Série d'exercices : Angles - Trigonométrie - 2nd

Classe: 
Seconde

Exercice 1

1) Déterminer la mesure principale de :
 
25π3, 77π4, 81π5
 
2) Donner les valeurs exactes de :
 
a) cos2π3, sin2π3, cos25π4, sin25π4, sin7π4, sin213π6, cos77π3
 
b) tan(7π6), tan(3π4), tan(5π6)

Exercice 2

Transformer les expression suivantes :
 
A=3cos(x)+2sin(π2x)+4sinx+cosx
 
B=2sin(π2+x)+5cos(πx)3sin(x)cosx
 
C=sin(πx)+cos(π2+x)sin(πx)
 
D=sin(π2+x)+cos(xπ)+sin(x+3π2)+cos(x+π)
 
E=2cos(3π2π+x)2sin(x2π)+5sin(5π2+x)

Exercice 3

Établissez les égalités suivantes :
 
1) cos2xsin2x=2cos2x1=12sin2x
 
2) cos4x+sin4x=12cos2xsin2x
 
3) (cosx+sinx)2+(cosxsinx)2=2

Exercice 4

Donner la longueur d'un demi-cercle de rayon 2cm, et d'un quart de cercle de rayon 4cm.

Exercice 5

1) Compléter le tableau suivant, où l désigne la longueur de l'arc de cercle de rayon R, intercepté par l'angle α mesuré en degrés : lπR/42πR/5α6012030
2) Compléter le tableau suivant, où l désigne la longueur de l'arc de cercle de rayon R, intercepté par l'angle α mesuré en radians : lπR/65πR/8α2π12π/3

Exercice 6

On considère la figure suivante :

 

 

1) Parmi les réels suivants, quels sont ceux qui sont une abscisse curviligne du point E ?
 
4π12; 4π3; 4π3; 2π3; 5π3
 
2) Quels sont les points du cercle trigonométrique qui ont pour abscisse curviligne les réels suivants :
 
3π2; π; π6; 5π6; 7π6; 11π6

Exercice 7

Donner un moyen géométrique de placer sur le cercle trigonométrique les points d'abscisses curvilignes :
 
π3; π3; 2π3; π6; π6; 5π6

Exercice 8

Placer sur le cercle trigonométrique les points d'abscisses curvilignes :
 
a) π3+kπ2 ;

b) π6+kπ ;

c) π3+kπ2 ;

d) π4+kπ, k entier relatif

Exercice 9

Placer sur le cercle trigonométrique les points d'abscisses curvilignes :
 
a) 100π ;

b) 71π ;

c) 37π2 ;

d) 18π4

Exercice 10

Compléter le tableau suivant : 453060151875135radπ/2π/3π/5π/812015018090225radπ/6π/42π/3π/105π/6π

Exercice 11

Pour chacune des mesures suivantes, on demande :
 
  la mesure principale (en degré ou en radian, selon le cas) ;
  la mesure dans [0; 2π[ (ou dans [0; 360[);
  la mesure dans ]2π; 0[ (ou dans [360; 0[).
 
1) 2008π3 ;

2) 28π5 ;

3) 27π4 ;

4) 19π3 ;

5) 270
6) 18π ;

7) 1440 ;

8) 2530 ;

9) π4 ;

10) 5π6
11) 12π5 ;

12) 23π6 ;

13) 210 ;

14) 375 ;

15) 4512 ;

16) 17π

Exercice 12

On considère un triangle ABC rectangle en C et tel que (AB, AC)=35.
 
Soit O et A les milieux respectifs des côtés [AB] et [BC]. Trouver la mesure principale des angles orientés : 
 
(OB, OA); (OC, OA); (OA, OC); (OB, OC) 

Exercice 13

ABC est un triangle équilatéral direct. On construit à l'extérieur le carré ABED. Quelles sont les mesures principales en radians des angles orientés suivants :
 
(AB, AC); (AB, AD); (BC, BE)
 
(CB, CE); (EC, EB); (BC, BD)
 
(CB, CD); (EC, EA) ?

Exercice 14

On considère un losange ABCD dont les diagonales se coupent en O et tel que : (BA, BD)=54.
 
Quelles sont les mesures principales en radians des angles orientés suivants :
 
(BA, BD); (BC, BD); (BD, BC)
 
(BA, BC); (DA, DC); (OC, OB)
 
(OA, OC) ?

Exercice 15

ABC est un triangle rectangle isocèle en A de sens indirect. On construit le triangle équilatéral BCE de manière que E appartienne au demi-plan de frontière (BC) contenant A.
 
Quelles sont les mesures principales en radians des angles orientés suivants :
 
(AB, AC); (CB, CE); (CA, CB)
 
(BA, BC); (EA, EC); (CA, CE)
 
(EA, EB); (AE, AB) ?

