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Série d'exercice : Nombres complexes - Ts

Classe:

Terminale

Forme algébrique.Équations

Exercice 1

Déterminer la forme cartésienne des nombres complexes suivants :

$z=(1+\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})\qquad \text{b) }z=(2-3\mathrm{i})(3\mathrm{i})$

$z=(2\mathrm{i}+1)(1+\mathrm{i})^{2}(3\mathrm{i}-4)$

$z=(5+4\mathrm{i})(3+7\mathrm{i})(2-3\mathrm{i})$

$z=\dfrac{1-\mathrm{i}}{2\mathrm{i}}\qquad \text{f) }z=\dfrac{3-4\mathrm{i}}{7+5\mathrm{i}}$

$z=\dfrac{(3-2\mathrm{i})(5+\mathrm{i})}{5-\mathrm{i}}$

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants, déterminer la partie réelle, la partie imaginaire et le conjugué du nombre complexe

$z$ :

$z=5+3\mathrm{i} (2+6\mathrm{i})(3\mathrm{i}+4)\qquad 2)\ z=\dfrac{2\mathrm{i}+3}{2+3\mathrm{i}}$

$z=\dfrac{3-5\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}\qquad 4)\ z=\dfrac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$

Exercice 3

Trouver l'ensemble

$(S)$ des points

$M$ dont l'affixe

$z$ vérifie :

$|z-4|=|z+2\mathrm{i}|$

$|z+1+\mathrm{i}|=|z-3|$

$|z-5+3\mathrm{i}|=3$

$|z+5-\mathrm{i}|=|z-4\mathrm{i}|$

Exercice 4

Résoudre dans

$\mathbb{C}$ :

$(2-\mathrm{i})z=2+\mathrm{i}$

$3z-5+2\mathrm{i}z=2\mathrm{i}3z+4\mathrm{i} z$

$\dfrac{(2+\mathrm{i})z}{1-\mathrm{i}}=\dfrac{1-\mathrm{i}}{2+3\mathrm{i}}$

$(2+\mathrm{i}z)(3+\mathrm{i})=(1+3\mathrm{i})(z+2\mathrm{i})$

$(2+3\mathrm{i})z+3(z-\mathrm{i})=2\mathrm{i}+5z$

$\dfrac{1}{z-1}=\dfrac{\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}$

Exercice 5

Résoudre dans

$\mathbb{C}$ les équations suivantes :

$(3-\mathrm{i})\overline{z}=\dfrac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$

$z+\overline{z}+2=0$

$3z+2\mathrm{i}\overline{z}=2+3\mathrm{i}$

$(2+\mathrm{i})z+(1+3\mathrm{i})\overline{z}=1+2\mathrm{i}$

$4 z^{2}+8|z|^{2}-3=0$

$\overline{z}=\dfrac{4}{z}\text{ et représenter graphiquement les solutions.}$

$z^{2}-2\mathrm{i}\overline{z}=0$ ; pour cette question, soit

$O\;,\ A\;,\ B\;,\ C$ les images dans le plan complexe, muni du repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ des solutions obtenues. Montrer que le triangle

$ABC$ est équilatéral.

$(3+\mathrm{i})z+(1-3\mathrm{i})\overline{z}+12-6\mathrm{i}=0.$

(On trouvera une infinité de solutions).

Exercice 6

On pose

$Z=(z-2)(\overline{z}+\mathrm{i}).$

Soit les écritures algébriques

$z=x+\mathrm{i} y$ ;

$x\;,\ y\text{ réels et }Z=X+\mathrm{i}Y\;;\ X\;,\ Y\text{ réels.}$

1) Exprimer

$X\text{ et }Y$ en fonction de

$x\text{ et }y.$

Trouve alors les ensembles suivants :

$E_{1}\ :\text{ ensemble des points }M(z)\text{ tels que }Z\text{ est réel.}$

$E_{2}\ :\text{ ensemble des points }M(z)\text{ tels que }Z\text{ est imaginaire.}$

2) Traduire à l'aide de

$\overline{Z}\text{ que }Z$ est réel, puis que

$Z$ est imaginaire.

Retrouver alors les ensembles

$E_{1}\text{ et }E_{2}.$

Exercice 7

On pose

$Z=z^{2}+2z-3.$

1) Soit

$F_{1}\ :\text{ l'ensemble des points }M(z)\text{ tels que }Z\text{ est réel.}$

Reconnaître

$F_{1}.$

2) Soit

$F_{2}\ :\text{ l'ensemble des points }M(z)\text{ tels que }Z\text{ est imaginaire.}$

Donner une équation de

$F_{2}.$

Exercice 8

$u$ est un nombre complexe donné.

Déterminer l'ensemble des points

$M(z)$ tels que le nombre complexe :

$a=\dfrac{u-\overline{u}z}{1-z}$

soit : a) réel b) imaginaire pur.

Exercice 9

Le but de l'exercice est de résoudre dans

$\mathbb{C}\text{ l'équation }(E)\;,\text{ d'inconnue }z\ :\ P(z)=0\;,\text{ où }:$

$P(z)=2z^{4}-6z^{3}+9z^{2}-6z+2.$

1) Comparer

$\overline{p(z)}\text{ et }P\overline{(z)}.$

(On indiquera avec précision les propriétés utilisées).

Montrer que si

$z_{0}$ est racine de l'équation

$(E)$ , le nombre

$\dfrac{1}{z_{0}}$ est aussi racine de

$(E).$

2) Déduire de ce qui précède que, si

$z_{0}$ est racine de

$(E)$ , il en est de même de

$\overline{z_{0}}\text{ et }\dfrac{1}{\overline{z_{0}}}.$

3) Montrer que l'équation

$(E)$ admet

$1+\mathrm{i}$ pour racine.

Résoudre alors l'équation

$(E).$

Exercice 10

Pour tout nombre complexe

$z\neq 1$ , on pose

$z'=\dfrac{z-1}{\overline{z}-1}$ et on appelle

$A\;,\ B\;,\ M\text{ et }M'$ les points d'affixes

$1\;,\ -1\;,\ z\text{ et }z'$ dans le plan complexe muni du repère

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

1) a) Comparer

$|z-1|\text{ et }|\overline{z}-1|\;,\text{ et en déduire }|z'|.$

b) Traduire géométriquement ce résultat pour le point

$M'.$

2) Calculer en fonction de

$z\text{ et }\overline{z}\text{ le complexe }r=\dfrac{z'+1}{z-1}\text{ et en déduire que }r\text{ est réel.}$

3) Montrer que les vecteurs

$\overrightarrow{AM}\text{ et }\overrightarrow{BM'}$ sont colinéaires.

4) Utiliser ce qui précède pour donner une construction géométrique de

$M'$ connaissant

$M.$

Faire une figure.

Exercice 11

A tout complexe

$z$ , on associe dans le plan les points

$M$ d'affixe

$z$ ,

$M'$ d'affixe

$z+\mathrm{i}$ et

$M''$ d'affixe

$\mathrm{i}z.$

1) Pour quel nombre

$z$ les points

$O\text{ et }M'$ sont-ils confondus ?

Pour quel nombre

$z$ les points

$M'\text{ et }M''$ sont-ils confondus ?

2) a) on suppose que

$z$ est distinct de

$0\;,\text{ de }\mathrm{i}\text{ et de }\dfrac{1-\mathrm{i}}{2}.$

Montrer que les points

$O\;,\ M'\text{ et }M''$ sont alignés si et seulement si

$\dfrac{z+\mathrm{i}}{\mathrm{i}z}$ est un nombre réel.

b) Pour

$z\,\in\;\mathbb{C}^{\ast}\;,\text{ on pose }z=x+\mathrm{i}y\text{ avec }x\text{ et }y\text{ réels.}$

Calculer la partie imaginaire de

$\dfrac{z+\mathrm{i}}{\mathrm{i}z}\text{ en fonction de }x\text{ et de }y.$

3) a) Déterminer et représenter l'ensemble

$\mathbb{C}$ des points

$M$ tels que

$O\;,\ M'\text{ et }M''$ soient deux à deux distincts et alignés.

b) en prenant

$z=\dfrac{1}{4}-\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}\mathrm{i}\;,\text{ placer dans le plan les points }M\;,\ M'\text{ et }M''.$

Exercice 12

Calculer et écrire sous forme algébrique les racines carrées des nombres complexes suivants :

$z_{1}=3+4\mathrm{i}\qquad z_{2}=-8\mathrm{i}$

$z_{3}=7+24\mathrm{i}\qquad z_{4}=8-6\mathrm{i}$

Exercice 13

1) Résoudre dans

$\mathbb{C}\text{ l(équation }z^{2}=5+12\mathrm{i}$

2) En utilisant le 1), résoudre, dans

$\mathbb{C}\;,\text{ l'équation }z^{2}=5-12\mathrm{i}$

$(Indication\ :\ utiliser\ le\ conjugué\ de\ z)$

3) Résoudre alors dans

$\mathbb{C}$ l'équation :

$(z^{2}-5)^{2}+144=0$

Exercice 14

1) Résoudre, dans

$\mathbb{C}\;,\text{ l'équation }z^{2}=7+24\mathrm{i}$

2) Résoudre, dans

$\mathbb{C}\;,\text{ l'équation }z^{4}=7+24\mathrm{i}$

Exercice 15

1) Calculer

$(1+8\mathrm{i})^{2}$

2) Résoudre dans

$\mathbb{C}$ l'équation :

$(2+\mathrm{i})z^{2}-(9+2\mathrm{i})z+5(3-\mathrm{i})=0$

Exercice 16

Résoudre dans

$\mathbb{C}$ :

$z^{2}+(\mathrm{i}-5)z+8\mathrm{i}=0$

$z^{2}3\left(\sqrt{3}+\mathrm{i}\right)z+3\left(2+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)=0$

Exercice 17

Soit

$P$ le polynôme défini par :

$P(z)=z^{3}-(11+2\mathrm{i})z^{2}+2(17+7\mathrm{i})z-42.$

1) Démontrer qu'il existe un nombre réel

$\alpha$ solution de l'équation :

$P(z)=0.$

2) Déterminer le polynôme

$Q$ tel que :

$P(z)=(z-\alpha)\,Q(z)$

3) Résoudre dans

$\mathbb{C}\text{ l'équation : }P(z)=0.$

Exercice 18

Soit

$P$ le polynôme défini par :

