{3}{8}.$

Exercice 47

Le plan

$\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal direct

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})(\text{unité : }4\;cm).$

On désigne par

$A$ le point d'affixe 1 et par

$\mathcal{P'}\text{ le plan }\mathcal{P}\text{ privé de }A.$

Soit

$f\text{ l'application de }\mathcal{P'}\text{ dans }\mathcal{P}$ qui, à tout point

$M$ d'affixe

$z$ associe le point

$M'=f(z)$ d'affixe

$Z$ telle que :

$Z=\dfrac{z-2}{z-1}.$

1) Soit

$B$ le point d'affixe

$\dfrac{1}{2}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Déterminer

$B'=f(B).$

2) Déterminer les points

$I\text{ et }J$ invariants par

$f.$

On notera

$I$ celui d'ordonnée positive.

3) a) Exprimer en fonction de

$z$ les affixes des vecteurs

$\overrightarrow{AM}\text{ et }\overrightarrow{AM'}.$

b) Déduire du a) une relation entre

$AM'\text{ et }AM$ et prouver que l'image du cercle

$\mathcal{C}$ de centre

$A$ et de rayon 1 est le cercle

$\mathcal{C}.$

Vérifier que $B\;\in\;\mathcal{C}.$

c) Tracer

$\mathcal{C}$ et placer les points

$B\;,\ B'\;,\ I\text{ et }J$ sur la figure.

Exercice 48

Le plan

$\mathcal{P}$ complexe est rapporté à un repère orthonormé direct

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

Soit

$f$ l'application qui, à tout point

$M$ d'affixe

$z$ associe le point

$M'$ d'affixe

$z'$ telle que :

$z'=\dfrac{1}{z}.$

On appelle

$\mathcal{C}$ le cercle de centre

$O$ et de rayon 1.

1) Placer sur une figure le point

$B$ d'affixe

$w=\dfrac{1}{2}(1+\mathrm{i})$ et son image

$B'\text{ par }f(\text{ Unité : }4\;cm).$

Donner le module et un argument de chacun des complexes

$w\text{ et }w'.$

2) Soit

$z\,\in\;\mathcal{C}^{\ast}.$

Comparer les modules et les arguments de

$z\text{ et }z'.$

3) Quel est l'ensemble des points

$M$ pour lesquels

$M\text{ et }M'$ sont symétriques par rapport à l'axe

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ ?

4) Soit

$M$ un point de la droite

$\mathcal{D}$ d'équation

$x=\dfrac{1}{2}.$

Montrer que son affixe z vérifie :

$|1─z|=|z|.$

Complexes et suites

Exercice 49

On définit les nombres complexes

$Z_{n}$ de la manière suivante :

$Z_{0}=1$ et, pour

$n$ entier supérieur ou égal à

$1\;,\ Z_{n}+1=\dfrac{1}{3}Z_{n}+\dfrac{2}{3}\mathrm{i}.$

1) Pour tout entier

$n$ , on pose

$u_{n}=Z_{n}+\mathrm{i}.$

a) Calculer

$u_{n+1}$ en fonction de

$u_{n}.$

b) Montrer par récurrence que, pour tout entier

$n\;,\ u_{n}=(1+\mathrm{i})\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}.$

2) a) Exprimer en fonction de

$n$ la partie réelle

$x_{n}$ et la partie imaginaire

$y_{n}$ de

$u_{n}.$

Calculer les limites des suites

$(x_{n})\text{ et }(y_{n}).$

On note

$A_{n}$ le point du plan complexe d'affixe

$u_{n}\text{ et }B_{n}$ le point d'affixe

$Z_{n}.$

b) Calculer le module et l'argument de

$u_{n}.$

Montrer que les points

$A_{n}$ sont alignés, ainsi que les points

$B_{n}.$

Exercice 50

1) Résoudre dans

$\mathcal{C}^{2}$ le système :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} z_{1}z_{2}&=&\dfrac{1}{2}\\ \\ z_{1}+2z_{2}&=&\sqrt{3} \end{array}\right.$

Donner les solutions sous forme trigonométrique.

2) On donne :

$S_{1}=1+\cos\theta+\cos 2\theta+\cdots+\cos n\theta$ et

$S_{2}=\sin \theta+\sin 2\theta+\cdots+\sin n\theta.$

a) Montrer que si

$\theta\neq 2k\pi\;,\ \left( k\,\in\;\mathbb{Z}\right)\;,\text{ alors }S=S_{1}+\mathrm{i}S_{2}=\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}(n+1)\theta}-1}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}-1}$

b) En déduire que

$S=\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\dfrac{n\theta}{2}}\dfrac{\sin\left(\dfrac{n+1}{2}\theta\right)}{\sin\dfrac{\theta}{2}}$

puis les valeurs de

$S_{1}\text{ et }S_{2}.$

Exercice 51

On veut déterminer trois nombres complexes

$z_{1}\;,\ z_{2}\text{ et }z_{3}$ tels que leurs modules forment une progression géométrique de raison 2, et leurs arguments une progression arithmétique de raison

$\dfrac{2\pi}{3}.$

Déterminer

$z_{1}\;,\ z_{2}\;,\ z_{3}$ sachant que

$z_{1}\times z_{2}\times z_{3}=4\left(1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)$ et qu'un argument de

$z_{1}$ appartient à

$\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$

Donner les résultats sous forme trigonométrique.

Exercice 52

Soit

$(U_{n})\,n\,\in\,\mathbb{N}$ la suite géométrique de premier terme

$U_{0}=4\;,\text{ de raison }\dfrac{1}{2}.$

Soit

$(V_{n})\,n\,\in\,\mathbb{N}$ la suite arithmétique de premier terme

$V_{0}=\dfrac{\pi}{4}\;,\text{ de raison }\dfrac{\pi}{2}.$

Pour tout entier naturel

$n$ , on note

$z_{n}$ le nombre complexe de module

$U_{n}$ et dont un argument est

$v_{n}.$

1) a) Exprimer

$U_{n}\text{ et }V_{n}\text{ en fonction de }n.$

b) En déduire

$z_{n}.$

2) Démontrer que

$(z_{n})$ est une suite géométrique de raison

$\dfrac{1}{2}\mathrm{i}$ et de premier terme

$z_{0}=2\sqrt{2}+\mathrm{i}2\sqrt{2}.$

3) Soit

$(\mathcal{P})$ le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})\text{ et }M_{n}$ le point d'affixe

$z_{n}.$

a) Déterminer la nature de la transformation

$F$ qui au point

$M_{n}$ associe le point

$M_{n+1}$ d'affixe

$z_{n+1}.$

b) Donner ses éléments caractéristiques.

