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Série d'exercices : Droites remarquables 4e

Classe:

Quatrième

Exercice 1

1) Construire un triangle

$ABC$ quelconque.

2) a) Construire

$(b_{2})$ bissectrice de l'angle

$\widehat{A}$ ; elle coupe

$(BC)$ en

$A'.$

b) Construire la droite

$(b_{1})$ bissectrice de l'angle

$\widehat{B}$ ; elle coupe

$(AC)$ en

$B'.$

3) a)

$(b_{1})$ et

$(b_{2})$ se coupent en

$O$ , marque

$O.$

4) a) La droite perpendiculaire à

$(AB)$ et passant par

$O$ coupe la droite

$(AB)$ en

$I.$

b) La droite perpendiculaire à

$(BC)$ et passant par

$O$ coupe la droite

$(BC)$ en

$J.$

c) La perpendiculaire à

$(AC)$ et passant par

$O$ coupe la droite

$(AC)$ en

$K.$

5) a) Démontrer que :

$OI=OJ=OK.$

b) En déduire que

$(b_{3})$ bissectrice de

$\widehat{C}$ passe par

$O.$

c) Énoncer la propriété que tu viens de démontrer pour les bissectrices.

d) Que représente le point

$O$ pour le triangle

$ABC\ ?$

Exercice 2

Construire un triangle

$MNP$ tel que :

$MN=6\;cm\;;\ NP=5\;cm$ et

$MP=7\;cm.$

1) La bissectrice de l'angle

$\widehat{M}$ coupe

$[NP]$ en

$E.$

2) La bissectrice de l'angle

$\widehat{N}$ coupe

$(ME)$ en

$I.$

3) Démontrer que

$(IP)$ est la bissectrice de l'angle

$\widehat{MPN}.$

Exercice 3

$ABCD$ est un parallélogramme de centre

$O\;,\ P$ est le milieu de

$[OB].$

Les droites

$(CP)$ et

$(DA)$ se coupent en

$R.$

$T$ est le symétrique de

$R$ par rapport à

$P$

Les droites

$(RO)$ et

$(DT)$ se coupent en

$M.$

1) Faire une figure complète.

2) Montrer que

$(DP)$ est une médiane de

$RDT.$

3) Montrer que

$DO=\dfrac{2}{3}DP$

4) Quel est le centre de gravité du triangle

$RDT.$

5) Démontrer que

$M$ est milieu du segment

$[DT].$

Exercice 4

1) Construire un triangle

$ABC$ tel que :

$AB=5\;cm\;,\ AC=4\;cm$ et

$BC=6\;cm.$

$I$ et

$J$ sont les milieux respectifs de

$[AB]$ et

$[AC].$

2) Montrer que les droites

$(IJ)$ et

$(BC)$ sont parallèles puis calculer

$IJ.$

3) Les demi-droites

$[BJ)$ et

$[CI)$ se coupent en

$G.$

a) Que représentent les demi-droites

$[BJ)$ et

$[CI)$ pour le triangle

$ABC\ ?$

b) Que représente le point

$G$ pour le triangle

$ABC\ ?$

4) Soit

$K$ le milieu du segment

$[BC]$ . Montrer que les points

$A\;,\ G$ et

$K$ sont alignés.

5) On donne

$AK=3\;cm$ . Calculer

$AG$ et

$GK.$

Exercice 5

1) Construire un triangle

$ABC$ quelconque.

2) a) Construire la droite

$(m_{1})$ médiatrice de

$[AB].$

b) Construire la droite

$(m_{2})$ médiatrice de

$[BC].$

2) a) Les droites

$(m_{1})$ et

$(m_{2})$ se coupent en

$O.$

3) a) Démontrer que :

$OA=OB=OC.$

b) En déduire que la droite

$(m_{3})$ médiatrice de

$[AC]$ passe par

$O.$

c) Énoncer la propriété que tu viens de démontrer pour les médiatrices.

d) Que représente le point

$O$ pour le triangle

$ABC\ ?$

Exercice 6

1) Construire un triangle

$ABC$ quelconque.

2) a) Construire

$(AM)$ hauteur issue de

$A.$

b) Construire la droite

$(BN)$ hauteur issue de

$B.$

3) Les deux droites

$(AM)$ et

$(BN)$ se coupent en

$H$ , placer le point

$H.$

4) a) Construire la droite

$(B'C')$ passant par

$A$ et parallèle à

$(BC).$

b) Construire la droite

$(A'C')$ passant par

$B$ et parallèle à

$(AC).$

c) Construire la droite

$(B'A')$ passant par

$C$ et parallèle à

$(AB).$

5) Démontrer que : les quadrilatères

$ABCB'\;;\ BCAC'$ et

$CABA'$ sont des parallélogrammes.