$P(z)=z^{3}-2(1+2\mathrm{i})z^{2}+7\mathrm{i}z+3(1-3\mathrm{i}).$

1) Démontrer qu'il existe un imaginaire pur

$\mathrm{i}\,\beta$ solution de l'équation :

$P(z)=0.$

2) Déterminer le polynôme

$Q\text{ tel que : }P(z)=(z-\mathrm{i}\,\beta)\,Q(z)$

3) Résoudre dans

$\mathbb{C}\text{ l'équation : }P(z)=0.$

Exercice 19

Soit

$P$ le polynôme défini par :

$P(z)=z^{4}+(5-2\mathrm{i})z^{3}+2(8-0\mathrm{i})z^{2}+(6-16\mathrm{i})z-12\mathrm{i}.$

1) Vérifier que :

$P(2\mathrm{i})=P(-3)=0.$

2) Déterminer un polynôme

$Q$ du second degré tel que, pour tout nombre complexe

$z\;,\text{ on a : }$

$P(z)=(z^{2}+(3-2\mathrm{i})z-6\mathrm{i})Q(z).$

3) Résoudre dans

$\mathbb{C}\text{ l'équation : }P(z)=0.$

Exercice 20

Soit

$P$ le polynôme défini par :

$P(z)=z^{4}+4z^{3}+9z^{2}+4z+8\;\left(z\,\in\;\mathbb{C}\right).$

1) Comparer

$f\overline{(z)}\text{ et }\overline{f(z)}.$

Calculer

$f(\mathrm{i}).$

En déduire une, puis deux solutions dans

$\mathbb{C}\text{ de l'équation }f(z)=0.$

2) Mettre

$f(z)$ sous la forme d'un produit de deux polynômes du second degré à coefficients réels.

Achever la résolution de l'équation

$f(z)=0$

Exercice 21

Démontrer que, si les nombres complexes

$z_{1}\text{ et }z_{2}$ ont pour module 1, le nombre complexe :

$z=\dfrac{z_{1}+z_{2}}{1+z_{1}z_{2}}\text{ est réel.}$

Détermination d'ensembles de points

Exercice 22

Déterminer et représenter l'ensemble des points

$M$ d'affixe

$z$ telle que :

$(3z+1)(\overline{z}+\mathrm{i})\text{ soit réel}$

$(\overline{z}+2)(z+2\mathrm{i})\text{ soit imaginaire pur}$

$z+\overline{z}=|z|$

$(2z+\mathrm{i})(\overline{z}-2)\text{ soit réel}$

$\dfrac{2-z}{\mathrm{i}+z}\text{ soit imaginaire pur}$

$\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+1}\text{ soit un réel strictement positif}$

$Z=\dfrac{z+2-\mathrm{i}}{z-3+\mathrm{i}}\text{Soit imaginaire pur avec }\Im(Z) \leq 0$

Exercice 23

Soit

$P$ un plan rapporté à un repère orthonormal

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

1) Démontrer que l'ensemble

$\mathbb{D}$ des points

$M\text{ de }P$ d'affixe

$z$ telle que :

$|z-1-2\mathrm{i}|=|z-7+2\mathrm{i}|$

est une droite dont on donnera une équation cartésienne.

2) En considérant les points

$A\text{ et }B$ d'affixes respectives

$1+2\mathrm{i}\text{ et }7+2\mathrm{i}$ , retrouver géométriquement le résultat de la question 1).

Exercice 24

Déterminer l'ensemble des points

$M$ d'affixe

$z$ qui sont alignés avec les points d'affixe

$\mathrm{i}\text{ et }\mathrm{i}z.$

Exercice 25

On considère le plan complexe

$P.$

1) Déterminer et représenter l'ensemble

$\mathbb{C}$ des points

$M$ d'affixe

$z$ telle que :

$(z-2\mathrm{i})(\overline{z}-1)\text{ soit un imaginaire pur.}$

2) Déterminer et représenter l'ensemble

$E$ des points

$M(z)$ telle que :

$(z-2\mathrm{i})(\overline{z}-1)\text{ soit un nombre réel positif.}$

Exercice 26

On note

$M$ le point d'affixe

$z=x+\mathrm{i}y.$

Soit

$u=z^{2}+\overline{z}+1\text{ et }v=z(\overline{z}+1).$

1) Calculer

$\Re(u)\;,\ \Im(u)\;,\ \Re(v)\text{ et }\Im(v)\text{ en fonction de }x\text{ et }y.$

2) Déterminer et représenter l'ensemble des points

$M$ du plan tels que :

$\Im(u)=\Im(v).$

3) Déterminer et représenter l'ensemble des points

$M$ du plan tels que :

$\Re(u)=\Re(v).$

4) Résoudre l'équation d'inconnue

$z\ :\ u=v.$

Forme trigonométrique et exponentielle

Exercice 27

Donner une forme trigonométrique puis exponentielle des nombres complexes suivants :

$1)\ \dfrac{1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{9\mathrm{i}}\qquad 2)\ \dfrac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$

$3)\ \dfrac{12}{\mathrm{i}}\qquad 4)\ \dfrac{\sqrt{6}+\mathrm{i}\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\mathrm{i}\sqrt{2}}$

$5)\ \left(\sqrt{6}-\mathrm{i}\sqrt{2}\right)^{4}$

$6)\ (3\mathrm{i})^{6}\qquad 7)\ \left(\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)^{8}$

$8)\ (1-\mathrm{i})^{18}\qquad 9)\ \dfrac{(1-\mathrm{i})^{3}}{\left(\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)^{2}}$

Exercice 28

1) a) Déterminer une forme trigonométrique et la forme algébrique de

$\dfrac{3+3\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}$

b) En déduire les valeurs exactes de

$\cos\dfrac{\pi}{12}\text{ et }\sin\dfrac{\pi}{12}.$

2) Déterminer de même les valeurs exactes de

$\cos\dfrac{5\pi}{12}\text{ et }\sin\dfrac{5\pi}{12}\text{ à l'aide de }\dfrac{\sqrt{3}+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$

Exercice 29

Soit

$z=\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\mathrm{i}}{2}\right)^{4}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$

1) Déterminer

$\Re(z)\text{ et }\Im(z).$

2) Déterminer

$|z|\text{ et }\arg(z).$

3) Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de

$\cos\dfrac{11\pi}{12}\text{ et }\sin\dfrac{11\pi}{12}.$

Exercice 30

Exprimer en fonction de

$\cos\theta\text{ et }\sin\theta$ :

$\cos 3\theta\text{ et }\sin 3\theta$

$\cos 4\theta\text{ et }\sin 4\theta$

$\cos 5\theta\text{ et }\sin 5\theta$

Exercice 31

Linéariser :

$\cos^{3} \theta\qquad \text{b) }\sin^{4}\theta\qquad \text{c) }\cos^{4}\theta$

$\cos^{3}\theta\,\sin\theta\qquad \text{e) }\sin^{3}\theta\,\cos\theta\qquad \text{f) }\sin^{4}\theta\,\cos^{2}\theta$

Exercice 32

Soit

$\theta\,\in\,\left]0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[\text{ et les complexes}$

$z_{1}=1+\cos 2\theta+\mathrm{i}\sin 2\theta\text{ et }z_{2}=1+\cos 2\theta\mathrm{i}\sin 2\theta.$

Déterminer en fonction de

$\theta$ le module et un argument de

$z_{1}\text{ et }z_{2}.$

Exercice 33

1) Donner un argument de chacun des complexes suivants :

$z_{1}=\cos\theta\mathrm{i}\sin\theta$ ;

$z_{2}=\sin \theta+\mathrm{i}\cos\theta$ ;

$z_{3}=\sin\theta+\mathrm{i}\cos\theta$ ;

$z_{4}=\sin\theta\mathrm{i}\cos\theta\text{ et }z_{5}=\cos\theta\mathrm{i}\sin\theta.$

2) Dans le plan muni d'un repère orthonormal

$(O\;,\ \vec{e}_{1}\;,\ \vec{e}_{2})$ , placer le point

$M_{0}$ d'affixe

$\cos\theta+\mathrm{i}$

$\sin\theta\left(\text{ prendre }\theta\text{ tel que }0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)$ et les points

$M_{1}\;,\ M_{2}\;,\ M_{3}\;,\ M_{4}\;,\ M_{5}$ d'affixes respectives

$z_{1}\;,\ z_{2}\;,\ z_{3}\;,\ z_{4}\;,\ z_{5}.$

Exercice 34

Soit

$z=\cos\alpha+\mathrm{i}\sin\alpha\left(\text{ avec }\alpha\in\,\;\mathbb{R}\right).$

1) Mettre sous la forme la plus simple

$\dfrac{1}{z}.$

2) Calculer

$z^{n}+\dfrac{1}{z^{n}}\left(\text{ avec }n\,\in\,\mathbb{C}^{\ast}\right).$

3) Développer le complexe

$\left(z+\dfrac{1}{z}\right)^{4}$ et en déduire une linéarisation de

$\cos^{4}\alpha.$

Exercice 35

Déterminer et construire l'ensemble des points

$M(z)$ tels que :

$\dfrac{z-\mathrm{i}}{z-1}\text{ soit réel.}$

$\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\text{ soit imaginaire pur}$

$\left|\dfrac{z-1+\mathrm{i}}{z+3}\right|=1$

$arg\,\left(\dfrac{z-2+\mathrm{i}}{z-3+\mathrm{i}}\right)=\dfrac{\pi}{2}\,(2\pi)$

$arg\,\left(\dfrac{z-1+2\mathrm{i}}{z-3+\mathrm{i}}\right)=\pi\,(2\pi)$

$\dfrac{z-2\mathrm{i}}{z+2\mathrm{i}}\text{ soit un réel strictement positif}$

$arg\,(z-\mathrm{i})=arg\,(z+1)+k\pi$

$arg\,(z-\mathrm{i})=\dfrac{\pi}{2}+arg\,(z+1)+2k\pi$

$\left|\dfrac{z-\mathrm{i}}{z-4}\right|=2.$

Exercice 36

Soit

$f$ l'application de

$\mathbb{C}\setminus {2\mathrm{i}}\text{ dans }\mathbb{C}\text{ définie par : }$

$f(z)=\dfrac{z+2\mathrm{i}}{z-2\mathrm{i}}.$

On pose

$Z=f(z).$

1) Soit

$A(2\mathrm{i})\text{ et }B(2\mathrm{i}).$

Déterminer et construire l'ensemble

$\mathcal{D}$ des points

$M$ d'affixe

$z$ tels que

$|Z|=1.$

2) On rappelle que :