4) Pour tout entier naturel

$n$ , on pose

$Z_{n}=z_{0}z_{1}z_{2}\cdots z_{n}.$

a) Exprimer en fonction de

$n$ un argument de

$Z_{n}.$

b) Démontrer que si

$n$ est impair, alors

$Z_{n}$ est réel.

Divers

Exercice 53

1) Résoudre , dans

$\mathcal{C}$ , l'équation :

$(\sin^{2}\alpha)z^{2}+(\sin 2\alpha)z+1+\cos^{2}\alpha=0$ ,

où

$\alpha$ désigne un paramètre réel compris strictement entre

$0\text{ et }\pi.$

On appellera

$z'\text{ et }z''$ les solutions de cette équation.

2) Vérifier que

$z'^{2}+z''^{2}$ est un réel indépendant de

$\alpha.$

3) Dans un plan rapporté à un repère orthonormal, on considère les points

$M'\text{ et }M''$ d'affixes respectives

$z'\text{ et }z''.$

Déterminer

$\alpha$ de façon que :

$\left\lbrace\begin{array}{lllll} \dfrac{\pi}{2}&< &\alpha&< &\pi\\ \\ \mathrm{d}(M'\;,\ M'')&=&||\overrightarrow{M'M''}||&=&2\sqrt{2} \end{array}\right.$

Exercice 54

Soit

$(E)$ :

$z^{4}-4(\cos a\cos b)z^{3}+2(1+\cos 2a+\cos 2b)z^{2}-4(\cos a\cos b)z+1=0$ , où

$a\text{ et }b$ sont des réels donnés.

1) Démontrer qu'en posant

$u=z+\dfrac{1}{z}$ , on peut ramener la résolution de

$(E)$ à celle de deux équations du second degré.

2) Résoudre

$(E)$ en donnant en fonction de

$a\text{ et }b$ une forme trigonométrique de chacune des solutions.

Exercice 55

$\mathcal{P}$ est un plan euclidien muni d'un repère orthonormal.

Soit

$M$ l'image du complexe

$z$ ,

$A$ l'image du complexe

$\mathrm{i}$ , et

$B$ l'image du complexe

$(-\mathrm{i}).$

1) Interpréter géométriquement le module de

$z-\mathrm{i}\text{ et de }z+\mathrm{i}.$

Montrer que

$\left|\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\right|=1$ si et seulement si

$z$ est un nombre réel.

2) Soit

$n$ un entier naturel non nul. Soit

$\varphi$ un nombre réel.

Déduire de la question précédente que les solutions dans

$\mathbb{C}$ de l'équation

$\left(\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\right)^{n}=\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi$

sont toutes réelles.

$(On\ ne\ demande\ pas\ de\ les\ calculer).$

3) On pose

$n=2\text{ et }\varphi=4\alpha\text{ avec }\alpha\;\in\;\left]0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$

Résoudre dans

$\mathbb{C}$ l'équation :

$Z^{2}=\cos 4\alpha+\mathrm{i}\sin 4\alpha.$

En déduire les solutions de l'équation

$\left(\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\right)^{2}=\cos 4\alpha+\mathrm{i}\sin\alpha.$

Indiquer le signe des solutions.

Exercice 56

$\theta\;\in\;[0\;;\ 2\pi[.$ Résoudre dans

$\mathbb{C}$ l'équation :

$z^{2}-(2^{\theta+1}\cos \theta)z+2^{2\theta}=0\quad(1).$

Donner les solutions sous forme exponentielle.

2) On considère les points

$A\;,\ B$ d'affixes les solutions de (1).

Déterminer

$\theta$ pour que

$OAB$ soit équilatéral dans un repère orthonormé direct

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Exercice 57

Écrire sous forme exponentielle les racines cubiques de

$a=16(1-\mathrm{i}).$

2) Pour

$\lambda\;\in\;\mathbb{R}$ , on pose

$z_{\lambda}=1+\mathrm{i}+2\sqrt{2}\mathrm{e}^{\lambda}=x_{\lambda}+\mathrm{i}y_{\lambda}.$

a) Déterminer

$x_{\lambda}\text{ et }y_{\lambda}\text{ en fonction de }\lambda.$

b) Déterminer l'ensemble

$\mathcal{C}$ des points

$M(x_{\lambda}\;,\ y_{\lambda})\text{ quand }\lambda\text{ décrit }[0\;;\ 2\pi[.$

3) Montrer que les solutions de l'équation

$(z-(1-\mathrm{i}))^{3}=a$ sont des affixes de points de

$\mathcal{C}.$

Racines $N^{ième}$ d'un nombre complexe

Exercice 58

Résoudre dans

$\mathbb{C}$ les équations suivantes :

$z^{2}=-5+12\mathrm{i}\qquad 2)\ z^{3}=1+\mathrm{i}$

$\left(\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\right)^{3}+\left(\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\right)^{2}+\left(\dfrac{z-\mathrm{i}t}{z+\mathrm{i}}\right)+1=0$

Exercice 59

1) Calculer sous forme exponentielle puis sous forme algébrique les solutions de l'équation :

$z^{4}=1$

a) Placer leurs images dans le plan complexe.

Vérifier que leur somme est nulle.

2) Mêmes questions avec

$z^{8}=1.$

Exercice 60

Résoudre dans

$\mathbb{C}$ :

$z^{4}=16\mathrm{i}$

$z^{6}=8\mathrm{i}.$

(On indiquera les solutions sous forme exponentielle).

Exercice 61

1) a) Calculer

$\left(\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)^{4}.$

b) Soit l'équation

$z^{4}=\dfrac{73}{16}-\dfrac{11\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}.$

Indiquer les solutions sous leur forme algébrique.

2) Calculer

$(2-\mathrm{i})^{3}$ puis donner les racines cubiques du complexes

$z=2-11\mathrm{i}.$

Exercice 62

1) Résoudre l'équation

$z^{5}=1\text{ dans }\mathbb{C}.$

2) En déduire les solutions de l'équation

$z^{5}=-4-4\mathrm{i}\text{( N.B. On vérifiera d’abord que }1+\mathrm{i}\text{ est solution)}$ et construire les images des solutions dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct.