6) a) Démontrer que

$(AH)$ est la médiatrice de

$[B'C'].$

b) Démontrer que

$(BH)$ est la médiatrice de

$[A'C'].$

c) Démontrer que

$(CH)$ est la troisième médiatrice du triangle

$A'B'C'.$

7) a) Que représentent les médiatrices du triangle

$A'B'C'\ ?$

b) Énoncer la propriété que tu viens de démontrer pour les hauteurs du triangle.

c) Que représente le point

$H$ pour le triangle

$ABC$

Exercice 7

Soit

$ABCD$ un parallélogramme de centre

$H.$ La perpendiculaire à

$(DB)$ passant par

$A$ et la La perpendiculaire à

$(AC)$ passant par

$B$ se coupent en

$G.$

1) Faire une figure.

2) Que représente le point

$H$ pour le triangle

$AGB.$

3) Montrer que les droites

$(GH)$ et

$(AB)$ sont perpendiculaires.

4) Montrer que les droites

$(GH)$ et

$(DC)$ sont perpendiculaires.

Exercice 8

Soit

$ABC$ un triangle tel que :

$AB=6\;cm\;;\ AC=7\;cm$ et

$BC=8\;cm.$

Les points

$L\;,\ M$ et

$N$ sont les milieux respectifs des côtés

$[BC]\;,\ [AB]$ et

$[AC]$ d'un triangle

$ABC.$

$G$ est le centre de gravité.

1) Faire une figure complète.

2) Démontrer que

$MLNA$ est un parallélogramme. Soit

$K$ sont centre.

En déduire que :

$AK=\dfrac{1}{2}AL$ puis

$KG=\dfrac{1}{6}AL$

Exercice 9

Soit

$ABCD$ un parallélogramme et

$E$ le symétrique de

$D$ par rapport à

$C.$ Les droites

$(AD)$ et

$(BE)$ se coupent en

$F.$

1) Montrer que

$B$ est le milieu du segment

$[EF].$

2) Montrer que

$A$ est le milieu du segment

$[DF].$

3) Les droites

$(FC)$ et

$(DB)$ se coupent en

$G.$ Démontrer que les points

$A\;,\ G$ et

$E$ sont alignés.

Exercice 10

1) Construis un triangle

$ABC$ tel que

$AB=14\;cm\;,\ AC=10\;cm\text{ et }BC=12\;cm.$

2) Construis ses médiatrices en rouge, ses médianes en vert, ses hauteurs en bleu et ses bissectrices en noir.

3) Place le point

$G$ centre de gravité du triangle, le point

$O$ centre du cercle circonscrit, le point

$I$ centre du cercle inscrit et le point

$H$ orthocentre du triangle.

4) Pour ce triangle

$ABC$ , construis les cercles circonscrit et inscrit.

5) Trace la droite qui passe par

$O$ et

$G.$

Vérifie qu'elle passe par

$H.$

Exercice 11

Construis le triangle

$ABC$ tel que :

$AB=3.5\;cm\;,\ \widehat{ABC}=120^{\circ}\text{ et }BC=5\;cm.$

1) Trace en bleu la hauteur issue de

$A$ et en vert la médiatrice du segment

$[BC].$

2) Démontre que ces deux droites sont parallèles.

Exercice 12

$ABC$ est un triangle de centre de gravité

$G.$

$E\;,\ D\text{ et }F$ sont les milieux respectifs de

$[AC]\;,\ [AB]\text{ et }[BC].$

On donne :

$AE=2\;cm\;,\ AG=3\;cm\;,\ GD=1\;cm\text{ et }BE=6\;cm.$

Calcule

$AC\;,\ GF\;,\ GC\;,\ BG\text{ et }GE.$

Justifie.

Exercice 13

Sur la figure ci-dessous,

$\widehat{ABC}=64^{\circ}\text{ et }\widehat{ACB}=58^{\circ}.$

$(BE)$ est la bissectrice de l'angle

$\widehat{B}$ et

$(CD)$ est la bissectrice de l'angle

$\widehat{C}.$

Les deux bissectrices se coupent en

$I.$

Calcule la mesure des angles

$\widehat{ACD}$ ,

$\widehat{ADC}$ ,

$\widehat{BIC}$ ,

$\widehat{BAC}.$

Justifie.

Exercice 14

On donne un segment

$[AK].$

Soit

$J$ son milieu.

Place un point

$L$ n'appartenant pas à

$(AK)$ tel que

$JL=6\;cm.$

Place sur

$[JL]$ le point

$G$ tel que

$LG=4\;cm.$

$(KG)$ coupe

$(AL)$ en

$I.$

Démontre que

$I$ est le milieu de

$[AL].$

Exercice 15

$MNP$ est un triangle isocèle en

$M$ ,

$K$ est le milieu de

$[NP].$

Les bissectrices

$(PZ)$ et

$(NT)$ des angles

$\widehat{MPN}$ et

$\widehat{MNP}$ se coupent en

$I.$

Démontre que

$(MK)$ passe par

$I.$

Exercice 16

$KELI$ est un parallélogramme de centre

$O.$

1) Construis le point

$M$ centre de gravité du triangle

$KEI$ et le point

$N$ centre de gravité du triangle

$ILE.$

2) Démontre que les points

$K\;,\ M\;,\ O\;,\ N\$ et

$\ L$ sont alignés.