$\forall\;z\,\in\,\mathcal{C}\;,\ |Z|^{2}=Z\overline{z}.$

Déterminer et construire l'ensemble des points

$M(z)\text{ tels que }Z\,\in\mathrm{i}\mathbb{R}.$

Exercice 37

Pour tout complexe

$z=x+\mathrm{i}y\text{ avec }x\;,\ y\in\,\mathbb{R}\text{ et }(x\;,\ y)\neq (1\;,\ 0)$ , on considère le complexe

$u$ défini par

$u=\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+1}.$

1) On note

$u=X+\mathrm{i}Y\text{ avec }X\;,\ Y\in\,\mathbb{R}.$

Exprimer

$X\text{ et }Y$ en fonction de

$x\text{ et }y.$

2) Déterminer les ensembles

$E_{1}\;,\ E_{2}\text{ et }E_{3}$ définis respectivement par :

$E_{1}\ :$ ensemble des points

$M(z)$ du plan tels que

$u$ soit imaginaire pur ;

$E_{2}\ :$ ensemble des points

$M(z)$ du plan tels que

$u$ soit réel ;

$E_{3}\ :$ ensemble des points

$M(z)$ du plan tels que

$u$ soit réel et strictement positif ;

3) Représenter

$E_{1}\;,\ E_{2}\text{ et }E_{3}.$

Exercice 38

Soit

$\begin{eqnarray} f\ :\ \mathcal{P}&\rightarrow &\mathcal{P}\nonumber \\ M(z=x+\mathrm{i}y)&\mapsto & M'(z')\nonumber \end{eqnarray}$

avec

$z'=\dfrac{z-1}{z+1}.$

1) Déterminer l'ensemble

$\mathcal{C}_{1}$ des points

$M\text{ de }\mathcal{P}$ pour lesquels l'affixe de l'image

$M'$ est un imaginaire pur.

2) Déterminer l'ensemble

$\mathcal{C}_{2}$ des points

$M\text{ de }\mathcal{P}$ tels que leur image

$M'\text{ par }f$ appartient au cercle de centre

$O$ et de rayon

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Exercice 39

Soit

$f$ l'application de

$\mathcal{C}\setminus\mathrm{i}\text{ dans }\mathcal{C}$ définie par :

$f(z)=\dfrac{z-\mathrm{i}}{\mathrm{i}z+1}.$

On pose

$Z=f(z).$

1) Soit

$A(\mathrm{i})\;,\ B(\mathrm{i})\text{ et }M(z).$

Interpréter géométriquement

$|Z|\text{ et }arg(Z).$

Déterminer de deux façons (algébriquement et géométriquement) les ensembles

$E_{1}=\left\lbrace M(z)/Z\,\in\,\mathbb{R}\right\rbrace$ et

$E_{2}=\left\lbrace M(z)/Z\,\in\,\mathrm{i}\,\mathbb{R}\right\rbrace.$

Construire

$E_{1}\text{ et }E_{2}.$

Exercice 40

Dans le plan complexe

$\mathcal{P}$ rapporté à un repère orthonormé direct

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ , on considère les points :

$A(-\mathrm{i})\;,\ B(2\mathrm{i})$ et l'application :

$\begin{eqnarray} f\ :\ \mathcal{P}\setminus{A}&\rightarrow &\mathcal{P}\nonumber\\ M(z)&\mapsto &\mathrm{i}\dfrac{z-2\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\nonumber \end{eqnarray}$

1) a) Soient

$M_{1}(\mathrm{i})\text{ et }M_{2}\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{\mathrm{i}}{2}\right)$ ; déterminer

$f(M_{1})\text{ et }f(M_{2}).$

b) Déterminer le point

$M\text{ de }\mathcal{P}\setminus{A}\text{ tel que }f(M)=O$ et le point

$Q\text{ tel que }f(Q)=N\text{ si }N$ est le point d'affixe

$2―\mathrm{i}.$

2) Déterminer et construire :

a) L'ensemble

$\mathcal{E}\text{ des points }M\text{ de }\mathcal{P}\setminus{A}$ dont les images ont pour affixe un imaginaire pur ;

b) L'ensemble

$\mathcal{F}\text{ des points }M\text{ de }\mathcal{P}\setminus{A}$ dont les images ont pour affixe un réel.

c) L'ensemble

$\mathcal{G}\text{ des points }M\text{ de }\mathcal{P}\setminus{A}$ dont les images appartiennent au cercle

$\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1.

Exercice 41

Soit

$f$ l'application définie sur

$\mathcal{C}\setminus{2\mathrm{i}}$ par

$f(z)=\dfrac{z+\mathrm{i}}{z-2\mathrm{i}}.$

1) Soit

$z\,\in\,\mathcal{C}\setminus{2\mathrm{i}}.$

On pose

$z-2\mathrm{i}=\rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\text{ avec }\rho>0\text{ et }\theta\,\in\,\mathbb{R}.$

Écrire

$f(z)-1$ sous forme exponentielle à l'aide de

$\rho\text{ et }\theta.$

2) Soit

$A$ le point d'affixe

$2\mathrm{i}.$

a) Déterminer l'ensemble

$E_{1}\text{ des points }M\text{ d'affixe }z\text{ vérifiant }|f(z)-1|=3.$

b) Déterminer l'ensemble

$E_{2}\text{ des points }M\text{ d'affixe }z\text{ tels que }\dfrac{\pi}{4}$ soit un argument de

$f(z)-1.$

c) Représenter les ensembles

$E_{1}\text{ et }E_{2}.$

Exercice 42

1) a) Résoudre dans

$\mathcal{C}$ l'équation

$z^{2}-2z+4=0.$

On désigne par

$z_{1}$ la solution de partie imaginaire positive et par

$z_{2}$ l'autre solution.

b) Donner un argument et le module de chacune des solutions

$z_{1}\text{ et }z_{2}.$

En déduire le module et un argument des complexes

$z_{1}^{2}\text{ et }z_{2}^{2}$ , puis écrire ces 2 nombres sous forme algébrique.

2) a) Placer dans le plan les points

$A\;,\ B\;,\ A'\text{ et }B'$ d'affixes respectives

$1+\mathrm{i}\sqrt{3}\;,\ 1-\mathrm{i}\sqrt{3}\;,\ 2+2\mathrm{i}\sqrt{3}\text{ et }2+2\mathrm{i}\sqrt{3}.$

b) Déterminer la nature du quadrilatère

$AA'BB'.$

c) Montrer que le triangle

$AA'B'$ est rectangle et qu'il en est de même du triangle

$BB'A'$

En déduire que les 4 points

$A\;,\ A'\;,\ B\text{ et }B'$ sont sur un même cercle dont on déterminera le centre

$\Omega$ et le rayon

$r.$

Exercice 43

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

Soit

$f$ l'application de

$\mathcal{C}\setminus{1}\text{ dans }\mathcal{C}$ définie par :

$f(z)=\dfrac{2-\mathrm{i}z}{1-z}.$

1) Déterminer le module et un argument de

$f(z).$

Pour quelles valeurs de l'entier naturel

$k$ le nombre

$[f(2)]^{k}$ est-il réel ?

2) On pose

$z'=f(z).$

a) Exprimer

$z$ en fonction de

$z'.$

b) Soient

$M$ le point d'affixe

$z(z\neq 1)\text{ et }M'$ le point d'affixe

$z'.$

Montrer que

$OM=\dfrac{M'A}{M'B}\text{ où }A\text{ et }B$ sont des points dont on donnera les affixes.

c) Soit

$\mathcal{C}$ l'ensemble des points

$M$ du plan pour lesquels

$|z|=1\text{ et }z\neq 1.$

Montrer que si

$M$ appartient à

$\mathcal{C}$ ,

$M'$ appartient à une droite

$\mathcal{D}$ que l'on pourra définir géométriquement.

Tracer $\mathcal{C}\text{ et }\mathcal{D}$ sur une même figure.

Exercice 44

1) Écrire sous forme trigonométrique le complexe

$1+\mathrm{i}.$

2) On pose

$z=\rho\,\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\theta}\text{ avec }\rho\,\in\,]0\;;\ +\infty[\text{ et }\theta\,\in\,[0\;;\ 2\pi[.$

a) Calculer

$z^{2}\text{ et }(1+\mathrm{i})\overline{z}\text{ en fonction de }\rho\text{ et }\theta.$

b) En déduire la valeur

$r\text{ de }\rho$ pour laquelle on a l'égalité :

$z^{2}=(1+\mathrm{i})\overline{z}\qquad (1).$

2) Déterminer les valeurs

$\theta_{0}\;,\ \theta_{1}\text{ et }\theta_{2}\text{ de }\theta\text{ telles que }z=r\,\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\theta}\text{ vérifie l'égalité}\quad(1).$

On note respectivement

$z_{0}\;,\ z_{1}\text{ et }z_{2}$ les nombres complexes de module

$r$ et d'arguments

$\theta_{0}\;,\ \theta_{1}\text{ et }\theta_{2}.$

3) Soient

$A_{1}\text{ et }A_{2}$ les points d'affixe respectives

$z_{1}\;,\ z_{2}\text{ et }z_{2}\;,\ z_{0}$ dans le plan complexe, et

$O$ le point d'affixe nulle.