Exercice 63

1) Résoudre dans

$\mathbb{C}$ l'équation

$z^{4}=1.$

2) Calculer

$(1-2\mathrm{i})^{4}$ puis en utilisant la question 1), en déduire les solutions de l'équation

$z^{4}=-7+24\mathrm{i}.$

3) Résoudre dans

$\mathbb{C}$ :

$(2z-1)^{4}=z^{4}$

$\left(Indication\ :\ poser\ Z=\dfrac{2z-1}{z}\right).$

Exercice 64

1) Déterminer les complexes solutions de l'équation

$z^{4}=1.$

2) Déterminer sous forme trigonométrique les solutions de l'équation

$z^{4}=8\left(1-\mathrm{i}\sqrt{3}\right).$

3) Soit

$a=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}.$

Vérifier que

$a^{4}=8\left(1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right).$ En déduire sous forme algébrique les résultats de 2).

4) Des questions 2) et 3), déduire les valeurs exactes de

$\cos\dfrac{11\pi}{12}\text{ et }\sin\dfrac{11\pi}{12}.$

Exercice 65

Soit

$(z_{n})\,n\;\in\;\mathbb{N}$ la suite de nombres complexes définie par la donnée de

$z_{0}$ avec

$z_{0}=2\sqrt{2}(-1+\mathrm{i})$ et les conditions suivantes :

$\forall\;\in\;\mathbb{N}$ ,

$arg(z_{n+1})\;\in\;\left[\dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\right]\text{ et }(z_{n+1})^{4}=z_{n}.$

1) Déterminer le module et un argument de

$z_{1}.$

2) On pose

$r_{n}=|z_{n}|\text{ et }v_{n}=\ln\,r_{n}.$

Montrer que

$(v_{n})\,n\;\in\;\mathbb{N}$ est une suite géométrique.

Complexes et transformations

Dans cette section,

$\mathcal{P}$ désigne le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct

$(O,\;\ \vec{i}\;;\ \vec{j})$

Exercice 66

Déterminer, dans chacun des cas suivants la nature de la transformation plane

$\begin{eqnarray} F\ :\ P&\rightarrow &\nonumber\\ P M(z)&\mapsto & M'(z')\end{eqnarray}$ associée à la fonction

$\begin{eqnarray} f\ :\ \mathbb{C}&\rightarrow & \mathbb{C}\nonumber\\ z&\mapsto & z'.\end{eqnarray}$

$f(z)=z+2-3\mathrm{i}$

$f(z)=-z+2\mathrm{i}$

$f(z)=-3z+4-8\mathrm{i}$

$f(z=\mathrm{i}z+2-\mathrm{i}$

$f(z)=\dfrac{\sqrt{3}-\mathrm{i}}{2}z$

$f(z)=\dfrac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}}z+1-\mathrm{i}$

$f(z)=-\mathrm{i}z-1+2\mathrm{i}$

Exercice 67

Soit

$f$ l'application de

$\mathcal{P}\rightarrow\mathcal{P}$ qui à tout point

$M$ d'affixe

$z$ associe le point

$M'$ d'affixe

$z'$ définie par

$z'=az+b.$

Déterminer

$a\text{ et }b$ pour que

$f$ soit la similitude d'angle

$\dfrac{\pi}{3}$ modulo

$2\pi$ , de rapport 2 et dont le centre est le point de coordonnées

$(2\;,\ -1).$

Exprimer alors les coordonnées

$(x'\;,\ y')\text{ de }M'$ en fonction des coordonnées

$(x\;,\ y)\text{ de }M.$

Exercice 68

Soient

$M\;,\ P\;,\ Q$ trois points du plan complexe d'affixes respectives :

$\mathrm{i}\;,\ 1\;,\ 2+\mathrm{i}.$

Déterminer la similitude

$f$ telle que l'on ait :

$f(M)=P\text{ et }f(O)=Q.$

On donnera le centre, le rapport et l'angle de

$f.$

Exercice 69

Soient

$A\;,\ B\;,\ C\;,\ D$ les points du plan complexe d'affixes respectives :

$1+3\mathrm{i}\;,\ 4+3\mathrm{i}\;,\ 4-2\mathrm{i}\;,\ 1-2\mathrm{i}.$

1) Montrer qu'il existe une similitude directe unique telle que :

$S(A)=C\text{ et }S(B)=D.$

2) Déterminer

$S(C)\text{ et }S(D).$

3) Démontrer que l'isobarycentre des points

$A\;,\ B\;,\ C\;,\ D$ est invariant par

$S.$

En déduire les éléments caractéristiques de

$S.$

Exercice 70

$\theta$ étant un nombre réel de l'intervalle

$\left]\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\right[$ , on considère l'équation du second degré suivante

$\left(z\;\in\;\mathbb{C}\right)$ :

$z^{2}-(1+\mathrm{i}(\sin\theta+\tan\theta))z+\sin\theta(-\tan\theta+\mathrm{i})=0 \quad(1).$

1) Montrer que

$b=\mathrm{i}\sin\theta$ est une solution de l'équation (1), puis calculer l'autre que l'on notera

$a.$

2) Déterminer le module et l'argument de

$a.$

3) Soit

$T$ l'application de

$\mathcal{P}$ dans lui-même qui, à un point

$M$ d'affixe

$z$ associe le point

$M'$ d'affixe

$z'=az+b(a\text{ et }b$ étant toujours les solutions de l'équation (1)).

a) Reconnaître cette transformation et donner ses éléments géométriques.

b) Comment faut-il choisir

$\theta$ dans l'intervalle

$\left]\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\right[$

pour que

$T$ soit une similitude d'angle

$\dfrac{\pi}{4}$ ?

Calculer alors l'affixe du centre et le rapport de cette similitude.

Exercice 71

Dans l'ensemble des nombres complexes on considère la suite

$(z_{n})n\;\in\;\mathbb{N}$ définie par :

$z_{0}=-1\text{ et }\forall\;x\in\mathbb{N}\;,\ z_{n+1}=(1-\mathrm{i})z_{n}.$

1) Calculer

$z_{1}\;,\ z_{2}\;,\ z_{3}\;,\ z_{4}$ et placer les points images

$M_{1}\;,\ M_{2}\;,\ M_{3}\;,\ M_{4}$ dans le plan complexe.

2) Soit

$M_{n}$ le point du plan d'affixe

$z_{n}.$

Démontrer qu'il existe une similitude plane directe

$S$ telle que tout point

$M_{n+1}$ soit l'image de

$M_{n}$ par

$S.$

Déterminer les éléments géométriques de

$S.$

Exercice 72

Soient

$u_{0}\text{ et }a$ deux nombres complexes donnés.

