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Série d'exercices : Triangle rectangle - Théorème de Pythagore 4e

Classe:

Quatrième

Exercice 1 Le théorème de Pythagore

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que :

$AB=4\;cm\;;\ AC=3\;cm.$

1) Mesurer la distance $BC.$

2) a) Que représente le segment $[BC]$ pour le triangle $ABC$ ? Puis calculer $BC^{2}.$

b) Que représentent les segments $[AB]$ et $[AC]$ pour le triangle $ABC$ ? Puis calculer $AB^{2}+AC^{2}.$

c) Comparer $BC^{2}$ et $AB^{2}+AC^{2}.$

3) Quelle est la propriété que tu viens de démontrer pour le triangle rectangle ?

Exercice 2 Application du théorème

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $C$ tel que :

$BC=4\;cm\;;\ AC=3\;cm.$ Calculer $AB.$

Exercice 3 Application du théorème

Soit $IJK$ rectangle en $J$ tel que :

$IJ=8\;cm$ et $IK=10\;cm.$ Calculer $JK.$

Exercice 4 Application du théorème

Soit $RST$ un triangle rectangle en $R$ tel que :

$TS=2.5\;cm$ et $RT=1.5\;cm.$ Calculer $RS.$

Exercice 5 Application du théorème

La figure ci-dessous représente un champ rectangulaire. On donne $BC=15\;m$ et $AC=25\;m.$ Calculer le périmètre et l'aire de ce champ.

Exercice 6

Tracer un triangle $AKS$ rectangle en $S.$

1) Marquer $M$, pied de la hauteur relative à l'hypoténuse.

2) Écrire la relation de Pythagore dans chacun des triangles $AKS\;,\ SMK$ et $AMS.$

Exercice 7

Soit $(AB)$ et $(CD)$ deux droites perpendiculaires en $M.$

Démontrer que $AD^{2}+BC^{2}=AC^{2}+DB^{2}.$

Exercice 8 Réciproque du théorème Pythagore

Soit $ABC$ un triangle rectangle. Dans chacun des cas ci-dessous répondre par vrai ou faux.

1ier cas : $AB=6\qquad AC=10\qquad BC=8.$

2ième cas : $AB=4\qquad AC=7\qquad BC=6$

3ime cas : $AB=6\qquad AC=9\qquad BC=8$

4ième cas : $AB=9\qquad AC=15\qquad BC=10.$

Exercice 9 Approfondissement

1) Construire un triangle $OAB$ tel que :

$OA=5\;cm\;;\ OB=3\;cm$ et $AB=4\;cm.$

2) Démontrer que le triangle $OAB$ est rectangle.

3) Soit $D$ le symétrique du point $A$ par rapport à $B.$

Soit $C$ le symétrique de $O$ par rapport à $B$, montrer que le quadrilatère $OACD$ est un losange.

Exercice 10 Approfondissement

$ABC$ est un triangle isocèle eu $A$ tel que : $AB=5\;cm\ $ et $\ BC=8\;cm.$ Soit $A'$ le symétrique de $A$ par rapport à $(BC)$.

1) Faire une figure.

2) $I$ est le milieu de $[BC].$ Calculer $AI$ et l'aire du triangle $ACI.$

3) Quelle est la nature du quadrilatère $ACA'B\ ?$ Puis calculer son aire.

Exercice 11 Relation métrique

1) Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ et $H$ le pied de la hauteur issue de $A.$

2) Calculer de deux manières différentes l'aire du triangle $ABC.$

3) Déduis-en une égalité qui relie : $AB\;,\ AC\;,\ BC$ et $AH.$

Exercice 12

Sur la figure ci-dessus $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ et $H$ le pied de la hauteur issue de $A.$

On donne $BC=6\;cm\;;\ AC=4.8\;cm$

1) Calculer $AB.$

2) Calculer l'aire du triangle $ABC$. En déduire $AH$

Exercice 13 Application à la relation métrique

1) Construire un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que :

$AB=3\;cm$ et $AC=4\;cm.$

Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $A.$

2) Calculer $AH.$

Exercice 14 Application à la relation métrique

1) Construire un cercle $(c)$ de centre $O$ est de rayon $5\;cm.$

2) Marque un point $M$ situé à $13\;cm$ de $O.$

3) Soit $I$ le point de contact d'une tangente à $(c)$ passant par $M.$

4) Dans le triangle $IOM$, la hauteur passant par $I$ coupe la droite $(OM)$ en $H.$

5) Calculer $MI$ et $IH.$

Exercice 15 Approfondissement

$EFG$ est un triangle rectangle en $E$ tel que :

$EF=8\;cm$ et $EG=6\;cm.$

1) Calculer $FG.$

2) Calculer l'aire du triangle $EFG.$

3) Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $E.$

Calculer $EH\;,\ FH$ et $HG.$

4) Préciser le centre $M$ du cercle circonscrit au triangle $EGH$ puis calculer son rayon.