Calculer sous forme trigonométrique le nombre complexe

$\dfrac{z_{2}-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}$

En déduire la nature du triangle

$OA_{1}A_{2}.$

Exercice 45 Calcul de $\cos\dfrac{\pi}{5}$

Au nombre complexe

$z$ , on associe le nombre complexe

$Z=1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}.$

1) a) Vérifier que si

$z\neq 1\;,\text{ alors }Z=\dfrac{1-z^{5}}{1-z}.$

b) On pose

$z=\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\dfrac{2\pi}{5}}$ ; calculer

$Z.$

En déduire la valeur de :

$S=1+\cos\dfrac{2\pi}{5}+\cos\dfrac{4\pi}{5}+\cos\dfrac{6\pi}{5}+\cos\dfrac{8\pi}{5}.$

2) Montrer que :

$\cos\dfrac{2\pi}{5}+\cos\dfrac{8\pi}{5}=4\cos^{2}\left(\dfrac{\pi}{5}\right)-2.$

$\left(\text{Indication : }remarquer\ que\ :\ \dfrac{8\pi}{5}=2\pi-\dfrac{2\pi}{5}\text{ et }\dfrac{6\pi}{5}=2\pi-\dfrac{4\pi}{5}\right)$

$Utiliser\ ces\ égalités\ et\ la\ valeur\ trouvée\ pour\ S\ au\ 1)\;b)\ pour\ calculer\ \cos\dfrac{\pi}{5}.$

Exercice 46

Soit

$z=1+\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\theta}\;,\text{ où }\theta\,\in\,]\pi\;;\ \pi[.$

1) Déterminer le module

$r$ et un argument

$\varphi\text{ de }z$

$\left(\text{on pourra factoriser par }\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\dfrac{\theta}{2}}\right)$

2) Calculer

$z^{4}$ à partir de l'écriture :

$z=1+\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\theta}\qquad \text{b) }z=r\,\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\varphi}.$

3) Établir la relation :

$\cos^{4}\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{8}\cos\,2\theta+\dfrac{1}{2}\cos\theta+\dfrac{3}{8}.$

Exercice 47

Le plan

$\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal direct

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})(\text{unité : }4\;cm).$

On désigne par

$A$ le point d'affixe 1 et par

$\mathcal{P'}\text{ le plan }\mathcal{P}\text{ privé de }A.$

Soit

$f\text{ l'application de }\mathcal{P'}\text{ dans }\mathcal{P}$ qui, à tout point

$M$ d'affixe

$z$ associe le point

$M'=f(z)$ d'affixe

$Z$ telle que :

$Z=\dfrac{z-2}{z-1}.$

1) Soit

$B$ le point d'affixe

$\dfrac{1}{2}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Déterminer

$B'=f(B).$

2) Déterminer les points

$I\text{ et }J$ invariants par

$f.$

On notera

$I$ celui d'ordonnée positive.

3) a) Exprimer en fonction de

$z$ les affixes des vecteurs

$\overrightarrow{AM}\text{ et }\overrightarrow{AM'}.$

b) Déduire du a) une relation entre

$AM'\text{ et }AM$ et prouver que l'image du cercle

$\mathcal{C}$ de centre

$A$ et de rayon 1 est le cercle

$\mathcal{C}.$

Vérifier que $B\;\in\;\mathcal{C}.$

c) Tracer

$\mathcal{C}$ et placer les points

$B\;,\ B'\;,\ I\text{ et }J$ sur la figure.

Exercice 48

Le plan

$\mathcal{P}$ complexe est rapporté à un repère orthonormé direct

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

Soit

$f$ l'application qui, à tout point

$M$ d'affixe

$z$ associe le point

$M'$ d'affixe

$z'$ telle que :

$z'=\dfrac{1}{z}.$

On appelle

$\mathcal{C}$ le cercle de centre

$O$ et de rayon 1.

1) Placer sur une figure le point

$B$ d'affixe

$w=\dfrac{1}{2}(1+\mathrm{i})$ et son image

$B'\text{ par }f(\text{ Unité : }4\;cm).$

Donner le module et un argument de chacun des complexes

$w\text{ et }w'.$

2) Soit

$z\,\in\;\mathcal{C}^{\ast}.$

Comparer les modules et les arguments de

$z\text{ et }z'.$

3) Quel est l'ensemble des points

$M$ pour lesquels

$M\text{ et }M'$ sont symétriques par rapport à l'axe

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ ?

4) Soit

$M$ un point de la droite

$\mathcal{D}$ d'équation

$x=\dfrac{1}{2}.$

Montrer que son affixe z vérifie :

$|1─z|=|z|.$

Complexes et suites

Exercice 49

On définit les nombres complexes

$Z_{n}$ de la manière suivante :

$Z_{0}=1$ et, pour

$n$ entier supérieur ou égal à

$1\;,\ Z_{n}+1=\dfrac{1}{3}Z_{n}+\dfrac{2}{3}\mathrm{i}.$

1) Pour tout entier

$n$ , on pose

$u_{n}=Z_{n}+\mathrm{i}.$

a) Calculer

$u_{n+1}$ en fonction de

$u_{n}.$

b) Montrer par récurrence que, pour tout entier

$n\;,\ u_{n}=(1+\mathrm{i})\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}.$

2) a) Exprimer en fonction de

$n$ la partie réelle

$x_{n}$ et la partie imaginaire

$y_{n}$ de

$u_{n}.$

Calculer les limites des suites

$(x_{n})\text{ et }(y_{n}).$

On note

$A_{n}$ le point du plan complexe d'affixe

$u_{n}\text{ et }B_{n}$ le point d'affixe

$Z_{n}.$

b) Calculer le module et l'argument de

$u_{n}.$

Montrer que les points

$A_{n}$ sont alignés, ainsi que les points

$B_{n}.$

Exercice 50

1) Résoudre dans

$\mathcal{C}^{2}$ le système :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} z_{1}z_{2}&=&\dfrac{1}{2}\\ \\ z_{1}+2z_{2}&=&\sqrt{3} \end{array}\right.$

Donner les solutions sous forme trigonométrique.

2) On donne :

$S_{1}=1+\cos\theta+\cos 2\theta+\cdots+\cos n\theta$ et

$S_{2}=\sin \theta+\sin 2\theta+\cdots+\sin n\theta.$

a) Montrer que si

$\theta\neq 2k\pi\;,\ \left( k\,\in\;\mathbb{Z}\right)\;,\text{ alors }S=S_{1}+\mathrm{i}S_{2}=\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}(n+1)\theta}-1}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}-1}$

b) En déduire que

$S=\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\dfrac{n\theta}{2}}\dfrac{\sin\left(\dfrac{n+1}{2}\theta\right)}{\sin\dfrac{\theta}{2}}$

puis les valeurs de

$S_{1}\text{ et }S_{2}.$

Exercice 51

On veut déterminer trois nombres complexes

$z_{1}\;,\ z_{2}\text{ et }z_{3}$ tels que leurs modules forment une progression géométrique de raison 2, et leurs arguments une progression arithmétique de raison

$\dfrac{2\pi}{3}.$

Déterminer

$z_{1}\;,\ z_{2}\;,\ z_{3}$ sachant que

$z_{1}\times z_{2}\times z_{3}=4\left(1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)$ et qu'un argument de

$z_{1}$ appartient à

$\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$

Donner les résultats sous forme trigonométrique.

Exercice 52

Soit

$(U_{n})\,n\,\in\,\mathbb{N}$ la suite géométrique de premier terme

$U_{0}=4\;,\text{ de raison }\dfrac{1}{2}.$

Soit

$(V_{n})\,n\,\in\,\mathbb{N}$ la suite arithmétique de premier terme

$V_{0}=\dfrac{\pi}{4}\;,\text{ de raison }\dfrac{\pi}{2}.$

Pour tout entier naturel

$n$ , on note

$z_{n}$ le nombre complexe de module

$U_{n}$ et dont un argument est

$v_{n}.$

1) a) Exprimer

$U_{n}\text{ et }V_{n}\text{ en fonction de }n.$

b) En déduire

$z_{n}.$

2) Démontrer que

$(z_{n})$ est une suite géométrique de raison

$\dfrac{1}{2}\mathrm{i}$ et de premier terme

$z_{0}=2\sqrt{2}+\mathrm{i}2\sqrt{2}.$

3) Soit

$(\mathcal{P})$ le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})\text{ et }M_{n}$ le point d'affixe

$z_{n}.$

a) Déterminer la nature de la transformation

$F$ qui au point

$M_{n}$ associe le point

$M_{n+1}$ d'affixe

$z_{n+1}.$

b) Donner ses éléments caractéristiques.

4) Pour tout entier naturel

$n$ , on pose

$Z_{n}=z_{0}z_{1}z_{2}\cdots z_{n}.$

a) Exprimer en fonction de

$n$ un argument de

$Z_{n}.$

b) Démontrer que si

$n$ est impair, alors

$Z_{n}$ est réel.

Divers

Exercice 53

1) Résoudre , dans

$\mathcal{C}$ , l'équation :

$(\sin^{2}\alpha)z^{2}+(\sin 2\alpha)z+1+\cos^{2}\alpha=0$ ,

où

$\alpha$ désigne un paramètre réel compris strictement entre

$0\text{ et }\pi.$

On appellera

$z'\text{ et }z''$ les solutions de cette équation.

2) Vérifier que

$z'^{2}+z''^{2}$ est un réel indépendant de

$\alpha.$

3) Dans un plan rapporté à un repère orthonormal, on considère les points

$M'\text{ et }M''$ d'affixes respectives

$z'\text{ et }z''.$

Déterminer

$\alpha$ de façon que :

$\left\lbrace\begin{array}{lllll} \dfrac{\pi}{2}&< &\alpha&< &\pi\\ \\ \mathrm{d}(M'\;,\ M'')&=&||\overrightarrow{M'M''}||&=&2\sqrt{2} \end{array}\right.$

Exercice 54

Soit

$(E)$ :

$z^{4}-4(\cos a\cos b)z^{3}+2(1+\cos 2a+\cos 2b)z^{2}-4(\cos a\cos b)z+1=0$ , où

$a\text{ et }b$ sont des réels donnés.

1) Démontrer qu'en posant

$u=z+\dfrac{1}{z}$ , on peut ramener la résolution de

$(E)$ à celle de deux équations du second degré.

2) Résoudre

$(E)$ en donnant en fonction de

$a\text{ et }b$ une forme trigonométrique de chacune des solutions.

Exercice 55

$\mathcal{P}$ est un plan euclidien muni d'un repère orthonormal.

Soit

$M$ l'image du complexe

$z$ ,

$A$ l'image du complexe

$\mathrm{i}$ , et

$B$ l'image du complexe

$(-\mathrm{i}).$

1) Interpréter géométriquement le module de

$z-\mathrm{i}\text{ et de }z+\mathrm{i}.$

Montrer que

$\left|\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\right|=1$ si et seulement si

$z$ est un nombre réel.

2) Soit

$n$ un entier naturel non nul. Soit

$\varphi$ un nombre réel.

Déduire de la question précédente que les solutions dans

$\mathbb{C}$ de l'équation

$\left(\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\right)^{n}=\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi$

sont toutes réelles.