Soit

$(u_{n})n\;\in\;\mathbb{N}$ la suite géométrique de nombres complexes définie par :

$\forall\;x\in\mathbb{N}\;,\ u_{n+1}=a\,u_{n}.$

1) Calculer la somme

$u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{n}$ en fonction de

$a\;,\ n\;,\ u_{n}.$

2) On pose

$a=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}.$

Déterminer le module et un argument de

$a.$

Soit

$f$ la transformation qui au point

$M_{n}$ d'affixe

$u_{n}$ associe le point

$M_{n+1}$ d'affixe

$u_{n+1}.$

Déterminer les éléments géométriques de

$f.$

Calculer la somme

$u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{6}$ et plus généralement, pour tout entier naturel

$n$ , la somme

$u_{n}+u_{n+1}+\cdots+u_{n+5}.$

On suppose :

$u_{0}=2.$

Placer les points

$M_{0}\;,\ M_{1}\;,\cdots M_{5}\;,\ M_{6}$ sur une figure.

Que remarque-t-on ?

Exercice 73

1) Résoudre dans

$\mathbb{C}$ l'équation :

$(1-\mathrm{i})z^{2}+2(1+2\mathrm{i})z+\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{2}=0$

2) On trouve deux solutions, chacune étant de la forme

$a+b\mathrm{i}$ , avec

$a\text{ et }b$ réels.

Soit

$z_{0}$ celle pour laquelle

$a=b\text{ et }M_{0}$ son image dans le plan complexe

$\mathcal{P}.$

On considère la similitude directe

$S$ de centre O de rapport

$\sqrt{2}$ et d'angle

$\dfrac{\pi}{6}.$

Soit

$M_{0}\;,\ M_{1}\;,\cdots M_{n}$ , la suite de points du plan telle que :

$M_{1}=S(M_{0})\;,\ M_{2}=S(M_{1})\;,\cdots M_{n}=S(M_{n-1}).$

a) Soit

$z_{n}$ l'affixe de

$M_{n}(n\in\mathbb{N}).$

Écrire

$z_{n}$ en fonction de

$z_{n-1}.$

b) Soit

$\rho_{n}\text{ et }\theta_{n}$ le module et l'argument de

$z_{n}.$

Montrer que la suite

$(\rho_{n})\,n\in\mathbb{N}$ est une suite géométrique et que la suite

$(\theta_{n})\,n\in\mathbb{N}$ est une suite arithmétique.

Donner le premier terme

$t$ la raison de chaque suite.

c) Exprimer

$\rho_{n}\text{ et }\theta_{n}$ en fonction de

$n.$

Exercice 74

Dans le plan complexe, on considère le point

$A$ d'affixe 2 et les transformations suivantes :

$h_{1}$ homothétie de centre

$A$ et de rapport 2.

$h_{2}$ homothétie de centre O et de rapport

$-\dfrac{1}{2}.$

$r$ rotation de centre

$A$ et d'angle

$-\dfrac{\pi}{2}.$

1) Quelle est la nature de la transformation

$h_{2}\circ r\circ h_{1}$ ?

2) Quelle est la nature de la transformation

$h_{2}\circ r\circ r\circ h_{1}$ ?

(On donnera les éléments géométriques de ces transformations).

Exercice 75

On donne, dans le plan complexe, les quatre points

$A\;,\ B\;,\ C\;,\ D$ d'affixes respectives :

$z_{A}=-2+6\mathrm{i}$ ;

$z_{B}=1-3\mathrm{i}$ ;

$z_{C}=5+5\mathrm{i}$ ;

$z_{D}=2+4\mathrm{i}.$

Il est rappelé que

$a\text{ et }b$ étant deux constantes complexes quelconques, la transformation

$z'=az+b$ , (1) définit la similitude directe plane la plus générale associant au point

$M$ d'affixe

$z$ le point

$M'$ d'affixe

$z'.$

1) Calculer

$a\text{ et }b$ pour la similitude

$S$ qui transforme les points

$C\text{ et }D$ respectivement en les points

$A\text{ et }B.$

2) On considère la similitude

$S'$ définie par :

$z'=2\mathrm{i}z+13+\mathrm{i}.$

Montrer que la composée

$H=S'\circ S$ est une homothétie dont on précisera le rapport.

Quelle est l'image de

$C\text{ par }H$ ?

3) Montrer que la transformation

$R$ définie par

$z'=\mathrm{i}z+2+4\mathrm{i}$ est une rotation dont on précisera le centre et l'angle. Quelle est l'image de

$B$ dans cette rotation ?

4) Montrer, sans calculs, que la transformation

$R\circ H$ admet le point

$C$ pour point invariant.

Exercice 76

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

A) Pour tout complexe

$z$ , soit

$\Re(z)=3z^{5}-4z^{4}+3z^{3}-3z^{2}+4z-3.$

1) Déterminer le polynôme

$P$ tel que :

$\forall\;z\in\mathbb{C}\;,\ \Re(z)=(z^{3}-1)P(z).$

2) Résoudre dans

$\mathbb{C}$ les 5 solutions, réelles ou complexes, de l'équation

$\Re(z)=0.$

3) Calculer leurs modules. Les représenter dans

$\mathcal{P}.$

B) Soit

$r$ la rotation dans

$\mathcal{P}$ de centre

$\Omega(2\;,\ 0)$ transformant le point

$(4\;,\ 0)\text{ en }(2\;,\ 2).$

1) Déterminer

$f$ , application de

$\mathbb{C}\text{ dans }\mathbb{C}$ , telle que si

$z$ est l'affixe de

$M$ , alors

$f(z)$ est celle de

$r(M).$

2) Déterminer les images par

$f$ des 5 solutions calculées en A).

Les représenter dans

$\mathcal{P}.$

3) Ces cinq nouveaux points sont sur un cercle.

Préciser son centre et son rayon.

C) Soit

$u=\dfrac{6-\sqrt{15}}{8}+\dfrac{\sqrt{5}-2\sqrt{3}}{8}\mathrm{i}.$

1) Démontrer que

$|u|=\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{4}.$

En déduire un argument de

$u.$

2) Soit

$T$ la transformation de

$\mathcal{P}$ associant au point d'affixe

$z$ le point d'affixe

$z'=uz+\dfrac{2-\mathrm{i}\sqrt{5}}{3}\mathrm{i}.$

Démontrer que

$T$ est une similitude directe dont on précisera les éléments caractéristiques.

