En utilisant la méthode de Cramer, résoudre dans $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ les systèmes d'équations suivants :

 

1) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 4x+5y+3&=&-7 \\ 3x-2y&=&12\end{array}\right.$
$\quad$
2) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x+3y&=&-1\\ 5x-4y&=&9\end{array}\right.$

$\quad$

3) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 6x-15&=&8y\\ 12y&=&5x-10\end{array}\right.$
$\quad$
4) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 9x-15y&=&-2\\ 6x-10y&=&7\end{array}\right.$

 

5) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 6x+8y&=&15\\ 2x+6y&=&5\end{array}\right.$
$\quad$
6) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x\sqrt{2}+y\sqrt{3}&=&\sqrt{3}\\ x\sqrt{3}-y\sqrt{2}&=&\sqrt{2}\end{array}\right.$

$\quad$

7) $\left\lbrace\begin{array}{rcl}\dfrac{\sqrt{2}}{2}x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}y&=&1\\ \\ x+y\dfrac{\sqrt{3}}{2}&=&2\end{array}\right.$

$\quad$

$8)\ \left\lbrace\begin{array}{rcl}\dfrac{x-y}{5}-3&=&\dfrac{2x}{3}+\dfrac{y}{100}\\ \\ \dfrac{4x}{8}+\dfrac{3y-2}{20}&=&-1\end{array}\right.$

$\quad$

$9)\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} 7x-5(y+3)&=&8(x-2)+4y\\ 10(x+1)-6y&=&12(x+5)+12(y-2)\end{array}\right.$ 

$\quad$

10) $\left\lbrace\begin{array}{rcl}\dfrac{x}{352}+\dfrac{y}{264}&=&\dfrac{1}{132}\\ \\ \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}&=&\dfrac{1}{12}\end{array}\right.$

$\quad$

$11)\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} (\sqrt{5}-2)x+3(3+2\sqrt{2})y&=&\sqrt{3}\\ (3-2\sqrt{2})x+(\sqrt{5}-2)y&=&1\end{array}\right.$ 

$\quad$

$12)\ \left\lbrace\begin{array}{rcl}\dfrac{7}{x-1}+\dfrac{3}{y-2}&=&\dfrac{4}{(x-1)(y-2)}\\ \\ \dfrac{5}{x+1}+\dfrac{2}{y}&=&\dfrac{3}{y(x+1)}\end{array}\right.$

Résoudre les systèmes suivants après avoir fait un changement d'inconnues adéquat :

 

1) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{4}{x}+\dfrac{5}{y}&=&-7\\ \dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{y}&=&12\end{array}\right.$
$\quad$
2) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} \sqrt{x}+\sqrt{y}&=&3\\ \sqrt{x}-2\sqrt{y}&=&-3\end{array}\right.$

$\quad$

3) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 4\dfrac{x-1}{x+2}+5\dfrac{y+1}{y-2}&=&-7\\ \\ 3\dfrac{x-1}{x+2}-2\dfrac{y+1}{y-2} &=&12\end{array}\right.$

$\quad$

4) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 4(x^{2}-2)+5(y^{2}-4)&=&-7\\ 3(x^{2}-2)-2(y^{2}-4)&=&12\end{array}\right.$

$\quad$

5) $\left\lbrace\begin{array}{rcl}\dfrac{4}{2x-1}+\dfrac{3}{2(3y+2)}&=&21\\ \\ \dfrac{5}{6x-3}-\dfrac{2}{15y+10}&=&19\end{array}\right.$

$\quad$

6) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} (x-3)^{2}+y-2&=&8\\ 3(x-3)^{2}+5y-10&=&-10\end{array}\right.$

a) Déterminer $a$ et $b$ pour que le système : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} (2a-1)x+by&=&7\\ (a-2)x+(b-1)y&=&2\end{array}\right.$ admette pour solution le couple $(1\;;\ -1).$

 

b) Déterminer les réels $p$ et $q$ pour que l'équation du second degré $x^{2}+px+q=0$ admette pour ensemble de solutions $S=\left\{-\dfrac{1}{2}\;;\ \dfrac{1}{4}\right\}.$

Résoudre les systèmes suivants en discutant selon les valeurs de $m.$ (On utilisera la méthode de Cramer) :

 

1) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x+3y&=&5\\ 2mx-(m-1)y&=&m+1\end{array}\right.$
$\quad$
2) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+my&=&0\\ mx+y&=&m+1\end{array}\right.$

 

3) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 4x+2y&=&3\\ 2mx-3y&=&m+4\end{array}\right.$
$\quad$
4) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&m-2\\ (m+2)x-4y&=&m^{2}-4\end{array}\right.$

 

5) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} mx+y&=&(m+1)^{2}\\ 2x-y&=&3+2m\end{array}\right.$
$\quad$
6) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} (m+1)x-y&=&2m+3\\ (2m+3)x-4y&=&4m+7\end{array}\right.$

Déterminer les dimensions d'un rectangle de périmètre $126\;m$, sachant que si l'on augmente sa longueur de $7\;m$ et sa largeur de $5\;m$, son aire augmente de $400\;m^{2}.$

En achetant $3$ stylos et $7$ cahiers, je paie $11600\ F$ ; en achetant $8$ stylos et $6$ cahiers (du même type), je paie $15100\ F.$ Quels sont les prix d'un stylo et d'un cahier ?

On a rangé dans un hangar $159$ tabourets. Certains possèdent trois pieds, les autres $4$ pieds. Sachant que l'on dénombre $604$ pieds, déterminer le nombre de tabourets de chaque sorte.

J'ai deux fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez. Quand vous aurez l'âge que j'ai, nous aurons, à nous deux $117$ ans.

Quel est mon âge et quel est le vôtre ?

Un marchand de glaces OKIR vend des glaces en cornets, les unes à une boule, les autres à deux boules. Le but du problème est de déterminer le bénéfice maximal qu'il peut espérer faire en un jour, compte tenu de la quantité de crème glacée et du nombre de cornets dont il dispose.

 

On désignera par $\mathcal{P}$ un plan muni d'un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ $($unité graphique : $2.5\;mm).$

 

1) On note $x$ le nombre de cornets à une boule et $y$ le nombre de cornets à deux boules vendus en un jour par le marchand.

 

Le bénéfice réalisé est de $100\ F$ pour un cornet à une boule et $250\ F$ pour un cornet à deux boules.

 

Quel est le bénéfice réalisé en un jour ?

 

A l'aide d'inégalités faisant intervenir $x$ et $y$, exprimer chacune des conditions suivantes :

 

$\cdot\ $ chaque jour, le marchand dispose de $60$ cornets prévus pour une boule ;

 

$\cdot\ $ chaque jour, le marchand dispose de $60$ cornets prévus pour deux boules ;

 

$\cdot\ $ le marchand vend au plus $100$ cornets par jour ;

 

$\cdot\ $ le marchand dispose d'une quantité de crème glacée lui permettant de faire $150$ boules par jour.

 

2) Déterminer graphiquement le nombre de cornets de chaque sorte qui donnera au marchand de glaces un bénéfice maximal.

Les organisateurs d'un concours proposent aux classes lauréates un voyage. Ils s'adressent à un transporteur qui dispose de $10$ cars de $40$ places et de $8$ cars de $50$ places. Les cars devront transporter $540$ personnes (les élèves et leurs accompagnateurs). Le transporteur demande $250\ 000\ F$ par autocar de $40$ places et $300\ 000\ F$ par autocar de $50$ places.

Déterminer le nombre de cars de chaque type qui occasionnera la dépense la plus faible possible pour les organisateurs.