$(On\ ne\ demande\ pas\ de\ les\ calculer).$

3) On pose

$n=2\text{ et }\varphi=4\alpha\text{ avec }\alpha\;\in\;\left]0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$

Résoudre dans

$\mathbb{C}$ l'équation :

$Z^{2}=\cos 4\alpha+\mathrm{i}\sin 4\alpha.$

En déduire les solutions de l'équation

$\left(\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\right)^{2}=\cos 4\alpha+\mathrm{i}\sin\alpha.$

Indiquer le signe des solutions.

Exercice 56

$\theta\;\in\;[0\;;\ 2\pi[.$ Résoudre dans

$\mathbb{C}$ l'équation :

$z^{2}-(2^{\theta+1}\cos \theta)z+2^{2\theta}=0\quad(1).$

Donner les solutions sous forme exponentielle.

2) On considère les points

$A\;,\ B$ d'affixes les solutions de (1).

Déterminer

$\theta$ pour que

$OAB$ soit équilatéral dans un repère orthonormé direct

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Exercice 57

Écrire sous forme exponentielle les racines cubiques de

$a=16(1-\mathrm{i}).$

2) Pour

$\lambda\;\in\;\mathbb{R}$ , on pose

$z_{\lambda}=1+\mathrm{i}+2\sqrt{2}\mathrm{e}^{\lambda}=x_{\lambda}+\mathrm{i}y_{\lambda}.$

a) Déterminer

$x_{\lambda}\text{ et }y_{\lambda}\text{ en fonction de }\lambda.$

b) Déterminer l'ensemble

$\mathcal{C}$ des points

$M(x_{\lambda}\;,\ y_{\lambda})\text{ quand }\lambda\text{ décrit }[0\;;\ 2\pi[.$

3) Montrer que les solutions de l'équation

$(z-(1-\mathrm{i}))^{3}=a$ sont des affixes de points de

$\mathcal{C}.$

Racines $N^{ième}$ d'un nombre complexe

Exercice 58

Résoudre dans

$\mathbb{C}$ les équations suivantes :

$z^{2}=-5+12\mathrm{i}\qquad 2)\ z^{3}=1+\mathrm{i}$

$\left(\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\right)^{3}+\left(\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\right)^{2}+\left(\dfrac{z-\mathrm{i}t}{z+\mathrm{i}}\right)+1=0$

Exercice 59

1) Calculer sous forme exponentielle puis sous forme algébrique les solutions de l'équation :

$z^{4}=1$

a) Placer leurs images dans le plan complexe.

Vérifier que leur somme est nulle.

2) Mêmes questions avec

$z^{8}=1.$

Exercice 60

Résoudre dans

$\mathbb{C}$ :

$z^{4}=16\mathrm{i}$

$z^{6}=8\mathrm{i}.$

(On indiquera les solutions sous forme exponentielle).

Exercice 61

1) a) Calculer

$\left(\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)^{4}.$

b) Soit l'équation

$z^{4}=\dfrac{73}{16}-\dfrac{11\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}.$

Indiquer les solutions sous leur forme algébrique.

2) Calculer

$(2-\mathrm{i})^{3}$ puis donner les racines cubiques du complexes

$z=2-11\mathrm{i}.$

Exercice 62

1) Résoudre l'équation

$z^{5}=1\text{ dans }\mathbb{C}.$

2) En déduire les solutions de l'équation

$z^{5}=-4-4\mathrm{i}\text{( N.B. On vérifiera d’abord que }1+\mathrm{i}\text{ est solution)}$ et construire les images des solutions dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct.

Exercice 63

1) Résoudre dans

$\mathbb{C}$ l'équation

$z^{4}=1.$

2) Calculer

$(1-2\mathrm{i})^{4}$ puis en utilisant la question 1), en déduire les solutions de l'équation

$z^{4}=-7+24\mathrm{i}.$

3) Résoudre dans

$\mathbb{C}$ :

$(2z-1)^{4}=z^{4}$

$\left(Indication\ :\ poser\ Z=\dfrac{2z-1}{z}\right).$

Exercice 64

1) Déterminer les complexes solutions de l'équation

$z^{4}=1.$

2) Déterminer sous forme trigonométrique les solutions de l'équation

$z^{4}=8\left(1-\mathrm{i}\sqrt{3}\right).$

3) Soit

$a=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}.$

Vérifier que

$a^{4}=8\left(1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right).$ En déduire sous forme algébrique les résultats de 2).

4) Des questions 2) et 3), déduire les valeurs exactes de

$\cos\dfrac{11\pi}{12}\text{ et }\sin\dfrac{11\pi}{12}.$

Exercice 65

Soit

$(z_{n})\,n\;\in\;\mathbb{N}$ la suite de nombres complexes définie par la donnée de

$z_{0}$ avec

$z_{0}=2\sqrt{2}(-1+\mathrm{i})$ et les conditions suivantes :

$\forall\;\in\;\mathbb{N}$ ,

$arg(z_{n+1})\;\in\;\left[\dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\right]\text{ et }(z_{n+1})^{4}=z_{n}.$

1) Déterminer le module et un argument de

$z_{1}.$

2) On pose

$r_{n}=|z_{n}|\text{ et }v_{n}=\ln\,r_{n}.$

Montrer que

$(v_{n})\,n\;\in\;\mathbb{N}$ est une suite géométrique.

Complexes et transformations

Dans cette section,

$\mathcal{P}$ désigne le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct

$(O,\;\ \vec{i}\;;\ \vec{j})$

Exercice 66

Déterminer, dans chacun des cas suivants la nature de la transformation plane

$\begin{eqnarray} F\ :\ P&\rightarrow &\nonumber\\ P M(z)&\mapsto & M'(z')\end{eqnarray}$ associée à la fonction

$\begin{eqnarray} f\ :\ \mathbb{C}&\rightarrow & \mathbb{C}\nonumber\\ z&\mapsto & z'.\end{eqnarray}$

$f(z)=z+2-3\mathrm{i}$

$f(z)=-z+2\mathrm{i}$

$f(z)=-3z+4-8\mathrm{i}$

$f(z=\mathrm{i}z+2-\mathrm{i}$

$f(z)=\dfrac{\sqrt{3}-\mathrm{i}}{2}z$

$f(z)=\dfrac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}}z+1-\mathrm{i}$

$f(z)=-\mathrm{i}z-1+2\mathrm{i}$

Exercice 67

Soit

$f$ l'application de

$\mathcal{P}\rightarrow\mathcal{P}$ qui à tout point

$M$ d'affixe

$z$ associe le point

$M'$ d'affixe

$z'$ définie par

$z'=az+b.$

Déterminer

$a\text{ et }b$ pour que

$f$ soit la similitude d'angle

$\dfrac{\pi}{3}$ modulo

$2\pi$ , de rapport 2 et dont le centre est le point de coordonnées

$(2\;,\ -1).$

Exprimer alors les coordonnées

$(x'\;,\ y')\text{ de }M'$ en fonction des coordonnées

$(x\;,\ y)\text{ de }M.$

Exercice 68

Soient

$M\;,\ P\;,\ Q$ trois points du plan complexe d'affixes respectives :

$\mathrm{i}\;,\ 1\;,\ 2+\mathrm{i}.$

Déterminer la similitude

$f$ telle que l'on ait :

$f(M)=P\text{ et }f(O)=Q.$

On donnera le centre, le rapport et l'angle de

$f.$

Exercice 69

Soient

$A\;,\ B\;,\ C\;,\ D$ les points du plan complexe d'affixes respectives :

$1+3\mathrm{i}\;,\ 4+3\mathrm{i}\;,\ 4-2\mathrm{i}\;,\ 1-2\mathrm{i}.$

1) Montrer qu'il existe une similitude directe unique telle que :

$S(A)=C\text{ et }S(B)=D.$

2) Déterminer

$S(C)\text{ et }S(D).$

3) Démontrer que l'isobarycentre des points

$A\;,\ B\;,\ C\;,\ D$ est invariant par

$S.$

En déduire les éléments caractéristiques de

$S.$

Exercice 70

$\theta$ étant un nombre réel de l'intervalle

$\left]\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\right[$ , on considère l'équation du second degré suivante

$\left(z\;\in\;\mathbb{C}\right)$ :

$z^{2}-(1+\mathrm{i}(\sin\theta+\tan\theta))z+\sin\theta(-\tan\theta+\mathrm{i})=0 \quad(1).$

1) Montrer que

$b=\mathrm{i}\sin\theta$ est une solution de l'équation (1), puis calculer l'autre que l'on notera

$a.$

2) Déterminer le module et l'argument de

$a.$

3) Soit

$T$ l'application de

$\mathcal{P}$ dans lui-même qui, à un point

$M$ d'affixe

$z$ associe le point

$M'$ d'affixe

$z'=az+b(a\text{ et }b$ étant toujours les solutions de l'équation (1)).

a) Reconnaître cette transformation et donner ses éléments géométriques.

b) Comment faut-il choisir

$\theta$ dans l'intervalle

$\left]\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\right[$

pour que

$T$ soit une similitude d'angle

$\dfrac{\pi}{4}$ ?

Calculer alors l'affixe du centre et le rapport de cette similitude.

Exercice 71

Dans l'ensemble des nombres complexes on considère la suite

$(z_{n})n\;\in\;\mathbb{N}$ définie par :

$z_{0}=-1\text{ et }\forall\;x\in\mathbb{N}\;,\ z_{n+1}=(1-\mathrm{i})z_{n}.$

1) Calculer

$z_{1}\;,\ z_{2}\;,\ z_{3}\;,\ z_{4}$ et placer les points images

$M_{1}\;,\ M_{2}\;,\ M_{3}\;,\ M_{4}$ dans le plan complexe.

2) Soit

$M_{n}$ le point du plan d'affixe

$z_{n}.$

Démontrer qu'il existe une similitude plane directe

$S$ telle que tout point

$M_{n+1}$ soit l'image de

$M_{n}$ par

$S.$

Déterminer les éléments géométriques de

$S.$

Exercice 72

Soient

$u_{0}\text{ et }a$ deux nombres complexes donnés.