D) Dans le plan

$\mathcal{P}$ , soit

$A(1\;,\ 0)\;,\ B\left(\dfrac{2}{3}\;,\ \dfrac{\sqrt{5}}{3}\right)\;,\ C\left(\dfrac{1}{2}\;,\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$D\left(-\dfrac{1}{2}\;,\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\;,\ E\left(\dfrac{2}{3}\;,\ -\dfrac{\sqrt{5}}{3}.\right)$

1) Déterminer

$k\text{ et }k'$ tels que le barycentre de

${(A\;,\ 8)(B\;,\ k)(E\;,\ k')}\text{ soit }\Omega(2\;,\ 0).$

2) Déterminer le barycentre de

$A\;,\ B\;,\ C\;,\ D\;,\ E$ affectés respectivement des coefficients :

$24\;,\ -9\;,\ -4\sqrt{3}\;,\ 4\sqrt{3}\;,\ -9.$

Exercice 77

Le plan

$\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormé direct

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

1) On considère la transformation

$T\text{ de }\mathcal{P}\text{ dans }\mathcal{P}$ qui, au point

$M(x\;,\ y)$ associe le point

$M'(x'\;,\ y')$ tel que :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x'&=&x+1\\ y'&=&y+\sqrt{3} \end{array}\right.$

Le point

$M$ a pour affixe

$z\text{ et }M'$ a pour affixe

$z'.$

a) Exprimer

$z'\text{ en fonction de }z.$

b) Donner la nature de

$T.$

2) Soit

$S$ :

$\begin{eqnarray} \mathcal{P} & \rightarrow &\mathcal{P}\nonumber\\ M_{1}(z_{1}) & \mapsto & M_{2}(z_{2})\text{ tel que}\nonumber \end{eqnarray}$

$z_{2}=\left(\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z_{1}.$

a) Donner la nature de

$f$ et ses éléments caractéristiques.

b) Définir analytiquement l'application

$S\circ T.$

Quelle est l'image du point

$E\left(-1\;,\ -\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\text{ par }S\circ T$ ?

c) Soit

$\mathcal{D}\ :\ x+\sqrt{3}y+2=0.$

Montrer que

$E\in\mathcal{D}.$

Trouver l'image

$\mathcal{D'}\text{ de }\mathcal{D}\text{ par }S\circ T.$

Quel est le point d'intersection de

$\mathcal{D}\text{ et }\mathcal{D'}$ ?

Exercice 78

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct

$(O\;,\ \vec{e}_{1}\;,\ \vec{e}_{2})$ , on considère l'application

$F$ qui à tout point

$M$ d'affixe

$z$ associe le point

$M'$ d'affixe

$z'$ définie par :

$z'=u^{2}z+u-1\;,\text{ où }u\in\mathbb{C}.$

1) Déterminer l'ensemble des complexes

$u$ pour lesquels

$f$ est une rotation d'angle

$\dfrac{\pi}{2}.$

2) Déterminer

$u$ tel que

$F$ soit une translation.

3) Déterminer

$u$ tel que

$F$ soit une homothétie de rapport 2.

4) Caractériser

$F$ lorsque

$u=1-\mathrm{i}.$

Les nombres complexes au baccalauréat

Exercice 79 (1989 $2^{ième}$ groupe)

Soit le nombre complexe

$z=1+\mathrm{i}\sqrt{3}.$

1) Déterminer le module et un argument de

$z$ ; en déduire la forme trigonométrique de

$z_{n}\;,\ n$ entier naturel.

2) Pour quelles valeurs de

$n\;,\ z^{n}$ est-il réel ?

Exercice 80 (1989 $2^{ième}$ groupe)

Déterminer les racines carrées du complexe

$Z=-3-4\mathrm{i}.$

Exercice 81 (1990 $1^{er}$ groupe)

Soit

$f$ l'application de

$\mathbb{C}\text{ dans }\mathbb{C}$ qui, au nombre complexe

$z$ associe le nombre complexe

$Z$ défini par :

$Z=(1+\mathrm{i}\sqrt{3})z+3(1-\mathrm{i})$

1) Montrer que le nombre

$w=1+\mathrm{i}$ est invariant par

$f.$

2) Montrer que

$Z-w=(1+\mathrm{i}\sqrt{3})(z-w).$

3) Soit

$m\;,\ M\text{ et }W$ les représentants dans le plan rapporté à un repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ des nombres complexes

$z\;,\ Z\;,\ w.$

a) Calculer le module et l'argument du nombre complexe

$\dfrac{Z-w}{z-w}.$

b) Montrer que

$M$ est l'image de

$m$ dans la composée d'une rotation dont on précisera le centre et l'angle, et d'une homothétie dont on déterminera le centre et le rapport.

c) Faire une figure représentant

$W\;,\ m\;,\ M.$

d) Montrer géométriquement que le triangle

$(WmM)$ est un triangle rectangle.

4) Écrire sous forme trigonométrique le nombre

$\left(\dfrac{Z-w}{z-w}\right)^{n}$ , où

$n$ est un entier naturel.

Exercice 82 (1990 $2^{ième}$ groupe)

Soit le nombre complexe

$u=\dfrac{a+1+(1-a)\mathrm{i}}{\sqrt{2(1+a^{2})}}.$

Calculer le module de

$u.$ Si

$\alpha$ est un argument de

$u$ , calculer

$\cos\alpha\;,\ \cos 2\alpha\;,\ \sin\alpha\text{ et }\sin 2\alpha.$

2) Soit le nombre complexe

$Z=8a^{2}-(1+a^{2})^{2}+4a(1-a^{2})\mathrm{i}\;,\text{ avec }a\in\mathbb{R}.$

Calculer

$|Z|$ , puis montrer que

$Z=|Z|u^{4}.$

En déduire les racines quatrièmes du nombre complexe

$Z.$

Exercice 83 (1991 $1^{er}$ groupe)

On considère dans

$\mathbb{C}$ le polynôme

$P$ défini par :

$P(X)=X^{4}-6X^{3}+14X^{2}-24X+40.$

1) Montrer qu'il existe deux complexes imaginaires purs solutions de «

$P(X)=0$ ».

2) En déduire une factorisation de

$P(X)$ en produit de polynômes du

$2^{nd}$ degré à coefficients réels.

3) Résoudre dans

$\mathbb{C}\ :\ P(X)=0.$

Exercice 84 (1991 $2^{ième}$ groupe)

1) Soit

$(\alpha\;,\ \beta)\in\mathbb{C}^{\ast}\times\mathbb{C}.$

Résoudre dans

$\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue

$z$ :

$\alpha\,z^{2}+(-\beta+\mathrm{i}\alpha)z-\mathrm{i}\beta=0.$

2) Résoudre dans

$\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue

$z$ :

$(m+\ln x)z^{2}+\mathrm{i}[m-\ln x+\mathrm{i}(m+\ln x)]z+\mathrm{i}(m-\ln x)=0$ ,

où

$x\in\mathbb{C}_{+}^{\ast}\text{ et }m\in\mathbb{C}^{\ast}.$

Exercice 85 (1991 Remplacement, $2^{ième}$ groupe)

Résoudre dans le corps des complexes, l'équation :

$z^{3}-(1+\mathrm{i})z^{2}-2(1+\mathrm{i})z+8=0$ , sachant qu'elle a une racine réelle.

