Déterminer les taux de variation des fonctions suivantes et dresser leur tableau de variation

 

$f(x)=x^{2}\;,\quad g(x)=x^{2}-3x+1$

 

$h(x)=\dfrac{1}{x}\;,\quad k(x)=\dfrac{x+2}{x-3}$

 

$m(x)=\dfrac{x^{2}+5x+7}{x+3}\;,\quad f_{1}(x)=x^{3}-3x$

Étudier la parité des fonctions suivantes :

 

a) $f(x)=x^{2}$

 

b) $g(x)=x\sqrt{x^{2}-1}$

 

c) $h(x)=\dfrac{2x}{x^{2}-4}$

 

d) $k(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x-2}$

1) Établir le tableau de variation de la fonction $f(x)=-\dfrac{1}{2}x+1$

 

2) Faire la représentation graphique de $f$

 

3) Résoudre par le calcul l'équation $f(x)=0$ et l'inéquation $f(x)\leq 0$

 

4) Établir un lien entre le calcul et la représentation graphique

 

5) Résoudre $f(x)\geq 0$

 

6) On a montré que $\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(2)&=&0\\ \text{si}\quad x&\leq &2 \quad \text{alors}\quad f(x)\geq 0\\ \text{si}\quad x&\geq &2 \quad \text{alors}\quad f(x)\leq 0 \end{array}\right.$ 

 

Rassembler ces informations dans un tableau de signe

 

7) Établir le tableau de signe de $3x-1$

Soit la fonction $f$ définie par $$f(x)=-x+\dfrac{6}{x+1}$$

 

$\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité : 2 cm)

 

1) Quelle est son ensemble de définition ?

 

2) Montrer que $f$ est décroissante lorsque $x<-1.$

 

Qu'en est-il lorsque $x>-1$ ?

 

3) Déterminer par le calcul la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite $D\ :\ y=x$

 

4) Tracer $D$ et $\mathcal{C}_{f}$

 

5) déterminer graphiquement la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $(Ox)$

 

6) Quelles inéquations doit-on résoudre pour répondre par le calcul à la question 5 ?

 

7) Vérifier que $$f(x)=\dfrac{-x^{2}-x+6}{x+1}$$

 

puis que $$-x^{2}-x+6=-\left[\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{25}{4}\right]$$

 

Résoudre alors par le calcul l'inéquation $f(x)\geq 0$ et conclure quand à la question 5.

Soient les fonctions $$f(x)=8-x^{3}\quad \text{et}\quad g(x)=-4x+8$$

 

1) Représenter les courbes des fonctions $f$ et $g$

 

2) a) Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=g(x)$

 

b) Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)\geq g(x)$

 

3) Factoriser l'expression $f(x)-g(x)$

 

4) Résoudre alors par le calcul l'équation et l'inéquation du 2

Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies respectivement par $$f(x)=\dfrac{2x^{2}-5x-2}{x-3}\;,\quad g(x)=2x^{2}-5x+1$$

 

1) Montrer que $I\begin{pmatrix} 3\\ 7 \end{pmatrix}$ est le centre de symétrie pour $\mathcal{C}_{f}.$

 

2) Montrer que la courbe représentative de $g$ admet la droite d'équation $x=\dfrac{5}{4}$ comme axe de symétrie.

$\begin{array}{c}\blacktriangleright\,\boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}$