Soit

$(u_{n})n\;\in\;\mathbb{N}$ la suite géométrique de nombres complexes définie par :

$\forall\;x\in\mathbb{N}\;,\ u_{n+1}=a\,u_{n}.$

1) Calculer la somme

$u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{n}$ en fonction de

$a\;,\ n\;,\ u_{n}.$

2) On pose

$a=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}.$

Déterminer le module et un argument de

$a.$

Soit

$f$ la transformation qui au point

$M_{n}$ d'affixe

$u_{n}$ associe le point

$M_{n+1}$ d'affixe

$u_{n+1}.$

Déterminer les éléments géométriques de

$f.$

Calculer la somme

$u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{6}$ et plus généralement, pour tout entier naturel

$n$ , la somme

$u_{n}+u_{n+1}+\cdots+u_{n+5}.$

On suppose :

$u_{0}=2.$

Placer les points

$M_{0}\;,\ M_{1}\;,\cdots M_{5}\;,\ M_{6}$ sur une figure.

Que remarque-t-on ?

Exercice 73

1) Résoudre dans

$\mathbb{C}$ l'équation :

$(1-\mathrm{i})z^{2}+2(1+2\mathrm{i})z+\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{2}=0$

2) On trouve deux solutions, chacune étant de la forme

$a+b\mathrm{i}$ , avec

$a\text{ et }b$ réels.

Soit

$z_{0}$ celle pour laquelle

$a=b\text{ et }M_{0}$ son image dans le plan complexe

$\mathcal{P}.$

On considère la similitude directe

$S$ de centre O de rapport

$\sqrt{2}$ et d'angle

$\dfrac{\pi}{6}.$

Soit

$M_{0}\;,\ M_{1}\;,\cdots M_{n}$ , la suite de points du plan telle que :

$M_{1}=S(M_{0})\;,\ M_{2}=S(M_{1})\;,\cdots M_{n}=S(M_{n-1}).$

a) Soit

$z_{n}$ l'affixe de

$M_{n}(n\in\mathbb{N}).$

Écrire

$z_{n}$ en fonction de

$z_{n-1}.$

b) Soit

$\rho_{n}\text{ et }\theta_{n}$ le module et l'argument de

$z_{n}.$

Montrer que la suite

$(\rho_{n})\,n\in\mathbb{N}$ est une suite géométrique et que la suite

$(\theta_{n})\,n\in\mathbb{N}$ est une suite arithmétique.

Donner le premier terme

$t$ la raison de chaque suite.

c) Exprimer

$\rho_{n}\text{ et }\theta_{n}$ en fonction de

$n.$

Exercice 74

Dans le plan complexe, on considère le point

$A$ d'affixe 2 et les transformations suivantes :

$h_{1}$ homothétie de centre

$A$ et de rapport 2.

$h_{2}$ homothétie de centre O et de rapport

$-\dfrac{1}{2}.$

$r$ rotation de centre

$A$ et d'angle

$-\dfrac{\pi}{2}.$

1) Quelle est la nature de la transformation

$h_{2}\circ r\circ h_{1}$ ?

2) Quelle est la nature de la transformation

$h_{2}\circ r\circ r\circ h_{1}$ ?

(On donnera les éléments géométriques de ces transformations).

Exercice 75

On donne, dans le plan complexe, les quatre points

$A\;,\ B\;,\ C\;,\ D$ d'affixes respectives :

$z_{A}=-2+6\mathrm{i}$ ;

$z_{B}=1-3\mathrm{i}$ ;

$z_{C}=5+5\mathrm{i}$ ;

$z_{D}=2+4\mathrm{i}.$

Il est rappelé que

$a\text{ et }b$ étant deux constantes complexes quelconques, la transformation

$z'=az+b$ , (1) définit la similitude directe plane la plus générale associant au point

$M$ d'affixe

$z$ le point

$M'$ d'affixe

$z'.$

1) Calculer

$a\text{ et }b$ pour la similitude

$S$ qui transforme les points

$C\text{ et }D$ respectivement en les points

$A\text{ et }B.$

2) On considère la similitude

$S'$ définie par :

$z'=2\mathrm{i}z+13+\mathrm{i}.$

Montrer que la composée

$H=S'\circ S$ est une homothétie dont on précisera le rapport.

Quelle est l'image de

$C\text{ par }H$ ?

3) Montrer que la transformation

$R$ définie par

$z'=\mathrm{i}z+2+4\mathrm{i}$ est une rotation dont on précisera le centre et l'angle. Quelle est l'image de

$B$ dans cette rotation ?

4) Montrer, sans calculs, que la transformation

$R\circ H$ admet le point

$C$ pour point invariant.

Exercice 76

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

A) Pour tout complexe

$z$ , soit

$\Re(z)=3z^{5}-4z^{4}+3z^{3}-3z^{2}+4z-3.$

1) Déterminer le polynôme

$P$ tel que :

$\forall\;z\in\mathbb{C}\;,\ \Re(z)=(z^{3}-1)P(z).$

2) Résoudre dans

$\mathbb{C}$ les 5 solutions, réelles ou complexes, de l'équation

$\Re(z)=0.$

3) Calculer leurs modules. Les représenter dans

$\mathcal{P}.$

B) Soit

$r$ la rotation dans

$\mathcal{P}$ de centre

$\Omega(2\;,\ 0)$ transformant le point

$(4\;,\ 0)\text{ en }(2\;,\ 2).$

1) Déterminer

$f$ , application de

$\mathbb{C}\text{ dans }\mathbb{C}$ , telle que si

$z$ est l'affixe de

$M$ , alors

$f(z)$ est celle de

$r(M).$

2) Déterminer les images par

$f$ des 5 solutions calculées en A).

Les représenter dans

$\mathcal{P}.$

3) Ces cinq nouveaux points sont sur un cercle.

Préciser son centre et son rayon.

C) Soit

$u=\dfrac{6-\sqrt{15}}{8}+\dfrac{\sqrt{5}-2\sqrt{3}}{8}\mathrm{i}.$

1) Démontrer que

$|u|=\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{4}.$

En déduire un argument de

$u.$

2) Soit

$T$ la transformation de

$\mathcal{P}$ associant au point d'affixe

$z$ le point d'affixe

$z'=uz+\dfrac{2-\mathrm{i}\sqrt{5}}{3}\mathrm{i}.$

Démontrer que

$T$ est une similitude directe dont on précisera les éléments caractéristiques.

D) Dans le plan

$\mathcal{P}$ , soit

$A(1\;,\ 0)\;,\ B\left(\dfrac{2}{3}\;,\ \dfrac{\sqrt{5}}{3}\right)\;,\ C\left(\dfrac{1}{2}\;,\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$D\left(-\dfrac{1}{2}\;,\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\;,\ E\left(\dfrac{2}{3}\;,\ -\dfrac{\sqrt{5}}{3}.\right)$

1) Déterminer

$k\text{ et }k'$ tels que le barycentre de

${(A\;,\ 8)(B\;,\ k)(E\;,\ k')}\text{ soit }\Omega(2\;,\ 0).$

2) Déterminer le barycentre de

$A\;,\ B\;,\ C\;,\ D\;,\ E$ affectés respectivement des coefficients :

$24\;,\ -9\;,\ -4\sqrt{3}\;,\ 4\sqrt{3}\;,\ -9.$

Exercice 77

Le plan

$\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormé direct

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

1) On considère la transformation

$T\text{ de }\mathcal{P}\text{ dans }\mathcal{P}$ qui, au point

$M(x\;,\ y)$ associe le point

$M'(x'\;,\ y')$ tel que :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x'&=&x+1\\ y'&=&y+\sqrt{3} \end{array}\right.$

Le point

$M$ a pour affixe

$z\text{ et }M'$ a pour affixe

$z'.$

a) Exprimer

$z'\text{ en fonction de }z.$

b) Donner la nature de

$T.$

2) Soit

$S$ :

$\begin{eqnarray} \mathcal{P} & \rightarrow &\mathcal{P}\nonumber\\ M_{1}(z_{1}) & \mapsto & M_{2}(z_{2})\text{ tel que}\nonumber \end{eqnarray}$

$z_{2}=\left(\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z_{1}.$

a) Donner la nature de

$f$ et ses éléments caractéristiques.

b) Définir analytiquement l'application

$S\circ T.$

Quelle est l'image du point

$E\left(-1\;,\ -\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\text{ par }S\circ T$ ?

c) Soit

$\mathcal{D}\ :\ x+\sqrt{3}y+2=0.$

Montrer que

$E\in\mathcal{D}.$

Trouver l'image

$\mathcal{D'}\text{ de }\mathcal{D}\text{ par }S\circ T.$

Quel est le point d'intersection de

$\mathcal{D}\text{ et }\mathcal{D'}$ ?

Exercice 78

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct

$(O\;,\ \vec{e}_{1}\;,\ \vec{e}_{2})$ , on considère l'application

$F$ qui à tout point

$M$ d'affixe

$z$ associe le point

$M'$ d'affixe

$z'$ définie par :

$z'=u^{2}z+u-1\;,\text{ où }u\in\mathbb{C}.$

1) Déterminer l'ensemble des complexes

$u$ pour lesquels

$f$ est une rotation d'angle

$\dfrac{\pi}{2}.$

2) Déterminer

$u$ tel que

$F$ soit une translation.

3) Déterminer

$u$ tel que

$F$ soit une homothétie de rapport 2.

4) Caractériser

$F$ lorsque

$u=1-\mathrm{i}.$

Les nombres complexes au baccalauréat

Exercice 79 (1989 $2^{ième}$ groupe)

Soit le nombre complexe

$z=1+\mathrm{i}\sqrt{3}.$

1) Déterminer le module et un argument de

$z$ ; en déduire la forme trigonométrique de

$z_{n}\;,\ n$ entier naturel.

2) Pour quelles valeurs de

$n\;,\ z^{n}$ est-il réel ?

Exercice 80 (1989 $2^{ième}$ groupe)

Déterminer les racines carrées du complexe

$Z=-3-4\mathrm{i}.$

Exercice 81 (1990 $1^{er}$ groupe)

Soit

$f$ l'application de

$\mathbb{C}\text{ dans }\mathbb{C}$ qui, au nombre complexe

$z$ associe le nombre complexe

$Z$ défini par :

$Z=(1+\mathrm{i}\sqrt{3})z+3(1-\mathrm{i})$

1) Montrer que le nombre

$w=1+\mathrm{i}$ est invariant par

$f.$

2) Montrer que

$Z-w=(1+\mathrm{i}\sqrt{3})(z-w).$

3) Soit

$m\;,\ M\text{ et }W$ les représentants dans le plan rapporté à un repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ des nombres complexes

$z\;,\ Z\;,\ w.$

a) Calculer le module et l'argument du nombre complexe

$\dfrac{Z-w}{z-w}.$

b) Montrer que

$M$ est l'image de

$m$ dans la composée d'une rotation dont on précisera le centre et l'angle, et d'une homothétie dont on déterminera le centre et le rapport.

c) Faire une figure représentant

$W\;,\ m\;,\ M.$

d) Montrer géométriquement que le triangle

$(WmM)$ est un triangle rectangle.