Exercice 86 (1991 Remplacement, $2^{ième}$ groupe)

Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ , on considère les points

$A\;,\ B\;,\ C\;,\ D$ d'affixes respectives :

$z_{A}=1+\mathrm{i}\;;\ z_{B}=2-\mathrm{i}\;;\ z_{C}=-3+6\mathrm{i}\;;\ z_{D}=3+4\mathrm{i}.$

1) Déterminer les éléments de la similitude directe

$S$ dans laquelle les points

$A\text{ et }B$ sont transformés respectivement en

$C\text{ et }D.$

2) On considère l'homothétie

$H$ de rapport

$-\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ et de centre le point de coordonnées

$\left(-\dfrac{1}{5}\;,\ -\dfrac{8}{5}\right).$

Déterminer la nature de la transformation

$S\circ H$ et ses éléments caractéristiques.

Exercice 87 (1992 $1^{er}$ groupe)

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal, soit

$M$ le point d'affixe

$z\;,\ A$ celui d'affixe

$\mathrm{i}$ et

$B$ celui d'affixe

$(-\mathrm{i}).$

On pose

$Z=\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}.$

1) a) Déterminer l'ensemble

$D$ des points

$M(z)$ tels que

$z$ soit réel.

b) Déterminer l'ensemble

$C$ des points

$M(z)$ tels que

$z$ soit imaginaire pur.

2) a) Interpréter géométriquement les modules de

$z-\mathrm{i}\text{ et de }z+\mathrm{i}.$

Montrer que

$|Z|=1$ si et seulement si

$z$ est réel.

b) Soit

$n$ un entier naturel non nul et

$\alpha$ un réel de

$\left]0\;,\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$

Déduire de la question précédente que l'équation

$(E)$ :

$\left(\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\right)^{4}=\cos 4\alpha+\mathrm{i}\sin 4\alpha$ n'admet que des solutions réelles.

(On ne demande pas de les calculer).

c) Résoudre l'équation

$Z^{2}=\cos 4\alpha+\mathrm{i}\sin 4\alpha.$

En déduire les solutions de

$(E).$

Exercice 88 (1994 $1^{er}$ groupe)

On considère le nombre complexe

$c=1-\mathrm{i}.$

1) Calculer

$c^{2}\text{ et }c^{5}.$

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, marquer les points qui ont pour affixes

$c\;,\ c^{2}\text{ et }c^{5}.$

2) A tout point

$M$ d'affixe

$z$ du plan, on associe le point

$M'$ d'affixe

$z'$ , avec

$z'=c\,z+c^{5}.$

On définit ainsi une transformation du plan.

Déterminer l'affixe du point

$S$ , invariant par

$T.$

Préciser la nature de la transformation

$T$ et ses éléments caractéristiques.

Exercice 89 (1995 $1^{er}$ groupe)

On considère le polynôme

$P$ , de la variable complexe

$z$ , défini par :

$P(z)=z^{3}+\mathrm{i}\,z^{2}-3 z+5\mathrm{i}.$

1) Calculer

$P(\mathrm{i})$ , puis déterminer toutes les racines de

$P(z).$

On notera

$z_{1}$ la racine dont la partie réelle est négative et

$z_{2}$ l'autre racine.

2) a) Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe

$\dfrac{z_{1}-\mathrm{i}}{z_{2}-\mathrm{i}}.$

b) Dans le plan complexe de repère

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ , on désigne par

$A\;,\ B\text{ et }C$ les images respectives de

$\mathrm{i}\;,\ z_{1}\text{ et }z_{2}.$

Déduire de la question précédente la nature du triangle $ABC.$

Exercice 90 (1995 $2^{ième}$ groupe)

Soit

$(z_{n})\,n\geq 0$ la suite géométrique de premier terme

$z_{0}=1$ et de raison

$q=\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\dfrac{1}{3}\mathrm{i}.$

Le plan est muni d'un repère orthonormal.

On désigne par

$M_{n}$ le point d'affixe

$z_{n}.$

1) Exprimer

$z_{n}$ en fonction de

$n.$

2) Quelle est l'application qui permet de passer de

$M_{n}\text{ à }M_{n+1}$ ?

Placer sur une figure les 6 points

$M_{0}\;,\ M_{1}\;,\ M_{2}\;,\ M_{3}\;,\ M_{4}\;,\ M_{5}.$

(On prendra

$6\;cm$ pour unité graphique).

3) Soit

$(u_{n})\,n\geq 0$ la suite des modules des termes de la suite

$(z_{n})\,n\geq 0$ , c'est-à-dire

$u_{n}=|z_{n}|.$

Étudier le sens de variation et la limite de

$(u_{n}).$

4) Soit

$(\alpha_{n})\,n\geq 0$ définie par :

$\alpha_{n}=arg(z_{n})$ (où arg désigne l'argument principal).

Démontrer que

$(\alpha_{n})$ est une suite périodique.

5) Démontrer que, quel que soit

$n\in\mathbb{N}$ , le triangle

$OM_{n}M_{n+3}$ est rectangle.

Exercice 91 (95, Remplacement)

Soit

$P(z)=z^{3}-(6+2\mathrm{i})z^{2}+(10+4\mathrm{i})z+16+4\mathrm{i}.$

1) Montrer que

$P(z)=0$ admet une solution imaginaire pure, puis résoudre cette équation.

On notera

$z_{0}\;,\ z_{1}\;,\ z_{2}$ les trois solutions avec

$|z_{1}|<|z_{2}|.$

2) Dans le plan complexe de repère orthonormal

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ , placer les points

$A\;,\ B\;,\ C$ d'affixes respectives

$z_{0}\;,\ z_{1}\text{ et }z_{2}$ , puis donner l'affixe du barycentre

$G$ des points pondérés

$(A\;,\ 2)(B\;,\ 1)\text{ et }(C\;,\ 1).$

Exercice 92 (1996, $1^{er}$ groupe)

On considère le polynôme à variables complexes défini par :

$P(z)=z^{3}-2(1+\mathrm{i})z^{2}-2(1-4\mathrm{i})z+4(2+\mathrm{i}).$

1) Montrer que

$p(z)$ admet une racine

$z_{0}$ de la forme

$\mathrm{i}y\left(y\in\mathbb{R}\right)$ que l'on précisera.