5) Soit $A$ le point de la demi-droite $[FE)$ tel que :

$FA=12.5\;cm.$ Calculer $EA$ et $GA.$

6) Montrer que $FGA$ est un triangle rectangle.

Exercice 16 Approfondissement

Soit un triangle $ABC$ et la hauteur $[BE]$ avec $E$ appartenant au segment $[AC].$

On pose $AC=12.5\;cm$ et $AE=4.5\;cm.$ On appel $x$ la longueur du segment $[BE].$

1) Calculer $AB^{2}$ en fonction de $x$ dans le triangle $ABE.$

2) Calculer $BC^{2}$ en fonction de $x$ dans le triangle $BCE.$

3) On suppose que $ABC$ est rectangle en $B.$ En utilisant les résultats 1) et 2) applique lui le théorème de Pythagore et en déduire que $2x^{2}=72.$ Calculer $x.$

4) Calculer $AB$ et $BC.$ Déterminer l'aire de $ABC.$

Exercice 17 Recherche

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ et $H$ le pied de la hauteur issue de $A.$ Montrer que :

$AH^{2}=BH\times CH;$

$AB^{2}=BH\times BC;$

$AC^{2}=BC\times CH.$

Exercice 18

Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ alors, on a :

a) $AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$

b) $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$

C) $AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$

Écris la lettre qui correspond à la bonne réponse.

Exercice 19

Réponds par vrai ou faux à chacune des affirmations ci-dessous.

1) Dans un triangle rectangle, la somme des cotés de l'angle droit est égale à l'hypoténuse.

2) Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des cotés de l'angle droit est égale au carré de l'hypoténuse.

Exercice 20

Recopie puis complète chacune des phrases ci-dessous.

1) Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des côtés de l'angle droit est égale $\ldots\ldots$

2) Dans un triangle rectangle, la somme des $\ldots\ldots$ est égale au carré de l'hypoténuse.

Exercice 21

1) $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que, $AB=4\text{ et }AC=3.$

Calcule $BC.$

2) $EFG$ est un triangle rectangle en $G$ tel que, $EF=2.5\text{ et }GF=2.$

Calcule $GE.$

Exercice 22

$ABCD$ est un rectangle de longueur $4\;cm$ et de largeur $3\;cm.$

Calcule la diagonale de ce rectangle.

Exercice 23

$ABC$ est un triangle rectangle en $C$ tel que $AB=15\;cm$ et $CB=12\;cm.$

La mesure de la hauteur issue de $C$ est égale à $7.2\;cm.$

Calcule $AC$ sans utiliser le théorème de Pythagore.

Exercice 24

$EGH$ est un triangle rectangle en $G$ tel que $GE=4\;cm$ et $GH=3\;cm.$

La mesure de la hauteur issue de $G$ est égale à $2.4\;cm.$

Calcule $EH$ sans utiliser le théorème de Pythagore.

Exercice 25

On donne trois points $A$, $B$ et $C$ tels que :

$AB=5\;cm$, $AC=3\;cm$ et $BC=4\;cm.$

Montre que le triangle $ABC$ est rectangle.

Exercice 26

Soit $M$, $N$ et $P$ trois points tels que :

$MN=1.5\;cm$, $NP=2.5\;cm$ et $PM=2\;cm.$

Montre que $MNP$ est un triangle rectangle.

Exercice 27

On donne trois points $L$, $M$ et $N$ tels que :

$LM=2\;cm$, $MN=2\;cm$ et $NL=3\;cm.$

Le triangle $LMN$ est-il rectangle ?

Justifie ta réponse.

Exercice 28

On donne trois points $E$, $F$ et $G$ tels que :

$EF=2\;cm$, $FG=3.5\;cm$ et $GE=4\;cm.$

Le triangle $EFG$ est-il rectangle ?

Justifie ta réponse.

Exercice 29

En Mésopotamie, pendant l'antiquité, on utilisait des cordes à nœuds distants d'un mètre comme indique la figure ci-contre, pour obtenir des angles droits dans les constructions d'autels religieux.