4) Écrire sous forme trigonométrique le nombre

$\left(\dfrac{Z-w}{z-w}\right)^{n}$ , où

$n$ est un entier naturel.

Exercice 82 (1990 $2^{ième}$ groupe)

Soit le nombre complexe

$u=\dfrac{a+1+(1-a)\mathrm{i}}{\sqrt{2(1+a^{2})}}.$

Calculer le module de

$u.$ Si

$\alpha$ est un argument de

$u$ , calculer

$\cos\alpha\;,\ \cos 2\alpha\;,\ \sin\alpha\text{ et }\sin 2\alpha.$

2) Soit le nombre complexe

$Z=8a^{2}-(1+a^{2})^{2}+4a(1-a^{2})\mathrm{i}\;,\text{ avec }a\in\mathbb{R}.$

Calculer

$|Z|$ , puis montrer que

$Z=|Z|u^{4}.$

En déduire les racines quatrièmes du nombre complexe

$Z.$

Exercice 83 (1991 $1^{er}$ groupe)

On considère dans

$\mathbb{C}$ le polynôme

$P$ défini par :

$P(X)=X^{4}-6X^{3}+14X^{2}-24X+40.$

1) Montrer qu'il existe deux complexes imaginaires purs solutions de «

$P(X)=0$ ».

2) En déduire une factorisation de

$P(X)$ en produit de polynômes du

$2^{nd}$ degré à coefficients réels.

3) Résoudre dans

$\mathbb{C}\ :\ P(X)=0.$

Exercice 84 (1991 $2^{ième}$ groupe)

1) Soit

$(\alpha\;,\ \beta)\in\mathbb{C}^{\ast}\times\mathbb{C}.$

Résoudre dans

$\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue

$z$ :

$\alpha\,z^{2}+(-\beta+\mathrm{i}\alpha)z-\mathrm{i}\beta=0.$

2) Résoudre dans

$\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue

$z$ :

$(m+\ln x)z^{2}+\mathrm{i}[m-\ln x+\mathrm{i}(m+\ln x)]z+\mathrm{i}(m-\ln x)=0$ ,

où

$x\in\mathbb{C}_{+}^{\ast}\text{ et }m\in\mathbb{C}^{\ast}.$

Exercice 85 (1991 Remplacement, $2^{ième}$ groupe)

Résoudre dans le corps des complexes, l'équation :

$z^{3}-(1+\mathrm{i})z^{2}-2(1+\mathrm{i})z+8=0$ , sachant qu'elle a une racine réelle.

Exercice 86 (1991 Remplacement, $2^{ième}$ groupe)

Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ , on considère les points

$A\;,\ B\;,\ C\;,\ D$ d'affixes respectives :

$z_{A}=1+\mathrm{i}\;;\ z_{B}=2-\mathrm{i}\;;\ z_{C}=-3+6\mathrm{i}\;;\ z_{D}=3+4\mathrm{i}.$

1) Déterminer les éléments de la similitude directe

$S$ dans laquelle les points

$A\text{ et }B$ sont transformés respectivement en

$C\text{ et }D.$

2) On considère l'homothétie

$H$ de rapport

$-\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ et de centre le point de coordonnées

$\left(-\dfrac{1}{5}\;,\ -\dfrac{8}{5}\right).$

Déterminer la nature de la transformation

$S\circ H$ et ses éléments caractéristiques.

Exercice 87 (1992 $1^{er}$ groupe)

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal, soit

$M$ le point d'affixe

$z\;,\ A$ celui d'affixe

$\mathrm{i}$ et

$B$ celui d'affixe

$(-\mathrm{i}).$

On pose

$Z=\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}.$

1) a) Déterminer l'ensemble

$D$ des points

$M(z)$ tels que

$z$ soit réel.

b) Déterminer l'ensemble

$C$ des points

$M(z)$ tels que

$z$ soit imaginaire pur.

2) a) Interpréter géométriquement les modules de

$z-\mathrm{i}\text{ et de }z+\mathrm{i}.$

Montrer que

$|Z|=1$ si et seulement si

$z$ est réel.

b) Soit

$n$ un entier naturel non nul et

$\alpha$ un réel de

$\left]0\;,\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$

Déduire de la question précédente que l'équation

$(E)$ :

$\left(\dfrac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\right)^{4}=\cos 4\alpha+\mathrm{i}\sin 4\alpha$ n'admet que des solutions réelles.

(On ne demande pas de les calculer).

c) Résoudre l'équation

$Z^{2}=\cos 4\alpha+\mathrm{i}\sin 4\alpha.$

En déduire les solutions de

$(E).$

Exercice 88 (1994 $1^{er}$ groupe)

On considère le nombre complexe

$c=1-\mathrm{i}.$

1) Calculer

$c^{2}\text{ et }c^{5}.$

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, marquer les points qui ont pour affixes

$c\;,\ c^{2}\text{ et }c^{5}.$

2) A tout point

$M$ d'affixe

$z$ du plan, on associe le point

$M'$ d'affixe

$z'$ , avec

$z'=c\,z+c^{5}.$

On définit ainsi une transformation du plan.

Déterminer l'affixe du point

$S$ , invariant par

$T.$

Préciser la nature de la transformation

$T$ et ses éléments caractéristiques.

Exercice 89 (1995 $1^{er}$ groupe)

On considère le polynôme

$P$ , de la variable complexe

$z$ , défini par :

$P(z)=z^{3}+\mathrm{i}\,z^{2}-3 z+5\mathrm{i}.$

1) Calculer

$P(\mathrm{i})$ , puis déterminer toutes les racines de

$P(z).$

On notera

$z_{1}$ la racine dont la partie réelle est négative et

$z_{2}$ l'autre racine.

2) a) Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe

$\dfrac{z_{1}-\mathrm{i}}{z_{2}-\mathrm{i}}.$

b) Dans le plan complexe de repère

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ , on désigne par

$A\;,\ B\text{ et }C$ les images respectives de

$\mathrm{i}\;,\ z_{1}\text{ et }z_{2}.$

Déduire de la question précédente la nature du triangle $ABC.$

Exercice 90 (1995 $2^{ième}$ groupe)

Soit

$(z_{n})\,n\geq 0$ la suite géométrique de premier terme

$z_{0}=1$ et de raison

$q=\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\dfrac{1}{3}\mathrm{i}.$

Le plan est muni d'un repère orthonormal.

On désigne par

$M_{n}$ le point d'affixe

$z_{n}.$

1) Exprimer

$z_{n}$ en fonction de

$n.$

2) Quelle est l'application qui permet de passer de

$M_{n}\text{ à }M_{n+1}$ ?

Placer sur une figure les 6 points

$M_{0}\;,\ M_{1}\;,\ M_{2}\;,\ M_{3}\;,\ M_{4}\;,\ M_{5}.$

(On prendra

$6\;cm$ pour unité graphique).

3) Soit

$(u_{n})\,n\geq 0$ la suite des modules des termes de la suite

$(z_{n})\,n\geq 0$ , c'est-à-dire

$u_{n}=|z_{n}|.$

Étudier le sens de variation et la limite de

$(u_{n}).$

4) Soit

$(\alpha_{n})\,n\geq 0$ définie par :

$\alpha_{n}=arg(z_{n})$ (où arg désigne l'argument principal).

Démontrer que

$(\alpha_{n})$ est une suite périodique.

5) Démontrer que, quel que soit

$n\in\mathbb{N}$ , le triangle

$OM_{n}M_{n+3}$ est rectangle.

Exercice 91 (95, Remplacement)

Soit

$P(z)=z^{3}-(6+2\mathrm{i})z^{2}+(10+4\mathrm{i})z+16+4\mathrm{i}.$

1) Montrer que

$P(z)=0$ admet une solution imaginaire pure, puis résoudre cette équation.

On notera

$z_{0}\;,\ z_{1}\;,\ z_{2}$ les trois solutions avec

$|z_{1}|<|z_{2}|.$

2) Dans le plan complexe de repère orthonormal

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ , placer les points

$A\;,\ B\;,\ C$ d'affixes respectives

$z_{0}\;,\ z_{1}\text{ et }z_{2}$ , puis donner l'affixe du barycentre

$G$ des points pondérés

$(A\;,\ 2)(B\;,\ 1)\text{ et }(C\;,\ 1).$

Exercice 92 (1996, $1^{er}$ groupe)

On considère le polynôme à variables complexes défini par :

$P(z)=z^{3}-2(1+\mathrm{i})z^{2}-2(1-4\mathrm{i})z+4(2+\mathrm{i}).$

1) Montrer que

$p(z)$ admet une racine

$z_{0}$ de la forme

$\mathrm{i}y\left(y\in\mathbb{R}\right)$ que l'on précisera.

2) Déterminer les complexes

$a\text{ et }b$ tels que pour tout

$z\in\mathbb{C}$ ,

$P(z)=(z-2\mathrm{i})(z^{2}+az+b)$ ; puis achever la résolution dans

$\mathbb{C}$ de l'équation

$P(z)=0.$

On désignera par

$z_{1}\text{ et }z_{2}$ les racines autres que

$z_{0}\text{ avec }|z_{1}|>|z_{2}|.$

3) On désigne par

$A\;,\ B\text{ et }C$ les points d'affixes respectives

$z_{0}\;,\ z_{1}\text{ et }z_{2}$ ;

$I$ le point d'affixe 2 et par

$r$ la rotation de centre

$\mathrm{i}$ et d'angle

$\dfrac{\pi}{2}.$

a) Écrire

$\dfrac{z_{1}-z_{0}}{z_{2}-z_{0}}$ sous forme trigonométrique

En déduire une mesure de l'angle

$\left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}\right).$

b) Déterminer l'affixe

$z_{3}$ du point

$D$ image de

$B$ par la rotation

$r.$

c) Montrer que

$A\;,\ B\;,\ C\;,\ D$ sont situés sur un même cercle.