2) Déterminer les complexes

$a\text{ et }b$ tels que pour tout

$z\in\mathbb{C}$ ,

$P(z)=(z-2\mathrm{i})(z^{2}+az+b)$ ; puis achever la résolution dans

$\mathbb{C}$ de l'équation

$P(z)=0.$

On désignera par

$z_{1}\text{ et }z_{2}$ les racines autres que

$z_{0}\text{ avec }|z_{1}|>|z_{2}|.$

3) On désigne par

$A\;,\ B\text{ et }C$ les points d'affixes respectives

$z_{0}\;,\ z_{1}\text{ et }z_{2}$ ;

$I$ le point d'affixe 2 et par

$r$ la rotation de centre

$\mathrm{i}$ et d'angle

$\dfrac{\pi}{2}.$

a) Écrire

$\dfrac{z_{1}-z_{0}}{z_{2}-z_{0}}$ sous forme trigonométrique

En déduire une mesure de l'angle

$\left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}\right).$

b) Déterminer l'affixe

$z_{3}$ du point

$D$ image de

$B$ par la rotation

$r.$

c) Montrer que

$A\;,\ B\;,\ C\;,\ D$ sont situés sur un même cercle.

Exercice 93 (1997, Remplacement)

On considère l'équation

$z_{3}=18+26\mathrm{i}$ (1).

1) Montrer que

$z_{0}=3+\mathrm{i}$ est racine de l'équation (1).

2) Montrer que pour toute solution

$z$ de l'équation (1),

$Z=\dfrac{z}{z_{0}}$ est une racine cubique de 1.

3) Résoudre

$Z_{3}=1$ et en déduire toutes les solutions de (1).

Exercice 94 (1998, $1^{er}$ groupe)

1) Résoudre dans

$\mathbb{C}$ les équations suivantes :

$z^{2}-2z+5=0$

$z^{2}-2\left(1+\sqrt{3}\right)z+5+2\sqrt{3}=0$

2) On considère dans le plan de repère orthonormal

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ les points

$A\;,\ B\;,\ C\text{ et }D$ d'affixes respectives :

$Z_{A}=1+2\mathrm{i}$ ;

$Z_{B}=1+\sqrt{3}+\mathrm{i}$ ;

$Z_{C}=1+\sqrt{3}-\mathrm{i}$ ;

$Z_{D}=1-2\mathrm{i}$

a) Placer

$A\;,\ B\;,\ C\text{ et }D$ dans le plan

$(\mathcal{P})$

b) Vérifier que

$\dfrac{Z_{D}-Z_{B}}{Z_{A}-Z_{B}}=\mathrm{i}\sqrt{3}$ , en déduire la nature du triangle

$ABD$

c) Montrer que les points

$A\;,\ B\;,\ C\text{ et }D$ appartiennent à un même cercle,

$(\mathcal{C})$ dont on précisera le centre et le rayon.

3) On considère l'équation

$(E)\ :\ z^{2}-2(1+2\cos\theta)Z+5+4\cos\theta=0\ \theta\text{ est un élément de }\mathbb{R}.$

a) Résoudre

$(E)\text{ dans }\mathbb{C}$

b) Montrer que les points images des solutions de

$(E)$ appartiennent à

$(\mathcal{C}).$

Exercice 95 (1998, Remplacement).

Dans l'ensemble

$\mathbb{C}$ des nombres complexes, on considère l'équation

$(E)$ d'inconnue

$z$ telle que :

$(E)\ :\ \mathrm{i}z^{2}+(1-5\mathrm{i})z+6\mathrm{i}-2=0.$

a) Montrer que cette équation possède une solution réelle notée

$z_{1}.$

Déterminer l'autre solution

$z_{2}\text{ de }(E).$

b) Dans le plan complexe muni du repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{e}_{1}\;,\ \vec{e}_{2})$ , on note

$M_{1}$ le point d'affixe

$z_{1}\text{ et }M_{2}$ le point d'affixe

$z_{2}.$

Déterminer l'affixe du point

$C$ de l'axe

$(O\;,\ \vec{e}_{1})$ équidistant de

$M_{1}\text{ et }M_{2}.$

c) Soit la rotation

$R_{1}$ de centre

$C$ telle que

$R_{1}(M_{1})=M_{2}.$

$\alpha$ ) Déterminer une mesure de l'angle de la rotation

$R_{1}.$

$\beta$ ) Déterminer l'affixe du point

$O'$ image de

$O$ par

$R_{1}.$

d) Soit la rotation

$R_{2}$ de centre O et d'angle orienté

$\theta$ tel que

$Mes\ \theta=\dfrac{\pi}{2}\;rad.$

$\alpha$ ) Quelle est la nature de la composée

$R_{2}\circ R_{1}$ ?

Justifier votre réponse.

$\beta$ ) Soit

$B$ d'affixe

$3\mathrm{i}.$

Déterminer l'image du cercle circonscrit au triangle

$BOC$ par

$R_{2}\circ R_{1}.$

Justifier votre réponse.

Exercice 96 (1999, $2^{ième}$ groupe)

Soit

$\alpha\in\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[\text{ et }f_{\alpha}$ l'application du plan complexe dans lui-même qui, au point

$M$ d'affixe

$z$ associe le point

$M'$ d'affixe

$z'$ définie par :

$z'=(-1+\mathrm{i}\tan\alpha)z-\mathrm{i}\tan\alpha+2$

1) Déterminer le module et un argument du nombre complexe

$-1+\mathrm{i}\tan\alpha.$

2) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de

$f_{\alpha}.$

3) Soit

$h_{\alpha}$ l'homothétie de centre le point

$\Omega$ d'affixe 1 et de rapport

$\dfrac{1}{\cos\alpha}.$

Donner une écriture complexe de la rotation ra telle que :

$f_{\alpha}=r_{\alpha}\circ h_{\alpha}.$

Exercice 97 (1999, Remplacement)

On considère le plan complexe

$\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormal direct

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

1) Résoudre dans

$\mathbb{C}$ l'équation :

$-z^{3}+6z-20\mathrm{i}=0\quad(E)$

sachant qu'elle admet une solution imaginaire pure

$a.$

2) Notons

$b\text{ et }c$ les autres solutions de

$(E)$ ,

$b$ ayant la partie réelle positive et soient

$A\;,\ B\;,\ C$ les points de

$\mathcal{P}$ d'affixes respectives

$a\;,\ b\;,\ c.$

Déterminer le module et un argument de

$\dfrac{b-a}{c-a}.$

En déduire la nature du triangle

$ABC.$

3) Soit

$r$ la rotation de centre

$O$ et d'angle de mesure

$\dfrac{\pi}{3}\;rad\text{ et }f$ l'application qui à tout point

$M\text{ de }\mathcal{P}$ d'affixe

$z\neq\mathrm{i}-\sqrt{3}$ associe le point

$M'$ d'affixe

$z'$ définie par :

$z'=\dfrac{z-2\mathrm{i}}{z+\sqrt{3}+\mathrm{i}}$

a) Donner l'écriture complexe de

$r$ puis l'affixe du point

$A'=r(A).$

b) Déterminer l'ensemble des points

$M\text{ de }\mathcal{P}$ dont les images par

$f$ ont pour affixe un réel négatif.