Exercice 16

On donne dans le plan orienté P, une demi-droite Ox.
 
1) Construire les demi-droites Oy, Oz, Ot telles que :
 
(Ox, Oy)=2π3,

(Ox, Oz)=5π6,

Ox, Ot)=π4
 
2) Calculer la mesure principale en radians des angles orientés 
 
(Oy, Oz), (Oz, Ot), (Ot, Oy).

Exercice 17

On considère un carré ABCD tel que (AB, AD)=π2.
 
1) Construire les demi-droites Ax, Cy et Cz telles que :
 
(AB, Ax)=π6,

(CB, Cy)=π6,

(CB, Cz)=π6
 
2) Ax et Cy se coupent en E. Démontrer que (Ax) et (Cy) sont orthogonales.
En déduire que le quadrilatère ABEC est inscriptible dans un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
 
3) Ax et Cz se coupent en R. Démontrer que R est équidistant des points A et C. En déduire que les points B, R, D sont alignés.

Exercice 18

On considère un rectangle ABCD tel que (AB, AD)=π2. On note α la mesure principale de l'angle orienté (AB, AC).
 
1) Construire les demi-droites Dx et Dy telles que : (DA, Dx)=α et (DA, Dy)=α
 
2) Démontrer que les droites (Dx) et (AC) sont orthogonales, et qu'il en est de même des droites (Dy) et (DB).
 
3) Les demi-droites Dx et Dy coupent respectivement (AC) en E et F.
 
Démontrer que la droite (BD) est tangente au cercle passant par les points D, E, F. Démontrer de même que la droite (DF) est tangente au cercle circonscrit au rectangle ABCD.
 
4) Exprimer en fonction de α la mesure des angles non orientés EDF, DFE et DAE.

Exercice 19

1) Soit cost=24 et sint<0. Calculer sint et tant.
 
2) Soit t[π2; π] et sint=45. Calculer cost et tant
 
3) Sachant que t[π2; π] et que tant=3 , calculer cost et sint.
 
4) Sachant que sinπ12=624, calculer sin(π12)  et sin(23π12)
 
5) Sachant que cosπ8=2+22, calculer cos(π8)  et cos(15π8)

Exercice 20 Calcul de cosπ5 et cos2π5

On considère un triangle ABC, isocèle en A, tel que BC=a, et ˆB=2π5rad. La bissectrice de l'angle ˆB coupe [AC] en D.
 
1) Démontrer que les triangles ABD et BCD sont isocèles.
 
En déduire que : DA=DB=a.
 
2) Démontrer que : AB=2acosπ5 et CD=2acos2π5.
 
En déduire que : cosπ5cos2π5=12.
 
3) Démontrer que : BC=BDcosπ5+CDcos2π5.
 
En déduire que : cosπ5cos2π5=14.
 
4) On pose : x=cosπ5 et y=cos2π5. On sait que xy=12  et xy=14.
 
En utilisant (x+y)2=(xy)2+4xy, calculer x+y, et en déduire x et y.
(On trouvera que : cosπ5=5+14 et cos2π5=514).

Exercice 21

Démontrer que, pour tout réel t :
 
1) (cost+sint)2=1+2costsint 
 
2) (costsint)2=12costsint
 
3) (cost+sint)2+(costsint)2=2
 
4) (cost+sint)2(costsint)2=4sintcost
 
5) sin4tcos4t=sin2tcos2t 
 
6) sin4tcos4t+2cos2t=1

Exercice 22

Exprimer en fonction de sint et cost les expressions suivantes :
 
A=cos(t+π)+cos(t+2π)+cos(tπ)+cos(t3π)
 
B=sin(t+π)+sin(t+2π)+sin(tπ)+sin(t3π)
 
C=sin(t+π2)+cos(tπ)+sin(t+3π2)+cos(t+π)
 
D=sin(3π2+t)+cos(27π2t)+sin(3π+t)cos(7πt)

Exercice 23

Soit ABC un triangle isocèle à angles aigus (AB=AC=a; ˆA=2α).
 
1) Calculer BC.
 
2) Calculer la hauteur BH de deux façons différentes et en déduire la relation : sin2α=2sinαcosα
 
3) Calculer AH et CH et en déduire la relation : cos2α=12sin2α

Exercice 24

Exprimer à l'aide de tant les expressions :
 
X=sin3tcos3tsintcost ;

Y=cos2tsintcost ;

Z=sin2t+sintcostsin2tcos2t

Correction des exercices

Commentaires

Je veux la correction

Correction correction

Je trouve votre cité très important . Je magnifie la clarté des exos

Intéressant

Corrigés de l'exercice 20

C'est intéressant

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