3) Démontre que

$KM=MN=NL.$

Exercice 17

1) Construis un segment

$[UV]$ et sa médiatrice

$(\Delta).$

Marque un point

$K$ sur cette médiatrice,

$K$ n'appartient pas à

$[UV]$ et le point

$M$ symétrique de

$U$ par rapport à

$K.$

2) Démontre que

$K$ est le centre du cercle circonscrit au triangle

$MUV.$

3) La parallèle à

$(UV)$ passant par

$K$ coupe

$(MV)$ en

$J.$

Démontre que

$(KJ)$ est la médiatrice du segment

$[MV].$

Exercice 18

Trace un triangle

$ABC.$

On appelle

$D$ le symétrique de

$A$ par rapport à

$B$ et

$E$ le symétrique de

$A$ par rapport à

$C.$

1) Démontre que les droites

$(BC)$ et

$(DE)$ sont parallèles.

2) On appelle

$I$ le milieu du segment

$[BC].$

La droite

$(AI)$ coupe

$(DE)$ en

$H.$

Démontre que

$I$ est le milieu du segment

$[AH].$

3) Démontre que les droites

$(DC)$ ,

$(AH)$ et

$(BE)$ sont concourantes.

Exercice 19

Soit un parallélogramme

$ABCD.$

Le point

$E$ est le symétrique de

$D$ par rapport à

$C.$

Les droites

$(AD)$ et

$(BE)$ se coupent en

$F.$

1) Montre que

$B$ est le milieu de

$[EF].$

2) Montre que

$A$ est le milieu de

$[DF].$

3) Les droites

$(DB)$ et

$(FC)$ se coupent en

$G.$

Démontre que les points

$E$ ,

$G$ et

$A$ sont alignés.

Exercice 20

1) Construis un triangle

$EFG$ rectangle en

$F.$

Place

$K$ le milieu du segment

$[EG].$

Trace la droite passant par

$K$ et perpendiculaire à

$(EF).$

Elle coupe

$[EF]$ en

$L.$

2) Démontre que

$L$ est le milieu du segment

$[EF].$

3) Les droites

$(FK)$ et

$(GL)$ se coupent en

$M.$

Que représentent les droites

$(FK)$ et

$(GL)$ pour le triangle

$EFG$ ?

Déduis-en que la droite

$(EM)$ coupe le segment

$[FG]$ en son milieu.

Exercice 21

$MIL$ est un triangle,

$A$ ,

$B$ et

$C$ les milieux respectifs des cotés

$[MI]$ ,

$[IL]$ et

$[ML].$

Soit

$G$ son centre de gravité.

1) Démontre que le quadrilatère

$MABC$ est un parallélogramme.

$(AC)$ et

$(MB)$ se coupent en

$J.$

Démontre que

$J$ est le milieu de

$[AC].$

3) Démontrer que

$G$ est le centre de gravité du triangle

$ABC.$

Exercice 22

$PQR$ est un triangle.

1) Construis le point

$M$ milieu de

$[PQ]$ et le point

$K$ , symétrique de

$P$ par rapport à

$R.$

La droite

$(KM)$ coupe le segment

$[RQ]$ en

$I$ et la droite

$(PI)$ coupe

$[KQ]$ en

$N.$

2) Démontre que

$N$ est le milieu du segment

$[KQ].$

$\begin{array}{c}\blacktriangleright\,\boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}$

Auteur:

Diny Faye & adem

Commentaires

Anonyme (non vérifié)

sam, 10/19/2019 - 15:56

Permalien

Bonjour j'ai besoin de la

Bonjour j'ai besoin de la série et correction si possible: sldlldiallo91@gmail.com

répondre

Anonyme (non vérifié)

dim, 04/12/2020 - 14:57

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Et moi j'ai besoin de la

Et moi j'ai besoin de la correction

répondre

OUSMANE DIOUF (non vérifié)

mer, 07/01/2020 - 14:31

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Bonjour j'ai besoin de la

Bonjour j'ai besoin de la correction de cette série

répondre

Bineta (non vérifié)

mer, 04/14/2021 - 07:44

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Correction svp

Correction

répondre

Anonyme (non vérifié)

ven, 05/21/2021 - 13:11

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On a besoin la correction des

On a besoin la correction des exercices concernant les droites remarquables. svp

répondre

merci (non vérifié)

jeu, 03/23/2023 - 23:37

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merci pour tout se que vous

merci pour tout se que vous faite

répondre

Miss talia (non vérifié)

mer, 03/06/2024 - 19:10

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Bitch

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