On notera

$E$ cet ensemble.

c) Déterminer l'ensemble

$F$ des points

$M\text{ de }\mathcal{P}$ dont les images par

$f$ appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1.

Exercice 98 (2000, $1^{er}$ groupe)

On considère les points

$A_{1}\;,\ A_{2},\ A_{3}$ d'affixes respectives :

$Z_{1}=1\;;\ Z_{2}=1+\sqrt{2}+\mathrm{i}\sqrt{2} 2$ ;

$Z_{3}=\dfrac{5+\mathrm{i}\sqrt{3}}{4}$

1) a) Donner une écriture trigonométrique des nombres complexes

$Z_{2}-Z_{1}\text{ et }Z_{3}-Z_{1}$

b) Donner une écriture algébrique et une écriture trigonométrique de

$\dfrac{Z_{3}-Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}}.$

En déduire les valeurs exactes de

$\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\text{ et }\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right).$

2) Soit

$S$ la similitude plane directe transformant

$A_{2}\text{ en }A_{3}\text{ et }A_{1}\text{ en }A_{2}.$

a) Préciser les éléments caractéristiques de

$S.$

b) On désigne d'affixe

$Z'$ , l'image par

$S$ du point

$M$ d'affixe

$Z.$

Exprimer

$Z'$ en fonction de

$Z$ ; en déduire l'image, par

$S$ du point

$B$ d'affixe

$1-4\sqrt{2}\mathrm{e}^{\,-\mathrm{i}\dfrac{\pi}{3}}.$

Exercice 99 (2001, $2^{ième}$ groupe).

1) Factoriser :

$\alpha^{2}-2\mathrm{i}\alpha-1\alpha.$

Résoudre dans

$\mathbb{C}$ l'équation :

$z^{2}-\alpha(\alpha+\mathrm{i})z+\mathrm{i}\alpha^{3}=0.$

2) On note

$r$ le module de

$\alpha\text{ et }\theta$ un de ses arguments.

Calculer le module et un argument de chacune des solutions de

$(E).$

$\mathcal{P}$ désigne le plan complexe ; on note

$S_{\alpha}$ l'application définie sur

$\mathcal{P}$ par :

$\begin{eqnarray} S_{\alpha}\ :\ \mathcal{P} &\rightarrow & \mathcal{P}\nonumber\\ M(z) & \mapsto & M'(z')\nonumber \end{eqnarray}$

tel que :

$z'=\mathrm{i}\alpha z+\alpha^{2}.$

Déterminer

$\alpha$ pour que

$S_{\alpha}$ soit une rotation d'angle

$\dfrac{5\pi}{6}.$

(Bac 2001,

$2^{ième}$ groupe).

Commentaires

Ramatoulaye balde (non vérifié)

dim, 04/25/2021 - 10:22

Permalien

J'ai des difficultés en maths

J'ai des difficultés en maths je suis une élève de terminale s2 j'ai besoin d aide mes vos cours mon permis d améliorer mon niveau je voudrais vous demander si vous n avez pas les corrections des sujets de bac svp

répondre

Anonyme (non vérifié)

ven, 09/22/2023 - 13:13

Permalien

J'apprécie bien vos exercices

répondre

Anonyme (non vérifié)

sam, 08/10/2024 - 21:52

Permalien

Bien

répondre

Ajouter un commentaire

form.antibot { display: none !important; } You must have JavaScript enabled to use this form.

Vous êtes ici

Série d'exercice : Nombres complexes - Ts

Formulaire de recherche

Forme algébrique.Équations

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Exercice 15

Exercice 16

Exercice 17

Exercice 18

Exercice 19

Exercice 20

Exercice 21

Détermination d'ensembles de points

Exercice 22

Exercice 23

Exercice 24

Exercice 25

Exercice 26

Forme trigonométrique et exponentielle

Exercice 27

Exercice 28

Exercice 29

Exercice 30

Exercice 31

Exercice 32

Exercice 33

Exercice 34

Exercice 35

Exercice 36

Exercice 37

Exercice 38

Exercice 39

Exercice 40

Exercice 41

Exercice 42

Exercice 43

Exercice 44

Exercice 45 Calcul de \cos\dfrac{\pi}{5}\cos\dfrac{\pi}{5}

Exercice 46

Exercice 47

Exercice 48

Complexes et suites

Exercice 49

Exercice 50

Exercice 51

Exercice 52

Divers

Exercice 53

Exercice 54

Exercice 55

Exercice 56

Exercice 57

Racines N^{ième}N^{ième} d'un nombre complexe

Exercice 58

Exercice 59

Exercice 60

Exercice 61

Exercice 62

Exercice 63

Exercice 64

Exercice 65

Complexes et transformations

Exercice 66

Exercice 67

Exercice 68

Exercice 69

Exercice 70

Exercice 45 Calcul de $\cos\dfrac{\pi}{5}$

Racines $N^{ième}$ d'un nombre complexe

Exercice 79 (1989 $2^{ième}$ groupe)

Exercice 80 (1989 $2^{ième}$ groupe)

Exercice 81 (1990 $1^{er}$ groupe)

Exercice 82 (1990 $2^{ième}$ groupe)

Exercice 83 (1991 $1^{er}$ groupe)

Exercice 84 (1991 $2^{ième}$ groupe)

Exercice 85 (1991 Remplacement, $2^{ième}$ groupe)

Exercice 86 (1991 Remplacement, $2^{ième}$ groupe)

Exercice 87 (1992 $1^{er}$ groupe)

Exercice 88 (1994 $1^{er}$ groupe)

Exercice 89 (1995 $1^{er}$ groupe)

Exercice 90 (1995 $2^{ième}$ groupe)

Exercice 92 (1996, $1^{er}$ groupe)

Exercice 94 (1998, $1^{er}$ groupe)

Exercice 96 (1999, $2^{ième}$ groupe)

Exercice 98 (2000, $1^{er}$ groupe)

Exercice 99 (2001, $2^{ième}$ groupe).