Exercice 93 (1997, Remplacement)

On considère l'équation

$z_{3}=18+26\mathrm{i}$ (1).

1) Montrer que

$z_{0}=3+\mathrm{i}$ est racine de l'équation (1).

2) Montrer que pour toute solution

$z$ de l'équation (1),

$Z=\dfrac{z}{z_{0}}$ est une racine cubique de 1.

3) Résoudre

$Z_{3}=1$ et en déduire toutes les solutions de (1).

Exercice 94 (1998, $1^{er}$ groupe)

1) Résoudre dans

$\mathbb{C}$ les équations suivantes :

$z^{2}-2z+5=0$

$z^{2}-2\left(1+\sqrt{3}\right)z+5+2\sqrt{3}=0$

2) On considère dans le plan de repère orthonormal

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ les points

$A\;,\ B\;,\ C\text{ et }D$ d'affixes respectives :

$Z_{A}=1+2\mathrm{i}$ ;

$Z_{B}=1+\sqrt{3}+\mathrm{i}$ ;

$Z_{C}=1+\sqrt{3}-\mathrm{i}$ ;

$Z_{D}=1-2\mathrm{i}$

a) Placer

$A\;,\ B\;,\ C\text{ et }D$ dans le plan

$(\mathcal{P})$

b) Vérifier que

$\dfrac{Z_{D}-Z_{B}}{Z_{A}-Z_{B}}=\mathrm{i}\sqrt{3}$ , en déduire la nature du triangle

$ABD$

c) Montrer que les points

$A\;,\ B\;,\ C\text{ et }D$ appartiennent à un même cercle,

$(\mathcal{C})$ dont on précisera le centre et le rayon.

3) On considère l'équation

$(E)\ :\ z^{2}-2(1+2\cos\theta)Z+5+4\cos\theta=0\ \theta\text{ est un élément de }\mathbb{R}.$

a) Résoudre

$(E)\text{ dans }\mathbb{C}$

b) Montrer que les points images des solutions de

$(E)$ appartiennent à

$(\mathcal{C}).$

Exercice 95 (1998, Remplacement).

Dans l'ensemble

$\mathbb{C}$ des nombres complexes, on considère l'équation

$(E)$ d'inconnue

$z$ telle que :

$(E)\ :\ \mathrm{i}z^{2}+(1-5\mathrm{i})z+6\mathrm{i}-2=0.$

a) Montrer que cette équation possède une solution réelle notée

$z_{1}.$

Déterminer l'autre solution

$z_{2}\text{ de }(E).$

b) Dans le plan complexe muni du repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{e}_{1}\;,\ \vec{e}_{2})$ , on note

$M_{1}$ le point d'affixe

$z_{1}\text{ et }M_{2}$ le point d'affixe

$z_{2}.$

Déterminer l'affixe du point

$C$ de l'axe

$(O\;,\ \vec{e}_{1})$ équidistant de

$M_{1}\text{ et }M_{2}.$

c) Soit la rotation

$R_{1}$ de centre

$C$ telle que

$R_{1}(M_{1})=M_{2}.$

$\alpha$ ) Déterminer une mesure de l'angle de la rotation

$R_{1}.$

$\beta$ ) Déterminer l'affixe du point

$O'$ image de

$O$ par

$R_{1}.$

d) Soit la rotation

$R_{2}$ de centre O et d'angle orienté

$\theta$ tel que

$Mes\ \theta=\dfrac{\pi}{2}\;rad.$

$\alpha$ ) Quelle est la nature de la composée

$R_{2}\circ R_{1}$ ?

Justifier votre réponse.

$\beta$ ) Soit

$B$ d'affixe

$3\mathrm{i}.$

Déterminer l'image du cercle circonscrit au triangle

$BOC$ par

$R_{2}\circ R_{1}.$

Justifier votre réponse.

Exercice 96 (1999, $2^{ième}$ groupe)

Soit

$\alpha\in\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[\text{ et }f_{\alpha}$ l'application du plan complexe dans lui-même qui, au point

$M$ d'affixe

$z$ associe le point

$M'$ d'affixe

$z'$ définie par :

$z'=(-1+\mathrm{i}\tan\alpha)z-\mathrm{i}\tan\alpha+2$

1) Déterminer le module et un argument du nombre complexe

$-1+\mathrm{i}\tan\alpha.$

2) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de

$f_{\alpha}.$

3) Soit

$h_{\alpha}$ l'homothétie de centre le point

$\Omega$ d'affixe 1 et de rapport

$\dfrac{1}{\cos\alpha}.$

Donner une écriture complexe de la rotation ra telle que :

$f_{\alpha}=r_{\alpha}\circ h_{\alpha}.$

Exercice 97 (1999, Remplacement)

On considère le plan complexe

$\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormal direct

$(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

1) Résoudre dans

$\mathbb{C}$ l'équation :

$-z^{3}+6z-20\mathrm{i}=0\quad(E)$

sachant qu'elle admet une solution imaginaire pure

$a.$

2) Notons

$b\text{ et }c$ les autres solutions de

$(E)$ ,

$b$ ayant la partie réelle positive et soient

$A\;,\ B\;,\ C$ les points de

$\mathcal{P}$ d'affixes respectives

$a\;,\ b\;,\ c.$

Déterminer le module et un argument de

$\dfrac{b-a}{c-a}.$

En déduire la nature du triangle

$ABC.$

3) Soit

$r$ la rotation de centre

$O$ et d'angle de mesure

$\dfrac{\pi}{3}\;rad\text{ et }f$ l'application qui à tout point

$M\text{ de }\mathcal{P}$ d'affixe

$z\neq\mathrm{i}-\sqrt{3}$ associe le point

$M'$ d'affixe

$z'$ définie par :

$z'=\dfrac{z-2\mathrm{i}}{z+\sqrt{3}+\mathrm{i}}$

a) Donner l'écriture complexe de

$r$ puis l'affixe du point

$A'=r(A).$

b) Déterminer l'ensemble des points

$M\text{ de }\mathcal{P}$ dont les images par

$f$ ont pour affixe un réel négatif.

On notera

$E$ cet ensemble.

c) Déterminer l'ensemble

$F$ des points

$M\text{ de }\mathcal{P}$ dont les images par

$f$ appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1.

Exercice 98 (2000, $1^{er}$ groupe)

On considère les points

$A_{1}\;,\ A_{2},\ A_{3}$ d'affixes respectives :

$Z_{1}=1\;;\ Z_{2}=1+\sqrt{2}+\mathrm{i}\sqrt{2} 2$ ;

$Z_{3}=\dfrac{5+\mathrm{i}\sqrt{3}}{4}$

1) a) Donner une écriture trigonométrique des nombres complexes

$Z_{2}-Z_{1}\text{ et }Z_{3}-Z_{1}$

b) Donner une écriture algébrique et une écriture trigonométrique de

$\dfrac{Z_{3}-Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}}.$

En déduire les valeurs exactes de

$\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\text{ et }\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right).$

2) Soit

$S$ la similitude plane directe transformant

$A_{2}\text{ en }A_{3}\text{ et }A_{1}\text{ en }A_{2}.$

a) Préciser les éléments caractéristiques de

$S.$

b) On désigne d'affixe

$Z'$ , l'image par

$S$ du point

$M$ d'affixe

$Z.$

Exprimer

$Z'$ en fonction de

$Z$ ; en déduire l'image, par

$S$ du point

$B$ d'affixe

$1-4\sqrt{2}\mathrm{e}^{\,-\mathrm{i}\dfrac{\pi}{3}}.$

Exercice 99 (2001, $2^{ième}$ groupe).

1) Factoriser :

$\alpha^{2}-2\mathrm{i}\alpha-1\alpha.$

Résoudre dans

$\mathbb{C}$ l'équation :

$z^{2}-\alpha(\alpha+\mathrm{i})z+\mathrm{i}\alpha^{3}=0.$

2) On note

$r$ le module de

$\alpha\text{ et }\theta$ un de ses arguments.

Calculer le module et un argument de chacune des solutions de

$(E).$

$\mathcal{P}$ désigne le plan complexe ; on note

$S_{\alpha}$ l'application définie sur

$\mathcal{P}$ par :

$\begin{eqnarray} S_{\alpha}\ :\ \mathcal{P} &\rightarrow & \mathcal{P}\nonumber\\ M(z) & \mapsto & M'(z')\nonumber \end{eqnarray}$

tel que :

$z'=\mathrm{i}\alpha z+\alpha^{2}.$

Déterminer

$\alpha$ pour que

$S_{\alpha}$ soit une rotation d'angle

$\dfrac{5\pi}{6}.$

(Bac 2001,

$2^{ième}$ groupe).

Commentaires

Ramatoulaye balde (non vérifié)

dim, 04/25/2021 - 10:22

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J'ai des difficultés en maths

J'ai des difficultés en maths je suis une élève de terminale s2 j'ai besoin d aide mes vos cours mon permis d améliorer mon niveau je voudrais vous demander si vous n avez pas les corrections des sujets de bac svp

répondre

Anonyme (non vérifié)

ven, 09/22/2023 - 13:13

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J'apprécie bien vos exercices

répondre

Anonyme (non vérifié)

sam, 08/10/2024 - 21:52

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Bien

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Série d'exercice : Nombres complexes - Ts

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Exercice 45 Calcul de $\cos\dfrac{\pi}{5}$

Racines $N^{ième}$ d'un nombre complexe

Exercice 79 (1989 $2^{ième}$ groupe)

Exercice 80 (1989 $2^{ième}$ groupe)

Exercice 81 (1990 $1^{er}$ groupe)

Exercice 82 (1990 $2^{ième}$ groupe)

Exercice 83 (1991 $1^{er}$ groupe)

Exercice 84 (1991 $2^{ième}$ groupe)

Exercice 85 (1991 Remplacement, $2^{ième}$ groupe)

Exercice 86 (1991 Remplacement, $2^{ième}$ groupe)

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Exercice 88 (1994 $1^{er}$ groupe)

Exercice 89 (1995 $1^{er}$ groupe)

Exercice 90 (1995 $2^{ième}$ groupe)

Exercice 92 (1996, $1^{er}$ groupe)

Exercice 94 (1998, $1^{er}$ groupe)

Exercice 96 (1999, $2^{ième}$ groupe)

Exercice 98 (2000, $1^{er}$ groupe)

Exercice 99 (2001, $2^{ième}$ groupe).